Збіжність рядів Фур’є-Якобі у просторах інтегрованих функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ОЛЕСЯ ГОНЧАРА

01.01.01 - математичний аналіз

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЗБІЖНІСТЬ РЯДІВ ФУР'Є-ЯКОБІ У ПРОСТОРАХ ІНТЕГРОВАНИХ ФУНКЦІЙ

Гончаров Сергій Валерійович

Дніпропетровськ 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу і теорії функцій Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Моторний Віталій Павлович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, професор кафедри математичного аналізу і теорії функцій.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Тіман Майор Пилипович, Дніпропетровський державний аграрний університет, завідувач кафедри вищої математики.

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Сердюк Анатолій Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії функцій.

Захист відбудеться “17” червня 2011 року о 14 годині 00 хвилин на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.06 при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 18, к. 108.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий “11” травня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Вакарчук М. Б.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

інтегрований функція константа полінома

Актуальність теми. Питання, пов'язані із наближенням функцій рядами, і зокрема рядами Фур'є по ортогональних поліномах, займають одне з центральних місць у теорії наближень і відіграють важливу роль в інших галузях математики.

Поряд із системами ортогональних на тригонометричних і ортогональних на одиничному колі алгебраїчних поліномів, системи ортогональних на алгебраїчних поліномів також вважаються основними і тісно пов'язані з першими двома. Однією із таких є система поліномів Якобі: ортогональність її елементів визначається функцією ваги виду при і . У свою чергу, частковий випадок приводить до поліномів Лежандра і є в певному сенсі базовим. Серед інших важливих випадків - (поліноми Чебишова 1-го роду) і взагалі (ультрасферичні поліноми).

Дослідження поліномів Якобі і рядів Фур'є по них починається у роботах Т. Гронуолла, Г. Рау, Д. Джексона, Г. Сеге та ін. Наприкінці 1940-х років Х. Поллард, Дж. Нейман, У. Рудін, Г. Вінг встановлюють результати щодо поведінки рядів Фур'є-Лежандра у просторах , виділяючи ті з них, в яких норми операторів, що здійснюють відображення функції на -у часткову суму її ряду Фур'є-Лежандра, - константи Лебега, - обмежені. Б. Маккенхоупт пізніше узагальнив ці результати на випадок рядів Фур'є-Якобі. З нерівності Лебега випливає, що для кожної функції у такому просторі часткові суми відповідного їй ряду Фур'є-Якобі збігаються до неї, здійснюючи її наближення за порядком не гірше найкращого.

Однак ці ж результати вказують на існування таких значень , при яких в просторі константи Лебега необмежені, ряд Фур'є-Лежандра не для кожної функції збігається, і оцінка відхилень сум Фур'є-Лежандра, яку дає нерівність Лебега, не є найкращою за порядком.

Постає питання про умови для функції з такого простору , достатні для того, щоб її ряд Фур'є-Лежандра збігався до неї, а також про швидкість цієї збіжності.

Слід окремо зупинитися на ситуації у просторі , яку досліджували П. К. Суєтін, С. А. Агаханов, Г. І. Натансон, В. М. Бадков. Для одержання оцінок наближення функції її рядом Фур'є-Якобі тут були застосовані нерівність Лебега і варіанти теореми О. П. Тімана про посилення теореми Джексона щодо наближення неперервних функцій певних класів алгебраїчними поліномами.

Повертаючись до просторів , - для розв'язання поставленого питання виявилося доцільним використання так званих узагальнених констант Лебега. Два різновиди їх (як було встановлено пізніше, вони співпадають) для сум Фур'є-Лежандра були введені у роботах В. П. Моторного та В. М. Бадкова. Оцінки таких констант, у поєднанні із отриманим В. П. Моторним аналогом згаданої теореми О. П. Тімана для функцій з певними диференціально-різницевими властивостями, дозволили стверджувати, що наближення функцій деяких класів сумами Фур'є-Лежандра за порядком не гірше найкращого.

Зазначимо, що результати щодо посилення теореми Джексона у просторах , як і у просторах інтегровних з вагою функцій, представляють і самостійний інтерес.

