Функції на двовимірних многовидах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 515.164.15

Автореферат

дисеpтацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Спеціальність 01.01.04 -- Геометрія та топологія

Функції на двовимірних многовидах

Личак Дмитро Петрович

Київ - 2010

Дисертація є рукописом

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Пришляк Олександр Олегович,Киівський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Працьовитий Микола Національний педагогічний університет ім. М.П. Драгоманова, Вікторович, директор Фізико-математичного інституту; кандидат фізико-математичних наук Кадубовський Олександр Анатолійович, Слов'янський державний педагогічний університет, доцент кафедри геометрії та методики викладання математики.

Захист відбудеться "16" березня 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий "05" лютюго 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Сергейчук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. В дисертації розглядаються гладкі функції, гладкі векторні поля на двовимірних многовидах, та їх топологічні і геометричні властивості.

При класифікації функцій або векторних полів вирішуються дві проблеми:

Задано два об'єкти (функції, векторні поля тощо). Визначити чи однакові вони з точністю до певної еквівалентності (топологічної, пошарової, траєкторної).

Перерахувати всі різні об'єкти з певною властивістю (складністю), наприклад, з певною кількістю особливостей.

Для розв'язання цих задач, потрібно топологічні об'єкти (функції, векторні поля) задавати зручним для підрахунків чином, тобто мати повні інваріанти об'єктів, які розглядаються. Найчастіше для цього використовується певний граф, з деякою додатковою інформацією. При цьому необхідно вказати, яка еквівалентність графів відповідає певній еквівалентності досліджуваних об'єктів, а також розглянути питання, чи кожен такий граф реалізується у вигляді досліджуваного об'єкта (функції або векторного поля). Крім того, потрібно визначити, які саме властивості графа відповідають певним властивостям досліджуваного об'єкта (наприклад, кількості особливостей).

Для розв'язання другої задачі необхідно розв'язати першу. Але зручність підрахунків залежить від властивостей повного інваріанта: яка еквівалентність інваріантів відповідає еквівалентності об'єктів, яка властивість інваріанта відповідає числу особливостей об'єктів тощо.

Спосіб побудови повного інваріанта найчастіше спирається на локальну класифікацію об'єктів, які розглядаються, в околах їх особливостей. Якщо цими об'єктами є функції, то компоненти зв'язності їх ліній рівня задають шарування на многовиді і тоді побудова топологічного інваріанта функцій тісно пов'язана з таким питанням: коли два шарування з особливостями, що задані на многовидах, є топологічно еквівалентними, тобто коли існує гомеоморфізм многовидів, що відображає шари на шари? Під шаруванням з особливостями розуміємо представлення многовида у вигляді об'єднання шарів, що є підмноговидами меншої, фіксованої, розмірності, і точок, які називаються особливостями.

Питання класифікації довільних гладких функцій на поверхнях з точністю до гладкої еквівалентності є важкою ще нерозв'язаною проблемою. Але якщо звузити клас функцій, що розглядаються, то можна отримати не тільки локальну, але і глобальну класифікацію.

Топологічна класифікація функцій Морса (тобто функцій з невиро-дженими особливостями) загального положення на поверхнях була отримана В.В. Шарко¹. Часто для задання функцій Морса загального положення на двовимірних многовидах використовують графи Кронрода-Ріба. Для однозв'язних многовидів розмірності більше ніж п'ять В.В. Шарко дав критерій спряженості функцій Морса в термінах еквівалентності впорядкованих базисних ланцюгових комплексів.

А.Т. Фоменко ввів поняття атома та молекули для класифікації довільних функцій Морса на поверхнях, які, взагалі кажучи, не є функціями загального положення. Існує кілька способів задання атомів критичних шарів. Один з них реалізується f-графами, введеними А.А. Ошемковим³.

Якщо дві функції Морса можна з'єднати в просторі функцій Морса шляхом, то такі функції Морса мають однакове число критичних точок кожного індексу. Дві довільні функції Морса завжди можна з'єднати шляхом в просторі гладких функцій з ізольованими критичними точками. Тому важливо описати топологічні властивості та дати топологічну класифікацію гладких функцій з ізольованими критичними точками. Локальна топологічна класифікація гладких функцій з ізольованими критичними точками на поверхнях була отримана О.О. Пришляком, а для глобальної класифікації він використовував набори списків слів. В.В. Шарко⁵ для глобальної класифікації використовував кольорові спін-графи.

Щоб одержати глобальну топологічну класифікацію гладких функцій з ізольованими критичними точками на поверхнях, в дисертації побудовані fd-графи, які задають атоми критичних шарів в загальному (можливо виродженому) випадку (на відміну від f-графа). Також при класифікації використовувалися графи Кронрода-Ріба (молекули за А.Т. Фоменко).

Якщо розглядати функції з точністю до гладкої еквівалентності, то класів еквівалентності буде не менше ніж класів топологічної еквівалентності. Якщо обмежитись розглядом функцій з простими особливостями, то можна отримати класифікацію таких функцій. Локальна гладка класифікація гладких функцій з простими особливостями була отримана B.І. Арнольдом.

