Чисельне моделювання взаємодії фізико-механічних полів у п'єзоелектриках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти та науки україни

львівський національний університет імені івана франка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

чисельне моделювання взаємодії фізико-механічних полів у п'єзоелектриках

01.01.07 - обчислювальна математика

ЧАБАН Федір Володимирович

Львів - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі інформаційних систем Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Шинкаренко Георгій Андрійович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри інформаційних систем.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Хапко Роман Степанович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри обчислювальної математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Вербіцький Віктор Васильович, Одеський національний університет імені Іллі Мечникова фізико-математичних наук, доцент кафедри прикладної математики

Захист відбудеться «19» травня 2011 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий «14 » квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, к.ф.-м.н., доцент Б. А. Остудін

АНОТАЦІЇ

Чабан Ф.В. Чисельне моделювання взаємодії фізико-механічних полів у п'єзоелектриках - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика. - Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2011.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню і розвитку чисельних схем МСЕ для задач п'єзоелектрики. Знайдено умови коректності статичних та задач про вимушені усталені коливання п'єзоелектрика. Побудовано апостеріорні оцінювачі похибок апроксимації МСЕ для цих задач та знайдено апріорні оцінки швидкості збіжності схем МСЕ. На основі запропонованих оцінювачів реалізовано h-адаптивну схему МСЕ. На основі початково-крайової задачі п'єзоелектрики та відповідно побудованої одно крокової рекурентної схеми інтегрування в часу проведено моделювання процесів перетворення енергії в п'єзоелектрику. Розроблено об'єктно-орієнтовану модель даних і алгоритмів та відповідне їй програмне забезпечення з допомогою якого проведено ряд числових експериментів, які демонструють ефективність запропонованих методів.

Ключові слова: задача п'єзоелектрики, сингулярно збурена задача, метод скінченних елементів, метод Гальоркіна, h-адаптивна схема, апостеріорний оцінювач похибки, моделі даних та алгоритми.

чисельний п'єзоелектрика коливання програмний

Чабан Ф.В. Численное моделирование взаимодействия физико-механических полей в пьезоэлектриках. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2011.

Диссертационная работа посвящена построению и обоснованию вычислительных схем метода конечных элементов для решения краевых и начально-краевых задач пьезоэлектричества.

В первом разделе диссертации сформулированы начально-краевая задача динамики, а также краевые задачи статики и вынужденных установишихся колебаний пьезоэлектриков, поведение которых описывается теорией Фойгта-Миндлина с ненулевым током проводимости и вязкостью материала. Приведен обзор наиболее используемых аналитических и численных методов, применяемых для отыскания решений этого класса задач.

Во втором разделе приведены условия корректности задачи для системы вариационных уравнений в терминах вектора упругих смещений и электрического потенциала, показано ее эквивалентность задаче о седловой точке квадратичного функционала и рассмотрены априорные оценки скорости сходимости классических схем МКЭ. Наряду с этим проанализированы свойства функционала источников погрешности аппроксимаций и на их основе сформулировано корректную вариационную задачу о погрешности аппроксимаций МКЭ. Приближенные решения этой задачи (апостериорные оцениватели погрешности(АОП) МКЭ) построены для одно-, дво- и трехмерных кревых задач статики пьезоэлектрики. Основная особенность кусочно определенной структуры каждого из предложенных апостериорных оценивателей состоит в том, что их распределение на каждой триангуляции отыскивается последовательным решением локальной задачи о погрешности на каждом из ее конечных элементов.

Эффективность вычисления распределения АОП, дополненная алгоритмом триангуляции Делоне, позволила построить h-адаптивныу схемы МКЭ для решения двумерных задач пьезоелектричества. Результаты вычислительных экспериментов свидетельствуют о их способности надежно отыскивать последовательности аппросимаций МКЭ с заранее заданной точностью и ожидаемой скоростью сходимости в энергетической норме рассматриваемой задачи.

В третьем разделе диссертации изучены вариационные задачи об амплитудах установившихся вынужденных колебаний пьезоэлектриков. Найдены условия корректности этого класса задач и априорные оценки сходимости последовательности аппроксимаций МКЭ. Следуя рассуждениям р.2 построены апостериорные оцениватели погрешности таких аппроксимаций, а также сконструировано h-адаптивные схемы МКЭ, которые, в частности, использованы для поиска резонансных частот колебаний пьезоелектрических преобразователей энергии.