З огляду на сказане вище, можна вважати актуальним одержання оцінок узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі та доведення аналогів теореми Джексона про наближення алгебраїчними поліномами у просторах інтегровних з вагою функцій, призначених, зокрема, для вивчення питань збіжності рядів Фур'є-Якобі в цих просторах, чому відповідає тема дисертації.

Дослідження в цьому та споріднених напрямках проводили також, окрім згаданих математиків, М. К. Потапов, Г. К. Лебідь, Л. Лорх, В. К. Дзядик, Б. М. Яхнін, П. Л. Ульянов, Ю. А. Брудний, Р. Аскей, Р. Девор, Р. Хант, Н. М. Казакова, Л. Б. Ходак, С. З. Рафальсон, Д. Картрайт та інші.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась згідно із загальним планом досліджень кафедри математичного аналізу і теорії функцій Дніпропетровського національного університету, згідно з держбюджетною темою № 1-160-08 «Збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах інтегровних функцій» (НДР 0108U000625).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є одержання точних за порядком оцінок узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі у просторах та теорем про наближення алгебраїчними поліномами в , і на цій основі - отримання умов збіжності рядів Фур'є-Якобі в у випадках, коли константи Лебега необмежені.

Об'єктом дослідження є простори інтегровних з вагою функцій, поліноми Якобі, ряди і суми Фур'є-Якобі, функціональні класи, зокрема, клас функцій, -та похідна яких задовольняє умову типу умови Ліпшица в інтегральній метриці.

Предметом дослідження є оцінки узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі, а також порядки наближення функцій вказаних класів алгебраїчними поліномами і сумами Фур'є-Якобі в метриці розглядуваних просторів.

Задачами дослідження є отримання порядкових оцінок зверху та знизу узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі; доведення теорем про наближення функцій алгебраїчними поліномами, знаходження порядків наближення функцій певних класів сумами Фур'є-Якобі.

Методи дослідження: загальні методи розв'язування задач теорії наближень, загальні факти математичного, функціонального аналізу і теорії функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі основні результати дисертації є новими і полягають у наступному:

- знайдено точні за порядком оцінки узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі в для певних випадків, коли звичайні константи Лебега є необмеженими;

- отримано варіант посилення теореми Джексона про наближення алгебраїчними поліномами в метриці для класів функцій, -та похідна яких задовольняє умову типу умови Ліпшица в інтегральній метриці;

- для цих класів та класів функцій із заданим порядком найкращого наближення у певних випадках знайдено порядкові оцінки зверху відхилень сум Фур'є-Якобі в . Вони свідчать, що ці суми здійснюють наближення функцій деяких класів в даних просторах за порядком не гірше найкращого, навіть якщо константи Лебега є необмеженими.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати дисертації можна використати для подальшого вивчення властивостей рядів по ортогональних поліномах та наближення функцій в інтегральних просторах.

Отримані результати представляють науковий інтерес і можуть бути використані для подальших досліджень з теорії наближень, які проводяться в Інституті математики НАН України, Інституті прикладної математики і механіки НАН України, Київському, Дніпропетровському, Донецькому, Львівському, Одеському національних університетах.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку досліджень і постановки всіх задач, що розглядаються у дисертації, належать науковому керівникові професору В. П. Моторному.

Результати розділу 2 і підрозділу 3.2 отримані спільно ([4]) В. П. Моторним, П. К. Нітіємою та здобувачем.

Результати розділу 4 і підрозділу 3.1 отримані здобувачем одноосібно.

Апробація результатів дисертації. Результати, отримані у дисертації, були представлені на конференціях:

- «Функціональні методи в теорії наближень і теорії операторів III» (пам'яті В. К. Дзядика) (Київ, 2009);

- «VI International Conference on Functional analysis and Approximation Theory» (Maratea, Italy, 2009);

- I-JAEN «Conference on Approximation Theory» (Ubeda, Jaen, Spain, 2010);

- «Міжнародна конференція з теорії наближень та її застосувань» (пам'яті М. П. Корнєйчука) (Дніпропетровськ, 2010);

та науковому семінарі з теорії наближень на механіко-математичному факультеті Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (квітень 2010 р., керівники - член-кор. НАН України, проф. В. П. Моторний, проф. В. Ф. Бабенко).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в наукових роботах [1-5] і в тезах доповідей наукових конференцій [6-9].