Щоб одержати глобальну гладку класифікацію гладких функцій з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на поверхнях, в дисертації побудовані графи Кронрода-Ріба з додатковою інформацією, яка задає атоми з точністю до гладкої еквівалентності.

Багато авторів проводили дослідження динамічних систем на двовимірних многовидах. С. Смейл виділив клас потоків Морса-Смейла, які мають простий якісний опис. М. Пейксото ввів поняття розрізняючого графа, який є повним топологічним інваріантом, що класифікує потоки Морса-Смейла без граничних циклів (потоки Морса) з точністю до траєкторної еквівалентності. В.В. Шарко та А.А. Ошемков побудували триколірний граф, який є інваріантом для потоків Морса на поверхнях і з яким набагато легше проводити підрахунки.

Із роботи С. Смейла випливає, що потоки Морса на поверхнях -- це в точності градієнтноподібні потоки (тобто потоки, які траєкторно еквівалентні потоку градієнта певної функції Морса в деякій рімановій метриці) без сепаратрис із сідла в сідло. Оскільки для будь-якої функції Морса на поверхні можна так підібрати ріманову метрику на многовиді, що потік градієнта не буде мати сепаратрис із сідла в сідло (буде потоком Морса), то класу функцій Морса на поверхнях відповідає клас потоків Морса на поверхнях. Проте оснащено пошарово еквівалентним функціям Морса в різних метриках можуть відповідати траєкторно нееквівалентні потоки Морса, і навпаки, потік Морса можна різними способами представити у вигляді потоку градієнта певної функції Морса (з точністю до оснащено пошарової еквівалентності).

Актуальним залишалося питання: чи можна додати певну інформацію до потоку Морса на поверхні, щоб побудова функції Морса за потоком Морса з додатковою інформацією була однозначна? В дисертації отримані достатні умови однозначності такої побудови.

Все викладене вище дозволяє зробити висновок про актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації пов'язана з тематикою наукових досліджень, що проводились на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Робота виконана в рамках держбюджетної теми 06БФ038-02 „Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних методів" (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є отримання глобальної топологічної класифікації функцій з ізольованими особливостями на поверхнях, глобальної гладкої класифікації функцій з простими особливостями на поверхнях. Також одним з основних завдань дослідження є отримання умов на векторні поля Морса, при яких побудова функції Морса по полю Морса буде однозначною.

Об'єктами дослідження є функції з ізольованими критичними точками на двовимірних многовидах, функції Морса на двовимірних многовидах, функції з простими особливостями на двовимірних многовидах, векторні поля Морса на двовимірних многовидах.

Предметом дослідження є топологічні властивості та інваріанти вищезгаданих об'єктів.

Методи дослідження, що використовувалися в дисертаційній роботі: метод класифікації функцій за допомогою графів Кронрода-Ріба, представлення функції як сукупності атомів з певними правилами приклейки один до одного, співставлення векторним полям Морса триколірних графів.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, що отримані в дисертації, є новими. Зокрема:

- доведено, що граф Кронрода-Ріба з додатковою інформацією (знаками) задає функцію Морса загального положення на двовимірних многовидах;

- доведено, що побудова фунції Морса за векторним полем Морса з нумерацією сідлових точок однозначна;

- побудовано fd-граф;

- доведено, що fd-граф задає атом критичного рівня гладкої функції з ізольованими критичними точками на двовимірному многовиді;

- отримано повну топологічну класифікацію гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях за допомогою графів Крон-рода-Ріба та fd-графів;

- побудовано оснащений граф Кронрода-Ріба для гладкої функції з простими особливостями на поверхні;

- доведено, що оснащений граф Кронрода-Ріба задає гладку функцію з простими особливостями з точністю до гладкої еквівалентності;

- отримано глобальну гладку класифікацію функцій з простими особливостями на двовимірних многовидах.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи в основному мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані як при роботі з многовидами малих розмірностей, так і в тих областях науки, де виникають функції чи динамічні системи в малих розмірностях. Наприклад, функції Морса та поля Морса-Смейла на поверхнях часто виникають при математичному моделюванні різних природних явищ. Повні інваріанти, що будуються в дисертації для функцій, описують такі властивості цих об'єктів, які не змінюються при топологічних або гладких перетвореннях, наприклад, при виборі нової системи координат або способу вимірювання.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, що містяться в дисертаційній роботі, одержані здобувачем особисто.

В роботі [1], що виконана у співавторстві з науковим керівником, керівникові належить постановка задач та загальне керівництво роботою, дисертанту належить формулювання, доведення і оформлення наукових результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати доповідались на 7-й Міжнародній конференції з геометрії та топології (Черкаси, вересень 2007), VI Міжнародній конференції „Геометрія в Одесі -- 2009" (Одеса, травень 2009), Міжнародній конференції „Геометрия „вцелом", топология и их приложения" (Харків, червень 2009), „Українському математичному конгресі -- 2009" (Київ, серпень 2009).