Для решения вариационной задачи динамики пьезоелектриков в четвертом разделе использованные ранее пространства аппроксимаций МКЭ применены для полудискретизации Галеркина по пространственным переменным и дополнены построением одношаговой рекуррентной схемы (ОРС) интегрирования по времени. Показано, что данная ОРС является безусловно устойчивой для некоторого интервала значений ее параметра, в пределах которого ее аппроксимаций могут достигать второго порядка скорости сходимости. Приведены численные результаты анализа реакции пьзоэлектрика на воздействие кратковременных импульсов давления.

В пятом разделе с применением принципов объектно-ориентированого дизайна предложена концепция унифицированной программной реализации схем МКЭ, позволяющая гибко и быстро настраивать вычислительную среду на решение тех или иных задач математической физики. На этой основе разработано программное обеспечение, с помощью которого, в частности, выполнены все вычислительные эксперименты данной диссертации.

Ключевые слова: задача пьезоэлектричества, метод конечных элементов, апостериорная оценка погрешности, h-адаптивная схема, одношаговая рекуррентная схема, априорная оценка погрешности, модели данных и алгоритмы.

Chaban F.V. Numeric modeling of physic and mechanics fields interaction in piezoelectrics. - Manuscript.

The thesis for a Physical-Mathematical Sciences Candidate's Degree on speciality 01.01.07 - numerical mathematics. - Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2011.

The thesis is devoted to investigation and development of the numerical methods for solving piezoelectricity problems. Conditions of correctness for static and forced vibration piezoelectricity problems have been found. A posteriori error estimators have been constructed for these problems and a priory FEM convergence orders have been found. Based on the proposed estimator's h-adaptive FEM scheme has been designed. It was proposed the FEM nodes approximation values refinement post processing algorithm. On the base of initial boundary piezoelectricity problem and appropriative constructed one-step recurrence time integration scheme, energy transformation in piezoelectric body has been modelled. Object-oriented data and algorithm model, and appropriative software were developed and used for numeric experiments performing, which demonstrates the efficiency and reliability of proposed methods.

Keywords: piezoelectricity problem, finite elements method, a posteriori error estimator, h-adaptive scheme, one-step recurrence scheme, data models and algorithms.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Пристрої та прилади, функціонування яких ґрунтується на суттєвому використанні властивостей п'єзо- та піроефекту, набувають все ширшого застосування у науці та техніці. З одного боку, це свідчить про значні здобутки у сучасних технологіях проектування та виробництва п'єзокерамічних матеріалів, а з іншого, свідчить про актуальність розробок адекватних засобів математичного та комп'ютерного моделювання поводження взірців нових конструкцій за тих чи інших умов їх експлуатації. Актуальність і важливість цих питань підтверджує зростаюча кількість публікацій з цієї тематики у провідних наукових виданнях.

Розробка засобів комп'ютерного моделювання поведінки зразків п'єзоелектричних пристроїв полягає в побудові та програмній реалізації числових схем, які дозволяють знаходити розв'язки початково-крайових задач, що використовуються в якості математичних моделей задач п'єзоелектрики. У свій час такі вчені як Ворович И. И., Грінченко В.Т., Жарій П.Б., Карнаухов В.Г., Козлов В., Короткіна М.Р., Кудрявцев В., Міндлін О., Новацький В., Партон В.З., Савін В.Г., Улітко А.Ф., Шинкаренко Г.А., Шульга Н.А., Hughes T., Mougen J., Tiersten H. та інші своїми дослідженнями здійснили вагомий внесок як у розвиток математичних моделей, так і у розвиток методів, що застосовуються для їх розв'язування.

