Формоутворення триортогональних систем поверхонь і відповідних координатних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

“ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ”

ФОРМОУТВОРЕННЯ ТРИОРТОГОНАЛЬНИХ СИСТЕМ ПОВЕРХОНЬ І ВІДПОВІДНИХ КООРДИНАТНИХ СИСТЕМ

05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ЛИХАЧОВА ВІКТОРІЯ ВІКТОРІВНА

Донецьк - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі „Нарисна геометрія та інженерна графіка” в Державному вищому навчальному закладі „Донецький національний технічний університет” Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Скідан Іван Андрійович, Державний вищий навчальний заклад «Донецький національний технічний університет», м. Донецьк, завідувач кафедрою „Нарисна геометрія та інженерна графіка”.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Пилипака Сергій Федорович, Національний університет біоресурсів і природокористування України, м. Київ, завідувач кафедрою „Нарисна геометрія, комп'ютерна графіка та дизайн ”;

доктор технічних наук, професор Малкіна Віра Михайлівна, Таврійський державний агротехнологічний університет, м. Мелітополь, декан факультету інженерії та комп'ютерних технологій.

Захист відбудеться 7 червня 2010 року о 1200 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.052.04 Державного вищого навчального закладу „Донецький національний технічний університет” за адресою: 83001, вул. Артема 58, VI навчальний корпус, ауд. 202.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного вищого навчального закладу „Донецький національний технічний університет” за адресою: 83001, вул. Артема, 58, II навчальний корпус.

Автореферат розісланий 4 травня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 11.052.04 к.т.н., доцент Т.Г. Івченко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Системи координації простору відіграють особливо важливу роль у багатьох галузях науки, таких як математична фізика, теоретична механіка, теорія пружності, механіка суцільного середовища, і особливо в геометрії. Більшість геометричних характеристик об'єкта чи процесу мають суттєво компактніші вирази, коли і глобальна і локальна системи віднесення ортогональні.

Часто успіх у розв'язанні проблеми моделювання забезпечується вдалим введенням спеціальних координат, в яких найкращим чином може бути представлений об'єкт чи процес, що моделюється. Так диференціальні рівняння пружно-рівноважного стану оболонки мають найзручніший для інтегрування вигляд у випадку, коли серединна поверхня тіла оболонки та функції розподілу товщини віднесені до триортогональної системи, що складається з криволінійної сітки з ліній кривини на серединній поверхні і з координати уздовж нормалі до серединної поверхні.

Електромагнітне поле з точковим зарядом зручно моделювати у сферичній системі координат, а поле, що породжується електричним струмом по прямолінійному провіднику - у циліндричній системі. Обидві системи ортогональні.

Оскільки предмет дослідження названих прикладних наукових дисциплін постійно поширюється на більш складні об'єкти, процеси, явища, і в цьому полягає їх розвиток, розробка конструктивних способів формоутворення триортогональних систем поверхонь і способів отримання функцій введення відповідних ортогональних систем координат становить актуальну проблему.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано за планом наукових робіт кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки ДВНЗ «Донецький національний технічний університет» Н-2-06 “Алгоритмізація задач моделювання об'єктів та процесів стосовно до АСНД, САПР, АСТПВ”.

Мета і завдання досліджень. В роботі поставлено за мету систематизувати конструктивні схеми формоутворення триортогональних систем поверхонь; на їх основі ввести нові триортогональні системи координат; а також з метою розширення області застосувань перетворити до триортогональних косокутні криволінійні системи, введені для опису поверхонь.

Задачі дослідження:

- виконати аналіз теоретичних положень формоутворення триортогональних систем і оцінити можливості їх застосування для практичної реалізації;

- систематизувати конструктивні схеми формоутворення триортогональних систем поверхонь, придатних до реалізації;

- згідно з конструктивними схемами розробити загальні алгоритми складання функцій, що вводять ортогональні системи координат;

- перетворити до ортогональних відомі косокутні криволінійні координати, скориставшись конструктивними схемами та аналітичними алгоритмами їх реалізації;

- розробити рекомендації до впровадження конструктивних схем формоутворення триортогональних систем і введених на їх основі спеціальних ортогональних координацій простору у інженерну практику.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є спеціальні координації тривимірного простору.

Предмет дослідження - способи побудови триортогональних систем поверхонь та їх аналітичний опис у вигляді функцій введення ортогональних систем координат.

Методи дослідження - синтетичний на рівні розробки конструктивних схем формоутворення триортогональних систем поверхонь і аналітичний на рівні їх впровадження в науку і практику.