Крім того, результати, що містяться в дисертації, доповідались на наукових семінарах відділу топології Інституту математики НАН України (під керівництвом члена-кореспондента НАН України, професора В.В. Шарка), наукових семінарах кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (під керівництвом професора О.О. Пришляка), семінарі кафедри геометрії і топології механіко-математичного факультету Одеського національного університету імені І.І. Мечнікова (під керівництвом професора Г. Лейка).

Публікації. Всього за темою дисертації опубліковано сім наукових праць, з них три статті -- у фахових виданнях, що відповідають вимогам ВАК України (це роботи [1-3]), чотири -- у тезах доповідей на конференціях.

В роботі [1], яка опублікована у співавторстві з Пришляком О.О, автору належать теорема 1, лема 1, теорема 2, алгоритми та підрахунки.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 42 найменування (на 5 сторінках). Повний обсяг дисертації становить 107 сторінок.

Подяки. Щиро дякую науковому керівникові професору О.О. При-шляку за постановку задач, турботу та допомогу при написанні дисертації, професору В.В. Шарку за турботу та внесення важливих зауважень до роботи, професору В.В. Кириченку та іншим співробітникам кафедри геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка, що створили сприятливі умови, для написання дисертації, С.І. Максимен-ку, Е.А. Полуляху, І.Ю. Власенку, В.В. Любашенку та іншим науковцям, що приймали участь у роботі семінару з топології в Інституті математики НАН України та внесли ряд цінних зауважень під час моїх доповідей.

Основний зміст роботи

У вступі висвітлюється стан наукових досліджень, споріднених з проведеними в дисертації, обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета досліджень, дається перелік найголовніших результатів, що одержані в дисертації, та зазначається їх практичне значення.

Перший розділ носить допоміжний та систематизуючий характер і містить означення понять та твердження, які використовувалися в дисертаційній роботі.

Так, в ньому сформульовано основні відомості з теорії поверхонь (підрозділ 1.1), теорії Морса (підрозділ 1.3), теорії векторних полів (підрозділ 1.4). Підрозділ 1.2 присвячено видам еквівалентності гладких функцій.

Означення 1.2. Дві гладкі функції f та g на гладкому замкненому многовиді M називаються топологiчно (гладко) еквiвалентними, якщо існує гомеоморфiзм (дифеоморфiзм) h многовиду на себе та гомеоморфiзм (дифеоморфізм) l числової прямої на себе, що зберігає орієнтацію, такі що: l о f = g о h.

У підрозділах 1.5 та 1.6 дається локальна класифікація функцій з ізольованими особливостями з точністю до топологічної еквівалентності, та функцій з простими особливостями з точністю до гладкої еквівалентності.

Метою досліджень у другому розділі є побудова повних інваріантів для функцій і векторних полів. У цьому розділі розглядаються способи за-дання функцій та векторних полів на поверхнях за допомогою графів. Для задання функцій Морса на неорієнтовних поверхнях граф Кронрода-Ріба оснащено додатковою інформацією у вигляді знаків. Для задання атомів критичних шарів гладких функцій на поверхнях, що містять ізольовані критичні точки, побудовано fd-граф, що є певним узагальненням f-графу, який використовується для задання атомів в невиродженому випадку.

Розглянуто двовимірний гладкий замкнений многовид M та функцію f на ньому. Після стягнення кожного шару функції f в точку (тобто введення такого відношення еквівалентності на многовиді, що x₁ ~ x₂ тоді і тільки тоді, коли x₁ та x₂ належать одному шару) отримано фактор-простір M/~. Для гладких функції з ізольованими критичними точками він є топологічним графом.

Означення 2.1. Графом Кронрода-Ріба гладкої функції з ізольованими критичними точками на замкненій поверхні називається фактор-простір M/~ з ребрами, орієнтованими у відповідності до напрямку зростання функції, та з індукованою топологією, x₁ ~ x₂, якщо x₁ та x₂ належать одному шару. Графи Кронрода-Ріба розглядаються з точністю до ізоморфізму орієнтованих графів.

Означення 2.3. Дві гладкі функції з ізольованими особливостями на поверхні називаються оснащено пошарово еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм поверхні на себе, який переводить шари одній функції в шари іншої зі збереженням напрямку зростання функції.

Для однозначного задання функції Морса з точністю до оснащено пошарової еквівалентності на довільній, можливо неорієнтовній поверхні, граф Кронрода-Ріба оснащений додатковою інформацією. Для цього задано довільним чином на всіх трубках (тобто бічних поверхнях циліндрів, які складаються з регулярних шарів функції) орієнтацію. Орієнтацію на всіх сідлових атомах, які не є неорієнтовними сідловими атомами, задано наступним чином. Межа таких сідлових атомів складається з трьох компонент зв'язності (кіл). Дві з них рівноправні, бо значення функції на них одночасно більші або менші ніж значення функції в сідловій точці, а третя відрізняється від них. Орієнтацію атома задано згідно з орієнтацією трубки, що приклеєна до третьої компоненти зв'язності межі атома, що відрізняється від інших. А поруч із вершинами графа Кронрода-Ріба, які відповідають таким сідловим атомам, розставлено по два знаки, які вказують на те, чи узгоджена орієнтація двох компонент зв'язності межі атома з орієнтацією трубок, які приклеєні до атома по цим колам.

