Недовизначені нетерові крайові задачі в критичних випадках

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Актуальність теми. Дослідження слабкозбурених систем звичайних диференціальних рівнянь, традиційне для київської школи нелінійних коливань, започаткували в 30-ті роки М.М. Крилов та М.М. Боголюбов як розвиток методу малого параметру, що його створили А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов та Б. Ван-дер-Поль. Істотний внесок до розвитку теорії нелінійних коливань зробили О. Вейвода, І.Г. Малкін, В.І. Арнольд, Т. Хаясі, Ю.О. Митропольський, А.М. Самойленко, Є.О. Гребєніков, Ю.О. Рябов, М.О. Перестюк та О.А. Бойчук.

Традиційною вимогою під час дослідження нелінійних крайових задач була їх фредгольмовість, зокрема це стосувалося періодичних крайових задач. Крім того, переважна кількість досліджень фредгольмових крайових задач проводилась у некритичному випадку.

Актуальність дослідження задачі про знаходження конструктивних умов існування та побудову розв'язків нетерових автономних і неавтономних крайових задач для нелінійних систем диференціальних рівнянь пов'язана з недостатнім вивченням низки критичних випадків, особливо таких, для яких при знаходженні конструктивних умов існування та побудові розв'язків істотно використовуються другі й вищі похідні нелінійностей системи диференціальних рівнянь та векторного функціоналу, який визначає крайову умову. Такі задачі знаходять широке застосування в теорії нелінійних коливань, теорії стійкості руху, у механіці, у небесній механіці, біології та радіотехніці.

Вивчення автономних періодичних крайових задач для нелінійних систем диференціальних рівнянь у критичному випадку з використанням другої похідної нелінійності системи диференціальних рівнянь започатковане І.Г. Малкіним, зокрема для відомого рівняння, яке описує рух маятника точка підвісу якого здійснює вертикальні гармонійні коливання великої частоти.

Дослідженню нетерових автономних і неавтономних крайових задач для нелінійних систем диференціальних рівнянь у критичних випадках з використанням других похідних нелінійностей системи диференціальних рівнянь та векторного функціоналу, який визначає крайову умову, присвячені роботи А.М. Самойленка, О.А. Бойчука та С.М. Чуйка. Зокрема в монографіях А.М. Самойленка та О.А. Бойчука для неавтономних крайових задач у критичному випадку другого порядку одержано конструктивні умови існування, проте задля спрощення перетворень були використані певні припущення щодо похідних нелінійностей системи диференціальних рівнянь та крайової умови. В роботах О.А. Бойчука та С.М. Чуйка одержано конструктивні умови існування автономних крайових задач в особливому критичному випадку, для якого рівняння для породжуючих констант перетворюється на тотожність. В той же час недостатньо вивчено частинний критичний випадок, досліджений І.Г. Малкіним на окремому прикладі кратних розв'язків рівняння для породжуючих амплітуд, який не може буде віднесено до критичного випадку першого чи другого порядку, а також до особливого критичного випадку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згiдно з планом дослiджень міжвідомчої лабораторії "Крайові задачі теорії диференціальних рівнянь" у складі вiддiлу диференцiальних рiвнянь і теорії коливань Iнституту математики НАН України та пов'язана з тематичним планом фундаментальної науково-дослідної роботи "Класифікаційні методи теорії наближення функцій і теорії крайових задач з імпульсним впливом" (реєстраційний № 0109U000381), яка фінансується з коштів державного бюджету й виконується в Слов'янському державному педагогічному університеті, а також із спільним німецько-українським науковим проекту "Гладкість із точки зору теорії класів функцій і теорії наближень" Німецького фонду наукових досліджень (DFG, реєстраційний номер GZ:436UKR 13/103/0-1), яка виконується в Слов'янському державному педагогічному університеті та університеті ім. Ф. Шиллєра (м. Йєна, Німеччина).

Мета i завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є визначення конструктивних умов існування та побудова збіжних ітераційних алгоритмів знаходження розв'язків крайових задач для автономних та неавтономних слабконелінійних систем диференціальних рівнянь.

Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є автономні та неавтономні слабконелінійні крайові задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь.

Предметом дослідження є умови існування та ітераційні алгоритми знаходження розв'язків крайових задач для автономних та неавтономних слабконелінійних систем диференціальних рівнянь в критичних випадках.

Задачі дослідження полягають у подоланні проблеми визначення конструктивних умов існування автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у частинному критичному випадку та у побудові більш ефективних ітераційних схем для знаходження розв'язків автономних нетерових крайових задач та неавтономних крайових задач у критичному випадку другого порядку.

Методи дослідження. У роботі суттєво використовується апарат псевдообернення матриць за Муром-Пенроузом, задіяно ефективні методи Ляпунова-Пуанкаре, конструкції узагальнених операторів Гріна, побудовані в роботах А.М. Самойленка й О.А. Бойчука та метод найменших квадратів, розвинений для лінійних крайових задач у роботах М.М. Крилова, М.М. Боголюбова, М.П. Кравчука.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати, що визначають наукову новизну й виносяться на захист, такi:

[1.] Виявлено подібність, що об'єднує автономні нетерові крайові задачі та неавтономні періодичні крайові задачі в критичному випадку другого порядку, а саме: недовизначеність, яка полягає в необхідності одночасного знаходження розв'язку крайової задачі та деякої функції, що гарантує існування розв'язку.

[2.] Для знаходження розв'язків періодичної задачі для рівняння Матьє та його власних функцій побудовано комбіновану ітераційну схему з використанням методу простих ітерацій, а також техніки найменших квадратів.

[3.] Для автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у частинному критичному випадку встановлено оригінальні необхідну і достатню умови існування шуканих розв'язків та побудовано модифіковану ітераційну схему з використанням техніки найменших квадратів.

[4.] На прикладі періодичних задач для рівнянь Матьє, Льєнара та Ван-дер-Поля продемонстровано значне зменшення величини нев'язок побудованих розв'язків у порівнянні з традиційним методом простих ітерацій, а також технікою Бубнова-Гальоркіна. Для оцінки точності знайдених наближень до періодичних розв'язків рівнянь Матьє, Льєнара та Ван-дер-Поля використовується величина нев'язки цих наближень у вихідних рівняннях.

Практичне значення одержаних результатiв. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані в подальших дослідженнях у якісній теорії диференціальних рівнянь, під час побудови ітераційних процедур для конкретних диференціальних рівнянь, крім того, для дослiдження задач теорiї стiйкостi руху та теорiї керування, а також при моделюванні та дослідженні фізичних, економічних і біологічних процесів. Отримані результати успішно використовуються в навчальному процесі в Слов'янському державному педагогічному університеті.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи здобувач отримала самостійно. За темою дисертацiї у фахових виданнях опублiковано одну самостійну роботу автора, а також 4 -- спільні. У спільних роботах [2 - 4] із науковим керівником С.М. Чуйком здобувачу належить загальна схема розв'язання та доведення одержаних результатів. У спільній роботі [5] з С.М. Чуйком та І.О. Бойчуком здобувач побудувала ітераційну схему та отримала наближення до періодичного розв'язку рівняння Матьє.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на:

[1.] Міжнародній науковій конференції "Differential and Difference Equation and Application" (м. Жиліна, Словаччина, 2008 р.);

[2.] Міжнародній науковій конференції "Математика. Компьютер. Образование" (м. Дубна, Росія, 2010 р.);

[3.] Міжнародній науковій конференції "Ломоносовские чтения" (м.Севастополь, 2010 р.);

[4.] Засiданні семiнару "Forschungsseminar" (м. Йєна, Німеччина, 2009р.; науковий керівник -- академік Берлінської АН, професор Х.Трібель);

[5.] Засiданні семiнару вiддiлу диференцiальних рiвнянь і теорії коливань Iнституту математики НАН України (науковий керівник -- академік НАН України, професор А.М. Самойленко).