Робота базується на положеннях диференціальної геометрії і теорії поверхонь в галузі спеціальних тривимірних координацій, а також двовимірних координацій на площині і поверхні. Найзначніший внесок у цю галузь зробили О. Бонне (Bonnet O.), А. Келі (Cayley A.), Г. Дарбу (Darboux G.), Ш. Дюпен (Dupin Ch.), Ф. Іоахімсталь (Ioachimsthal F.), Г. Монж (Monge G.), Г. Ляме (Lamй G). В роботі використані також досягнення сучасних вчених з прикладної геометрії в галузі аналітичної інтерпретації конструктивних схем формоутворення поверхонь за умов їх віднесення до ліній кривини (В.Н. Іванов, С.М. Кривошапко, С.Ф. Пилипака, І.А. Скідан та їхні учні).

Наукова новизна одержаних результатів:

- вперше систематизовано конструктивні схеми формоутворення триортогональних систем поверхонь і введення на їх основі спеціальних ортогональних координацій простору;

- вперше перетворено у ортогональні відомі косокутні спеціальні системи, що знайшли широке застосування у прикладній геометрії поверхонь;

- побудовані і досліджені нові триортогональні системи поверхонь, до складу яких входять сім'я площин або сім'я сфер, і на їх основі складені функції введення ортогональних координацій простору.

Практичне значення одержаних результатів. Поповнені новими ортогональними координаціями наукові арсенали прикладної геометрії, теоретичної фізики, теоретичної механіки, теорії поля, теорії пружності, механіки суцільного середовища та ін. В дослідженнях, які потребують обрання координації під об'єкт, процес чи задачу, встановлено шляхи отримання інших координацій згідно з наведеними конструктивними схемами. Відповідність структури досліджуваного об'єкта структурі ортогональної координації значно спрощує розв'язання задач, дозволяє отримувати розв'язки у загальному вигляді, що сприяє розвитку автоматизованих систем наукових досліджень, проектування, технологічної підготовки виробництва.

Рекомендації по вдосконаленню конструкції і технології виготовлення конічного барабана і жолоба для навивки каната біциліндроконічної підйомної машини серії БЦК, складені на основі результатів досліджень, передані ЗАТ «Ново-Краматорський машинобудівний завод» для впровадження в практику проектування і виготовлення.

Особистий внесок здобувача. Теоретичні дослідження, що увійшли до дисертації, виконані автором самостійно. Постановка задач і обговорення результатів виконані спільно з науковим керівником.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на VIII, IX, X і XI Міжнародних науково-практичних конференціях «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (1-4 червня 2004, 13-15 червня 2007, 10-13 червня 2008, 9-12 червня 2009 р., м. Мелітополь), на українсько-російській науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (19-22 квітня 2005 р., м. Харків), на українсько-російській науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (21-26 квітня 2008 р., м. Луцьк), на VI Міжнародній науково-практичній конференції «Геометричне моделювання та комп'ютерні технології: теорія, практика, освіта» (21-24 квітня 2009 р., м. Харків), на наукових семінарах кафедри нарисної геометрії і інженерної графіки ДВНЗ «Донецький національний технічний університет».

Публікації. Результати досліджень опубліковано у 8 наукових працях, у тому числі у 7 статтях фахових видань, затверджених ВАК України, з них 1 у співавторстві з науковим керівником, 7 - одноосібно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 110 найменувань, 2 додатків, обсягом 12 сторінок. Обсяг роботи: 210 сторінок, в тому числі основний текст на 198 сторінках, 72 рисунка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

триортогональний поверхня ортогональний координація

У першому розділі “Теоретичні передумови і методика досліджень” проведений аналіз літературних джерел в галузях утворення триортогональних систем поверхонь, розмаїття існуючих спеціальних координацій простору та їх застосувань у різних гілках науки, які орієнтовані на припущення, що застосовані координації ортогональні.

Якщо координація введена функціями:

(1)

умови триортогональності

(2)

Г. Ламе (Lamй G.) показав, що іншою умовою ортогональності є:

де лінійний елемент простору, параметризований функціями (1),

функції (координатні параметри) Ламе. Ламе сформулював умову ортогональності через вирази та їх перші і другі частинні похідні.

Спроби розв'язати наведені умови ортогональності у загальному вигляді, що привело б до загальних параметричних рівнянь триортогональної системи поверхонь (1), до успіху не привели. На цьому шляху слід відзначити О. Бонне (Bonnet O.), який первісно призначив параметрами кути Ейлера. Він показав, що умова ортогональності зводиться до розв'язання диференціального рівняння третього порядку у частинних похідних. У подальшому Г. Дарбу (Darboux G.), А. Келі (Cayley A.) показали, що умовою входження поданої сім'ї поверхонь до триортогональної системи є диференціальне рівняння третього порядку у частинних похідних з трьома незалежними змінними.

Принципово інший шлях до побудови триортогональної системи пройшов Дарбу. Він наперед подав лише складову поверхню, а не структуру сім'ї, і синтетичним методом визначив можливість побудови інших двох сімей, які б разом з поданою склали триортогональну систему поверхонь. При цьому до функцій (1) він ніколи не доходив.

