Математичне моделювання релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам’яті

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національна металургійна академія України

УДК 536.2:621.078

01.05.02 Математичне моделювання та обчислювальні методи

На правах рукопису

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЕЛАКСАЦІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ З УРАХУВАННЯМ ТЕПЛОВОЇ ПАМ'ЯТІ

Босенко Тімур Муртазовіч

Дніпропетровськ - 2011



Дисертація є рукопис

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України, м. Дніпропетровськ

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Веселовський Володимир Борисович Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, доцент кафедри аерогідродинаміки та енергомасопереносу.

Офіційні опоненти: д. ф.-м. н., професор Капустян Володимир Омелянович, Київський національний технічний університет України НТУУ-КПІ, завідувач кафедри математичного моделювання економічних систем (м. Київ).

к. ф.-м. н., доцент Яковенко Вадим Олександрович, Академія митної служби України, доцент кафедри інформаційних систем та технологій (м. Дніпропетровськ).

Захист відбудеться годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.084.01 при Національній металургійній академії України за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4. З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Національної металургійної академії за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 4, Національна металургійна академія України, вченому секретареві спеціалізованої вченої ради Д 08.084.01.

Автореферат розісланий 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Гнатушенко



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження та обґрунтування математичних моделей теплопереносу при взаємодії інтенсивних теплових потоків з поверхневим шаром матеріалу, а також удосконалення методів їх чисельного аналізу є важливими як в теоретичному, так і в практичному аспектах. Висока ступінь концентрації енергії, що досягається при інтенсивному впливі на матеріал, створює унікальні можливості дослідження поведінки матеріалів в екстремальних умовах. Ці умови створюють швидкоплинні за часом, локально-нерівноважні процеси - релаксаційні ефекти. Необхідним елементом аналізу таких інтенсивних процесів є аналітичне моделювання релаксаційних теплових процесів. Побудова розв'язків крайових задач за допомогою аналітичних методів зазвичай приводить до появи складних функціональних рядів, які повільно збігаються. Зокрема, їх чисельний аналіз на початковому етапі теплового впливу, у більшості випадків, потребує залучення сотень, а інколи і тисяч членів ряду. Такі формули малопридатні для інженерного застосування. В зв'язку з чим актуальність розробки нових аналітичних (наближених) методів розв'язання крайових задах для процесів теплопереносу з урахуванням релаксаційних ефектів не викликає сумнівів.

Суттєвим розвитком у нерівноважній термодинаміці високоінтенсивних процесів була побудова математичних моделей, які враховують структуру та взаємозв'язок середовища з процесами теплової релаксації. Вперше вони були запропоновані у роботах Я.С. Підстригача, Р.М. Кушніра, В.О. Міщенка, В.С. Поповича. Задачі теплопровідності, які описувалися класичними та гіперболічними рівняннями теплопровідності розглянуто у роботах В.О. Бубнова, В.Б. Веселовського, О.М. Карташова, М.І. Нікітенка, О.А. Рядно, О.Н. Шабловського, J.N. David, M. Pakdemirli та ін. Суттєвим в таких задачах є фактор передісторії процесу теплопереносу під час екстремального впливу, оскільки він несе інформацію про теплову пам'ять у твердих матеріалах. Проте врахування ефектів теплової пам'яті за допомогою лінійних гіперболічних рівнянь чи інтегро-диференціальних рівнянь (ІДР), призводить до появи сингулярних ефектів. Таким чином, ще одним пріоритетним та важливим напрямом у вивченні теплових процесів є розробка математичних моделей релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням ефектів теплової пам'яті. Отже, актуальність теми дисертаційної роботи визначається як практичними вимогами щодо удосконалення математичних моделей опису релаксаційних процесів теплопровідності, так і вимогами теорії, що потребує розвитку існуючих методів математичного моделювання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася на кафедрі прикладної газової динаміки та тепломасообміну Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара у відповідності з планом кафедри: математичні методи розв'язання задач гідродинаміки і тепломасообміну (2004-2006 р.), моделювання гідродинамічних та теплофізичних процесів в енергетичних системах (2007-2009 р.) та за індивідуальним планом підготовки аспіранта.

Мета роботи і завдання дослідження. Дисертаційна робота ставить за мету розробити математичну модель релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті та дослідити проблему розв'язання задач теплопереносу при екстремальному тепловому впливі. Провести якісний аналіз виникнення розривно-сингулярних релаксаційних температурних полів (РТП) у матеріалі, обґрунтувати процедури операційного числення для розв'язання прикладних задач теплопровідності.

Основними задачами дослідження є:

Побудова математичної моделі процесу теплопровідності з урахуванням кінцевої швидкості розповсюдження тепла в матеріалі.

Розробка наближених методів розв'язання задач теплопровідності з урахуванням релаксаційних ефектів і передісторії теплового впливу - теплової пам'яті. релаксаційний теплопровідність математичний розривний

Дослідження релаксаційних функцій при екстремальному тепловому впливі на матеріал та надання практичних рекомендацій щодо визначення меж термостійкості матеріалу.

