Нетерові крайові задачі для вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

НЕТЕРОВІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ВИРОДЖЕНИХ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

ШЕГДА Любов Михайлівна

Київ - 2010

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія крайових задач займає одне з центральних і важливих місць в якісній теорії звичайних диференціальних рівнянь. Основи теорії крайових задач було закладено в роботах С.Н. Бернштейна, Г.Д. Біркгофа, Є.Л. Буницького, Е. Камке, Р.Є. Лангера, О.М. Ляпунова, І.Г. Малкіна, А. Пуанкаре, Г. Флоке.

В 80-х роках минулого сторіччя в роботах Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуліна, Е.А. Гребенікова, Ю.О. Рябова почала розвиватись теорія крайових задач фредгольмового типу для систем функціонально-диференціальних рівнянь.

Різні аспекти теорії лінійних і слабко нелінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, систем із запізненням аргументу, з імпульсною дією, інтегро-диференціальних систем, матричних диференціальних рівнянь за допомогою апарату узагальнено-обернених операторів досліджувались в роботах А.М. Самойленка, О.А. Бойчука, В.Ф. Журавльова, С.А. Кривошеї, С.М. Чуйка та інших авторів.

В останні роки в прикладних галузях з'являються математичні моделі процесів, які описуються взаємозв'язаними системами алгебраїчних і диференціальних рівнянь. Різноманітні практичні задачі приводять до математичних моделей, що описуються системами диференціальних рівнянь з різного роду виродженнями: наявністю при старших похідних виродженої матриці, малих параметрів або такої матриці, яка вироджується при певних значеннях незалежної змінної чи параметрів. Відомо, що деякі задачі оптимального керування, лінійного програмування, теорії електричних кіл, економіки, автоматичного регулювання, теорії пружності, гідродинаміки, хімічної та біологічної кінетики тощо моделюються системами диференціальних рівнянь з виродженою матрицею при похідній вигляду

.

Активне вивчення таких вироджених систем розпочалося з 80-х років минулого сторіччя групами математиків Ю.Є. Бояринцевим, В.М. Корсуковим (СРСР, 1975 р.) та C.W. Gear, S.L. Campbell, L.R. Petzold (США, 1971 - 1973 рр.). Окремі результати були отримані ще раніше. Перш за все, слід відмітити роботу М.М. Лузіна і зауваження Ф.Р. Гантмахера про структуру загального розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь з коефіцієнтами, які утворюють сингулярну пару матриць.

В теорії вироджених систем важливу роль відіграє поняття центральної канонічної форми, яке вперше було введене американськими математиками S.L. Campbell, L.R. Petzold в 1983 році. В опублікованих протягом останніх десятиліть працях Ю.Є. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, S.L. Campbell, L.R. Petzold, E. Griepentrog, R. Marz, R.E. O'Malley, А.Г. Руткаса, А.М. Самойленка, В.П. Яковця, М.І. Шкіля, С.П. Зубової, І.І. Старуна, Г.О. Куриної, К.І. Чернишова та інших математиків розроблено різні аспекти загальної теорії цих систем.

В даній роботі будемо розглядати незбурені та збурені вироджені нетерові крайові задачі загального вигляду, в яких крайові умови задаються лінійним векторним функціоналом за припущення, що незбурена вироджена диференціальна система зводиться до центральної канонічної форми. В даній постановці нетеровість оператора, який визначає крайову задачу, що розглядається, означає, що число крайових умов не співпадає з вимірністю початкової диференціальної системи. Таким чином, розглядаються недостатньо досліджені недовизначені, перевизначені критичні (або резонансні) крайові задачі для вироджених диференціальних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана із науковими дослідженнями кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, із виконанням завдань в рамках держбюджетної науково-дослідної теми № 01БФ038-03 "Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем" (номер державної реєстрації 0104U003264) і відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України в рамках держбюджетної теми № 0105U007978.

