Проблеми типу Помпейю на гіперболічній площині
Точні умови на зростання функцій, для яких гіперболічний прямокутник або гіперболічний чотирибічник є множинами Помпейю. Теорема про обернення перетворення Помпейю. Теореми типу Морери про голоморфність функції. Узагальнення на випадок декількох функцій.
| Рубрика | Математика |
| Вид | автореферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 27.07.2015 |
| Размер файла | 130,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
УДК 517.53
01.01.01 - математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
ПРОБЛЕМИ ТИПУ ПОМПЕЙЮ НА ГІПЕРБОЛІЧНІЙ ПЛОЩИНІ
Силенко
Вікторія Євгенівна
Донецьк
2010
ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС
Робота виконана в Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
Волчков Валерій Володимирович,
Донецький національний університет, професор кафедри математичного аналізу і теорії функцій.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник
Плакса Сергій Анатолійович,
Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу;
кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник
Кузнецова Ольга Іванівна,
Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник відділу теорії функцій.
Захист відбудеться "10" березня 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.
Автореферат розісланий "5" лютого 2010 р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради О.А. Довгоший
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Проблема Помпейю, пов'язана з вивченням функцій за заданими їх інтегральними середніми, та її узагальнення посідають важливе місце в інтегральній геометрії та знаходять чисельні застосування в математиці, зокрема, в комплексному аналізі, теорії апроксимацій, гармонічному аналізі, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Проблема про описання всіх множин Помпейю в просторі , n?2, сформульована румунським математиком Помпейю в двадцятих роках двадцятого сторіччя, не розв'язана й досі.
С.А. Вільямс для евклідового простору , К.А. Беренстейн і М. Шахшахані для симетричного простору некомпактного типу (з групою рухів ) отримали достатню умову того, що даний компакт є множиною Помпейю. У зв'язку з цим виникли задачі з дослідження декількох множин (наприклад, задачі про два круги, три квадрати в ), а також задачі із встановлення додаткових обмежень на клас функцій, якщо розглядається лише група зсувів простору . Такі задачі були предметом дослідження багатьох математиків, серед яких Д. Помпейю, Л. Браун, Ф. Шніцер й А.Л. Шілдс, Л. Зальцман, К.А. Беренстейн, Б.А. Тейлор, П.Г. Лард, Р. Гей, А. Іжер, Р.М. Тригуб, В.П. Заставний, В.В. Волчков, Віт.В. Волчков та інші. Зокрема, В.В. Волчков визначив точні умови на зростання функції для випадків паралелепіпеда та еліпсоїда в .
Проблема Помпейю тісно пов'язана з класичною теоремою Морери з комплексного аналізу. Досліджуючи проблему Морери на гіперболічній площині, М.Л. Аграновський отримав загальну умову , яка є неточною для деяких конкретних контурів. Для випадку кола непокращувані умови встановлено В.В. Волчковим.
У зв'язку з цим досить актуальним є подальше дослідження аналогів проблеми Помпейю та Морери, зокрема для множин з не дійсно-аналітичною межею на гіперболічній площині.
Зв`язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у межах держбюджетної наукової теми Г - 02.40 "Теорія функцій та операторів", і пізніше - теми № 0106U001947 "Аналіз Фур`є, рівняння згортки, наближення функцій" згідно з планом науково-дослідних робіт кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету.
Мета дослідження. Дослідити проблеми типу Помпейю на гіперболічній площині з групою "зсувів" та застосувати їх до проблем типу Морери.
Завдання дослідження. Знайти клас функцій, для яких перетворення Помпейю з групою "зсувів" є ін'єктивним для
· гіперболічного прямокутника ,
· гіперболічного чотирибічника ,
· двох гіперболічних прямокутників ,
· двох гіперболічних чотирибічників .
Отримати умови на зростання функцій , для яких виконується теорема типу Морери для конформно-інваріантної сім'ї множин , де ,
· _ межа гіперболічного прямокутника,
· _ межа гіперболічного чотирибічника,
· ,
· .
Об'єкт дослідження _ проблеми Помпейю та Морери на гіперболічній площині.