В роботі поставлено наукове завдання: з врахуванням ідей Г. Дарбу систематизувати конструктивні схеми формоутворення триортогональних систем поверхонь на основі конкретизації як складу, так і структури однієї із трьох сімей, скласти функції введення відповідних ортогональних координацій простору і розробити рекомендації до впровадження результатів дослідження в науку і практику.

Оскільки компактність функцій (1) введення спеціальних координат та їх ортогональність у більшості випадків становлять міру застосовності, в роботі передбачені наступні обмеження: основну увагу приділено формоутворенню триортогональних систем, до складу яких входять сім'ї площин або (і) сфер. Крім того, лінії на поверхні, що входять до визначника складової сім'ї площин або сфер також мають бути найпростішими. Викликає інтерес перетворення до ортогональних косокутних систем координації, що знайшли застосування у формоутворенні і дослідженні поверхонь.

Задачі побудови ортогональних координатних сіток на площині і сфері та віднесення поверхні до ліній кривини - складові проблеми побудови триортогональних систем поверхонь. Тому огляд джерел у цій галузі наведено з представленням формул, що становлять підґрунтя досліджень, розміщених у наступних розділах.

Систематизація конструктивних схем формоутворення триортогональних систем поверхонь становить своєрідну програму досліджень.

І. Триортогональні системи, до складу яких входить сім'я площин.

1. На площині сім'ї подається довільна ортогональна координація. Триортогональна система утворюється перекочуванням без ковзання площини по торсу . Складовими триортогональної системи є: сім'я площин, що огинає торс , і дві різьблені поверхні Монжа, утворені координатними лініями двовимірної системи, поданої на площині, і ортогональними траєкторіями сім'ї площин.

1.1. Торс вироджується у конус обертання. Ортогональні траєкторії сім'ї площин - сферичні лінії.

1.2. Торс вироджується у циліндр обертання. Ортогональні траєкторії сім'ї площин - плоскі криві, евольвенти кіл, радіуси яких дорівнюють радіусу циліндра.

1.3. Торс вироджується у пряму. Ортогональні траєкторії - кола. Координатні системи - обертально-симетричні.

1.4. Торс вироджується у невласну пряму. Ортогональні траєкторії - прямі. Координатні системи - загальні циліндричні.

ІІ. Триортогональні системи, до складу яких входить сім'я сфер.

2. Подається сім'я сфер з центрами на прямій і визначаються ортогональні траєкторії сім'ї, що розташовані у площинах пучка, віссю якого є лінія центрів. Складовими триортогональної системи є, крім названих сімей сфер і площин, сім'я поверхонь обертання, для яких ортогональні траєкторії є меридіанами.

2.1. Подана сім'я сфер утворюється обертанням навколо лінії центрів пучка кіл. Ортогональні траєкторії - суцільна конгргруенція кіл, яка в пучках площин, віссю яких є лінія центрів, розшаровується на пучки кіл. Складова сім'я поверхонь обертання є торовими поверхнями.

2.2. Сім'я сфер зі спільним центром доповнюється до триортогональної системи двома сім'ями ортогональних конусів з вершинами у центрі сфер. Їхні напрямні утворюють на сферах сім'ї довільну ортогональну сітку.

ІІІ. Триортогональні системи, до складу яких входить сім'я еквідистантних поверхонь.

3. Визначником триортогональної системи є поверхня, віднесена до ліній кривини. Вона одночасно визначає сім'ю еквідистантних поверхонь і дві сім'ї розгортних лінійчатих поверхонь, твірними яких є нормалі до поданої поверхні, а напрямними - дві сім'ї ліній кривини.

IV. Триортогональні системи поверхонь як образи, прообразами яких є відомі триортогональні системи в перетворенні інверсією.

4. Визначником системи є триортогональна система, подана функціями (1), центр і радіус сфери інверсії.

У другому розділі “Триортогональні системи з сім'єю Ламе, що складається з площин” формоутворення триортогональних систем розглядається не завжди в тому порядку, як вони представлені в Розділі 1.

Формоутворення ортогональної координації на площині розглянуто на прикладі ортогональної системи співфокусних парабол, що подається функціями:

(3)

Параболічні циліндричні координати:

 (4)

отримуємо за схемою 1.4 додаванням до функцій (3) третьої координати.

Координатні поверхні: та - параболічні циліндри, - площини.

Обертанням двоортогональної системи (3) навколо осі і перепозначенням осей отримаємо за схемою 1.3 осесиметричні параболічні координати обертання:

(5)

Координатні поверхні: та - параболоїди обертання, - площини.

Ці дві системи відомі в літературі і їх утворення наведені для повноти викладення.