Мета i задачі дослідження. Метою дослідження є отримання необхідних та достатніх умов розв'язності нетерових лінійних та нелінійних крайових задач для вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь та побудова алгоритмів відшукання розв'язків таких задач.

Об'єктом дослідження є лінійні та нелінійні системи звичайних диференціальних рівнянь з виродженою матрицею при похідній.

Предметом дослідження є отримання умов існування та побудова розв'язків лінійних і нелінійних крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь з виродженою матрицею при похідній.

Методи дослідження. В роботі використовуються якісні методи теорії крайових задач для звичайних диференціальних систем, теорія псевдообернених за Муром-Пенроузом матриць, метод Вішика-Люстерніка і методи стискуючих відображень та послідовних наближень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати:

* доведено необхідну та достатню умови розв'язності виродженої лінійної неоднорідної нетерової крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь;

* встановлено умови біфуркації розв'язків слабко збуреної виродженої лінійної крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь за припущення, що породжуюча задача не має розв'язків при довільних неоднорідностях;

* запропоновано спосіб відшукання розв'язків у вигляді частини ряду Лорана за степенями малого параметра зі скінченним числом від'ємних степенів ;

* отримано необхідну та достатню умови існування розв'язків слабко нелінійних вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку та досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами;

* запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабко нелінійних вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, одержані в роботі, носять теоретичний характер та можуть бути використані при подальших дослідженнях в теорії вироджених диференціальних рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати дисертаційної роботи отримано автором самостійно. У спільних роботах з науковим керівником О.А. Бойчуку належать постановки задач, напрямок досліджень і обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на:

· Міжнародній науковій конференції "Dynamical System Modeling and Stability Investigation" (Київ, 22 ? 25 травня, 2007 р.);

· ХІІ Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 15 ? 17 травня, 2008 р.);

· Міжнародній науковій конференції "Боголюбовські читання, 2008. Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування" з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка (Мелітополь, 16 ? 21 червня 2008 р.);

· Міжнародній науковій конференції "Conference on Differential and Difference Equations and Applications 2008" (CDDEA 2008) (Жіліна, Словаччина, 23 ? 27 червня, 2008 р.);

· Міжнародній науковій конференції "Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing" (Пловдів, Болгарія, 12 ? 18 серпня, 2008 р.);

· Міжнародній конференції до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (Чернівці, 27 ? 29 травня, 2009 р.);

· Міжнародній науковій конференції "Dynamical System Modeling and Stability Investigation" (Київ, 8 ? 13 червня, 2009 р.);

· науковому семінарі кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 12 наукових роботах. З них 4 статті [1 - 4] - у фахових виданнях з переліку затвердженого ВАК України, [5] - препринт Інституту математики НАН України та [6 - 12] - тези доповідей на міжнародних математичних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'ятьох розділів, загальних висновків і списку використаних джерел, що містить 140 найменувань. Повний обсяг роботи складає 137 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

крайовий задача біфуркація рівняння

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету, задачі, об'єкт, предмет та визначено методи дослідження.

Перший розділ роботи присвячено огляду літератури, пов'язаної з темою дисертації. В ньому висвітлено основні етапи розвитку теорії крайових задач, описано ідеї, методи та підходи до вивчення вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь.

Другий розділ носить допоміжний характер. У ньому викладено основні означення і твердження, що використовуються в подальших дослідженнях.

Підрозділ 2.1 містить ряд означень і тверджень із лінійної алгебри і теорії псевдообернених матриць, які знайшли застосування в роботі.

У підрозділі 2.2 наведено базові твердження із загальної теорії вироджених лінійних систем, які використовуються в подальших викладках.

Третій розділ присвячено дослідженню крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь з виродженою на всьому відрізку, де розглядається задача, матрицею при похідній для випадку, коли кількість невідомих не співпадає з кількістю крайових умов ? це так звані вироджені нетерові крайові задачі.