Сучасна практика комп'ютерного моделювання дозволяє застосовувати класичні схеми МСЕ як базову конструкцію при побудові числових схем для розв'язування найрізноманітніших задач математичної фізики. При цьому залишаються актуальними питання удосконалення класичних схем МСЕ, зокрема, побудова адаптивних схем МСЕ, про що свідчать різноманітні публікацій на цю тематику. Побудова ефективних адаптивних схем МСЕ перш за все пов'язана із конструюванням надійних апостеріорних оцінювачів похибок, які дозволяють визначати усі проблемні місця знайденого розв'язку та автоматизувати процес адаптування. Питання, що стосуються аспектів побудови таких оцінювачів для змішаних задач п'єзоелектрики і досі залишаються відкритими.

Однією з важливих особливостей адаптивних схем МСЕ є те, що вони дозволяють отримувати розв'язки варіаційних задач із наперед заданою точністю при відносно невеликих затратах обчислювальних ресурсів. На даний час існує багато відкритих питань, пов'язаних як з теорією адаптивних схем МСЕ, так і з практичною реалізацією їх можливостей для задач теорії п'єзоелектрики.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана згідно з планами наукових досліджень кафедри інформаційних систем Львівського національного університету імені Івана Франка, зокрема, держбюджетних Пі-70Ф "Адаптивні та стабілізовані схеми МСЕ для сингулярно-збурених задач механіки, біофізики та охорони довкілля" (№ ДР 0106U001310, 2006-2007), Пі-224П "Чисельні методи розв'язування диференціальних рівнянь та інтегральних рівнянь математичної фізики і механіки" (№ ДР 0108U004150, № державний обліковий 0206U002416, 2008-2009), Пі-68П "Побудова та аналіз чисельних методів для диференціальних та інтегральних рівнянь математичної фізики та механіки" (№ ДР 0110U001375, 2010-2011).

Мета і задачі дослідження.

Об'єктом дослідження у дисертаційній роботі є багатовимірні крайові, початково-крайові та відповідні їм варіаційні задачі п'єзоелектрики.

Предметом дослідження є h- адаптивні схеми методу скінченних елементів для сингулярно збурених крайових задач із системою рівнянь п'єзоелектрики.

Як методи досліджень у дисертаційній роботі використовуються методи функціонального аналізу та обчислювальної математики, зокрема, метод Гальоркіна.

Метою досліджень є побудова, аналіз та апробація високоточних скінченноелементних схем для розв'язування багатовимірних задач п'єзоелектрики, детальніше:

1. Встановлення умов коректності та аналіз стійкості і збіжності класичних схем МСЕ для крайових задач п'єзоелектрики, зокрема, задач статики та задач про вимушені коливання.

2. Побудова та аналіз стійкості і збіжності однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі схем для початково-крайових задач п'єзоелектрики.

3. Побудова надійних апостеріорних оцінювачів похибок (АОП) апроксимацій МСЕ для статичних задач та задач про вимушені усталені коливання п'єзоелектрики та їх застосування для побудови h-адаптивних схем та схем уточнення.

Наукова новизна одержаних результатів. Найважливішими результатами дисертації, на нашу думку, є:

1. Знайдено апріорні оцінки збіжності класичних схем МСЕ та доведено коректність варіаційних задач п'єзоелектрики.

2. Побудовано АОП апроксимацій МСЕ для розв'язків багатовимірних крайових задач (статики та вимушених усталених коливань) п'єзоелектрики.

3. Побудовано h- адаптивну схему МСЕ з використанням трикутних скінченних елементів.

4. Запропоновано постпроцесорний ітераційний алгоритм уточнення апроксимацій МСЕ.

5. Побудовано ОРС інтегрування в часі для початково-крайових задач п'єзоелектрики. Встановлено умови стійкості та збіжності.

6. Запропоновано уніфікований підхід до розробки програмного забезпечення для розв'язування задач математичної фізики із застосуванням МСЕ.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації, перш за все, є внеском в теорію МСЕ. Окремі теоретичні положення та результати даного дослідження можуть бути використані у дисциплінах спеціалізації із математичного моделювання та числових методів математичної фізики, які читаються на факультетах вищих навчальних закладів з фізико-математичним напрямком.

Всі запропоновані схеми МСЕ подано у вигляді, придатному до розробки універсальних пакетів чисельного розв'язування початково-крайових задач. Їхні алгоритми реалізовано у програмах, з використанням яких проведено серію обчислювальних експериментів з числовим моделюванням процесів, що відбуваються в п'єзоелектрику.