Предмет дослідження _ функції з нульовими інтегральними середніми по гіперболічних прямокутниках або чотирибічниках.
Методи дослідження. У роботі використано методи теорії функцій комплексної змінної, гармонічного аналізу, інтегральної геометрії та теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Наукова новизна одержаних результатів. Уперше для групи "зсувів" гіперболічної площини встановлено точні умови на зростання функцій , для яких
· гіперболічний прямокутник ,
· гіперболічний чотирибічник ,
· два гіперболічні прямокутники ,
· два гіперболічні чотирибічники
є множинами Помпейю. Також подано узагальнення на випадок декількох функцій.
Отримано нові теореми про обернення перетворення Помпейю.
Для групи "зсувів" гіперболічної площини знайдено точні умови на зростання функцій , для яких
· межа гіперболічного прямокутника ,
· межа гіперболічного чотирибічника ,
· ,
·
є множинами Морери.
Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати та методика можуть бути застосовані для подальших досліджень в інтегральній геометрії, теорії функцій комплексної змінної та використані при розв'язанні задач, пов'язаних з інтегральними середніми та їх застосуванням. Зокрема, в п'ятому розділі дисертації, як застосування головних результатів отримано узагальнення класичної теореми Морери про голоморфність функції.
Особистий внесок здобувача. Роботи [1-11] написано дисертантом особисто. Науковому керівникові В.В. Волчкову належать визначення напрямку й загального плану досліджень та постановка деяких задач.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені в дисертацію, доповідались особисто на шести міжнародних та одній вузівській конференції: міжнародній конференції, присвяченій 100-річчю від дня народження М.О. Лаврентьєва (Київ, 2000), науково-методичній конференції професорсько-викладацького складу ДонНУ за підсумками діяльності за період 1999-2000 рр. (Донецьк, 2001), українському математичному конгресі до 200-річчя з дня народження М.В. Остроградського (Київ, 2001), міжнародній конференції-школі з геометрії та аналізу, присвяченій пам`яті О.Д. Александрова (Новосибірськ, 2002), шостій Казанській міжнародній літній школі-конференції "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 2003), міжнародній школі-конференції з аналізу та геометрії, присвяченій 75-річчю академіка Ю.Г. Решетняка (Новосибірськ, 2004), українському математичному конгресі до 100-річчя від дня народження М.М. Боголюбова (Київ, 2009).
Крім того, заочно взято участь у восьми міжнародних конференціях (тези доповідей опубліковано): міжнародній конференції з теорії наближення функцій та її застосувань, присвяченій пам'яті В.К. Дзядика (Київ, 1999), міжнародній конференції з комплексного аналізу та теорії потенціалу (Київ, 2001), Воронізькій зимовій математичній школі "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Вороніж, 2003), міжнародній школі-конференції "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 2004), міжнародній науковій конференції "Современные проблемы математики, механики, информатики", присвяченій 85-річчю від дня народження С.Б. Стечкіна та 75-річчю ТулДУ (Тула, 2005 р.), XIII міжнародній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених "Ломоносов" (Москва, 2006 р.), міжнародних наукових конференціях "Современные проблемы математики, механики, информатики", присвячених 10-річчю механіко-математичного факультету ТулДУ (Тула, 2006 р.) та 85-річчю від дня народження Л.О. Толоконнікова (Тула, 2008 р.).
Результати дисертації також доповідались у ДонНУ на семінарах кафедри математичного аналізу та теорії функцій (керівник _ професор Р.М. Тригуб, 1999 - 2009). Крім цього, дисертація доповідалася в цілому в Інституті прикладної математики і механіки на семінарі відділу теорії функцій (керівник _ професор В.І. Рязанов, 2009) та в Інституті математики НАН України на семінарі відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу (керівник _ професор Ю.Б. Зелінський, 2009). Деякі результати було опубліковано в монографії В.В. Волчкова (Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations / Volchkov V.V. _ Dordrecht. Boston. London: Kluwer Academic Publishers, 2003. - 454 p.)
Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в працях [1 _ 11], з яких [1 _ 6] надруковано у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, [7] - у збірнику наукових праць, [8 _ 11] - у збірниках матеріалів і тез конференцій. Опубліковані роботи достатньо повно відображають зміст дисертації.
Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, серед яких огляд літератури та три розділи власних досліджень, висновків та списку використаних джерел, і викладена на 127 сторінках машинопису. Список використаної літератури містить 99 джерел, з яких 48 робіт - з кириличною графікою та 51 робота - з латинською графікою, що становить 11 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовується актуальність теми, подаються мета й завдання дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та зміст роботи.
У першому розділі зроблено огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми дисертації.
Другий розділ має допоміжний характер. У ньому наведено деякі визначення та конструкції, пов'язані з моделлю Пуанкаре гіперболічної площини, а також низка тверджень і лем, що використовуються в роботі надалі.
У моделі Пуанкаре гіперболічної площини одиничний круг трактується як площина Лобачевського з неевклідовою відстанню
між точками та мірою
.
Відстань
та міра
є інваріантними відносно групи дробово-лінійних автоморфізмів круга .
Розглянемо групу
,
що складається з комплексних матриць з визначником
.
Група діє на транзитивно за допомогою відображень
.
Розклад Івасави групи має вигляд
, де
_ група обертань ,
,
.
Підгрупа , що транзитивно діє на , складається з матриць
, де .
Гіперболічні прямі являють собою дуги кіл (і діаметри) в , ортогональні до межи , орицикли - евклідови кола в , що дотикаються . А еквідистанти - це дуги евклідових кіл, що перетинають . Нехай , , , де . Будемо називати гіперболічними прямокутниками множини , а гіперболічними чотирибічниками _ множини та позначимо
,
.
Нескладно побачити, що множина являє собою частину круга , розміщену між двома орициклами зі спільною точкою та двома гіперболічними прямими, що входять в цю точку. _ між двома орициклами зі спільною точкою , а також гіперболічною прямою та еквідистантою, що входять в цю точку.
У третьому та четвертому розділах розглядаються відповідно проблеми типу Помпейю для гіперболічних прямокутників та гіперболічних чотирибічників.
Нехай - компактна підмножина (додатної міри Лебега) гіперболічної площини , реалізованої в одиничному крузі ,
,
,
функція неперервна в , та
для всіх . Чи вірно, що в ? Якщо відповідь позитивна, то називають множиною з властивістю Помпейю (множиною Помпейю). Проблема Помпейю полягає в тому, щоб описати всі множини з цією властивістю.
К.А. Беренстейн та М. Шахшахані (Berenstein C.A. Harmonic analysis and the Pompeiu problem / C.A. Berenstein, M. Shahshahani // Amer. J. Math. _ 1983. _ Vol. 105. _ P. 1217 _ 1229.) отримали загальну достатню умову належності множини класу множин з властивістю Помпейю. З цього результату випливає, що якщо межа є ліпшіцівою, але не дійсно-аналітичною, доповнення _ звЧязне, то є множиною Помпейю в . Таким чином, для будь-якого як гіперболічний прямокутник , так і гіперболічний чотирибічник є множинами з властивістю Помпейю.
Проте, якщо замість усієї групи рухів розглядати лише підгрупу "зсувів" , ситуація змінюється. Так, нехай , та
для всіх (1)
при , або (для деякого ). Тоді звідси в загальному випадку не випливає, що в . У звЧязку з цим виникають узагальнення проблеми Помпейю в двох напрямах: дослідження декількох множин (наприклад, двох гіперболічних прямокутників) та встановлення додаткових обмежень на розглядувані функції.
Основними результатами третього та четвертого розділів є наступні дві теореми, в яких знайдено точні умови на зростання функції для одного та двох гіперболічних прямокутників та гіперболічних чотирибічників. Перше твердження теореми 1 дає розвЧязок задачі, поставленої В.В. Волчковим в монографії на с. 229 (Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations / Volchkov V.V. _ Dordrecht. Boston. London: Kluwer Academic Publishers, 2003. _ 454 p.), про отримання додаткових умов на розглядувані функції для випадку , де .
Для та позначимо
.
Теорема 1. 1) Нехай ,
(2)
при , ,
та для деяких
(3)
для всіх
Тоді якщо , або
(4)
при по орициклах
то в .