Наступні дві системи утворюються перетворенням також відомих, але косокутних систем, зручних для формоутворення багатьох класів поверхонь:

- узагальнених циліндричних координат:

(6)

- і гіперболічних координат:

(7)

Система (6) утворена сім'єю площин, дотичних до циліндра обертання радіуса , друга - сім'єю площин, дотичних до конуса обертання з кутом нахилу твірної до осі. На площині сім'ї фіксовано прямокутну декартову систему координат , при цьому вісь збігається з характеристиками сім'ї.

За схемою 1.3 площині сім'ї (6) слід забезпечити не тільки обертання навколо осі , але й поступове переміщення самої по собі, для забезпечення перекочування без ковзання по циліндру.

Тому, функції (6) косокутної координації набувають вигляду:

(8)

для триортогональної системи. Координатні поверхні (складові триортогональної системи): - сім'я площин, дотичних до циліндра, - сім'я циліндрів, напрямною яких є евольвенти, - сім'я площин, зовнішня по відношенню до циліндра.

Для перетворення косокутної системи (7) до ортогональної згідно зі схемою 1.2 необхідно площину, дотичну до конуса, не тільки обертати навколо осі , але й обертати, переміщуючи саму по собі, навколо вершини конуса, на кут , де - кут між твірною і віссю конуса. Цим самим забезпечується утворення сім'ї площин перекочуванням без ковзання площини по конусу, а разом з нею двомірної системи декартових координат, що в свою чергу утворює триортогональну систему:

(9)

Координатними поверхнями системи (9) є:

- площини, та - різьблені поверхні Монжа з прямими меридіанами і сферичними паралелями.

Введенням функцій:

,

на площині , замість декартової полярної системи координат, отримаємо більш компактні функції введення триортогональної системи:

(10)

з координатними поверхнями:

- площини, - сфери, - конуси.

Нарешті, у випадку перекочування без ковзання площини по торсу, згідно зі схемою 1, зручніше триортогональну систему визначати не торсом, а однією з ортогональних траєкторій. Тоді сім'я площин визначиться як сім'я нормальних площин траєкторії, а решту координатних поверхонь системи опишуть координатні лінії обраної на площині двомірної координатної системи. Торс знаходимо як обвідну сім'ї , а його ребро звороту як обвідну характеристик.

Ортогональна траєкторія - циліндрична гвинтова лінія:

, ,

Функції введення триортогональної координації:

(11)

де декартова прямокутна координація на площині перетворюється до ортогональної координації за формулами:

Рівняння торса, по якому площина перекочується без ковзання:

рівняння його ребра звороту при :

звідки видно, що торс є евольвентним гелікоїдом з ребром звороту циліндричною гвинтовою лінією на циліндрі радіуса того ж кроку, що і подана ортогональна траєкторія.

В роботі наведено також триортогональну систему, сім'я площин якої подається конічною гвинтовою лінією:

Слід підкреслити, що наведені триортогональні системи поверхонь та відповідні ортогональні координації простору є лише прикладами реалізації схем 1, які припускають довільність вибору визначника сім'ї площин і довільність призначення двоортогональної координації на площині сім'ї.

У третьому розділі “Триортогональні системи, до складу яких входить сім'я сфер або сім'я еквідистантних поверхонь” на основі досліджень, виконаних Фроловим О.В. щодо опису поверхонь Іоахімсталя, доведено, що функції введення триортогональних систем поверхонь, складовою яких є сім'я сфер з центрами на прямій, мають вигляд:

(12)

де .

Згідно зі схемою 2 функціями 12 подають триортогональні системи поверхонь і відповідні ортогональні координації простору з довільністю подання сім'ї сфер з центрами на прямій, що подаються функцією , і відповідними радіусами .

Наведені приклади триортогональних систем:

1) ,

2) ,

3)

Координатними поверхнями ортогональних координацій (складовими триортогональної системи поверхонь) є: - сім'я площин, що є пучком з віссю , - подана сім'я сфер, - сім'я поверхонь обертання, меридіанами яких є ортогональні траєкторії сім'ї сфер.

Як сім'ю площин у попередньому розділі, так і сім'ю сфер можна подавати не тільки функціями , , а також однією з ортогональних траєкторій, рівняння якої в площині :

 (13)

В цьому випадку

, .

Сім'ю сфер можна подавати також обвідною в площині , рівняння якої подано функціями, що мають вигляд (13). Тоді:

Як бачимо, функції (13), що виражають одну із ортогональних траєкторій сім'ї сфер або одну із обвідних в площині , є визначником триортогональної системи у цілому.

Якщо за схемою 2.1 сім'ю сфер утворювати обертанням навколо осі пучка кіл, то ортогональні траєкторії належатимуть суцільній конгруенції кіл, що утворюється обертанням навколо осі спряженого пучка. Між функціями та виникає додаткова залежність: для еліптичного пучка кіл, що утворює сім'ю сфер, - для гіперболічного, - для параболічного.