Означення 2.8. Графом Кронрода-Ріба зі знаками функції Морса загального положення називається граф Кронрода-Ріба цієї функції, на кінцях тих його ребер, які входять в вершини валентності три (у випадку, коли два ребра входить, і одне виходить з цих вершин), і тих ребер, які виходять з вершин валентності три (у випадку, коли два ребра виходять, і одне входить в ці вершини), розставлені знаки за сформульованим вище правилом. Два графи Кронрода-Ріба зі знаками називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як орієнтовані графи, і ізоморфізм переводить набір знаків в еквівалентний. Набори вважаються еквівалентними, якщо від одного до іншого можна перейти за допомогою скінченного числа зміни знаків на обох кінцях довільного ребра на протилежні.

У випадку топологічної еквівалентності функцій додатково на вершинах графа Кронрода-Ріба задано лінійний порядок (нумерацію), що узгоджений зі значеннями функції у відповідних точках. У цьому випадку ізоморфізм повинен додатково зберігати нумерацію.

Теорема 2.2. Дві функції Морса загального положення на замкненому двовимірному многовиді оснащено пошарово еквiвалентнi тоді i тільки тоді, коли відповідні їм графи Кронрода-Ріба зі знаками ізоморфні. Дві функції Морса загального положення на поверхні топологічно еквівалентні тоді і лише тоді, коли відповідні їм графи Кронрода-Ріба з нумерацією вершин і знаками ізоморфні.

Також у другому розділі побудовано fd-граф для задання атомів.

Розглянуті гладкі функції з ізольованими критичними точками.

Означення 2.12. fd-Графом називається граф, вершини якого мають валентність 4 і містять мітку-знак, а ребра орієнтовані і розфарбовані в два кольори (внутрішні і граничні). Причому, в кожну вершину входить і з кожної вершини виходить точно по одному ребру кожного кольору, і внутрішні ребра утворюють орієнтовані цикли довжини kj, j = 1,..., n, де n -- кількість критичних точок шара, в околах яких функція еквівалентна Re(x+iy)^kj, j = 1,..., n. Граничним колам від'ємних кілець f-атома відповідають цикли граничних ребер fd-графа. Граничним колам додатних кілець f-атома відповідають змішані цикли, де внутрішні і граничні ребра чергуються, причому знак вершини визначає по ребру з якою орієнтацією слід продовжувати обхід (якщо плюс, то напрямок наступного ребра повинен співпадати з напрямком попереднього, якщо ж мінус -- то навпаки). Кожне ребро належить точно одному з циклів, що відповідають граничним колам додатних кілець. Еквівалентність fd-графів задається ізоморфізмом, який зберігає орієнтації ребер і мітки вершин, а також операцією зміни напрямків усіх ребер будь-якого однокольорового циклу з одночасною заміною знаків інцидентних вершин на протилежні.

Теорема 2.3. Два f-атоми гладких функцій з ізольованими критичними точками на поверхнях еквівалентні тоді і лише тоді, коли відповідні fd-графи еквівалентні.

Об'єктом дослідження у третьому розділі є функції Морса та векторні поля Морса-Смейла без замкнених траєкторій на двовимірних многовидах. Гладке векторне поле на многовиді породжує гладкий потік (гладку динамічну систему з неперервним часом) і навпаки, тому можна ототожнювати ці поняття, коли йдеться про їх траєкторії, топологічну еквівалентність тощо.

Кожна ріманова метрика на многовиді задає відповідність між функціями та векторними полями. В даному розділі розглянуто поля з додатковою інформацією, яка дозволяє однозначно відновити функцію за полем, без явного задання метрики.

Для отримання однозначності в побудові функції за потоком розглянуто потоки із занумерованими сідловими точками (значення відповідної функції в цих сідлових точках будуть лінійно впорядковані згідно з нумерацією).

Теорема 3.2. Нехай M --двовимірний гладкий замкнений зв'язний многовид. Нехай на ньому заданий потік Морса Ф із лінійним порядком на множині сідлових точок. Тоді існує і єдина (з точністю до оснащено пошарової еквівалентності) функція Морса f : M > R така, що її потік градієнта grad f траєкторно еквівалентний Ф в певній рімановій метриці, та значення f в сідлових точках впорядковані згідно з лінійним порядком.

Зауваження 3.2. Потоку з нумерацією відповідає точно одна функція, але різним нумераціям сідлових точок потоку можуть відповідати оснащено пошарово еквівалентні функції Морса. Більше того, одній функції можуть відповідати кілька траєкторно нееквівалентних потоків з нумерацією.