2) Для будь-яких існує функція , що не дорівнює нулю тотожньо в , задовольняє (3), (4) та така, що
при , .
3) Для будь-яких сумірних існує функція , що не дорівнює нулю тотожньо в , задовольняє (2), (3) та така, що
при по орициклах.
Таким чином, для несумірних перетворення типу Помпейю
є інЧєктивним на класі неперервних функцій, що задовольняють умові (2). Відповідно перетворення
,
як і для сумірних , є інЧєктивними на класі неперервних функцій, що задовольняють умовам (2) та (4).
Зауважимо, що достатніми умовами виконання (2) та (4) є відповідно
при по гіперболічних прямих,
(5)
при по орициклах
Також можна зазначити, що теорема 1 залишається вірною, якщо в (4) (або (5)) розглядати лише піворицикли (такі, наприклад, що ).
Для та позначимо
.
Теорема 2. 1) Нехай ,
(6)
при , ,
та для деяких
(7)
для всіх
Тоді якщо , або
(8)
при по гіперболічних прямих
то в .
2) Для будь-яких існує функція , що не дорівнює нулю тотожньо в , задовольняє (7), (8) та така, що
при , .
3) Для будь-яких сумірних існує функція , що не дорівнює нулю тотожньо в , задовольняє (6), (7) та така, що
при по гіперболічних прямих.
Таким чином, для несумірних перетворення типу Помпейю
є інЧєктивним на класі неперервних функцій, що задовольняють умові (6). Відповідно перетворення
, як і
для сумірних , є інЧєктивними на класі неперервних функцій, що задовольняють умовам (6) та (8).
Зауважимо, що достатніми умовами виконання (6) та (8) є відповідно
(9)
при по піворициклах таких, що ,
при по гіперболічних прямих та еквідистантах.
Також можна зазначити, що теорема 2 залишається вірною, якщо в (6), замінити на (або в (9) розглядати піворицикли такі, що ).
У дисертаційній роботі вивчаються також узагальнення вищенаведених задач на випадок декількох функцій. Так в розділі 4 отримано такі узагальнення задач про один та два гіперболічні чотирибічники.
Теорема 3. Нехай для деякого , усіх таких, що та деяких функції , і
для всіх .
Тоді, якщо функція
задовольняє умовам: 1) при , ,
2)
при по гіперболічних прямих,
то в .
Теорема 4. Нехай для деяких несумірних
функції
задовольняють умовам:
1)
для всіх ,
2) для всіх , при , ,
3)
при по гіперболічних прямих.
Тоді в .
У розділі 3 дисертації отримано аналогічні узагальнення задач про один та два гіперболічні прямокутники. Подібні задачі для випадку евклідового простору вивчались раніше В.В. Волчковим.
Розглянемо клас функцій
.
У наступних теоремах з третього розділу дисертації отримано опис деяких класів функцій у термінах їх інтегральних середніх по гіперболічних прямокутниках.
Теорема 5. Нехай функція задовольняє умові (4), та для деякого для всіх .
Тоді
, де
, , .
Теорема 6.
Нехай для деяких несумірних функція задовольняє умові для всіх , . Тоді
на , і для та
, де
,
,
.
У четвертому розділі дисертації отримано опис деяких класів функцій
у термінах їх інтегральних середніх по гіперболічних чотирибічниках.
Теорема 7. Нехай функція задовольняє умові (8), та для деякого
для всіх , і деяких функцій .
Тоді
, де
.
Теорема 8. Нехай для деяких несумірних функція задовольняє умові
для всіх , і деяких функцій , . Тоді
на , і для та
, де
.
Аналогічні теореми мають місце для .
У пЧятому розділі розглядаються теореми типу Морери для гіперболічних прямокутників та гіперболічних чотирибічників.
Проблему типу Морери на гіперболічній площині можна сформулювати таким чином. Нехай - область Жордана з зі спрямлюваною межею . Тоді називається кривою з властивістю Морери, якщо з того, що функція задовольняє умові
, (10)
для кожного , випливає, що голоморфна в .