Об'єктом дослідження є релаксаційні процеси теплопровідності.

Предметом дослідження є розробка математичних моделей, що враховують теплову пам'ять матеріалу контактів комутаційного пристрою в умовах екстремального теплового впливу.

Методи дослідження. Для розв'язання поставлених задач дисертації були залучені наближені аналітичні методи операційного числення, теорія інтегро-диференціальних рівнянь, теорія тепломасопереносу та термодинамічні основи нерівноважних процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

Вперше розроблено математичну модель релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті з використанням інтегро-диференціальних рівнянь з ядром інтегрування у вигляді функцій релаксації теплового потоку і внутрішньої енергії.

Модифіковано структурно-асимптотичний метод операційного числення, що дозволяє виділяти компоненти релаксаційних теплових збурень, подавати розв'язки у вигляді суперпозиції компонент впливу, отримувати аналітичні розв'язки у діапазоні часу релаксації процесу. Отримано нові аналітичні розв'язки для одношарових і шарових матеріалів, в яких джерела теплового впливу виражені окремими структурами, що дозволяє виявляти вклад кожного на формування релаксаційних збурень в шарі матеріалу.

Ідентифіковано релаксаційні функції за умов екстремального теплового впливу на матеріал. Це дозволяє проводити оцінку релаксаційного температурного поля, визначати межі термостійкості матеріалу.

Достовірність та обґрунтованість отриманих у дисертаційній роботі результатів забезпечена коректністю математичної постановки задачі в межах прийнятих фізичних припущень та порівняльним аналізом отриманих розрахунків з відомими теоретичними результатами.

Наукове значення роботи. Розролено математичну модель релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті. Запропоновано модифікацію методу операційного числення для розв'язання ІДР теплопровідності; розроблено уніфіковану схему застосування структурного методу визначення чинників, що впливають на зміну РТП у шарових матеріалах; ідентифіковано релаксаційні функції теплової пам'яті при екстремальному теплопереносі та наведено оцінки меж термостійкості матеріалів.

Практичне значення отриманих результатів. Результати, отримані в дисертаційній роботі, дозволяють підвищити ефективність математичного моделювання релаксаційних процесів при екстремальному впливі на матеріали шляхом розробки відповідних термодинамічних моделей. Вирішено актуальні задачі моделювання теплових процесів нерівноважної термодинаміки та високошвидкісних теплових процесів. Алгоритми аналітичного розв'язання задач були реалізовані та застосовані в навчальному процесі Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара. Запропоновані математичні моделі та отримані для них структурні розв'язки використані та впроваджені в підприємствах ДФ ВАТ «Укртелеком» та ТОВ «Фрегат ІСП», дозволивши удосконалити методи розрахунку товщини термозахистних шарів комутаційних пристроїв, що підтверджується відповідними актами впровадження.

Особистий внесок здобувача. Математичні моделі релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті, наближені аналітичні розв'язки відповідних початково-крайових умов, алгоритми розв'язання задач нестаціонарної теплопровідності, та практичні рекомендації щодо методів розрахунку товщини термозахистних контактних шарів отримані автором особисто. При використанні теоретичних результатів, результатів числових, лабораторних та промислових експериментів інших авторів зроблено посилання на відповідні джерела інформації.

Особистий внесок здобувача в опублікованих у співавторстві роботах. Серед робіт, які опубліковано у співавторстві, автору належить: в роботах [1], [2], [4], [19], [21] визначено математичні моделі релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті; в роботах [3], [8], [13], [15]-[17] побудовано модифікований структурно-асимптотичний метод операційного числення задач теплопровідності; у роботі [11] ідентифіковано функції релаксації в умовах екстремального теплового впливу.

Апробація. Результати роботи були представлені на наступних конференціях: Науково-технічній конференції «Інформаційні технології в металургії та машинобудуванні» (м. Дніпропетровськ, 2010 р.); Науковому семінарі «Моделювання та оптимізація систем з неповними даними» Київського національного університету імені Т.Г. Шевченка (м. Київ, 20 травня 2009р.); Всеукраїнській науково-технічній конференції «Проблеми енергозбереження України та шляхи їх розв'язання» (м. Харків, 2010 р.); Міжвузівському науковому семінарі, Херсонського національного технічного університету (20 червня, 2009р., Херсон. Під керівництвом д. фіз.-мат. наук Хомченка А.Н.); 6-му Мінському міжнародному форумі з тепломасообміну (м. Мінськ, 2008 р.); X Міжнародній конференції з математичного моделювання МКММ_2009 (м. Херсон, 2009р.); Міжнародній конференції «Комп'ютерна математика в освіті та наукових дослідженнях» (КМ_2007, Херсон); VIII Міжнародній науковій конференції (м. Херсон, 2006р.); XIV, XV Міжнародній конференції «Теплотехніка і енергетика в металургії» (м. Дніпропетровськ, 2008р.); V Міжнародній конференції «Проблеми промислової теплотехніки» (м. Київ, 2007р.); Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2006 р.); Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН Україні B.I. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища i міцності конструкцій» (м. Дніпропетровськ, 2007р.); Міжнародній науковій конференції «Математичні проблеми технічної механіки - 2007» (м. Дніпродзержинськ); 10 Міждержавній науково-методичній конференції (м. Дніпродзержинськ, 2006р.); III Міжнародній науково-технічній студентській конференції «Молода академія - 2006» (м. Дніпропетровськ). У повному обсязі робота доповідалась на розширеному семінарі кафедри аерогідродинаміки та енергомасопереносу Дніпропетровського національного університету та на Регіональному науковому семінарі Придніпровського Наукового Центру НАН України «Сучасні проблеми управління і моделювання складних систем» (11 грудня 2009. Під керівництвом д. т. н., професора О.І. Михальова).