Якщо прийняти , то для еліптичного пучка , , >, для гіперболічного , , для параболічного , .

Оскільки клас триортогональних систем поверхонь, що описується рівняннями (12), складається не тільки з сімей сфер, а і з сімей площин, що є пучками, для їх формоутворення можна підходити з позицій схеми 1.3 при двовимірній ортогональній координації на площині , в якій координатними лініями є кола радіусів , . Тоді для гіперболічного і еліптичного пучків кіл, що утворюють сім'ю сфер, триортогональна система поверхонь введена функціями:

(14)

Якщо сім'я сфер утворюється параболічним пучком кіл, у виразах (14) слід покласти :

(15)

Нарешті, згідно зі схемою 2.2, триортогональна система визначається сім'єю концентричних сфер і довільною ортогональною координацією сфер цієї сім'ї. Ця система може бути утворена також за схемою 3, оскільки будь-яка ортогональна сітка на сфері збігається з сіткою ліній кривини. Розглянуто особливий випадок, коли обидві сім'ї сітки складаються із кіл (так звана сітка Бонне).

Триортогональні системи вводяться функціями:

(16)

 (17)

Триортогональні системи доповнюються до сім'ї концентричних сфер взаємно ортогональними сім'ями конусів з вершинами у спільному центрі сфер. Система відповідає параболічному пучку кіл на сфері, система - гіперболічному пучку. Еліптичному пучку відповідає відома географічна (сферична) система.

(18)

де - радіус-вектор будь-якої поверхні, віднесеної до ліній кривини; - радіус-вектор нормалі до неї; , , - криволінійні координати ортогональної координації. Координатні поверхні: - поверхні еквідистантні поверхні , , - торси, напрямними яких є лінії кривини поверхні.

Наприклад, триортогональна система поверхонь, що включає різьблену поверхню Монжа:

вводиться функціями:

(19)

Нарешті, за схемою 4, будь-яка триортогональна система може стати прообразом нової у перетворенні інверсією. При цьому центр інверсії зручно призначити у початку координат глобальної системи, а вихідні рівняння прообразу перетворити (якщо необхідно) до нової системи віднесення паралельним перенесенням.

Функції перетворення:

(20)

де - радіус інверсії, , , - праві частини функцій введення системи-прообраза.

До застосування цієї схеми формоутворення слід звертатись при бажанні отримати нові класи координатних поверхонь. Наприклад, триортогональну систему, до складу якої входить сім'я торових поверхонь, застосуванням перетворення інверсією можна перетворити у триортогональну систему з сім'єю циклід Дюпена.

У четвертому розділі “Рекомендації до впровадження результатів досліджень в практику” окреслено галузі застосувань триортогональних систем поверхонь і введених на їх основі ортогональних координацій.

В дисциплінах теоретична фізика, теоретична механіка, теорія пружності, теорія поля, механіка суцільного середовища, які у більшості орієнтовані на ортогональні координації, введені нові системи і схеми отримання інших систем перспективні для використання у випадках, коли обрання координації під об'єкт, процес чи задачу значно спрощує розв'язання проблеми. Наочний приклад, введення нових ортогональних координацій значно розширює класи об'єктів, до яких застосовні методи визначення площ, об'ємів, центрів ваги, моментів інерції за допомогою подвійних і потрійних інтегралів, обчислення яких передбачує обмеженість площі чи тіла відповідно координатними лініями чи поверхнями.

Так само класична теорія розрахунку оболонок базується на передбаченні, що її серединна поверхня віднесена до ліній кривини і її тіло обмежені координатними поверхнями. Звідси нові ортогональні координації помітно поширюють застосовність класичної теорії розрахунку на нові форми оболонок.

З врахуванням сприятливих умов стружкоутворення рекомендовано призначити траєкторії руху обробного інструмента по еквідистантним поверхням.

В роботі наведені приклади застосування результатів досліджень, що втілені у програму автоматичної побудови багатопараметричних моделей розгорток і автоматичного розкрою фасонних виробів, що виготовляються з листового матеріалу, а також програми побудови геодезичних на розгортних поверхнях між двома точками, яка застосовна в задачі визначення мінімуму відстані між двома точками у русі по розгортній поверхні.

Перспективи застосування результатів досліджень в задачах САПР і АСТПВ показано на прикладі розробки і впровадження в практику проектування рекомендацій по вдосконаленню конструкції і технології виготовлення конічного барабана шахтної підйомної машини серії БЦК.