Особистий внесок здобувача. Наукові результати, які виносяться на захист дисертації, одержані автором самостійно. У роботах опублікованих у співавторстві, здобувачеві належить: побудова та аналіз числових схем [1,2,3], побудова апостеріорних оцінювачів похибок [1-3,6,9-13] та схем уточнення [1, 10], розробка алгоритмічної реалізації h-адаптивних схем МСЕ [2,7,8,14-15], побудова та аналіз ОРС [5,16], розробка концепції програмування схем МСЕ [4] і результати обчислювальних експериментів [1-16].

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної праці доповідалися та обговорювалися на: семінарах кафедри інформаційних систем Львівського національного університету імені Івана Франка (2005-2010); міжнародному науковому симпозіумі "Актуальні задачі механіки неоднорідних структур" (м. Львів, 2007); міжнародній науковій конференції "Modern Analysis and Applications" (м. Одеса, 2007); міжнародній науковій конференції "Computer science and engineering" (м. Львів, 2007); міжнародній науковій конференції "Computer methods in mechanics" (Zelena Gora, Poland, 2009); міжнародній науковій конференції “Обчислювальна та прикладана математика” (м. Київ, 2009); відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів інституту прикладних проблем механіки та математики ім. Я. Підстригача НАН України (м. Львів, 2009); відкритій науково-технічній конференції молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України (м. Львів, 2007); всеукраїнських наукових конференціях "Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики" (м. Львів, 2005-2009); всеукраїнській студентській науковій конференції з прикладної математики та інформатики СНКПМІ (м. Львів, 2005).

В цілому дисертаційна робота обговорювалася на науковому семінарі кафедри інформаційних систем, міжкафедральному науковому семінарі факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка, кваліфікаційному семінарі вченої ради К.35.051.17.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 18 наукових праць, у тому числі 4 статті у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України та 13 тез конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел, який налічує 176 найменувань на 18 сторінках. Дисертація містить 67 рисунків і 15 таблиць. Обсяг дисертації становить 154 сторінок, основний текст роботи викладено на 136 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність вибраної тематики, відображено зв'язок роботи з науковими програмами та темами, сформульовано предмет та мету досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів, наведено відомості з апробації роботи та публікації за темою дисертації.

У першому розділі дисертаційної роботи проведено аналіз стану числового розв'язування задач взаємодії механічного та електричного полів у п'єзоелектрику такого гатунку. Нехай час, ,, і п'єзоелектрик займає обмежену зв'язну область точок з ліпшицевою межею та одиничним вектором зовнішньої нормалі до неї . В такому разі необхідно знайти вектор пружних зміщень та електричний потенціал , що задовольняють рівняння еластодинаміки та електричного поля (тут і далі за індексами, які повторюються, передбачається підсумовування від 1 до )

(1)

(2)

крайові умови

(3)

та початкові умови

(4)

Тут коефіцієнти пружності , в'язкості , п'єзоелектрики , діелектричних проникливостей та електропровідності володіють властивостям симетрії

(5)

та еліптичності

(6)

- густина маси п'єзоелектрика, - масові сили,

Ввівши простори допустимих пружних зміщень та електричних потенціалів

і , сформулюємо відповідну (1)-(4) варіаційну задачу

(7)

Тут білінійні форми та лінійні функціонали описуються виразами

, ,

, ,

, ,

 , .

У другому розділі (як один із часткових випадків (7)) досліджується варіаційна задача статичної взаємодії фізико-механічних полів у п'єзоелектрику вигляду

(8)

де , та - розподіл зарядів внутрі п'єзоелектрика та на його електродованій частині межі відповідно.

На важливу з погляду числових методів характеристику структури взаємодії механічного та електричного полів у п'єзоелектриках вказують такі твердження [3].

Теорема 1 про сідлову точку лагранжиана варіаційної задачі п'єзоелектрики.

Задача про систему варіаційних рівнянь п'єзоелектрики (8) еквівалентна задачі про сідлову точку квадратичного функціоналу

(9)

Теорема 2 про коректність варіаційної задачі статичної п'єзоелектрики.

Нехай ,

і виконуються умови симетрії та еліптичності (5), (6).