Публікації. За темою дисертації автором було опубліковано 21 робота, з них: 11 статей у фахових виданнях, 10 тез доповідей на міжнародних та республіканських конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, додатків, висновків та переліку використаної літератури із 97 найменувань. Загальний обсяг роботи 143 сторінки, у тому числі 27 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, викладено коротку характеристику роботи, сформульовано її мету. Стисло викладено зміст, структуру дисертації і наведено основні результати.

У першому розділі наведено огляд літератури, присвяченої тематиці дисертаційної роботи. Проведено аналіз розвитку нерівноважної термодинаміки, основні витоки і причини виникнення даного напряму. Наголошено, що швидкоплинні процеси, які обмежені принципом локальної термодинамічної рівноваги та принципом локальності, унеможливлюють врахування ефектів теплової пам'яті у матеріалах упродовж часу релаксації. Подальший розвиток локально-нерівноважних процесів призвів до використання гіперболічних рівнянь теплопровідності (ГРТ), що враховують кінцеву швидкість розповсюдження хвиль та застосовуються при екстремальному впливі. У зв'язку з чим найбільший інтерес представляють рівняння еволюційного типу - ГРТ та ІДР з урахуванням теплової пам'яті, де використання їх розв'язків обмежується областю прогрівання або охолодження товщини релаксуючого шару матеріалу. Зазначено, що не дивлячись на окремі успіхи, наближені аналітичні методи, поки що не достатньо розроблені для визначення РТП у матеріалі та потребують подальшого вивчення.

У другому розділі приводяться результати модифікації аналітичного методу отримання структурних розв'язків - відокремлення зовнішніх та внутрішніх релаксуючих чинники температурного поля, зведення розв'язків до вигляду суперпозиції доданків та отримання зручних формул для інженерного застосування. Розроблено та обґрунтовано наближено-структурний метод операційного числення за Лапласом на проміжках часу релаксації системи, обмеженість якого визначається часом релаксації чинника збурень.

У підрозділах 2.1-2.2 окреслено основні математичні моделі релаксаційних процесів нестаціонарної теплопровідності при екстремальних умовах, які ґрунтуються на гіперболічних рівняннях, та зазначено межі їх застосування. Введено нове поняття термічного релаксуючого шару (ТШР). Наведено аналіз даного класу задач та представлено їх розв'язок в новому уніфікованому вигляді асимптотичних функцій РТП (у межах ТШР ) за допомогою методу операційного числення. Модифіковано асимптотичні матриці переходу (саме матричний вид дозволяє відокремлювати джерела впливу на формування та зміну РТП матеріалу при екстремальному впливі, відокремлювати релаксаційні зовнішні та внутрішні компоненти) для отримання оригіналів в полі зображень з розкладом на проміжках часу релаксування та :

, (1)

, (2)

де , , , - кількість членів асимптотичного розкладу, , - комплекси, що формуються в залежності від початкових та граничних умов задачі .

Релаксаційні процеси характерні існуванням областей стійкості та областей швидкого падіння - гіперрелаксації , тому розв'язки ГРТ у зв'язку з появою точки розриву при у полі оригіналів складаються з двох сум доданків - до стрибкової та - гіперрелаксаційної, від характеру якої залежить формування РТП матеріалу.

Використавши асимптотику для знаходження наближених оригіналів, отримано розвинення не тільки для функції РТП, але й для інтеграла Дюамеля, що неодмінно з'являється при врахуванні зовнішніх джерел впливу на матеріал.