Вузьким місцем машини є конструкція жолоба, що є напрямним для каната, і його кріплення на конічній частині барабана. Основою для кріплення жолоба слугує спіральна стрічка, що проектувалася у формі прямого (мінімального) гелікоїда, виготовлялася з плоскої стрічки, кінцевої форми їй надавали пластичною деформацією. Кріплення стрічки до поверхні конуса здійснювали зварюванням “устик”. Оскільки кут примикання стрічки до конуса гострий, зварний шов не витримував навантаження, внаслідок чого підйомну машину часто зупиняли на ремонт.

Запропоновано форму спіральної стрічки замінити на евольвентний (розгортний) гелікоїд, що дало змогу будувати її розгортку і надавати заготовці кінцевої форми деформацією згинання, яка більш економічна у енергетичних витратах у порівнянні з пластичною деформацією. Для підвищення надійності кріплення стрічки до конуса на ньому запропоновано передбачити канавку, нарізання якої запропоновано здійснювати на розгортці конуса (рис. 7) до її згинання в обичайку. Канавка відіграє подвійну роль: по-перше, вона полегшує забезпечення стику стрічки з конусом при наданні стрічці кінцевої форми; по-друге, вона зменшує навантаження на зварний шов, підвищуючи надійність кріплення.

Застосування триортогональної системи, до складу якої входить сім'я площин, що отримується перекочуванням площини по циліндру обертання, дозволило скласти у загальних параметрах рівняння евольвентного гелікоїда (спіральної стрічки), рівняння контурів, що обмежують стрічку, побудувати розгортку поверхні конічного барабана з нанесенням на неї траєкторії переміщення фрези при нарізанні канавки, розгортку поверхні стрічки з нанесенням на неї образів прямолінійних твірних евольвентного гелікоїда.

Рекомендації передано ЗАТ «НКМЗ» для впровадження в практику проектування.

ВИСНОВКИ

В роботі вирішено наукову задачу, що полягає в систематизації конструктивних схем формоутворення триортогональних систем поверхонь, у введенні за цими схемами нових ортогональних координацій простору з метою їх подальшого використання в науці і практиці.

1. Проблема формоутворення триортогональних систем поверхонь і введення відповідних ортогональних координацій простору з часів Г. Ляме (Lame G.), Г. Дарбу (Darboux G.), Ш. Дюпена (Dupin Ch.), А. Келі (Cayley A.) спеціально і концентровано не досліджувалась.

2. Незважаючи на значну кількість спеціальних ортогональних координацій, представлених в довідниках та енциклопедіях, розробка схем їх побудови і отримання за цими схемами нових координацій, становить актуальну проблему в зв'язку з тим, що вибір координації під об'єкт, процес чи задачу значно спрощує дослідження як в методологічному, так і в обчислювальному аспектах.

3. Умова компактності функцій введення ортогональної координації обмежує призначення площин, сфер і еквідистантних поверхонь складовими первісної сім'ї, яка доповнюється до триортогональної системи поверхонь за схемами:

- площина, на якій призначено довільну ортогональну координацію, перекочується без ковзання по торсу; крім сім'ї різьблених поверхонь Г. Монжа, які описують координатні лінії обраної двовимірної ортогональної координації на площині;

- сім'я сфер з центрами на прямій доповнюється до триортогональної системи пучком площин, для якого лінія центрів є віссю, і сім'єю поверхонь обертання, меридіанами яких є ортогональні траєкторії сім'ї сфер;

- поверхня, віднесена до ліній кривини, доповнюється до триортогональної системи сім'єю еквідистантних до неї поверхонь і двома сім'ями торсів, твірними яких є нормалі до поверхні уздовж ліній кривини.

- нова триортогональна система утворюється перетворенням інверсії іншої триортогональної системи.

4. Досліджені окремі випадки перших двох схем за способами подання первісних сімей площин і сфер.

5. Наукове значення отриманих результатів полягає у поширенні можливостей обирати ортогональну координацію під об'єкт, процес чи задачу, а також у поширенні застосовності існуючих методів дослідження на нові об'єкти, наприклад:

- методів визначення площ, об'ємів, центрів ваги, моментів інерції з використанням подвійних і потрійних інтегралів, обчислення яких передбачає обмеженість площі чи тіла відповідно координатними лініями чи координатними поверхнями;

- класичного метода розрахунку оболонок, який орієнтований на третю схему формоутворення триортогональної системи і опису тіла оболонки у відповідній координації.

6. Майже всі введені ортогональні координації простору нові. В дисертації наведені лише приклади аналітичної реалізації конструктивних схем формоутворення триортогональних систем і визначений ступінь довільності їх подальшої реалізації.