Публiкацiї. За темою дисертацiї опублiковано 7 робіт; iз них 4 -- у провiдних фахових перiодичних наукових журналах, що входять до переліку № 1 ВАК України від 9.06.1999 р. [1 -- 4], одна -- у зарубіжному фаховому виданні [5], та двоє тез доповідей [6,7] на міжнародних наукових конференціях.

Структура дисертацiї. Дисертацiйнароботаскладаєтьсязі вступу, трьох роздiлiв, висновку та списку цитованої лiтератури, який мiстить 150 назв. Обсяг роботи складає 128 сторiнок друкованого тексту.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику доктору фіз.-мат. наук С.М. Чуйку та академіку НАН України, доктору фіз.-мат. наук, професору А.М. Самойленку за постійну увагу до роботи й обговорення одержаних результатів.

Основний зміст роботи

У вступi обґрунтовується актуальнiсть теми, формулюється мета дослiдження, подається короткий аналiз сучасного стану проблем, якi досліджуються в дисертацiї, та наводиться загальний опис одержаних результатiв.

У першому розділі наведено огляд літератури з теорії слабконелінійних автономних та неавтономних нетерових крайових задач у критичних випадках, також наведено необхідні відомості з лінійної алгебри, теорії проекторів та теорії псевдообернених за Муром-Пенроузом матриць. Спільною рисою розглянутих автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі та неавтономної крайової задачі є недовизначеність, яка полягає в необхідності одночасного знаходження розв'язку крайової задачі та визначення певної функції, що гарантує існування цього розв'язку. Для знаходження розв'язків поставлених задач запропоновано техніку методу найменших квадратів, яку розробили М.П. Кравчук, М.М. Крилов та М.М. Боголюбов для лінійних періодичних крайових задач.

Зазначено, що дослідження слабкозбурених систем звичайних диференціальних рівнянь започаткували в 30-ті роки М.М. Крилов та М.М. Боголюбов як розвиток методу малого параметра, що його створили А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов та Б. Ван-дер-Поль. Істотний внесок у розвиток теорії нелінійних коливань зробили В.І. Арнольд, А.М. Самойленко, І.Г. Малкін, О. Вейвода, Є.О. Гребєніков, Ю.О. Рябов, Т. Хаясі та О.А.Бойчук. Ефективним методом дослідження слабконелінійних нетерових крайових задач є використання техніки псевдообернення матриць за Муром-Пенроузом та узагальнених операторів Гріна, докладно описаних у монографії А.М. Самойленка та О.А. БойчукаBoichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. - Utrecht; Boston: VSP, 2004. - XIV + 317 pp. .

У другому розділі досліджено задачу про знаходження розв'язку нетерової крайової задачі

(1)

який при перетворюється на розв'язок породжуючої задачі

(2)

Функція двічі неперервно диференційовна по в малому околі розв'язку породжуючої задачі та по -- в околі нуля, а також неперервна по -- лінійний та -- нелінійний векторні функціонали. Функціонал -- двічі неперервно диференційовний по в околі розв'язку породжуючої задачі та по -- на відрізку За умови

породжуюча задача (2) має лінійно незалежних розв'язків:

Тут -- -матриця, -вимірна матриця , складена з лінійно незалежних стовпців нормальної фундаментальної матриці однорідної частини диференціальної системи (2); -- -матриця-ортопроектор -вимірна матриця , складена з лінійно незалежних рядків матриці-ортопроектора -- оператор Гріна задачі Коші для системи (2), -- узагальнений оператор Гріна.

Теорема 2.2.1. Припустимо, що для задачі (1) має місце критичний випадок й виконується умова розв'язності породжуючої задачі (2). За цих умов для кожного кореня рівняння Бойчук А.А. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи /А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев, А.М. Самойленко. -- К.: Ин-т математики НАН Украины, 1995. -- 318 с.

у випадку задача (1) має принаймні один розв'язок;

Тут та

-- -вимірні матриці, -- -матриці-ортопроектори,

-- -матриці,

та

-- лінійні функціонали, -- -вимірна матриця.