У підрозділі 2.3 завдяки модифікованому асимптотично-структурному методу було розроблено математичну модель при екстремальному тепловому впливі на поверхневий шар матеріалу. Математична модель процесу передбачає використання безрозмірного рівняння гіперболічного типу:

, ., (3)

де - локально-нерівноважна температура, - функція внутрішніх теплових джерел матеріалу, , - час впливу на матеріал та час релаксації теплового потоку відповідно. Крайові умови представлені безрозмірними граничними та початковими умовами:

(4) (5)

де , урахування передісторії РТП та зміни теплового потоку відповідно на проміжках часу . За допомогою операційного числення за Лапласом розв'язок системи (3)-(5) у полі зображень наведено у вигляді:

. (6)

Тут , - константи інтегрування і визначаються крайовими умовами. Розв'язок (6) дозволяє, використовуючи основні теореми операційного числення для дробово-раціональних доданків, отримувати: відокремлені структури зовнішніх та внутрішніх джерел теплового збурення, доданки з малим релаксуючим параметром . Часткові періодичні розв'язки рівняння (3) враховують зміну РТП у матеріалі і зміну внутрішніх джерел при i-му впливі, що надає можливість проводити якісну ідентифікацію релаксаційних збурень у матеріалі. На основі розв'язків було визначено, що послідовності є - еквівалентні, тобто: 

.

Застосовуючи поняття монотонної подібності до розв'язку (6), одержано - еквівалентні функції: - зовнішню складову врахування передісторії зміни РТП; - внутрішню складову врахування передісторії РТП. Аналіз теплового стану системи вказує, що величини прямує до значень функцій релаксації теплового потоку та внутрішньої енергії відповідно. Тим самим було вперше ідентифіковано функції релаксації, які отримуються завдяки врахуванню передісторії впливу на матеріал.

У третьому розділі побудовано математичну модель ІДР теплопровідності для визначення РТП у екстремальних умовах впливу на тверді матеріал на проміжках часу релаксування системи. Введено поняття теплової пам'яті швидкісного процесу (процес придбання або втрати матеріалом будь-яких властивостей або перехід його з одного теплового стану в інше, що залежить від попереднього теплового стану). Представлено ієрархічну послідовність математичних моделей, що описують релаксаційні процеси переносу. Наведено уніфіковану постановку та розв'язок задач нестаціонарної теплопровідності для матеріалів з одно-, багатошаровою структурою. Визначені структурні компоненти впливу при врахуванні теплової пам'яті на матеріал.

У підрозділі 3.1 визначено рівняння теплопровідності інтегро-диференціального типу з урахуванням теплової пам'яті для одномірного випадку. Ядром інтегрування були використані ідентифіковані релаксаційні функції та для знаходження РТП у ТШР матеріалу:



. (7)

Основні труднощі при розв'язуванні задач операційним численням, полягають у переході від зображень до оригіналу шуканої функції та появи розривного розв'язку в околі часу релаксації теплового потоку та часу релаксації внутрішньої енергії , що було вирішено завдяки використанню структурно-асимтотичного методу та модифікованих матриць переходу.

У підрозділі 3.2 проведено асимптотичні наближення релаксуючих компонентів рівняння (7) та досліджено умови збереження фізичного змісту задачі. Розв'язок рівняння (7) має фізичну основу тільки на проміжках часу релаксації процесу під час переходу процесу до локальної рівноваги. Це визначається часами релаксації теплового потоку та внутрішньої енергії матеріалу. На цих проміжках часу в матеріалі відбувається нелокальне підвищення РТП, що може призвести до руйнування поверхневого шару. При настанні локалізації процесу, релаксаційні ефекти поступово зменшують вплив на формування РТП, інтегральні доданки рівняння (7), що виражають теплову пам'ять процесу не вносять відчутних коливань у розв'язки, тобто при настанні локально-рівноважного стану рівняння (7) продукується до параболічного рівняння теплопровідності з початковими умовами вираженими урахуванням передісторії теплового впливу.

У підрозділі 3.3 розроблено математичну модель релаксаційного теплопереносу з урахуванням теплової пам'яті з використанням функцій релаксації теплового потоку та внутрішньої енергії для шарових матеріалів при одномірному впливі:

(8)

де - критеріальний множник ІДР, що вказує міру нелокальності процесу, - номер шару матеріалу, - час локалізації процесу, - зовнішні джерела. Початкові умови:

(9)

Узагальнені граничні умови:

, ;

, , (10)

де () - поліноміально-експоненціальні функції. Граничні умови визначені інтегральним виглядом у зв'язку із спеціальним виглядом граничних та релаксаційних функцій. Уніфіковані умови на стику між шарами матеріалу:

(11)

Основна новизна розділу полягає у наступних твердженнях:

Твердження 1. При збільшені товщини шару або кількості шарів матеріалу, межі застосування ІДР прямують до нуля та при досягненні критичного шару стають тривіальним, тобто надалі для знаходження РТП можливо використання класичного рівняння теплопровідності. Однак в межах ТШР для практичних розрахунків урахування складової пам'яті унеможливлює вірогідність поширення та збільшення за величиною релаксацій, що призводить до руйнування матеріалу.

Твердження 2. Застосовуючи структурно-асимптотичний метод (визначений в другій главі) для системи ІДР (7)-(11) на кожному з шарів матеріалу, удосконалено одержання структурно-асимптотичних розв'язків на проміжках часу релаксування системи у полі оригіналів у вигляді суперпозиції зовнішніх та внутрішніх чинників, що формують теплові збурення на кожному з шарів матеріалу з врахуванням релаксаційних функцій теплового потоку та внутрішньої енергії.