У четвертому розділі розглянуто гладкі функції на гладкій замкненій поверхні з ізольованими критичними точками (можливо, виродженими). Застосовано метод класифікації за допомогою графа Кронрода-Ріба, атомів та молекул, з використанням при цьому fd-графа для задання атомів.

Відомо, що для будь-якої ізольованої сідлової критичної точки гладкої функції на гладкій поверхні існує окіл, в якому функція пошарово еквівалентна функції f (x,y) = R(x + iy)^k для деякого натурального k. При k=1 від критичної точки можна позбутися. При k=2 це буде морсівське сідло x² - у².

Означення 4.2. Сідловим атомом називається пара (P, К), де P -- зв'язна компактна двовимірна поверхня з краєм, а K --зв'язний граф в ній такий, що його вершини мають парну валентність більшу ніж два, кожна компонента зв'язності множини P\K гомеоморфна кільцю S х (0,1] а множину цих кілець можна розбити на від'ємні та додатні так, щоб до кожного ребра графа K було суміжним точно одне додатне і точно одне від'ємне кільце. f-Атомом називається атом, в якому зафіксовано розбиття кілець на від'ємні та додатні.

Атоми розглядаються з точністю до гомеоморфізму поверхонь, який граф переводить в граф. f-Атоми розглядаються з точністю до гомеоморфізму, який граф переводить в граф, а додатні кільця переводить у додатні кільця.

Молекулою функції f називається граф, отриманий з поверхні стягненням шарів функції в точку, в вершинах якого розташовані атоми відповідних критичних шарів. Причому вказано взаємно однозначна відповідність між граничними колами атома і ребрами графа, що інцидентні вершині, в яку розміщено атом. f-Молекулою функції f називається молекула, ребра якої орієнтовано згідно з напрямком зростання функції f.

Якщо поверхня орієнтовна, то атоми-вершини молекули природно вважати орієнтованими. Якщо поверхня неорієнтовна, то атоми розглядаються без врахування орієнтації. Молекули розглядаються з точністю до гомеоморфізму графа, який продовжується на атоми. Для f-молекул цей гомеоморфізм повинен додатково зберігати напрямки ребер.

Теорема 4.1. Гладкі функції з ізольованими критичними точками на орієнтовній поверхні пошарово еквівалентні зі збереженням орієнтації тоді і тільки тоді, коли відповідні їм молекули еквівалентні. Гладкі функції з ізольованими критичними точками на орієнтовній поверхні оснащено пошарово еквівалентні зі збереженням орієнтації тоді і тільки тоді, коли відповідні їм f-молекули еквівалентні.

Для класифікації функцій з точністю до топологічної еквівалентності розглянуто f-молекули з нумерацією вершин. Крім того, у випадку нео-рієнтовної поверхні додатково задана інформація, яка потрібна для однозначної приклейки циліндра, що відповідає ребру молекули, до граничного кола атома. Але задати набір знаків так само, як в означенні графа Кронрода-Ріба зі знаками функції Морса неможливо, тому що вершини молекули в даному випадку можуть мати валентність більшу ніж три.

Правило задання знаків. Довільним чином на всіх трубках (тобто бічних поверхнях циліндрів, які складаються з регулярних шарів функції) задано орієнтацію. Орієнтація задана довільним чином на всіх сідлових атомах, які не є неорієнтовними сідловими атомами. І поруч із кінцями ребер молекули, які відповідають граничним колам таких сідлових атомів, розставлено по знаку, які вказують на те, чи узгоджена орієнтація відповідної компоненти зв'язності межі атома з орієнтацією трубки, яка приклеєна до атома по цьому колу. Зміна орієнтації трубки означає одночасну заміну знаків на обох кінцях відповідного ребра на протилежні. При цьому, якщо на одному з кінців ребра знака не має (тобто ребро інциден-тне вершиині, що відповідає локальному екстремуму або неорієнтовному атому), то можна замінити знак на іншому кінці на довільний. Зміна орієнтації сідлового атома означає одночасну заміну знаків на тих кінцях ребер, які інцидентні відповідній вершині.

Означення 4.3. f-Молекулою з нумерацією вершин та зі знаками гладкої функції з ізольованими критичними точками називається f-мо-лекула, вершини якої занумеровані згідно зі значеннями функції у відповідних точках, і яка оснащена знаками у відповідності до правила задання знаків.

Означення 4.4. Дві f-молекули з нумерацією вершин та зі знаками називаються ізоморфними, якщо існує їх гомеоморфізм, який продовжується на атоми та зберігає нумерацію вершин і еквівалентність наборів знаків. Набори знаків називаються еквівалентними, якщо один набір можна одержати з іншого за допомогою скінченного числа змін знаків, які відповідають змінам орієнтацій трубок або сідлових атомів.

Теорема 4.2. Гладкі функції з ізольованими критичними точками на поверхні топологічно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли відповідні їм f-молекули з нумерацією вершин та зі знаками ізоморфні.