Тоді білінійна форма є неперервною і - еліптичною,

,

і породжує на просторі енергетичну норму . На додаток варіаційна задача (8) або, що еквівалентно, (9) має єдиний розв'язок , більше цього,

.

Тут і далі за основну числову схему розв'язування задач п'єзоелектрики обрано метод скінченних елементів, який базується на класичній процедурі Гальоркіна:

(10)

З огляду на гарантовану теоремою 2 регулярність шуканого розв'язку задачі (8) для побудо-ви просторів та можна використати будь які із відомих кусково визначених базисних функ- цій МСЕ для апроксимації функцій із на сітці , , області . В такому випадку технологія МСЕ з використанням множини поліномів до порядку включно дозволяє будувати простори апроксимацій із такими властивостями щільності:

(11)

Теорема 3 про швидкість збіжності апроксимацій МСЕ.

Нехай виконано умови теореми 2 та - розв'язок варіаційної задачі (8) такий, що

Тоді послідовність апроксимацій Гальоркіна при збігається в просторі до розв'язку задачі (8). Більше того, за вибору просторів з властивістю (11) швидкість збіжності цієї послідовності характеризується такою апріорною оцінкою

(12)

з , значення якої не залежить від величин, що нас цікавлять.

З огляду на невизначеність значення сталої в апріорній оцінці (12) аналіз точності конкретної апроксимації доповнено побудовою апостеріорних оцінок її похибки, яка ґрунтується на наближеному розв'язуванні такої задачі

(13)

Структуру функціоналу джерел похибок апроксимації МСЕ в задачі (13) характеризує

Теорема 4 про властивості функціоналу джерел похибок.

Нехай розв'язок (8) і для кожного фіксованого визначено функціонал вигляду

.

Тоді будуть правильними такі твердження:

(і)

(іі)

Задача про похибку (13) розв'язується наближено, застосовуючи метод Гальоркіна,

(14)

Запропоновано декілька способів вибору підпросторів для одно-, дво- та тривимірних задач п'єзоелектрики, які дозволяють ефективно і надійно обчислювати розподіли значень апостеріорних оцінювачів похибок (АОП) апроксимацій МСЕ на тріангуляціях . Зокрема,

(і) на сітці з чотирикутних скінчених елементів з білінійною апроксимацією АОП знаходяться із використанням функцій базису біквадратичної структури

(15)

де - локальні координати на елементі , див. рис. 1. Тоді, наприклад, АОП апроксимації потенціалу має будову і його коефіцієнти внаслідок ортогональності базису обчислюються в рекурентний спосіб послідовним переглядом елементів . Подібна побудова поліквадратичних базисів реалізована в задачах решти вимірності [1-6, 8, 12].

(іі) на сітці із трикутних скінченних елементів з лінійною апроксимацією , базис конструюється із кусково визначених квадратичних функцій на чотирикутниках , які в барицентричних координатах та цих трикутників мають вигляд

(16)

Рис. 1. До побудови базису простору оцінювачів : для білінійних апроксимацій на чотирикутнику (зліва); для лінійних апроксимацій на двох суміжних трикутниках (справа).

Побудовані АОП використано в різний спосіб, один із них - для уточнення вузлових значень апроксимацій МСЕ, детальний опис якого можна знайти в статті [1]. Основним же застосуванням АОП є створення інтелектуальної складової системи керування розподілом похибок h-адаптивної схеми МСЕ, яка грунтується на розв'язуванні задачі оптимізації:

 (17)

Тут , .

Нижче наведено результати обчислювального експерименту проведеного за цією схемою, на кожному кроці якої, після додавання нових вузлів в центри елементів з недопустимими похибками, будувалася нова тріангуляція Делоне. Спостерігається збіжність апроксимацій з теоретично очікуваним порядком швидкості збіжності її похибок.

Рис. 2. Вихідна (n=0) та кінцева (n=15) сітки h-адаптування з для квадратної ніобітлітієвої пластинки зі стороною в 1 см, нижній край - защемлений і заземлений, на правий діє тиск , решта країв - вільні від механічного та електричного навантажень.