(12)

де , , , , - шар матеріалу.

Асимптотичний розклад (асимптотичний розклад розв'язку в полі зображень, асимптотичний розклад граничних функцій, асимптотичний розклад експоненціально-поліноміальних доданків) дозволяє звести інтеграл Дюамеля в наближений ряд та отримати оригінал у вигляді степеневого ряду за малим релаксуючим параметром .

У підрозділі 3.4 проведено аналіз часткових розв'язків неоднорідного інтегро-диференціального рівняння (8) в полі оригіналів. Асимптотично-структурний розклад уніфікує перехід у поле оригіналів часткові розв'язки (12):

(13)

Часткові розв'язки (13) отримано завдяки структурно-асимптотичному методу та вперше дозволяють відокремлювати локальну (параболічну), нелокальну (гіперболічну та складову пам'яті) РТП у матеріалі та спрощувати практичні розрахунки, визначаючи тільки узагальнену модель процесу, відокремлюючи необхідні складові релаксаційного процесу (необхідні релаксаційні ефекти).

У четвертому розділі проведено прикладні числово-параметричні дослідження релаксаційних теплових процесів на прикладі двошарового матеріалу на основі використання ІДР з урахуванням теплової пам'яті. Врахування чинників збурення РТП на шарі релаксування передує аналітичне обґрунтування, на висновках яких проводились числові розрахунки для подальшого впровадження в технологічний процес виробництва для отримання термічно-стійких поверхневих шарів матеріалів.

У підрозділах 4.1-4.2 розроблено та реалізовано алгоритм розв'язання інтегро-гіперболічної крайової задачі з урахуванням теплової пам'яті для магнітного пускача МПЕ-211. У практичних цілях при експлуатації та ремонті обладнання електропостачання, було проведено модифікацію контактної групи та нанесено додатковий поверхневий шар на контакти магнітного пускача. В залежності від кількості замикань-розмикань ланцюга визначалась товщина пробою на контактах та порівнювалась з аналітично-розрахованою товщиною за формулами отриманими з гіперболічного, інтегро-диференціального рівняння, тобто:

. (14)

, (15)

Таблиця 1 - Характерні розміри товщини матеріалу при екстремальному впливі

де - проміжок часу релаксування теплового потоку, - проміжок часу релаксування внутрішньої енергії.

Експерименти підтвердили адекватність використання товщин , розрахованих за формулами (14), (15), що враховують релаксацію теплового потоку та внутрішньої енергії (табл. 1). Товщини, розраховані на основі моделей з врахуванням релаксацій у повній мірі відображають реальний фізичний процес. Врахування саме теплової пам'яті в практичних розрахунках дозволило визначити ефективний термічний шар матеріалу, в межах якого релаксаційні ефекти не поширювались за межі шару та мали вироджений характер. При цьому ТШР розраховані за формулами (14), (15) повністю узгоджуються з експериментальною товщиною (табл. 1). Наявність різниці розміру товщини шару пояснюється відсутністю урахування релаксаційних функцій внутрішньої енергії матеріалу, однак не зменшують важливості у проведені розрахунку та виступають проміжними величинами при дослідженні релаксаційних процесів теплопровідності.

Графічно процес релаксування в залежності від кількості замикань пускача представлено на рис. 1 та рис. 2 (логарифмічна залежність). Крива 1 на рис. 1 відповідає ТШР поверхневого шару пластини пускача після 50 замикань-розмикань, де релаксаційні властивості дозволяють використовувати даний пускач і надалі, про що свідчить початковий пік РТП на рис. 1 , що більший за піковий стрибок ТШР на ділянці .

Рис.1 РТП поверхневого шару пускача МПЕ-211-м при часах релаксування системи. Логарифмічна залежність.

Рис. 2 РТП поверхневого шару пускача МПЕ-211-м. Порівняльний аналіз розв'язків інтегро-диференціального(..) та параболічного (_) рівнянь

У подальшому, при збільшенні замикань-розмикань, перший піковій стрибок при за величиною зменшується, в той самий час як пік на ділянці поступово збільшується (криві 2, 3) , що відповідає 200, 300 замикань відповідно, та при 400 замикань (крива 4) відбувається вигорання поверхневого шару. На рис.1 це визначається більшим піковим значенням РТП на ділянці , аніж на ділянці . На рис. 2 для магнітного пускача МПЕ-211 з (12) отримано аналітичний розв'язок та порівняно з класичним рівнянням теплопровідності, бачимо, що процес замикання-розмикання описати звичайним параболічним рівнянням (крива збігається з віссю lg(Fo)) на проміжках часу релаксування системи неможливо без урахування релаксацій, а саме теплової пам'яті матеріалу.