Структура і обсяг роботи. Дисертація загальним обсягом 123 сторінки машинописного тексту складається з титульного аркушу, змісту, переліку умовних позначень, вступу, 4 розділів основної частини, висновків і списку використаних джерел, який містить 59 найменувань. Кожний з її розділів розбитий на підрозділи, що нумеруються у межах розділу. Нумерація лем та теорем здійснюється у межах розділів; леми та теореми нумеруються незалежно.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено об'єкт та предмет дослідження, перелічено методи, використані при проведенні дослідження, висвітлено наукову новизну отриманих результатів, їх практичне значення, подано інформацію про апробацію результатів дисертації та публікації, описано структуру та зміст роботи.

Перший розділ дисертації присвячено постановкам основних задач дослідження та короткому огляду відомих результатів їх вирішення. Тут вводяться позначення, які використовуються у роботі; наведемо їх у скороченому вигляді:

Нехай , і , . Функції ваги та визначені на інтервалі .

Послідовність алгебраїчних поліномів , ортогональних на з вагою і нормованих умовою , має назву системи поліномів Якобі.

При - простір функцій, , модуль яких інтегровний за Лебегом у степені з вагою : .

Для , за стандартним співвідношенням, .

Кожній функції відповідає формальний розклад її у ряд Фур'є-Якобі:

Часткові суми цього ряду

У другому розділі одержані оцінки зверху узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі. Перший підрозділ містить допоміжні твердження і відомі властивості об'єктів дослідження, а у другому доводиться основний результат.

Покладаємо

і

Теорема 2.1. Нехай:

1) ; 2) , , , ;

3) , ;

4) , .

Тоді : ,

У третьому розділі вводиться клас функцій

,

де , , , ₊ (якщо - без умови )

Щодо цього класу у першому підрозділі встановлюється

Теорема 3.1. Нехай:

1) , , ₊, ; 2) якщо , то і .

Тоді:

a) :,, - алгебраїчний поліном, :

;

b) якщо , то : , , - алгебраїчний поліном, :

.

Із використанням теорем 2.1 та 3.1 у другому підрозділі доводиться

Теорема 3.2. Нехай:

1) ; 2) , ;

3) , ;

4) ,

; ;

5) ₊, ; 6) якщо , то і .

Тоді:

a) якщо і , то : ,

;

b) якщо , то : , ,

.

Наступні дві теореми теж дають оцінку зверху відхилення функції від часткової суми її ряду Фур'є-Якобі, застосовуючи теорему 2.1 і результати М. К. Потапова.

Нехай і . Для функція узагальненого зсуву

,

де .

Теорема 3.3. Нехай:

; , ;

,

;

,

;

, , , ,

і для функції виконується умова

.

Тоді:

.

Теорема 3.4.

Нехай:

;

, ;

,

; ,

;

, , , , ,

і функція така, що для ,

- функція узагальненого зсуву ,

для якої виконується умова

.

Тоді:

.

Метою четвертого розділу є доведення точності за порядком оцінок узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі, отриманих у розділі 2. Цей розділ також складається із двох підрозділів: перший містить допоміжні твердження, а другий - доведення основного результату.

Теорема 4.1.

Нехай виконуються умови (1)-(4) теореми 2.1. Тоді:

a) якщо або , то

і функція :

;

b) якщо або , то

і послідовність функцій

з :

;

c) якщо або , то

і послідовність функцій

з :

.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджуються задачі про порядкові оцінки узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі у просторах , про наближення функцій алгебраїчними поліномами в метриці з додатковою вагою та про порядки відхилення часткових сум рядів Фур'є-Якобі у даних просторах в ситуації, коли звичайні константи Лебега є необмеженими.

1. Знайдено точні за порядком оцінки узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі в просторах для певних випадків, у яких звичайні константи Лебега є необмеженими.