Розглянемо таку задачу. Нехай , і для деякої кусково-гладкої замкненої кривої виконується (10) для всіх . Чи випливає звідси, що голоморфна в ? У загальному випадку відповідь негативна, але при деяких додаткових припущеннях голоморфність має місце. Одним з таких припущень є умова , отримана М.Л. Аграновським (Аграновский М.Л. Преобразование Фурье на и теоремы типа Морера / М.Л. Аграновский // ДАН СССР. - 1978. - 243, № 6. - С. 1353 - 1356.). Ця достатньо загальна умова є неточною для деяких конкретних контурів. Наприклад, у випадку, коли - коло, непокращувані умови отримані В.В. Волчковим. Якщо - множина з властивістю Помпейю, то має властивість Морери, і в цьому випадку умова Аграновського є зайвою.
З результату К.А. Беренстейна та М. Шахшахані випливає, що для будь-якого як межа гіперболічного прямокутника , так і межа гіперболічного чотирибічника є кривими з властивістю Морери. Проте, якщо замість усієї групи рухів розглядати лише підгрупу "зсувів" , ситуація змінюється. Тоді з (10) для або в загальному випадку не випливає, що голоморфна в . У звЧязку з цим виникають узагальнення проблеми Морери в двох напрямах: дослідження декількох множин (наприклад, двох гіперболічних прямокутників) та встановлення додаткових обмежень на розглядувані функції.
У наступних двох теоремах розглядаються функції з нульовими інтегралами за межею гіперболічного прямокутника чи чотирибічника та знайдено точні умови, що забеспечують голоморфність таких функцій. За допомогою зведення до проблеми Помпейю показано, що умову , яка накладає обмеження на поведінку функції поблизу всієї межи круга , можна замінити обмеженнями на зростання функції лише в околі точки .
Для позначимо
,
Теорема 9. 1) Нехай ,
(11)
при , , та для деяких
для всіх (12)
Тоді якщо , або
(13)
при по орициклах,
то голоморфна в .
2) Для будь-яких існує неголоморфна функція , що задовольняє (12), (13) та така, що
при , .
3) Для будь-яких сумірних існує неголоморфна функція , що задовольняє (11), (12) та така, що при по орициклах.
Теорема 10. 1) Нехай ,
при , , (14)
та для деяких
для всіх (15)
Тоді якщо , або
при по гіперболічних прямих, (16)
то голоморфна в .
2) Для будь-яких існує неголоморфна функція , що задовольняє (15), (16) та така, що
при , .
3) Для будь-яких сумірних існує неголоморфна функція , що задовольняє (14), (15) та така, що
, при по гіперболічних прямих.
Зауважимо, що достатньою умовою виконання (11) є
при по гіперболічних прямих
Відповідно (14) має місце, якщо
при по орициклах.
Якщо ж виконано (17), то з умови
при по еквідистантах,
випливає (16). зсув множина помпейю голоморфність
ВИСНОВКИ
У дисертації вперше для групи "зсувів" гіперболічної площини встановлено точні умови на зростання функцій , для яких
· гіперболічний прямокутник ,
· гіперболічний чотирибічник ,
· два гіперболічні прямокутники ,
· два гіперболічні чотирибічники
є множинами Помпейю. Також подано узагальнення на випадок декількох функцій.
Отримано нові теореми про обернення перетворення Помпейю.
Для групи "зсувів" гіперболічної площини знайдено точні умови на зростання функцій , для яких
· межа гіперболічного прямокутника ,
· межа гіперболічного чотирибічника ,
· ,
·
є множинами Морери.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Силенко В.Е. Новая теорема типа Мореры / В.Е. Силенко // Український математичний журнал. - 2001. - Т. 53, № 2. - С. 278 - 281.
2. Силенко В.Е. Характеризация гармонических и аналитических функций в единичном шаре / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А: Природничі науки. - 2001. - Вип. 2. - С. 7 - 11.
3. Силенко В.Е. Описание функций с заданными интегральными средними по гиперболическим прямоугольникам / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А: Природничі науки. - 2004. - Вип. 1. - С. 18 - 22.