В підрозділі 3.1 сформульована постановка задачі щодо побудови розв'язку лінійної неоднорідної крайової задачі

,(1)

,(2)

де Ї -вимірні матриці, компоненти яких є дійсними, достатню кількість раз диференційовні на функціями: ; - матриця сталої структури, коли її визначник на всьому проміжку , де досліджується крайова задача, є виродженим: ; - -вимірний вектор-стовпець з простору ; - -вимірний вектор-стовпець констант; ; - лінійний векторний функціонал, означений на просторі -вимірних, неперервних на вектор-функцій: col

В підрозділі 3.2 отримано критерій розв'язності та побудовано розв'язок крайової задачі (1), (2) за умови, що система (1) невиродженим лінійним перетворенням зводиться до центральної канонічної форми. У такому випадку загальний розв'язок виродженої системи лінійних диференціальних рівнянь (1) має вигляд

(3)

де - фундаментальна матриця розміром , складена з лінійно незалежних розв'язків відповідної однорідної диференціальної системи (1); - -вимірний вектор довільних дійсних сталих; - деякий частинний розв'язок неоднорідної диференціальної системи (1), який можна знайти за формулою

Для того, щоб загальний розв'язок (3) диференціальної системи (1) задовольняв крайову умову (2), необхідно і достатньо, щоб була розв'язною алгебраїчна відносно система з прямокутною -вимірною матрицею

.(4)

Система (4), а отже, і крайова задача (1), (2) розв'язна тоді і тільки тоді, коли її вільний член належить ортогональному доповненню підпростору , тобто коли

де - -вимірна матриця (ортопроектор), яка проектує простір на нуль-простір матриці :



Нехай rank. Оскільки rank - rank, то матрицю можна замінити -вимірною матрицею , яка складається з лінійно незалежних рядків матриці . Отже, необхідною і достатньою умовою розв'язності системи (4) є лінійно незалежних умов

.

Якщо остання умова виконується, то розв'язок системи (4) має вигляд

де -- єдина псевдообернена за Муром-Пенроузом до матриця, - -вимірна матриця (ортопроектор), яка проектує простір на нуль-простір матриці :

Оскільки rankrank, то матрицю можна замінити -вимірною матрицею , яка складається з лінійно незалежних стовпців матриці .

Підставляючи знайдену константу в (3), отримуємо загальний розв'язок крайової задачі (1), (2).

Доведено наступне твердження.

Теорема 3.2.1. Крайова задача (1), (2) розв'язна тоді і тільки тоді, коли неоднорідності в диференціальній системі та в крайовій умові задовольняють лінійно незалежні умови:

(5)

при цьому задача має -параметричну сім'ю лінійно незалежних розв'язків

,(6)

де ; - узагальнений оператор Гріна виродженої крайової задачі (1), (2), який діє на довільну вектор-функцію з таким чином:

Як ілюстрацію доведеної теореми 3.2.1 в підрозділі 3.3 розглянуто застосування цієї теореми в теорії керування та знайдено умови на , при яких крайова задача буде розв'язною при довільних неоднорідностях . Цей підхід можна розглядати як задачу керування за допомогою вектор-константи , при якій нерозв'язну крайову задачу можна завжди зробити розв'язною. Для цього використано необхідну і достатню умови розв'язності (5) та доведено таке твердження.

Теорема 3.3.1. Задача (1), (2) буде розв'язна при довільних неоднорідностях тоді і тільки тоді, коли неоднорідність в крайовій умові має вигляд:

,

де - -вимірна матриця, - єдина псевдообернена за Муром-Пенроузом до матриця; - -вимірна матриця (ортопроектор), яка проектує простір на нуль-простір матриці :

.

Оскільки rank rank, то матрицю можна замінити -вимірною матрицею , яка складається з лінійно незалежних стовпців матриці .