За умови будемо говорити, що для крайової задачі (1) має місце критичний випадок другого порядку, характерний тим, що для відповіді на питання про існування шуканого розв'язку достатньо враховувати першу й другі похідні нелінійностей і При знаходженні розв'язків неавтономної слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку побудовано модифіковану ітераційну схему за технікою найменших квадратів [3,5].

В якості прикладу в дисертації доведено існування розв'язку, і крім того, побудовано наближений періодичний розв'язок відомого рівняння Матьє

(3)

означений у малому околі розв'язку породжуючої задачі

Дотримуючись запропонованої в монографії А.М.Самойленка та О.А. Бойчука Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. - Utrecht; Boston: VSP, 2004. - XIV + 317 pp. 3 схеми побудови 2-періодичного розв'язку рівняння Матьє та починаючи із третьої ітерації, приходимо до появи в наближеннях до розв'язку секулярних членів вигляду які задовольняють крайові умови

але не є -періодичними функціями.

У дисертації запропоновано двокрокову ітераційну схему, побудовану за технікою найменших квадратів [3,5], яка для фіксованого визначає послідовні наближення до функції

і відповідної функції Матьє Нехай -- система лінійно незалежних -періодичних двічі неперервно диференційовних скалярних функцій та -- система лінійно незалежних неперервних функцій. Позначимо матриці:

За умови, що при , послідовні наближення до періодичного розв'язку рівняння Матьє визначає ітераційна схема [3, 5]:

Тут

-- -матриці Грама,

-- -матриці,

-- -матриці Грама. Щоб оцінити точність знайдених у дисертації другого наближення до періодичного розв'язку рівняння Матьє та його власної функції визначимо нев'язку

Одержані нами другі наближення до періодичного розв'язку рівняння Матьє при визначеній його власній функції значно перевершують за точністю раніше відомі наближення. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. -- М.: Наука, 1979. -- 432с.

У третьому розділі досліджено задачу про знаходження розв'язку автономної нетерової крайової задачі

(4)

який при перетворюється на розв'язок породжуючої задачі

(5)

Припустимо, що в критичному випадку виконано умову

при цьому задача (5) має параметричну сім'ю розв'язків

Лема 3.2.1. Якщо автономна нетерова крайова задача (4) має розв'язок який при перетворюється на породжуючий то вектор задовольняє рівняння для породжуючих констант Чуйко С.М., Бойчук И.А. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелінійні коливання. -- 2009. -- Т. 12, № 3. -- C. 405--416.

(6)

Тут

Позначимо - та -вимірні матриці:

Тут

Нехай -- система лінійно незалежних неперервно диференційовних -вимірних вектор-функцій та -- система лінійно незалежних неперервних функцій. Зафіксуємо матриці:

Позначимо матриці

і відповідні матриці Грама:

Позначимо також -матрицю

-матрицю

та матриці Грама:

Теорема 3.3.1. Для кожного простого кореня рівняння для породжуючих констант (6) задача (4) має принаймні один розв'язок, який при перетворюється на породжуючий Тут

-- -матриця, -- -матриця-ортопроектор. За умов, що

цей розв'язок можна визначити за допомогою ітераційної схеми, побудованої з використанням техніки найменших квадратів [4].

На прикладі рівнянь Льєнара та Ван-дер-Поля продемонстровано ефективність запропонованої ітераційної схеми, знайдено наближення до періодичного розв'язку рівняння Ван-дер-Поля та функції , які значно перевищують за точністю наближення отримані за допомогою методу малого параметра Ляпунова-Пуанкаре й модифікації методу малого параметра з використанням методу Бубнова-Гальоркіна Andersen C.M. Power expansion for the Frequency and period of limit cycle of the Van der Pol equation / C.M. Andersen, J.F. Geer // SIAM Journ. Applied Math. -- 1982. -- V. 42. -- P.678 -- 693..