7. Практичне значення отриманих результатів полягає у методологічній визначеності відповідності структури введеної ортогональної координації класу об'єктів застосовності, що стимулює розвиток автоматизованих систем наукових досліджень, проектування, технологічної підготовки виробництва. Свідчення тому - програми розкрою штами під фасонні вироби, що виробляються гнуттям, визначення шляху мінімальної довжини між двома точками на розгортній кривій поверхні (побудова геодезичної), комплексне вдосконалення конструкції і технології виготовлення напрямного жолоба для каната і способу його кріплення на конічному барабані шахтної підйомної машини серії БЦК. Рекомендації по впровадженню вдосконалень передано ЗАТ «НКМЗ» для впровадження в практику проектування і виготовлення.

8. Достовірність отриманих результатів забезпечена перевірками введених систем на триортогональність, отриманням відомих систем як окремих випадків запропонованих, комп'ютерною візуалізацією координатнатних поверхонь.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ ТА ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК АВТОРА У РОБОТАХ, ОПУБЛІКОВАНИХ У СПІВАВТОРСТВІ

1.Андрєєва В.В. Триортогональні системи: формоутворення, подання, застосування / В.В. Андрєєва, І.А. Скідан // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці / Таврійська державна агротехнічна академія. - 2004. - Вип. 4, т.25. - С.26-33.

У статті, написаній у співавторстві з науковим керівником, автором здійснювались дослідження, написання і оформлення статті, науковим керівником - постановка задачі і контроль достовірності.

2. Андрєєва В.В. Триортогональна система на основі параболічного пучка сфер / В.В. Андрєєва // Геометричне та комп'ютерне моделювання: збірник наукових праць. Наукове фахове видання / Харк. держ. університет харчування та торгівлі. - Харків, 2005. - Вип. 9. - С.53-61.

3. Андрєєва В.В. Триортогональні системи з координатною сім'єю площин / В.В. Андрєєва // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці / Таврійська державна агротехнічна академія. - 2007. - Вип. 4, т.34. - С.134-143.

4. Андрєєва В.В. Триортогональна система на основі узагальнених циліндричних координат / В.В. Андрєєва // Наукові нотатки: міжвузівський збірник (за напрямом «Інженерна механіка»). «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (квітень 2008). - Луцьк , 2008. - Вип. 22. - С. 6-12.

5. Андрєєва В.В. Триортогональна координація простору з опорною поверхнею / В.В. Андрєєва // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці / Таврійський державний агротехнологічний університет. - 2008. - Вип. 4, т.38. - С.106-110.

6. Андрєєва В.В. Триортогональна система на основі гіперболічних координат / В.В. Андрєєва // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці / Таврійський державний агротехнологічний університет. - 2008. - Вип. 4, т.39. - С.128-134.

7. Андрєєва В.В. Застосування триортогональних систем для побудови геодезичної між двома точками на поверхні циліндра / В.В. Андрєєва // Геометричне та комп'ютерне моделювання: збірник наукових праць. Наукове фахове видання/ Харк. держ. університет харчування та торгівлі. - Харків, 2009. - Вип.24. - С.192-197.

8. Лихачова В.В. Триортогональна конусно-полярна система поверхонь / В.В. Лихачова // Прикладна геометрія та інженерна графіка: праці / Таврійський державний агротехнологічний університет. - 2009. - Вип. 4, т.43. - С.105-111.

АНОТАЦІЯ

Лихачова В.В. Формоутворення триортогональних систем поверхонь і відповідних координатних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка. - Державний вищий навчальній заклад “Донецький національний технічний університет”, Донецьк, 2010.

Дисертацію присвячено систематизації конструктивних схем формоутворення триортогональних систем поверхонь і складанню функцій введення відповідних ортогональних координацій простору.

Схеми систематизовано за первісно поданими сім'ями поверхонь, які потім доповнюються до триортогональних систем. Триортогональні системи поверхонь утворюються за:

- сім'єю, що отримується перекочуванням без ковзання по торсу площини, на якій встановлено довільну ортогональну координацію;

- сім'єю сфер з центрами на прямій;

- сім'єю еквідистантних поверхонь, поданої представником сім'ї, за умов його віднесення до лінії кривини.

Має місце також схема утворення нової триортогональної системи поверхонь перетворенням інверсією відомої.

Для перших двох випадків досліджені способи подання первісних сімей площин та сфер різними визначниками.

Аналітична інтерпретація побудованих триортогональних систем поверхонь у вигляді функцій введення ортогональних координацій дозволяє обрати координацію під об'єкт, процес чи задачу, чим забезпечується поширення застосовності класичних методів аналітичного моделювання на більш складні об'єкти, форма і структура яких відповідають координатним поверхням і лініям обраної системи.

Рекомендовані галузі застосувань - фундаментальні і прикладні технічні дисципліни, розробка автоматизованих систем наукових досліджень, проектування, технологічної підготовки виробництва.

Ключові слова: сім'я поверхонь, триортогональна система, ортогональна координація, еквідистантна поверхня, лінія кривини, інверсія.