У п'ятому розділі розглянуто гладкі функції з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, і дана їх глобальна класифікація з точністю до гладкої еквівалентності. Для цього побудований оснащений граф Кронрода-Ріба. функція морс ізольований поверхня

Відомо, що всі різні (з точністю до правої еквівалентності) прості ростки голоморфних функцій від двох змінних в околі критичної точки (0, 0) містяться в такому списку: A_±k : f (x,y) = ±x^k+1 +y², k > 0; D_±k : f (x,y)= ±x^k-1 + y² * x, k > 3; E₆ : f (x,y)= x³ + y⁴; E₇ : f (x,y) = x³ + x* y³; E₈ : f (x,y) = x³ + y⁵.

Всі прості ростки топологічно еквівалентні одній із функцій Re(x + iy)^m, де m < 4. Отже, вершини на графі Кронрода-Ріба, що відповідають простим особливостям, можуть мати степінь від 1 до 4. Граничні кола атомів, взагалі кажучи, не рівноправні, тому на кінцях тих ребер графа Кронрода-Ріба, що відповідають циліндрам, які приклеюються до певної компоненти межі атома розставлені мітки (стрілки). Для визначення цих компонент проведені сепаратриси, що з'єднують критичну точку з межею атома. Мітки розставлені на ребрах, якщо відповідна компонента містить лише одну точку перетину згаданих вище сепаратрис з межею, причому ця точка лежить на від'ємній компоненті межі (на якій функція приймає значення, менше ніж значення в критичній точці) для A_2k, E₆, A_-(2k+1) або на додатній компоненті для --A_2k, --E₆, -- A_-(2k+1), або в області y< --x^2/3 для E₇, або в області x< --y^k+1/2 для D_2k+3, або в областях |x| >y^1/k для D_-(2k+2), де k > 0. Для D_2k+2, E₈, A_-1 мітки не потрібні із міркувань симетрії. Цієї інформації достатньо для функцій топологічно еквівалентних f(x,y)=Re(x+iy)^m, m<3. Але при m=3 існує сім топологічно нееквівалентних атомів, а варіантів графів Кронрода-Ріба лише шість: три варіанти для вершини валентності чотири, два варіанти для вершини валентності три і вершина валентності два. В останньому випадку існують два різних атоми з точністю до топологічної еквівалентності, і три різних атоми з точністю до гладкої еквівалентності. Ці три випадки закодовано мітками на ребрах наступним чином. Межа околу такої критичної точки складається з дванадцяти частин, на шести з яких функція стала, а на інших шести -- функція не є сталою, і серед них є дві частини, що відрізняються від решти чотирьох. Атом утворюється з околу попар-ною склейкою частин межі, на яких функція не є стала. Якщо при цьому склеюються протилежні частини, то стрілки не розставлені. Якщо склеюється пара протилежних частин, що відрізняється від інших чотирьох, а інші склеюються через одну, то стрілки розставлені на обох ребрах. У випадку склейки двох протилежних частин з чотирьох однакових, а інших -- через одну, стрілка розставлена лише на ребрі, що входить у відповідну вершину. Крім того, при m = 3 відповідність між граничними колами атома та ребрами не завжди можна задати розстановкою стрілок, описаною вище. У атома з двома від'ємними і двома додатними компонентами межі вони нерівноправні, але можливий варіант, коли на ребрах не буде стрілок. Тому в цьому випадку на ребрах, що відповідають компонентам з однією точкою перетину сепаратрис з межею, розставлено мітки (подвійні стрілки).

Означення 5.1. Оснащеним графом Кронрода-Ріба гладкої функції з простими особливостями на замкненому двовимірному многовиді називається граф Кронрода-Ріба зі стрілками на кінцях ребер, та вершинами трьох типів (коло, квадрат, трикутник, що відповідають трьом серіям особливостей A_k, D_k, E_k), у яких проставлені к. Для випадку неорієнтовної поверхні також на кінцях ребер інцидентних вершинам, які відповідають орієнтовним сідловим атомам, задаються знаки, які вказують, чи узгоджена орієнтація атома з орієнтацією циліндрів.

Означення 5.2. Оснащені графи Кронрода-Ріба називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм графів, який зберігає порядок на вершинах, форму вершин, числа в них та мітки на кінцях ребер. У неорієнтовному випадку додатково вимагається еквівалентність наборів знаків (що задається заміною знаків на обох кінцях ребра на протилежні та заміною знаків на кінцях ребер, інцидентних одній вершині, на протилежні).

Теорема 5.1. Дві гладкі функції з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на замкненій поверхні гладко еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їх оснащені графи Кронрода-Ріба ізоморфні.

Висновки

В дисертаційній роботі вивчаються питання, що пов'язані з топологічними властивостями функцій на двовимірних многовидах. Одержано такі результати:

- граф Кронрода-Ріба оснащено додатковою інформацією, що задає функцію Морса загального положення на двовимірних многовидах;

- доведено, що кожному векторному полю Морса з нумерацією сідло-вих точок відповідає єдина функція Морса;

- побудовано fd-граф;

- доведено, що необхідною і достатньою умовою еквівалентності атомів критичного рівня гладкої функції з ізольованими критичними точками на двовимірному многовиді є еквівалентність відповідних fd-графів;

- отримано топологічну класифікацію гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях за допомогою графів Кронрода-Ріба та fd-графів;

- побудовано оснащений граф Кронрода-Ріба для гладкої функції з простими особливостями на поверхні;

- доведено, що оснащений граф Кронрода-Ріба задає гладку функцію з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, з точністю до гладкої еквівалентності.