У підрозділах 4.3-4.4 проведено аналіз розв'язків ІДР на проміжках часу пікового (максимально можливого) значення РТП АРС (апарат регулювання системами). Визначалась величина максимально можливого потоку, що впливає на матеріал, при цьому отримується мінімальне значення внутрішньої енергії для запобігання руйнування шару. На прикладі тришарової системи відокремлюючи тільки релаксаційні складові отримано критерії термічного впливу (рис. 3):

Рис. 3 Вплив релаксацій у матеріалі

Рис. 4 Порівняльний аналіз розв'язків

- умова термічної стійкості шару; - умова термічного руйнування шару. Де відображає тривалість локалізації релаксаційного процесу. З рис. 3 бачимо, що значення РТП третього шару значно перевищує перше та друге, процес релаксування в цьому шарі призвів до локального теплового руйнування .

Адекватність отриманих результатів засвідчує аналітичне порівняння розв'язків класичного, гіперболічного (3) та інтегро-диференціального (8) рівнянь теплопровідності при однакових крайових умовах. Використовуючи асимптотичні розв'язки ГРТ, ІДР та порівнюючи із класичним рівнянням теплопровідності на прикладі комутаційного обладнання АРС на рис. 4 показано межі застосовності швидкісних рівнянь та існування релаксаційних функцій. Як бачимо, існування релаксаційних ефектів обмежується не тільки часом але й по координаті.

Класичне рівняння (лінія 3) релаксаційні ефекти не охоплює та не фіксує на ТШР температурних збурень. Розрахований за таким рівнянням теплопровідності шар матеріалу контактів не витримував теплових навантажень та потребував значного запасу матеріалу (нанесення додаткового поверхневого шару) при подальшому експлуатуванні. На відміну від моделей з урахуванням релаксацій, які дозволяли не тільки отримувати відповідні шари матеріалу контактів магнітного пускача МПЕ-211 та АРС але й значно підвищувати термін експлуатації пристроїв. Це доводить ефективне використання рівнянь інтегро-диференціального (крива 1) та гіперболічного типу (крива 2). Експерименти підтвердили адекватність використання термозахистних товщин контактів, розрахованих за формулами (14), (15), що враховують теплову пам'ять при релаксаційних процесах. Отже, представляється актуальним і важливим побудова математичних моделей релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті, структурно визначаючи компоненти впливу в матеріалі.



ВИСНОВКИ

Дисертація є завершеною науковою роботою, що вирішує конкретну актуальну науково-технічну задачу, яка полягає в побудові математичних моделей релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті матеріалу. Основні результати роботи зводяться до наступного:

Розроблено математичну модель релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті. Виходячи із скінченності швидкості розповсюдження тепла, в розгляд вводиться поняття товщини релаксаційного шару, що фіксує глибину проникнення релаксаційних збурень. Еволюція релаксаційних збурень з часом формує теплову пам'ять матеріалу в межах товщини шару релаксування, що істотно впливає на високошвидкісні теплові процеси теплопровідності. Така математична модель дозволяє враховувати локальне підвищення температури у нерівноважних процесах, що на відміну від існуючих не потребує побудови перехідних моделей, узгоджуючих перехід від нерівноважного до рівноважного станів.

Модифіковано структурно-асимптотичний метод операційного числення при часах релаксації системи, що дозволяє виділяти компоненти релаксаційних теплових збурень, представляти розв'язки у вигляді суперпозиції компонент впливу. При цьому отримані розв'язки є аналітичними, які є зручними для інженерних застосувань.

Визначено збіжність аналітичних розв'язків задачі теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті. При екстремальному впливі на багатошарові матеріали мають місце релаксаційні процеси на кожному з шарів, які характерні існуванням областей стійкості , та областей швидкого падіння - гіперрелаксації , на кожному з шарів. Це обумовлює той факт, що у зв'язку з появою точок розриву при , , ряди розкладу в полі оригіналів складаються з трьох частин. Визначення величини РТП у точках розриву запропоновано шукати за допомогою - еквівалентних функцій. Поведінка цих функцій і визначає неперервність РТП у критичних точках, що повністю узгоджується з термодинамічним визначенням температури, як неперервної величини.

Ідентифіковано релаксаційні функції за умов екстремального теплового впливу на матеріал. Для їх знаходження використовується гіперболічне рівняння теплопровідності. Релаксуючі компоненти були ідентифіковані у вигляді функцій теплового потоку і внутрішньої енергії.

Отримані в дисертації аналітичні розв'язки були використані для знаходження товщини термозахистного шару контактів магнітного пускача МПЕ-211, що дозволило збільшити термін експлуатування пристрою та зменшити поточний ремонт. Було встановлено відповідність залучених математичних моделей для визначення товщини шару при екстремальному тепловому впливі.



ПУБЛІКАЦІЇ

1. Веселовский В.Б. Задачи теплопроводности для составных сред с тепловой памятью / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко, Ю.А. Сова // Металлургическая теплотехника. ? Д.: Пороги, 2005. Кн. 2. ? С. 20 ? 31.

2. Веселовский В.Б. Задачи теплопроводности для составных сред при экстремальных условиях / В.Б. Веселовский, Ю.А. Малая, Т.М. Босенко // Вісник Херсонського національного технічного університету. - Херсон, 2006.- С. 101-105.

