Фрактальні властивості графіків деяких класів неперервних ніде не диференційованих функцій

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Робота присвячена дослідженню неперервних функцій дійсної змінної зі складною локальною поведінкою засобами фрактального аналізу та фрактальної геометрії.

В останнє десятиліття розвивається як індивідуальна, так і загальна теорія таких функцій. Потужними засобами їхнього аналізу є міри Хаусдорфа дробових порядків та метричні розмірності (Хаусдорфа?Безиковича, Хаусдорфа?Біллінгслі, клітинкова тощо). Продовжують досліджуватись властивості не тільки класичних, але і нових недиференційовних функцій засобами теорії фракталів. Фрактальні властивості функцій вивчаються в двох напрямках ? це властивості їхніх рівнів та графіків. Варто зазначити, що сьогодні зовсім не для всіх функцій, що фігурували в попередніх дослідженнях, проведено глибокий фрактальний аналіз (наприклад, і досі залишається відкритим питання про розмірність Хаусдорфа?Безиковича графіка функції Вейєрштрасса).

Триває процес створення методології дослідження. Особливо гостро стоїть проблема аналітичного задання та дослідження фрактальних властивостей таких функцій. В теорії недиференційовних функцій використовується кілька підходів до їхнього завдання:

1) геометрично-описовий спосіб (приклади Больцано, Безиковича);

2) метод «згущення особливостей» (функції Вейєрштрасса, Дарбу, Такаґі?Ван дер Вардена (Takagi?Van der Waerden) тощо);

3) функції, означені як атрактор системи ітерованих функцій (фрактальні інтерполяційні функції);

4) функції, визначені перетворювачем цифр аргументу (приклади Сінгха (Singh), Вундерліха (Wunderlich), Кінні (Kinney); неперервні канторівські проектори).

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження даної дисертаційної роботи є неперервні функції дійсної змінної зі складними диференціальними властивостями, а предметом дослідження ? вивчення фрактальних властивостей графіків певних класів таких функцій: неперервних відображень, заданих перетворювачем цифр аргументу у цифри відповідних значень, та функцій типу Такаґі?Ван дер Вардена.

Мета дисертаційної роботи полягає у поглибленні відомих результатів фрактального аналізу в контексті вивчення фрактальних властивостей графіків деяких відносно нових і малодосліджених класів неперервних функцій однієї змінної.

Основними завданнями дослідження є такі:

- обчислити клітинкову (ентропійну) розмірність графіків неперервних канторівських проекторів ? неперервних дійсних функцій, означених за допомогою зв'язку між -цифрами аргументу і двійковими цифрами своїх значень;

- обчислити розмірність Хаусдорфа?Безиковича графіків неперервних канторівських проекторів;

- ввести природне узагальнення неперервних канторівських проекторів та дослідити диференціальні і фрактальні властивості цього класу функцій;

- вивчити диференціальні властивості класу функцій, аргумент і значення яких мають одне і те ж зображення в різних фіксованих системах числення, а також обчислити фрактальну розмірність їх графіків;

- описати фрактальні властивості класу функцій, до якого входять ніде не диференційовні функції Такаґі та Ван дер Вардена, зокрема обчислити клітинкову розмірність та розмірність Хаусдорфа?Безиковича їхніх графіків, а також множини глобальних максимумів та мінімумів;

- дослідити арифметичні та диференціальні властивостей функцій типу Такаґі?Ван дер Вардена.

1. Властивості неперервних функцій, які задані за допомогою зв'язку між цифрами аргументу та відповідних значень, записаних в різних системах числення

Означення 1. Нехай , r ? фіксований елемент з множини {0,1,…,s-1}. Неперервним канторівським проектором називається функція:

,

де:

де ? k-та цифра в Q-зображенні x.

Основним результатом є теорема, яка встановлює формулу для обчислення розмірності Хаусдорфа?Безиковича графіків неперервних канторівських проекторів, в яких аргумент представляється -адичним дробом. Наведено формулу для обчислення клітинкової розмірності графіків цих функцій.

Теорема. Розмірність Хаусдорфа?Безиковича графіка функції обчислюється за формулою log2(1+(s-1)logs2).

Обґрунтовується самоафінність графіків за Каме. Присвячено вивченню властивостей функцій, які є інтегралами зі змінною верхньою межею від неперервних канторівських проекторів з трійковим поданням аргументу.

Теорема. Клітинкова розмірність графіків неперервних канторівських проекторів дорівнює d, де d ? єдиний додатний корінь рівняння .

Вивчаються властивості одного природного узагальнення неперервних канторівських проекторів, а саме, досліджуються властивості функції , яка кожному ставить у відповідність значення , Q={q,1-q}, , де, як і раніше, цифри аргументу та значення пов'язані між собою співвідношеннями. Ці функції названо (3,q)-канторівськими проекторами. Обґрунтовується коректність наведеного означення функції, а також неперервність такої функції.

Теорема. Функції ніде не диференційовні.

Фрактальні властивості графіків (3,q)-канторівських проекторів описують такі твердження.

Теорема. 1) Якщо y0 ? Q-раціональне число відрізка [0,1], то множина рівнів функції є скінченною, і, отже, її розмірність Хаусдорфа?Безиковича дорівнює нулю.