4. Силенко В.Е. Задачи о двух гиперболических прямоугольниках в единичном круге / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А: Природничі науки. - 2005. - Вип. 2. - С. 14 - 21.
5. Силенко В.Е. Проблемы типа Помпейю и Мореры для гиперболических четырехсторонников в единичном круге / В.Е. Силенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2006. - Т. 12. - С. 153 - 163.
6. Силенко В.Е. Теоремы типа Мореры для гиперболических прямоугольников в единичном круге / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А: Природничі науки. - 2008. - Вип. 2. - С. 49 - 56.
7. Силенко В.Е. О функциях с нулевыми интегралами по гиперболическим квадратам / В.Е. Силенко // Труды по геометрии и анализу. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2003. - С. 384 - 388.
8. Силенко В.Е. О функциях с нулевыми интегралами по гиперболическим прямоугольникам / В.Е. Силенко // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 19: материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции ["Теория функций, ее приложения и смежные вопросы"], (Казань, 27 июня _ 4 июля 2003 г.) - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2003. - С. 198 - 199.
9. Силенко В.Е. Новая теорема типа Мореры в единичном круге / В.Е. Силенко // Тезисы докладов международной школы-конференции ["Геометрический анализ и его приложения"], (Волгоград, 24 - 30 мая 2004 г.) / ВолГУ. - Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2004. - С. 165 - 166.
10. Силенко В.Е. Проблема Помпейю для двух гиперболических четырехсторонников / В.Е. Силенко // Тезисы докладов международной научной конференции ["Современные проблемы математики, механики, информатики"], (Тула, 22 - 26 ноября 2005 г.) / ТулГУ. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - С. 140 - 142.
11. Силенко В.Е. Теоремы типа Мореры на гиперболической плоскости / В.Е. Силенко // Материалы XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых ["Ломоносов"], (Москва, 12 - 15 апреля 2006 г.) / МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: Изд-во МГУ, 2006. - Том IV. _ С. 78 - 79.
АНОТАЦІЇ
Силенко В.Є. Проблеми типу Помпейю на гіперболічній площині. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2010.
У дисертаційній роботі досліджуються аналоги проблеми Помпейю та Морери на гіперболічній площині.
Уперше для групи "зсувів" гіперболічної площини встановлено точні умови на зростання функцій , для яких гіперболічний прямокутник або гіперболічний чотирибічник є множинами Помпейю. Подано узагальнення на випадок двох гіперболічних прямокутників, двох гіперболічних чотирибічників, а також декількох функцій. Отримано нові теореми про обернення перетворення Помпейю.
Як застосування вищеозначених проблем типу Помпейю знайдено нові теореми типу Морери про голоморфність функції. Для групи "зсувів" гіперболічної площини визначено точні умови на зростання функцій , для яких межа гіперболічного прямокутника або межа гіперболічного чотирибічника є множинами Морери. Також розглянуто випадок двох гіперболічних прямокутників та двох гіперболічних чотирибічників.
Ключові слова: проблема Помпейю, множина Помпейю, гіперболічна площина, гіперболічний прямокутник, гіперболічний чотирибічник, теорема Морери, голоморфність функції.
Силенко В.Е. Проблемы типа Помпейю на гиперболической плоскости. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2010.
Диссертационная работа посвящена исследованию проблем Помпейю и Мореры и их обобщений на гиперболической плоскости.
Ранее С.А. Вильямс для евклидового пространства , К.А. Беренстейн и М. Шахшахани для симметрического пространства некомпактного типа (с группой движений ) получили достаточные условия того, что данный компакт является множеством Помпейю. В связи с этим возникли задачи об исследовании нескольких множеств (например, задачи о двух кругах, трех квадратах в ), а также задачи о нахождении дополнительных ограничений на класс функций, если рассматривается лишь подгруппа (например, сдвигов) группы . Такие задачи были предметом исследований многих математиков, среди которых Д. Помпейю, Л. Браун, Ф. Шницер и А.Л. Шилдс, Л. Зальцман, К.А. Беренстейн, Б.А. Тейлор, П.Г. Лард, Р. Гэй, А. Ижер, Р.М. Тригуб, В.П. Заставный, В.В. Волчков, Вит.В. Волчков и другие. В частности, В.В. Волчков нашел точные условия на рост функций для случаев параллелепипеда и эллипсоида в .