Табл. 1. Характеристика збіжності адаптивних апроксимацій, - кількість вузлів сітки , , .

n							,%
0	25	32	0,35355	0,35355	294878	26243	8,9
1	36	52	0,17678	0,35355	307219	18547	6,0	1,90
2	52	77	0,12500	0,35355	312277	16146	5,2	1,33
3	71	109	0,08839	0,35355	313242	16349	5,2	0,91
4	92	144	0,04419	0,35355	315418	12628	4,0	1,12
5	111	171	0,03125	0,35355	315680	12497	4,0	0,99
14	237	385	0,00552	0,25000	317964	9262	2,9	0,92
15	243	397	0,00552	0,25000	318041	9282	2,9	0,91
16	251	411	0,00552	0,25000	318089	9105	2,9	0,92
17	252	412	0,00552	0,25000	318089	9091	2,9	0,93

У третьому розділі вивчається задача про вимушені усталені коливання п'єзоелектрика. Як- що навантаження змінюються гармонійно в часі із круговою частотою за правилом

(20)

тоді наближений розв'язок задачі (1) - (4) шукається у вигляді лінійних комбінацій

, (21)

де невідомі амплітуди механічних зміщень та електричного потенціалу обчислюються як розв'язок варіаційної задачі

(22)

Теорема 5 про коректність варіаційної задачі (22).

Нехай на додаток до умов теореми 2 функціонал .

Тоді для кожного варіаційна задача (22) має єдиний розв'язок такий, що

, де .

Теорема 6 про збіжність апроксимацій МСЕ.

Нехай - розв'язок (22), причому існує натуральне таке, що , і нехай послідовність апроксимацій МСЕ визначається розв'язуванням задачі

(23)

в просторах апроксимацій , наділених властивістю (11).

Тоді швидкість збіжності послідовності характеризується оцінкою

,

де не залежить від величин, що нас цікавлять.

АОП апроксимацій МСЕ і h-адаптивна схема побудовано на підставі задачі

 (24)

із застосуванням просторів апроксимації з базисними функціями вигляду (15) та (16). Рис. 3 і табл. 2 характеризують збіжність h-адаптивної схеми для задачі про усталені коливання пластинки

Рис. 3. Початкова та кінцева сітки процесу h-адаптування з для квадратної ніобітлітієвої пластинки зі стороною в 1 см, лівий край - защемлений і заземлений, на правий діє тиск і решта межі вільна від механічних навантажень і контактує з ізолятором .

Таблиця 2. Збіжність адаптивних апроксимацій в задачі про усталені вимушені коливання (18).

k							,%
0	25	32	0,17678	0,17678	171039	11879	6,9
1	30	41	0,08839	0,17678	179859	9784	5,4	2,13
2	37	50	0,06250	0,17678	184347	9361	5,1	1,22
3	46	66	0,04419	0,17678	186737	8542	4,6	1,08
4	64	95	0,03125	0,17678	189085	7436	3,9	1,00
5	91	146	0,02210	0,13975	203400	6920	3,4	0,84
6	110	170	0,02210	0,13975	203089	6498	3,2	0,81
16	141	223	0,01105	0,12500	207027	6438	3,1	0,71
17	143	227	0,01105	0,12500	207153	6465	3,1	0,70
18	145	231	0,01105	0,12500	207168	6340	3,1	0,71
19	146	233	0,00552	0,12500	207202	6329	3,1	0,71

У четвертому розділі показано, що напівдискретизація Гальоркіна за просторовими змінними задачі п'єзоелектрики (7) приводить до задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

(25)

де складові , , ,, , , , , а - базиси просторів та . Тут шукані вектори і апроксимують значення зміщень та потенціалу у вузлах сітки .

Повна дискретизація задачі (7) завершується частинами визначеною апроксимацією

яка приводить до проекційної однокрокової рекурентної схеми такого ґатунку:

(26)

Теорема 7 про стійкість і збіжність ОРС (26).

Нехай розв'язок напівдискретизованої задачі такий, що , , і вектори обчислюються за допомогою рекурентної схеми (26) як апроксимації для моменту часу .

Тоді (і) рекурентна схема (26) безумовно ( відносно вибору кроку інтегрування ) стійка в сенсі норми , якщо її параметр ;

(іі) якщо параметр , то значення збігаються при до значень і при цьому, при , досягається максимальний порядок швидкості збіжності, який дорівнює двом.