Отримані в третьому розділі результати проілюстровано на конкретному прикладі, наведеному в підрозділі 3.4.

В наступних розділах доведено, що не скрізь розв'язну вироджену нетерову крайову задачу можна зробити розв'язною також і за допомогою збурень, як в диференціальній системі, так і в крайовій умові.

В четвертому розділі досліджується вироджена нетерова крайова задача з малим параметром. В підрозділі 4.1 дана постановка задачі та зроблено основні припущення щодо побудови розв'язку крайової задачі зі збуренням:

,(7)

(8)

де - -вимірні матриці, компоненти яких є дійсними, достатню кількість раз диференційовними на функціями: ; ; - -вимірний вектор-стовпець з простору ; - -вимірний вектор-стовпець констант; ; - лінійні векторні функціонали, означені на просторі -вимірних, неперервних на вектор-функцій: col

col.

Припустивши, що породжуюча крайова задача (1), (2), яка отримана з (7), (8) при не має розв'язків при довільних неоднорідностях з простору і , виникає питання: чи можна за допомогою лінійних збурень зробити крайову задачу (1), (2) розв'язною?

На це питання можна відповісти, аналізуючи властивості -вимірної матриці:



,

яка побудована з врахуванням збурюючого коефіцієнта системи і векторного функціонала в крайовій умові.

В підрозділі 4.2 отримано умови біфуркації з точки розв'язків лінійних вироджених нетерових крайових задач (7), (8) за припущення, що незбурена вироджена диференціальна система (1) зводиться до центральної канонічної форми.

Застосовуючи метод Вішика-Люстерника, розв'язок крайової задачі (7), (8) шукаємо у вигляді частини ряду Лорана за степенями малого параметру :

(9)

Підставляючи ряд (9) в крайову задачу (7), (8) та прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , послідовно, на кожному кроці отримуємо крайові задачі, з критерію розв'язності яких отримуємо алгебраїчні системи з прямокутною матрицею . Умовою розв'язності для отриманих алгебраїчних систем є умова

rank,(10)

де - -вимірна матриця (ортопроектор), яка проектує простір на ядро матриці .

Основним результатом цього розділу є така теорема.

Теорема 4.2.1. Нехай вироджена породжуюча крайова задача (1), (2) при довільних неоднорідностях і не має розв'язків. Тоді крайова задача (7), (8) при умові (10):

має -параметричну сім'ю лінійно незалежних розв'язків у вигляді частини ряду Лорана:

,

який є збіжним при будь-яких і при кожному фіксованому достатньо малому , де

<,

- константи, які характеризують коефіцієнти системи, а коефіцієнти визначаються за формулами:

,

,

У підрозділі 4.3. розглянуто крайову задачу, в якій матриця

:

,(11)

(12)

Доведено таке твердження.

Теорема 4.3.1. Нехай вироджена породжуюча крайова задача (1), (2) при довільних неоднорідностях і не має розв'язків. Тоді крайова задача (11), (12) при умові:

rank

має -параметричну сім'ю лінійно незалежних розв'язків у вигляді частини збіжного при кожному фіксованому достатньо малому ряду Лорана:

,

де коефіцієнти визначаються за формулами:

,

,

,

,

.

Зауважимо, що в нашому випадку збережено позначення матриці - таке ж, як у підрозділі 4.2.

У підрозділі 4.4. наведено конкретні приклади, які ілюструють отримані результати.

В п'ятому розділі досліджуються слабко нелінійні вироджені крайові задачі для систем диференціальних рівнянь з нетеровим оператором в лінійній частині.

У підрозділі 5.1. досліджено крайову задачу про розгалуження розв'язків крайової задачі для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з малим невід'ємним параметром вигляду

,(13)

(14)

де - нелінійна по -вимірна вектор-функція, неперервно диференційовна по в околі породжуючого розв'язку і неперервна по - нелінійний обмежений -вимірний вектор-функціонал, неперервно-диференційовний по в розумінні Фреше і неперервний по в околі породжуючого розв'язку.