2. Отримано варіант посилення теореми Джексона про наближення функцій алгебраїчними поліномами на відрізку у просторах з додатковою вагою для класів функцій, -та похідна яких задовольняє умову типу умови Ліпшица в метриці . Вказані класи являють собою узагальнення класів у просторах .

3. У певних випадках одержано порядкові оцінки зверху відхилення функцій класів та деяких класів функцій із заданим порядком найкращого наближення від часткових сум відповідних їм рядів Фур'є-Якобі у просторах , які свідчать, що у даних випадках суми Фур'є-Якобі здійснюють наближення функцій цих класів за порядком не гірше найкращого, навіть якщо константи Лебега є необмеженими.

Користуючись нагодою, висловлюю щиру подяку моєму науковому керівникові професору Віталію Павловичу Моторному за увагу та інтерес до даної роботи, координацію і верифікацію процесу отримання її основних результатів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гончаров С. В. Оценки обобщённых констант Лебега частных сумм Фурье-Якоби / С. В. Гончаров, В. П. Моторный // Вісник Дніпропетр. ун-ту. - Матем. - 2007. - 12. - С. 70-83.

2. Гончаров С. В. О сходимости рядов Фурье-Якоби в среднем / С. В. Гончаров, В. П. Моторный // Вісник Дніпропетр. ун-ту. - Матем. - 2008. - 13. - С. 49-55.

3. Гончаров С. В. О приближении функций алгебраическими полиномами в метрике / С. В. Гончаров // Вісник Дніпропетр. ун-ту. - Матем. - 2009. - 14. - С. 48-59.

4. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье-Якоби / В. П. Моторный, С. В. Гончаров, П. К. Нитиема // УМЖ - 2010. - Т. 62, № 6. - С. 814-828.

5. Гончаров С. В. Об оценках снизу обобщённых констант Лебега сумм Фурье-Якоби в пространствах / С. В. Гончаров // Вісник Дніпропетр. ун-ту. - Матем. - 2010. - 15. - С. 91-101.

6. Моторная О. В. Свойства обобщённых констант Лебега для рядов Фурье-Якоби: тезисы межд. научной конф. «Functional Methods in Approximation Theory and Operator Theory III» (in memory of V. K. Dzyadyk) (Kyiv, 2009) / О. В. Моторная, В. П. Моторный, С. В. Гончаров. - С. 117-118.

7. Motorna O. V. Generalized Lebesgue constants for the partial sums of Fourier-Jacobi series : thesis of conf. “VI International Conference on Functional analysis and Approximation Theory” (Maratea, Italy, September 24-28, 2009) / O. V. Motorna, V. P. Motornyi, S. V. Goncharov. - 2009.

8. Моторный В. П. Обобщённые константы Лебега и сходимость в среднем рядов Фурье-Якоби : тези «Міжнародної конференції з теорії наближень та її застосувань» (пам'яті М. П. Корнєйчука) (Дніпропетровськ, 14-17 червня 2010) / В. П. Моторный, С. В. Гончаров, О. В. Моторная. - Дніпропетровськ, ДНУ, 2010. - С. 66.

9. Motornyi V. P. On Fourier-Jacobi series convergence in average : thesis of conf. I-JAEN “Conference on Approximation Theory” (Ubeda, Jaen, Spain, July 4-9, 2010) / V. P. Motornyi, O. V. Motorna, S. V. Goncharov. - 2010. - P. 129.

АНОТАЦІЯ

Гончаров С. В. Збіжність рядів Фур'є-Якобі у просторах інтегровних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, Дніпропетровськ, 2011.

В роботі досліджуються задачі про порядкові оцінки узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі у просторах , про наближення функцій алгебраїчними поліномами в метриці та про порядки відхилення часткових сум рядів Фур'є-Якобі у даних просторах в ситуації, коли константи Лебега є необмеженими.

Знайдено точні за порядком оцінки узагальнених констант Лебега сум Фур'є-Якобі в для певних випадків, коли звичайні константи Лебега необмежені.