Отже, результати дисертації повністю розв'язують проблему глобальної гладкої класифікації функцій з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на двовимірних многовидах.

Список опублікованих праць автора за темою дисертації

1. Льічак Д.П. Геометрия функций Морса на ориентируемьгх поверхно-стях / Д.П. Льічак, А.О.Пришляк // Проблеми топології та суміжні питання : зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2006. -- Т. 3, № 3. -- С. 213-234.

2. Льічак Д.П. Послойная зквивалентность гладких функций на по-верхностях с изолированньми критическими точками / Д.П. Льчак // Геометрія, топологія та їх застосування : зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2009. -- Т. 6, № 2. -- С. 426-439.

3. Личак Д.П. Глобальна класифікація функцій з простими особливостями на поверхнях / Д.П.Личак // Вісник Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Серія фізико-математичні науки. -- 2009. -- № 2. -- С. 28-31.

4. Льічак Д.П. Функции и потоки Морса на ориентируемьіх поверх-ностях / Д.П. Льічак //7 міжнар. конф. по геометрії та топології, Черкаси, 10-15 вересня 2007 р. : тези доповідей. -- Черкаси, 2007, -- С. 45-46.

5. Льічак Д.П. Гладкая зквивалентность функций с простими особен-ностями на поверхностях / Д.П. Льічак // Геометрія в Одесі -- 2009 : VI міжнар. конф., Одеса, 25-30 травня 2009 р. : тези доповідей. --Одеса, 2009, -- С. 61.

6. Льічак Д.П. Кодирование особенностей гладких функций на поверхностях / Д.П. Льічак // Геометрия в „целом", топология и их при-ложения : междунар. конф., Харьков, 22-27 июня 2009 г. : тезисьі докл.--Харьков, 2009, -- С. 25.

7. Личак Д.П. Класифікація гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях : (тези доповідей міжнародної конференції „Український математичний конгрес -- 2009") [Електронний ресурс] / Д.П. Личак //.

Анотації

Личак Д.П. Функції на двовимірних многовидах. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 -- геометрія та топологія. Інститут математики Національної академії наук України, Київ, 2010.

В дисертаційній роботі розглядаються функції на поверхнях.

Доведено, що граф Кронрода-Ріба з додатковою інформацією (знаками) задає функцію Морса загального положення на двовимірному многовиді. Доведено, що кожному векторному полю Морса з нумерацією сідло-вих точок відповідає єдина функція Морса.

Побудовано fd-граф і доведено, що він є повним топологічним інваріантом атомів критичних шарів гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях. Проведено повну топологічну класифікацію гладких функцій з ізольованими особливостями на поверхнях за допомогою графів Кронрода-Ріба та fd-графів.

Побудовано оснащений граф Кронрода-Ріба для гладкої функції з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на поверхні і доведено, що він задає таку функцію з точністю до гладкої еквівалентності. Проведено глобальну гладку класифікацію функцій з простими особливостями, які належать різним лініям рівня, на двовимірних многовидах.

Ключові слова: функції Морса, функції з ізольованими особливостями, функції з простими особливостями, критична точка, граф Кронрода-Ріба, топологічна еквівалентність функцій, гладка еквівалентність функцій, потік Морса-Смейла.

Лычак Д.П. Функции на двумерных многообразиях. -- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 -- геометрия и топология. Институт математики Национальной академии наук Украины, Киев, 2010.

В диссертационной работе построен полный топологический инвариант гладких функций с изолированными критическими точками на двумерных многообразиях. Получена глобальная классификация таких функций с точностью до топологической эквивалентности. Построен инвариант для гладких функций с простыми (за В.И. Арнольдом) особенностями, которые принадлежат разным линиям уровня, на поверхностях и при помощи его получена глобальная гладкая классификация таких функций.

Для построения инварианта для функций Морса общего положения на неориентируемых поверхностях граф Кронрода-Риба оснащён знаками на концах рёбер, каждый из которых определяет один из двух способов приклейки трубки, состоящей из регулярных компонент связности линий уровня функции (слоёв), к окрестности критического слоя функции (атому). Доказано, что граф Кронрода-Риба с дополнительной информацией (знаками) задает функцию Морса общего положения на двумерных многообразиях с точностью до оснащённо послойной эквивалентности. Для топологической эквивалентности рассмотрены графы Кронрода-Риба со знаками и с нумерацией вершин. Доказано, что такие графы задают функции с точностью до топологической эквивалентности.