2. Властивості дійсних функцій, у яких аргумент і значення мають однакове формальне зображення в різних системах числення (аргумент ? у Q-представленні, а значення ? в Q'-представленні)

Означення. Нехай s>1 та такі, що

За цих умов подання дійсного числа x у вигляді ряду:

де , називатимемо його Q'-представленням і скорочено позначатимемо (останній запис називатимемо Q'-зображенням числа .

Нехай s>1

Якщо ? Q-зображення числа , то нехай:

Обґрунтовано коректність такого означення функції, доведена неперервність функції.

Самоафінні властивості графіків досліджуваних функцій випливають з такого твердження.

Теорема. Система функціональних рівнянь:

в класі обмежених функцій f:[0,1]-R має єдиний розв'язок ? функцію.

Теорема. Для диференційовності функції f(x), заданої формулою, в Q-раціональній точці необхідно і достатньо, щоб виконувались умови b0<a0, bs-1<as-1.

Теорема. Нехай f(x) ? досліджувана функція, яка визначається наборами і задається формулою. Якщо для кожного i, причому хоча б для одного p , то функція f(x) є ніде не диференційовною.

Теорема. Нехай f(x) ? досліджувана функція. Якщо , то f(x) майже скрізь недиференційовна (а у випадку, коли виконуються умови теореми ? ніде не диференційовна).

Нехай f(x) ? досліджувана функція (3.4), що визначається наборами Q та Q'. Тоді фрактальна клітинкова розмірність її графіка дорівнює , де ? єдиний додатний корінь рівняння:

.

Висновки

арифметичний канторівський фрактальний проектор

Однією з основних задач фрактальної геометрії є задача обчислення фрактальної розмірності множини. Часто фахівці в галузі фрактального аналізу, намагаючись охопити в дослідженнях якомога ширший клас множин, вивчають класи об'єктів, які не містять графіків неперервних функцій. Разом з тим останні викликають особливий інтерес, оскільки вони є зручними моделями для опису багатьох явищ і знаходять своє застосування в різних наукових дослідженнях.

Предметом дисертаційного дослідження є три класи неперервних функцій, перші два з них означаються «автоматом», тобто за допомогою встановленого правила по перетворенню цифр аргументу в цифри відповідних значень, а третій ? як сума рівномірно збіжного ряду неперервних функцій, і він є узагальненням відомої конструкції Такаґі?Ван дер Вардена. Основну увагу приділено вивченню фрактальних властивостей графіків цих функцій. Зокрема, для всіх досліджуваних класів обчислено клітинкову розмірність їхніх графіків, для деяких ? також і розмірність Хаусдорфа-Безиковича. Крім того, в дисертаційному дослідженні описуються диференціальні властивості вказаних функцій, а для функцій типу Такаґі?Ван дер Вардена вивчається структура множин глобальних максимумів та мінімумів.

Для нас відкритою залишається задача обчислення розмірності Хаусдорфа?Безиковича класу самоафінних функції, диференціальні та фрактальні властивості яких досліджувались в розділі 3 даного дослідження. Крім цього, в загальному випадку залишається нерозв'язаною задача про фрактальні властивості множин рівнів цих функцій.

Література

1. Панасенко О.Б. Фрактальнi властивостi одного класу однопараметричних неперервних недиференцiйовних функцiй / О.Б. Панасенко // Науковий часопис Нац. пед. ун-ту iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки. ? Київ : НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2006. ? № 7.? С. 160-167.

2. Панасенко О.Б. Фрактальна розмiрнiсть графiкiв неперервних канторiвських проекторiв / О.Б. Панасенко // Науковий часопис Нац. пед. ун-ту iменi М.П. Драгоманова. Серiя 1. Фiзико-математичнi науки.? Київ : НПУ iменi М.П. Драгоманова, 2008.? № 9.? С. 124-132.

3. Панасенко О.Б. Розмiрнiсть Хаусдорфа-Безиковича однієї неперервної нiде не диференцiйовної функцiї / О.Б. Панасенко // Український математичний журнал.? 2009.? Т. 61, № 9.? С. 1225-1239.

4. Панасенко О.Б. Однопараметричний клас неперервних функцiй, близьких до канторiвських проекторiв / О.Б. Панасенко // Математичнi студiї.? 2009.? Т. 32, № 1.? С. 3-11.

5. Працьовитий М.В. Диференцiальнi i фрактальнi властивостi одного класу самоафiнних функцiй / М.В. Працьовитий, О.Б. Панасенко // Вiсник Львiвського унiверситету. Серiя механiко-математична.? 2009.? Т. 70.? С. 128-139.

6. Panasenko O. Some differential and fractal properties of one class of self-affine functions / O. Panasenko // Простiр Скорохода. 50 рокiв по тому. Мiжнародна конференцiя. Тези доповiдей. Книга 2.? Київ : Iн-т математики НАН України, 2007.? С. 165-166.

7. Панасенко О.Б. Одне узагальнення неперервних канторiвських проекторiв / О.Б. Панасенко // Дванадцята мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ: Матерiали конф.? Київ, 2008.? С. 751.

Размещено на Allbest.ru