АННОТАЦИЯ

Лихачева В.В. Формообразование триортогональных систем поверхностей и соответствующих координатных систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - Прикладная геометрия, инженерная графика. - Государственное высшее учебное заведение “Донецкий национальный технический университет”, г. Донецк, 2010.

Диссертация посвящена систематизации конструктивных схем формообразования триортогональных систем поверхностей и составлению функций ввода соответствующих ортогональных координаций пространства.

Схемы систематизированы по первично заданным семействам поверхностей, которые затем дополняются до триортогональных систем.

Классификация определителей триортогональных систем.

1. Семейство, которое образуется качением без скольжения по торсу плоскости, на которой фиксирована произвольная ортогональная координация. Кроме семейства плоскостей, в состав триортогональной системы входят два семейства резных поверхностей Монжа, меридианами которых являются координатные линии ортогональной координации на плоскости, а параллелями - ортогональные траектории семейства плоскостей:

1.1. Торс вырождается в цилиндр вращения - параллели координатных резных поверхностей Монжа - плоские кривые (эвольвенты окружности).

1.2. Торс вырождается в конус вращения - параллели координатных резных поверхностей Монжа - сферические кривые.

1.3. Семейство плоскостей задается одной из ортогональных траекторий, а уравнение торса и его ребра возврата находятся.

1.4. Семейство плоскостей вырождается в пучок с собственной осью - ортогональными траекториями являются окружности, семейства координатных резных поверхностей Монжа вырождаются в поверхности вращения.

1.5. Семейство плоскостей вырождается в пучок с несобственной осью - ортогональными траекториями являются прямые, семействами координатных поверхностей являются прямые цилиндры, направляющие которых - координатные линии ортогональной координации на плоскостях семейства.

2. Семейство сфер с центрами на прямой, которое дополняется до триортогональной системы пучком плоскостей, осью которого является линия центров и семейством поверхностей вращения с той же осью, меридианами которых служат ортогональные траектории семейства сфер:

2.1. Семейство сфер определено функциями зависимости положения центра и радиуса от общего параметра.

2.2. Семейство сфер определено одной из ортогональных траекторий.

2.3. Семейство сфер образовано вращением вокруг линии центров пучка окружностей - ортогональными траекториями являются окружности сопряженного пучка в пучке плоскостей.

2.4. Семейство концентрических сфер с фиксированной ортогональной сетью. Дополняется до триортогональной системы двумя семействами конусов с вершиной в общем центре сфер, направляющими которых служат семейства ортогональной сети.

3. Поверхность, отнесенная к линиям кривизны, которая в свою очередь определяет семейство эквидистантных ей поверхностей. Два других семейства триортогональной системы - торсы, образующие которых - нормали к исходной поверхности, направляющие - ее линии кривизны.

4. Центр, радиус, заданная триортогональная система. Искомая триортогональная система образуется инверсией с заданным центром и радиусом.

Аналитическое представление триортогональных систем поверхностей в виде функций ввода соответствующих ортогональных координат осуществлено с учетом компактности выражений этих функций, что является критерием применимости в науке и практике.

Ввод новых ортогональных координаций расширяет возможности выбора координации под объект, процесс или задачу с целью упрощения решений с одной стороны. С другой - расширяется на новые объекты применимость существующих методов исследования и расчетных алгоритмов в дисциплинах фундаментального и прикладного научно-технического направлений.

Ключевые слова: семейство поверхностей, триортогональная система, ортогональная координация, эквидистантная поверхность, линия кривизны, инверсия.

SUMMARY

Likhatchova V.V. Formation of triply orthogonal systems of surfaces and corresponding coordinate systems. - Manuscript.

Dissertation on graduation of engineering sciences candidate on specialty 05.01.01 - Applied Geometry and Engineering Graphics. - State Higher Educational Establishment “Donetsk National Technical University” ”, Donetsk, 2010.

Dissertation is devoted to classification of constructive schemas of triply orthogonal systems formation and to elaborate analytic representation of corresponding orthogonal coordinates. Schemas are classificated by initially represented families of surfaces, which are added to triply orthogonal system by two other families of surfaces.

Descriptor of initial family of surfaces:

1. Family is given by a plane on which any orthogonal coordinate system is fixed and which rolls without gliding along a developable. Particular cases of degeneration of family are considered.

2. Family is given by a sphere center of which lies on straight line. Particular cases of representation of family are considered.

3. Family is given by one representant of equidistant surfaces coordination on which is in line of curvature.

4. Any triply system of surfaces is transformed in another by inversion.

Spatial orthogonal coordinates corresponding to triply orthogonal system of surfaces are introduced.

Key words: family of surfaces, triply orthogonal system, orthogonal coordinates, equidistant surfaces, line of curvature, inversion.

Размещено на Allbest.ur

...