Деякі з результатів моделювання реакції кварцевого стрижня на дію поздовжніх імпульсів тиску різної тривалості на одному із його кінців (інший- защемлений і заземлений) подано в табл. 3.

Таблиця 3. Залежність коефіцієнта електромеханічного зв'язку від форми та тривалості імпульсного навантаження P.

Навантаження	,	,

Метою п'ятого розділу є створення програмного продукту з відкритим початковим кодом та моделлю даних, яка дозволяє швидко і ефективно реалізовувати алгоритми МСЕ.

Взявши до уваги моделі існуючих реалізацій МСЕ (FEMLAB, ANSYS і інші), математичні пакети, що дозволяють реалізувати алгоритми МСЕ (MATHLAB, MATHEMATICA і інші) та сучасні технології програмування, побудовано об'єктно-орієнтовану модель даних та алгоритмів МСЕ для розв'язування крайових та початково-крайових задач математичної фізики, зокрема, і задач п'єзоелектрики. Модель включає набір базових класів, інтерфейсів та алгоритмів, які за потреби можуть бути швидко змінені (для прикладу імплементація нового або зміна існуючого обчислювального алгоритму). Модель розділяє на окремі функціональні елементи основні кроки алгоритму МСЕ: межа області; тріангуляція області; вибір апроксимації та способу інтегрування; коефіцієнти диференціальних рівнянь; крайові і початкові умови; формування та розв'язування системи лінійних алгебричних рівнянь; обчислення норм, АОП; виконання постпроцесорних схем (адаптування тріангуляцій, уточнення розв'язків).

Кожен з таких функціональних елементів є асоційований з відповідним набором полів і методів, що не залежать від простору і типу вибраної задачі. Ці набори складають систему базових абстрактних класів та інтерфейсів моделі. Вирішення усіх нюансів, що виникають внаслідок залежності від вимірності простору чи інших величин, відбувається у породжених класах. Детальний опис конкретних класів та інтерфейсів побудованої моделі можна знайти в [7].

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглянуто та вирішено низку питань, пов'язаних із побудовою та аналізом схем МСЕ для моделюванням взаємодії фізико-механічних полів у п'єзоелектриках, зокрема таких, які здатні знаходити апроксимації розв'язків задач з наперед заданою точністю.

Основні результати, які розширюють можливості МСЕ в задачах п'єзоелектрики, є такими:

1. Встановлено достатні і цілком придатні для практики умови коректності варіаційних задач статики та задач про вимушені усталені коливання п'єзоелектрика.

2. Для згаданих класів задач побудовано надійні апостеріорні оцінювачі похибок кусково лінійних та білінійних апроксимацій МСЕ на три- та чотирикутних елементах, розподіл значень яких об- числюється послідовним аналізом функціоналів джерел похибок на елементах тріангуляцій.

3. На основі запропонованих АОП сконструйовано h-адаптивні схеми МСЕ, які дозволяють знаходити розв'язки задач п'єзоелектрики з наперед заданою точністю.

4. З використанням об'єктно-орієнтованого підходу розроблено уніфіковану концепцію програм- ного забезпечення для розв'язування МСЕ задач математичної фізики, часткова реалізація якої здійснена для статичних, квазістатичних та початково-крайових задач п'єзоелектрики.

Всі теоретичні положення та висновки стосовно стійкості, збіжності та надійності пропонованих схем МСЕ підтверджено результатами числових експериментів, виконаних із застосуванням оригінального програмного забезпечення для комп'ютерного аналізу багатовимірних задач п'єзоелектрики.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Чабан Ф. Постпроцесорне уточнення полілінійних апроксимацій МСЕ для задач міграції домішок. /Чабан Ф., Шинкаренко Г.// Вісник Львів ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. Вип. 13, 2007. -с. 164-176.

2. Чабан Ф. Апостеріорні оцінювачі похибок скінченноелементних апроксимацій для задачі про вимушені гармонічні коливання п'єзоелектриків. /Чабан Ф., Шинкаренко Г.// Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2009. -52, №4. -с. 88-98

3. Чабан Ф. Числове моделювання взаємодії механічного й електричного полів у п'єзоелектрику // Фізико - матем. моделювання та інформаційні технології, №12, 2010. -с. 170-179.