Из результата К.А. Беренстейна и М. Шахшахани следует принадлежность как гиперболического прямоугольника, так и гиперболического четырехсторонника классу множеств со свойством Помпейю. В диссертации рассмотрено обобщение проблемы Помпейю на гиперболической плоскости на случай замены всей группы движений группой сдвигов. В связи с чем возникли два направления дальнейших исследований: рассмотрение нескольких множеств (например, двух гиперболических прямоугольников) и определение дополнительных ограничений на рассматриваемые функции.
В диссертационной работе получены точные условия на рост функций , для которых гиперболический прямоугольник или гиперболический четырехсторонник являются множествами Помпейю для группы "сдвигов" гиперболической плоскости . Приведены примеры функций с нулевыми интегралами по гиперболическим прямоугольникам и функций с нулевыми интегралами по гиперболическим четырехсторонникам, подтверждающие точность найденных условий. Дано обобщение на случай двух гиперболических прямоугольников, двух гиперболических четырехсторонников, а также нескольких функций.
Получены новые теоремы о восстановлении некоторых классов функций по их заданным интегральным средним по гиперболическим прямоугольникам, гиперболическим четырехсторонникам, то есть об обращении преобразования Помпейю.
Проблема Помпейю тесно связана c классической теоремой Мореры из комплексного анализа. Исследуя проблему Мореры на гиперболической плоскости, М.Л. Аграновский получил общее условие , являющееся неточным для некоторых конкретных контуров и излишним для каждой кусочно-гладкой жордановой кривой, ограничивающей множество со свойством Помпейю. Для случая окружности неулучшаемые условия установлены В.В. Волчковым.
В диссертации как применение вышеописанных проблем типа Помпейю найдены новые обобщения теоремы Мореры о голоморфности функции. Для группы "сдвигов" гиперболической плоскости определены точные условия на рост функций , для которых граница гиперболического прямоугольника или граница гиперболического четырехсторонника являются множествами Мореры. Также рассмотрены случаи двух гиперболических прямоугольников и двух гиперболических четырехсторонников. Приведены примеры функций с нулевыми интегралами по границам гиперболических прямоугольников и функций с нулевыми интегралами по границам гиперболических четырехсторонников, подтверждающие точность полученных условий.
Ключевые слова: проблема Помпейю, множество Помпейю, гиперболическая плоскость, гиперболический прямоугольник, гиперболический четырехсторонник, теорема Мореры, голоморфность функции.
Silenko V.E. Problems of Pompeiu type on the hyperbolic plane. - Manuscript.
Thesis for a candidate degree in Physics and Mathematics: speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine. _ Donetsk, 2010.
The thesis focuses on problems of the Pompeiu and Morera type on the hyperbolic plane.
It is for the first time, for the group of the translations of the hyperbolic plane , that the precise conditions of growth of under which some hyperbolic rectangle, or some hyperbolic four-sided set have the Pompeiu property have been determined. The generalizations for two hyperbolic rectangles, two hyperbolic four-sided sets, several functions have been established.
New theorems about inversion of the Pompeiu transform have also been obtained.
The obtained results have been applied for determination of the new generalizations of the Morera function holomorphy theorem. The precise conditions of growth of under which the boundary of some hyperbolic rectangle, or the boundary of some hyperbolic four-sided set have the Morera property for the group of the translations of the hyperbolic plane have been determined. The cases of two hyperbolic rectangles and two hyperbolic four-sided sets have also been established.
Key words: Pompeiu problem, Pompeiu set, hyperbolic plane, hyperbolic rectangle, hyperbolic four-sided set, Morera type theorem, holomorphy function.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Ряди Фур'є за ортогональними системами тригонометричних функцій, ознаки їх збіжності. Постановка крайових задач, вивід рівняння теплопровідності. Принцип максимуму і теорема єдиності. Розв'язування неоднорідних задач параболічного типу для прямокутника.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 24.01.2012Отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних. Випадок класів, які задаються обмеженнями на декілька похідних. Означення екстремальної функції, її властивості.