Отримано варіант посилення теореми Джексона про наближення алгебраїчними поліномами в метриці для класів функцій, -та похідна яких задовольняє умову типу умови Ліпшица в інтегральній метриці.

Для цих класів та класів функцій із заданим порядком найкращого наближення у певних випадках знайдено порядкові оцінки зверху відхилень сум Фур'є-Якобі в . Вони свідчать, що ці суми здійснюють наближення функцій деяких класів в даних просторах за порядком не гірше найкращого, навіть якщо константи Лебега є необмеженими.

Ключові слова: ряди Фур'є-Якобі, суми Фур'є-Якобі, поліноми Якобі, константи Лебега, інтегральна метрика, умова Ліпшица, наближення алгебраїчними поліномами.

АННОТАЦИЯ

Гончаров С. В. Сходимость рядов Фурье-Якоби в пространствах интегрируемых функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, Днепропетровск, 2011.

В работе исследуются задачи о порядковых оценках обобщённых констант Лебега сумм Фурье-Якоби в пространствах , о приближении функций алгебраическими полиномами в метрике и о порядках уклонений частичных сумм рядов Фурье-Якоби в данных пространствах в ситуациях, когда константы Лебега являются неограниченными.

Найдены точные по порядку оценки обобщённых констант Лебега сумм Фурье-Якоби в пространствах интегрируемых с весом функций в определённых случаях, когда обычные константы Лебега неограниченны. Ранее, в работах В. П. Моторного и В. М. Бадкова, были получены оценки обобщённых констант Лебега сумм Фурье-Лежандра в пространствах , когда константы Лебега неограниченны.

Доказан вариант усиления теоремы Джексона о приближении функций алгебраическими полиномами в метрике пространств с дополнительным весом для классов функций, -я производная которых удовлетворяет условию типа условия Липшица в интегральной метрике. Эти классы являются обобщением классов в , а указанный результат обобщает результат В. П. Моторного о приближении алгебраическими полиномами функций классов в .

В определённых случаях для функций из классов и классов функций с заданным порядком наилучшего приближения установлены порядковые оценки сверху уклонений их от частичных сумм соответствующих им рядов Фурье-Якоби в пространствах . Эти оценки свидетельствуют о том, что названные суммы могут осуществлять приближение функций некоторых классов в по порядку не хуже наилучшего, даже в том случае, когда константы Лебега неограниченны. Таким образом, при дополнительных условиях улучшение дифференциально-разностных свойств функции оказывает большее влияние на сходимость соответствующего ей ряда Фурье-Якоби, чем рост констант Лебега.

Ключевые слова: ряды Фурье-Якоби, суммы Фурье-Якоби, полиномы Якоби, константы Лебега, интегральная метрика, условие Липшица, приближение алгебраическими полиномами.

ANNOTATION

Goncharov S. V. Convergence of Fourier-Jacobi series in the spaces of integrable functions. - Manuscript.

Thesis for the candidate degree in Physical and Mathematical Sciences on speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Dnepropetrovsk National University named after Oles Gonchar, Dnepropetrovsk, 2011.

The thesis concerns the following problems: the estimates for the generalized Lebesgue constants of Fourier-Jacobi series in the spaces () of functions being integrable with a weight of certain form, the approximation by algebraic polynomials in , and the convergence of Fourier-Jacobi series in these spaces when usual Lebesgue constants are unbounded.

We find the estimates of an exact order for the generalized Lebesgue constants of Fourier-Jacobi series in , in certain cases when the Lebesgue constants are unbounded.

We prove the theorem about the approximation by algebraic polynomials in with an additional weight for the classes : these classes consist of functions whose -th derivative satisfies a condition of Lipschitz type in the integral metric.

Then we show that the approximation by the partial sums of Fourier-Jacobi series for the functions from certain classes in is of an order not worse than the best even when the Lebesgue constants are unbounded.

Keywords: Fourier-Jacobi series, Fourier-Jacobi sums, Jacobi polynomials, Lebesgue constant, integral metric, Lipschitz condition, approximation by algebraic polynomials.

Размещено на Allbest.ru

...