Розглянуто випадок, коли відповідна породжуюча крайова задача (1), (2) має нетривіальні розв'язки (6), які в подальшому будемо позначати . Знайдено умови існування і алгоритм побудови розв'язку крайової задачі, який при перетворюється в один з розв'язків породжуючої крайової задачі (1), (2).

У підрозділі 5.2 доведено необхідну умову існування розв'язку нелінійної крайової задачі.

Теорема 5.2.1 (необхідна умова). Нехай крайова задача (13), (14) має розв'язок , який перетворюється при в породжуючий розв'язок з константою . Тоді вектор задовольняє рівняння

.(15)

За аналогією з періодичним випадком, дослідженим І.Г. Малкіним та Ю.О. Рябовим, рівняння (15) будемо називати рівнянням для породжуючих констант крайової задачі (13), (14). Якщо рівняння (15) не буде мати дійсних коренів, то і крайова задача (13), (14) не має шуканого розв'язку.

У підрозділі 5.3 доведено достатню умову існування та наводиться ітераційний алгоритм побудови розв'язку нелінійної системи.

Для отримання достатньої умови існування розв'язку зроблено заміну змінних в крайовій задачі (13), (14)

,

в якій вектор констант задовольняє рівняння (15). Знайдено умови існування розв'язку який при перетворюється в нульовий розв'язок крайової задачі

,

.

Використовуючи неперервну диференційовність вектор-функції і векторного функціоналу по в околі точки , виділяємо у вектор-функції і у векторному функціоналі лінійну частину по і члени нульового порядку по :

,

,

де

,

- лінійна частина векторного функціоналу . Лінійний оператор є похідною Фреше. Нелінійна вектор-функція належить до класу в області .

При цьому

.

Отже, розглянуто крайову задачу

,(16)

.(17)

З умови розв'язності крайової задачі (16), (17) отримуємо відносно алгебраїчну систему:

,

де -вимірна матриця має вигляд:

.

При умові

rank,(18)

де - -вимірна матриця (ортопроектор), яка проектує простір на ядро матриці , крайова задача (16), (17) еквівалентна операторній системі:

(19)

Операторну систему (19) можна записати у нових змінних:

, col.

Оператор є оператором стиску, а отже, операторе рівняння буде мати єдиний розв'язок, який можна знайти як

З операторної системи випливає, що для знаходження розв'язку крайової задачі (16), (17) отримуємо ітераційну процедуру:



(20)

Отже, доведено таке твердження.

Теорема 5.3.1 (достатня умова). Нехай породжуюча крайова задача (1), (2) при умові (5) має -параметричну сім'ю породжуючих розв'язків (6). Тоді для кожного дійсного значення вектора , який задовольняє рівняння (15) для породжуючих констант, при умові (18) крайова задача (13), (14) має хоча б один розв'язок , який при перетворюється в породжуючий розв'язок . Цей розв'язок можна визначити за допомогою збіжного ітераційного процесу (20) і формули .

У підрозділі 5.4 досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами існування розв'язків нелінійної крайової задачі (13), (14).

Доведено таке твердження.

Теорема 5.4.1. Для того, щоб крайова задача (13), (14) мала розв'язок, який перетворюється в породжуючий розв'язок (6) при з константою , необхідно, щоб константа була дійсним коренем рівняння для породжуючих констант (15), та достатньо, щоб цей розв'язок був простим коренем цього рівняння.