3. Веселовский В.Б. Структурный метод решения задач теплопроводности для составных тел при экстремальных воздействиях с учетом тепловой памяти / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко, К.В. Горелова // Металлургическая теплотехника. - Д.: ПП Грек О.С., 2007. - С. 44-52.

4. Веселовский В.Б. Решение задач теплопроводности для составных тел при экстремальных воздействиях с учетом тепловой памяти / В.Б. Веселовський, Т.М. Босенко, К.В. Горелова // Вісник Херсонського національного технічного університету. - Херсон. - Вип. 2 (28), 2007. - С. 87-92.

5. Босенко Т.М. Моделювання релаксаційних процесів теплопровідності з використанням розривно-асимптотичних методів / Т.М. Босенко // Вісник Запорізького національного університету. - Запоріжжя, 2009. - № 2, С. 17-22.

6. Босенко Т.М. Математическое моделирование и исследование решений задач теплопроводности для составных тел с учётом тепловой «памяти» / Т.М. Босенко // Вісник Дніпропетровського університету - Д.: Зб. наук. пр. ДНУ. - 2009. Т. 17, №5, С. 88-98.

7. Босенко Т.М. Дослідження та оцінка збіжності асимптотичних розв'язків інтегро-диференціального рівняння теплопровідності за локально-нерівноважних умов / Т.М. Босенко // Вісник Херсонського національного технічного університету. - Херсон. - Вип. 2 (35), 2009. - С.117-121.

8. Веселовський В.Б. Розв'язання задач теплопровідності для складених тіл при екстремальних впливах / В.Б. Веселовський, Т.М. Босенко // Вісник Тернопільського державного технічного університету. - Тернопіль, - 2009. Т. 14, № 1, С. 168-179.

9. Босенко Т.М. Врахування релаксуючих ефектів у рівняннях теплопровідності швидкісного типу / Т.М. Босенко // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. - Вип. 2(67).Дніпропетровськ, 2010. - С.10-16.

10. Босенко Т.М. Нерівноважні процеси теплопровідності в твердих матеріалах / Т.М. Босенко // Технічна теплофізика та промислова теплоенергетика. Збірник наукових праць. НМетАУ. - Випуск 2. - Дніпропетровськ. 2010. - С. 57-66.

11. Веселовський В.Б. Про високошвидкісний вплив на матеріали при дослідженні релаксаційних процесів з урахуванням теплової пам'яті / В.Б. Веселовський, Т.М. Босенко // Вісник Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут». Збірник наукових праць. Тематичний випуск «Енергетичні та теплотехнічні процеси й устаткування». Харків: НТУ «ХПІ».- 2010. - № 3. С. 121-130.

12. Додаткові публікації:

13. Босенко Т.М. Численный метод решения задачи теплопроводности для составных тел при экстремальных воздействиях с учетом тепловой памяти / Т.М. Босенко // Диференціальні рівняння та їх застосування. - Д.: Зб. наук. пр. ДНУ. - 2007. - С. 111-117.

14. Тези доповіді:

15. Веселовский В.Б. Структурный метод решения задач теплопроводности для составных тел при экстремальных воздействиях с учётом тепловой памяти / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко // VI Минский международный форум по тепломассообмену, 19-23 мая 2008г.:[тези доповіді]. - Мінськ, 2008.- С. 256-257.

16. Босенко Т.М. Математическое моделирование пульсационного нагрева твёрдых тел / Т.М. Босенко // Теплотехника и энергетика в металлургии: XV Международная конференция, 7-9 октября 2008г.: [тези доповіді]. - Дніпропетровськ, 2008.-С. 17-18.

17. Веселовский В.Б. Математическое моделирование и структурный метод решения задач теплопроводности для составных тел с учетом тепловой памяти / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко, К.В. Горелова // Проблеми математичного моделювання: Міждержавна науково-методична конференція, 23-25 травня 2007р.: [тези доповіді]. - Дніпродзержинськ, 2007. - С. 63-64.

18. Веселовский В.Б. Структурный метод решения задач теплопроводности для составных тел при экстремальных воздействиях / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко, К.В. Горелова // Проблемы промышленной теплотехники: V международная конференция, 22-26 мая 2007г.:[тези доповіді]. ? Київ, 2007. ? С. 85 ? 86.

19. Веселовский В.Б. Операционный метод решения задач теплопроводности при экстремальных тепловых воздействиях / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 18-20 травня 2006р.: [тези доповіді]. - Київ, 2006.-С. 53.

20. Босенко Т.М. Структурный метод решения задач теплопроводности для составных тел при экстремальных воздействиях с учетом тепловой памяти / Т.М. Босенко // Регіональна наукова конференція «Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепло масообміну», 16-17 листопада 2006р.: [тези доповіді]. - Дніпропетровськ.-2006.- С. 64.

21. Веселовский В.Б. Математическое моделирование и структурный метод решения задач теплопроводности с учетом тепловой памяти / В.Б. Веселовский, Т.М. Босенко, К.В. Горелова // Міжнародна наукова конференція «Математичні проблеми технічної механіки - 2007», 23-24 травня 2007р.: [тези доповіді]. - Дніпродзержинськ, 2007. - С. 145.