дипломная работа [1,4 M], добавлен 11.06.2017Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Клас самодвоїстих функцій і його замкненість. Леми теореми Поста. Реалізація алгоритму В середовищі програмування С#, який визначає чи є система функцій алгебри логіки функціонально повна, вид повноти.
курсовая работа [388,6 K], добавлен 17.05.2011Означення модуля неперервності та його властивості. Дослідження поведінки найкращих наближень неперервної функції алгебраїчними многочленами на базі властивостей введених Діціаном і Тотіка. Вирішення оберненої задачі. Узагальнення теореми Джексона.
курсовая работа [1016,1 K], добавлен 09.07.2015Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень, її простота, значення; історичні відомості. Теорема Піфагора на площині та у просторі, її стереометричний аналог; цілочислові прямокутні трикутники. Доведення теореми, класифікація задач.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 16.05.2011Перетворення Фур'є як самостійна операція математичного аналізу. Амплітудний і фазовий спектри розкладу інтегралу Фур'є для заданої неперіодичної функції. Комплексна форма інтеграла Фур'є. Спектральна характеристика (щільність) неперіодичної функції.
курсовая работа [235,5 K], добавлен 18.07.2010Розгляд методів твірних функцій. Біном Ньютона як найбільш відомий приклад твірної функції. Розгляд задачі про щасливі білети. Аналіз властивостей твірних функцій. Характеристика найважливіших властивостей твірних функцій, особливості застосування.
курсовая работа [428,9 K], добавлен 12.09.2012Вивчення теорії інтегральних нерівностей типу Біхарі для неперервних і розривних функцій та її застосування. Розгляд леми Гронуолла–Беллмана–Бiхарi для нелiнiйних iнтегро-сумарних нерiвностей. Критерій стійкості автономної системи диференціальних рівнянь.
курсовая работа [121,7 K], добавлен 21.04.2015Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011Беселеві функції з будь-яким індексом, з напівцілим індексом. Формули приведення для Беселевих функцій. Інтегральне подання функцій із цілим індексом. Ряди Фур'є-Беселя. Асимптотичне подання функцій із цілим індексом для більших значень аргументу.
курсовая работа [211,7 K], добавлен 28.12.2010Обчислення меж гіперболічних функцій та замінна змінного. Порівняння гіперболічних і зворотних до них функцій. Диференціювання зворотних гіперболічних функцій, невизначений інтеграл. Розкладання гіперболічних функцій по формулах Тейлора та Маклорена.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 11.02.2011Проблеми відновлення функції по відомій її похідній для науки та техніки серед множини абелевих інтегралів та алгебраїчних кривих і функцій. Інтегрування виразів до многочленів під коренем як вид еліптичних інтегралів. Перетворення до канонічної форми.
курсовая работа [150,8 K], добавлен 25.05.2009Інтеграл Фур'є для парної й непарної функції. Приклад розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є. Визначення методів Бернштейна–Рогозинського. Наближення функцій за допомогою сум Бернштейна-Рогозинського. Сума, добуток і частка періодичних функцій.
курсовая работа [765,6 K], добавлен 07.07.2011Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.
контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012Теоретичні матеріали щодо визначення методів дослідження лінійної залежності та незалежності функцій, проведення дослідження лінійної залежності систем функцій однієї змінної за визначенням і з використанням визначників матриць Вронського та Грама.
курсовая работа [235,2 K], добавлен 15.06.2013Визначення гіпергеометричного ряду. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції. Властивості гіпергеометричної функції.
курсовая работа [462,3 K], добавлен 26.01.2011Функція двох змінних, методика визначення її головних параметрів. Поняття екстремуму функцій двох змінних, необхідні та достатні умови її існування. Особливості визначення екстремуму функції за деяких умов, які обмежують область зміни аргументів.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 22.10.2014Вкладення тихонівських просторів у ширші простори. Характеризація лінделефовості та компактності тихонівських просторів. Теорема Белла-Ященко та теорема Блер-Гагер для тихонівського простору. Характеризація паракомпактності та узагальнення теореми Яджіма.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 03.04.2012Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).
дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010