Припустимо далі, що рівняння для породжуючих констант (6) має кратний дійсний корінь , для якого

У цьому випадку схему аналізу автономних крайових задач, запропоновану в статті Чуйка С.М. і Бойчука І.О. Чуйко С.М., Бойчук І.О. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелінійні коливання. -- 2009. -- Т. 12, № 3. -- C. 405--416., не можна застосувати, оскільки задача (4) не може бути віднесена до жодного із критичних випадків: першого, другого чи більш високого порядку.

Лема 3.5.1. Якщо крайова задача (4) в критичному випадку має розв'язок, який при перетворюється на породжуючий то задовольняє рівняння

Тут -- -вимірна матриця, складена з лінійно незалежних рядків матриці-ортопроектора [2].

Позначимо -матрицю:

і нехай -- -вимірна матриця-ортопроектор:

Теорема 3.5.1. У критичному випадку для кореня рівняння задача (4) за умов

та має принаймні один розв'язок, який при перетворюється на породжуючий [1,2].

Будемо казати, що для крайових задач має місце частинний критичний випадок, якщо для них справджуються умови доведеної теореми 3.5.1. На прикладі періодичної задачі для рівняння типу Хілла продемонстровано ефективність запропонованої техніки для знаходження наближених розв'язків рівняння у частинному критичному випадку з використанням методу найменших квадратів.

Висновки

У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

[1.] Виявлено подібність, що об'єднує автономні нетерові крайові задачі та неавтономні періодичні крайові задачі в критичному випадку другого порядку, а саме: недовизначеність, яка полягає в необхідності одночасного знаходження розв'язку крайової задачі та деякої функції, що гарантує існування розв'язку.

[2.] Для знаходження розв'язків періодичної задачі для рівняння Матьє побудовано модифіковану ітераційну схему з використанням техніки найменших квадратів.

[3.] Для автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у частинному критичному випадку встановлено оригінальні необхідну й достатню умови існування шуканих розв'язків та побудовано модифіковану ітераційну схему з використанням техніки найменших квадратів.

[4.] На прикладі періодичних задач для рівнянь Матьє, Льєнара та Ван-дер-Поля продемонстровано значне зменшення величини нев'язок побудованих розв'язків у порівнянні з традиційним методом простих ітерацій, а також технікою Бубнова-Гальоркіна.

Список опублікованих праць за темою дисертації

[1] Старкова О.В. Автономна нетерова крайова задача в частинному критичному випадку / О.В. Старкова // Вісник Київ. нац. ун-ту ім. Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. -- 2009. -- № 4. -- С.59--62.

[2] Чуйко С.М. Автономные краевые задачи в частном критическом случае / С.М. Чуйко, О.В. Старкова // Динамические системы. - 2009. -- Т. 27. -- C. 127-142.

[3] Чуйко С.М. Двухшаговая итерационная схема для построения функций Матье / С.М. Чуйко, О.В. Старкова // Динамические системы. -- 2009. -- Т. 26. -- С. 103--113.

[4] Чуйко С.М. О приближенном решении автономных краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко, О.В. Старкова // Нелінійні коливання. -- 2009. -- Т. 12, № 4. -- C. 556--573.

[5] Boychuk I. Weakly perturbed nonlinear boundary-value problem in critical case / I. Boychuk, O. Starkova, S. Tchujko // Studies of the University of ilina. Mathematical Series. -- October, 2009. -- V. 23, №1.-- P. 1 -- 8.

Тези конференцій за темою дисертації

[6] Чуйко С.М. Метод наименьших квадратов в теории нелинейных нетеровых краевых задач / С.М. Чуйко, О.В. Старкова // Математика. Компьютер. Образование.: междунар. науч. конф., 25-30 января 2010 г.: тезисы докл. -- Дубна, Россия, 2010. -- C. 51.

[7] Чуйко С.М. Автономная краевая задача в частном критическом случае / С.М. Чуйко, О.В. Старкова // Ломоносов 2010: междунар. науч. конф. студ., аспир. и мол. ученых, 21--23 апреля 2010 г.: тезисы докл. -- Севастополь, 2010. -- C. 331--332.

Размещено на Allbest.ru