22. Босенко Т.М. Численное моделирование тепловых процессов в средах с тепловой памятью / Т.М. Босенко // Міжнародна науково-технічна конференція пам'яті академіка НАН України B.I. Моссаковського: «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища i міцності конструкцій», 17-19 жовтня 2007р.: [тези доповіді]. - Дніпропетровськ, 2007. - С. 305-306.

23. Bosenko T.M. Mathematical simulation of heat conductivity problems for component sodies at extreme influences taking into account thermal memory/ T.M. Bosenko, V.B. Veselovskiy, D. Tkalиiи // 8-th International Symposium of Croatian Metallurgical society ”Materials and Metallyrgy”, 21-25 June 2008:[тези доповіді]. - Croatia, 47(2008). - P. 275.



АНОТАЦІЯ

Босенко Т.М. Математичне моделювання релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02. - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2011.

Дисертація присвячена математичному моделюванню релаксаційних процесів теплопровідності з урахуванням теплової пам'яті з використанням інтегро-диференціальних рівнянь з ядром інтегрування у вигляді ідентифікованих функцій релаксації теплового потоку і внутрішньої енергії. Математична модель дозволяє враховувати локальне підвищення температури у нерівноважних процесах, що на відміну від існуючих не потребує побудови перехідних моделей, узгоджуючих перехід від нерівноважного до рівноважного станів. Представлено результати розробки модифікованого структурно-асимптотичного методу операційного числення, який дозволяє виділяти компоненти релаксаційних теплових збурень. Отримані асимптотичні розв'язки були використані для знаходження товщини термозахистного шару комутаційного обладнання, еволюція релаксаційних збурень в якому з часом сформувало теплову пам'ять, врахування якої дозволило збільшити термін експлуатування обладнання.

Ключові слова: математична модель, функції релаксації, теплова пам'ять, асимптотичні розв'язки, екстремальні умови, шар релаксування.



АНОТАЦИЯ

Босенко Т.М. Математическое моделирование релаксационных процессов теплопроводности с учётом тепловой памяти. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02. - математическое моделирование и вычислительные методы. - Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2011.

Диссертация посвящена математическому моделированию релаксационных процессов теплопроводности в условиях экстремального влияния на материалы с учётом тепловой памяти. Математическая модель позволяет учитывать локальное повышение температуры в неравновесных процессах. В отличие от существующих не требует построения переходных моделей, согласующих переход от неравновесного к равновесному состояниям, а также учитывает предысторию теплового воздействия на материал, что выражено комплексом тепловой памяти. Благодаря построению математической модели скоростного (гиперболического) типа, идентифицированы релаксационные функции (теплового потока и внутренней энергии) процесса теплопроводности, установлено и исследовано глубину проникновения тепловой волны в материале с последующим определением термического слоя релаксации , определяющего границы применения интегро-дифференциального уравнения (ИДУ). Разработана математическая модель релаксационных процессов теплопроводности с учетом тепловой памяти на основе ИДУ с использованием идентифицированных функций релаксации для одно-, и многослойных материалов. Применив операционное исчисление по Лапласу, получены и модифицированы структурно-асимптотические решения, что позволяет учитывать факторы, вызывающие возмущение релаксационного теплового поля при экстремальном воздействии на материал.

Обоснованы процедуры операционного исчисления асимптотически-структурным методом для решения прикладных задач теплопроводности. Установлено соответствие разработанной модели к определению толщины контактов коммутационного оборудования, что позволило увеличить время эксплуатации оборудования и уменьшить текущий ремонт.

Ключевые слова: математическая модель, функции релаксации, тепловая память, асимптотические решения, экстремальные условия, релаксационный слой.



ANNOTATION

Bosenko T.M. The mathematical modeling of relaxation processes of heat conductivity with taking into account the thermal memory. Manuscript.

The candidate's thesis of scientific degree on engineering sciences on specialty 01.05.02 - The mathematical modeling and numerical methods.- National metallurgical academy of the Ukraine, Dnepropetrovsk, 2011.

The dissertation is devoted to the mathematical modeling of heat-conducting processes with taking into account thermal memory with the use of integral-differential equations with integration kernel as relaxation functions of thermal stream and internal energy. The mathematical model allows to take into account the local increasing of the temperature at non-equilibrium processes, which differs from existed models and doesn't need the construction of transitive models. Presented development results of modified structurally asymptotic method of operating calculation allowed to select the relaxation thermal indignations components, gave the solution as superposition of influence components and analytical solutions in the range of relaxation time process. The asymptotic solutions were used for obtaining the thickness of thermal protective layer based on which the evolution of relaxation formed thermal memory and allowed to increase the relaxation term of material.

Keywords: mathematical model, relaxation processes, thermal memory, asymptotic solutions, extreme terms, relaxation layer.

Размещено на Allbest.ru

...