4. Chaban F. Constructing of h-adaptive finite element method for piezoelectricity problem /Chaban F., Shynkarenko H. // J. Num. Appl. Math., №88, 2008, -pp. 1-9.

5. Chaban F. The construction and analysis of a posteriori error estimators for piezoelectricity stationary problems / Chaban F., Shynkarenko H. // Operator Theory: Advances and Application, Vol.191, 2009, -pp. 291-304.

6. Чабан Ф. Апостеріорні оцінювачі похибок апроксимацій МСЕ для задач про вимушені коливання п'єзоелектрика. // Відкр. наук.-техн. конф. молодих науковців і спеціалістів ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАНУ. Матеріали конф. Львів 3-4 жовтня 2007, -с. 210-213.

7. Чабан Ф. Побудова об'єктної моделі алгоритму методу скінченних елементів для задач п'єзо- електрики. // Computer science and engineering. Short papers. Lviv October 4-6, 2007, -с.150-154.

8. Чабан Ф. Розрахунок енергетичних характеристик п'єзоелектричних перетворювачів методом скінченних елементів з оцінювачем похибок. /Чабан Ф., Шинкаренко Г.// Актуальні задачі механіки неоднорідних структур. Матеріали конф. Львів 5-9 вересня 2007, -с. 82-83.

9. Kvasnytsia H. Construction of the h-adaptive FEM schema for the forced vibration problems. / Kvasnytsia H., Chaban F., Shynkarenko H.// Computer Methods in Mechanics. Short papers. Zielona Gуra 18-21 May 2009, -271-272p.

10. Чабан Ф. Застосування h-адаптивного методу скінченних елементів для аналізу околів резо нансних частот п'єзоелектрика // Матеріали конф. молод. вчених ІППММ ім. Я. Підстригача НАНУ 2009, -c.141-143.

11. Чабан Ф. Чисельне розв'язування тривимірних крайових задач міграції домішок методом скінченних елементів. // Восьма Всеукр. студент. наук. конф. з прикл. матем. та інформ. Львів14-15 квітня 2005, -с. 120-121.

12. Чабан Ф. Уточнення вузлових значень апроксимацій МСЕ для крайових задач міграції домішок. / Чабан Ф., Шинкаренко Г., Ямелинець А.// Сучасні проблеми приклад. матем. та інформ. Львів 4-6 жовтня 2005, -с. 158.

13. Чабан Ф. Апостеріорні оцінювачі похибок апроксимацій МСЕ для задач про вимушені коливання п'єзоелектрика. // Відкр. наук.-техн. конф. молодих науковців і спе ціалістів ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАНУ. Матеріали конф. Львів 3-4 жовтня 2007, -с. 210-213.

14. Чабан Ф. Числовий аналіз резонансних частот п'єзоелектрика методом скінченних елементів із оцінкою похибок. / Чабана Ф., Шинкаренко Г.// Сучасні проблеми прикл. матем. та інформ. Львів 2-4 жовтня 2007, -с.143-144.

15. Апостеріорний оцінювач похибок апроксимацій МСЕ в задачах про вимушені усталені коливання. / Квасниця Г., Остапов О., Хапко Т., Чабан Ф.// Сучасні проблеми прикл. матем. та інформ. Львів 23-25 вересня 2008, -с. 69.

16. Побудова h- адаптивних схем МСЕ для варіаційних задач п'єзоелектрики. /Лидка А., Чабан Ф., Шинкаренко Г., Росінска С.// Сучасні проблеми прикл. матем. та інформ. Львів 23-25 вересня 2008, -с. 76.

17. Чабан Ф., Шинкаренко Г. Порівняння критеріїв адаптування при розв'язуванні змішаних варіаційних задач п'єзоелектрики h-адаптивним МСЕ // Обчиcл. та прикл. матем-ка. Матеріали конф. Київ 2009, с.70.

18. Chaban F. Finite element approximations for the boundary value problems of piezoelectricity. / Chaban F., Shynkarenko H.//Modern analysis and applications. Odessa April 9-14, 2007, -pp. 31-32.

Размещено на Allbest.ru

...