В работе также доказано, что каждому векторному полю Морса с нумерацией седловых точек соответствует единственная (с точностью до оснащённо послойной эквивалентности) функция Морса, поле градиента которой в некоторой метрике будет траекторно эквивалентно начальному полю, а значения функции в соответствующих седловых точках будут упорядочены согласно нумерации. Получен алгоритм построения графа Кронрода-Риба со знаками (а значит и функции Морса с точностью до оснащённо послойной эквивалентности) по полю Морса. Для задания полей Морса использовались трёхцветные графы. Подсчитано количество траекторно неэквивалентных полей Морса и оснащённо послойно неэквивалентных функций Морса для малых значений количества седловых точек, приведены примеры.

Для гладких функций с изолированными критическими точками граф Кронрода-Риба не является полным инвариантом, так как он не задаёт однозначно критические атомы. В работе для задания атомов построен fd-граф, вершины которого имеют степень 4, рёбра ориентированы и раскрашены в два цвета. В каждую вершину входит и из каждой вершины выходит одно ребро каждого цвета. fd-Граф представляет собой несколько циклов (столько, сколько критических точек в атоме) из рёбер одного цвета длины k_j ,где 1--k_j -- индекс Пуанкаре соответствующей критической точки атома. Циклы из рёбер другого цвета соответствуют компонентам границы атома, в которых значение функции меньше чем значение функции в критической точке. В вершинах проставлены знаки, определяющие циклы рёбер с чередующимся цветом, которые соответствуют тем компонентам границы атома, в которых значение функции больше чем значение функции в критической точке. fd-Граф является полным топологическим инвариантом для атомов критических слоёв функций с изолированными критическими точками на двумерных многообразиях. В частности, fd-граф задаёт гладкую функцию с изолированными критическими точками и точно одним седловым уровнем с точностью до оснащённо послойной или топологической эквивалентности (при этом седловых точек может быть больше одной). Подсчитано количество таких функций с одной седловой точкой индекса Пуанкаре --2 и количество функций с двумя седловыми критическими точками: одной индекса Пуанкаре --2, а другой индекса Пуанкаре -- 1, то есть невырожденной критической точкой. Приведены соответствующие fd-графы и примеры графов Кронрода-Риба. Получена полная топологическая классификация гладких функций с изолированными особенностями на поверхностях при помощи графов Кронрода-Риба и fd-графов.

Рассмотрены гладкие функции с простыми особенностями, которые принадлежат разным линиям уровня, на двумерных многообразиях с точностью до гладкой эквивалентности. Построен оснащённый граф Кронрода-Риба для таких функций. Поскольку все функции с простыми особенностями, которые принадлежат разным линиям уровня, на поверхностях имеют критические точки индекса Пуанкаре не меньше чем -- 2, то все вершины графа Кронрода-Риба таких функций имеют валентность не большую чем четыре. Для однозначного задания функции вершины графа дополнительно раскрашены в три цвета (поскольку в окрестности простой особенности с точностью до гладкой эквивалентности существуют три серии ростков гладких функций), в них проставлены числа, на единицу меньшие чем коразмерность соответствующих критических точек. И рёбра графа оснащены стрелками, для однозначности приклейки трубок (боковых поверхностей цилиндров, которые соответствуют рёбрам графа) к атомам. Доказано, что оснащённый граф Кронрода-Риба задает гладкую функцию с простыми особенностями, которые принадлежат разным линиям уровня, с точностью до гладкой эквивалентности. Получена глобальная гладкая классификация функций с простыми особенностями, которые принадлежат разным линиям уровня, на двумерных многообразиях. Подсчитано количество гладко неэквивалентных гладких функций на поверхностях с одной критической точкой, которая не является локальным экстремумом, и коразмерности всех критических точек которых не больше чем 2.

Ключевые слова: функции Морса, функции с изолированными особенностями, функции с простыми особенностями, критическая точка, граф Кронрода-Риба, топологическая эквивалентность функций, гладкая эквивалентность функций, поток Морса-Смейла.

Lychak D.P. Functions on two-dimensional manifolds. -- Manuscript.

Thesis for degree of candidate of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.04 -- geometry and topology. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2010.

Functions on surfaces are considered in thesis.

It is proved that Kronrod-Reeb graph with the additional information (signs) determines a Morse function of a general position on a two-dimensional manifold. It is proved that every Morse vector field with the numeration of saddle points corresponds to a unique Morse function.

An fd-graph is constructed. It is proved that the fd-graph determines the atom of a critical level of a smooth function with isolated critical points on a two-dimensional manifold. A complete topological classification of smooth functions with isolated singularities on surfaces is obtained.

An equipped Kronrod-Reeb graph is constructed for a smooth function with simple singularities, which belong to the different level lines. It is proved that it determines a smooth function with simple singularities, which belong to the different level lines, up to a smooth equivalence. A global smooth classification of such functions is obtained.

Key words: Morse functions, functions with isolated singularities, functions with simple singularities, critical point, Kronrod-Reeb graph, topological equivalence of functions, smooth equivalence of functions, Morse-Smale flow.

Размещено на Allbest.ru

...