Отримані результати проілюстровано та пояснено на конкретних прикладах, наведених у параграфі 5.5.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь з виродженою матрицею при похідній у випадку, коли кількість невідомих в диференціальній системі не співпадає з кількістю крайових умов ? це так звані вироджені нетерові крайові задачі. Основні результати полягають у наступному:

* встановлено необхідну та достатню умови існування розв'язку виродженої лінійної неоднорідної крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь;

* знайдено умови біфуркації розв'язків слабко збуреної виродженої лінійної крайової задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь за припущення, що породжуюча задача не має розв'язків при довільних неоднорідностях;

* запропоновано спосіб відшукання розв'язків у вигляді частини ряду Лорана за степенями малого параметра зі скінченним числом від'ємних степенів ;

* доведено необхідну та достатню умови існування розв'язків слабко нелінійних вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь з нетеровою лінійною частиною в критичному випадку; досліджено зв'язок між необхідною та достатньою умовами;

* запропоновано ітераційний алгоритм побудови розв'язків слабко нелінійних вироджених систем звичайних диференціальних рівнянь.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бойчук О. А. Вироджені нетерові крайові задачі / О. А. Бойчук, Л. М. Шегда // Нелінійні коливання. ? 2007. ? Т.10, №3. ? С. 303 ? 312.

2. Бойчук О. А. Умови біфуркації розв'язків вироджених крайових задач / О. А. Бойчук, Л. М. Шегда // Нелінійні коливання. ? 2009. ? Т. 12, № 2. ? С. 147 ? 154.

3. Шегда Л. М. Вироджені нелінійні нетерові крайові задачі / Л. М. Шегда // Доповіді НАН України. ? 2009. ? №8. ? С. 29 ? 34.

4. Бойчук О. А. Вироджені нелінійні крайові задачі / О. А. Бойчук, Л. М. Шегда // Український математичний журнал. ? 2009. ? Т. 61, № 9. ? С. 1174 ? 1188.

5. Бойчук А. А. Бифуркация решений вырожденных нётеровых краевых задач / А. А. Бойчук, Л. М. Шегда. - Киев, 2009. - 21 с. - (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 2009.9)

6. Шегда Л. М. Вироджені лінійні крайові задачі / Л. М. Шегда // Dynamical system modelling and stability investigation ? modelling stability: international conference, May 22 ? 25, 2007: thesis of conference reports. ? Kyiv, 2007. ? P. 119.

7. Шегда Л. М. Умови розв'язності виродженої нетерової крайової задачі / Л. М. Шегда // ХІІ Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука, 15 ? 17 травня 2008 р.: матеріали конференції. ? Київ: Задруга, 2008. ? Т. 1. ? С. 445.

8. Шегда Л. М. Біфуркація розв'язків виродженої нетерової задачі / Л. М. Шегда // Боголюбовські читання, 2008. Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування: міжнародна наукова конференція з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка, 16 ? 21 червня 2008 р.: тези доповідей. ? Мелітополь, 2008. ? С.125.

9. Shegda L. Perturbed Degenerate Fredholm Boundary-Value Problems / L. Shegda // International "Conference on Differential and Difference Equations and Applications 2008 (CDDEA 2008)", June 23 ? 27, 2008: thesis of conference reports. ? Zilina, Slovak Republic, 2008. ? P. 51 ? 52.

10. Shegda L. Conditions for the appearance of solutions of linear degenerate boundary-value problems / L. Shegda // " Fifth International Conference of Applied Mathematics and Computing", 12 ? 18 August, 2008: thesis of conference reports. ? Plovdiv, Bulgaria, 2008. ? P. 431.

11.Шегда Л. М. Необхідна умова існування розв'язків слабко нелінійних вироджених крайових задач / Л. М. Шегда // Dynamical system modeling and stability investigation, DSMSI-2009: international conference, 27 ? 29 May, 2009: thesis of conference reports. ? Kyiv, 2009. ? P. 106.

12.Шегда Л. М. Достатня умова існування розв'язків слабко нелінійних вироджених крайових задач / Л. М. Шегда // Міжнародна конференція до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди, 8 ? 13 червня 2009 р.: матеріали конференції. ? Чернівці, 2009. ? С. 200 ? 202.

Размещено на Allbest.ru

...