Випадкові рекурсивні послідовності

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук

Випадкові рекурсивні послідовності

Маринич О.В.

01.01.05 - теорiя ймовiрностей i математична статистика

Київ - 2011

Вступ

Актуальність теми. Лінійною випадковою рекурсивною послідовністю називається послідовність випадкових величин така, що її одновимірні розподіли задовольняють рівність

(1)

де є деякою характеристикою структури розміру , яка розбивається згідно з певним правилом на підструктур випадкових розмірів , - це випадковий неоднорідний член, - ваговий множник -ої підструктури, - фіксоване натуральне число. Для кожного випадкова величина , що відповідає -ій підструктурі, вважається незалежною від та розподіленою як для кожного . Також припускається, що послідовності незалежні в сукупності.

Лінійні випадкові рекурсії вигляду (1), часто у спрощеному вигляді з , з'являються у різних галузях прикладної та теоретичної ймовірності, зокрема при вивченні таких випадкових структур, як випадкові дерева, коалесценти, рекурсивні алгоритми, випадкові блукання з бар'єром, випадкові регенеративні структури та багато інших. Ці, на перший погляд, зовсім різні випадкові об'єкти поєднує їх внутрішня рекурсивна природа, яка формально може бути описана в термінах випадкових рекурсивних послідовностей вигляду (1), яким задовольняють параметри цих структур. Така внутрішня самоподібність дозволяє об'єднати ці об'єкти під спільною назвою випадкові рекурсивні комбінаторні структури та робить випадкові рекурсивні послідовності потужним засобом їх дослідження.

Широкий спектр прикладних та теоретичних задач, в яких виникають випадкові рекурсивні комбінаторні структури, сприяв появі величезної кількості публікацій, присвячених їх дослідженням, що свідчить про актуальність цієї проблематики. Важливі результати, що сприяли кращому розумінню рекурсивної природи таких випадкових об'єктів, були отримані в роботах О. Гнєдіна, М. Дрмоти, О. М. Іксанова, Р. Найнінгера, Л. Рушендорфа, У. Рьослера, Х. Хвана, Ф. Флажолє, В. Шпанковскі та інших.

В даній дисертаційній роботі встановлено деякі загальні результати для випадкових рекурсивних послідовностей, а також доведено граничні теореми для двох окремих випадкових рекурсивних структур, в яких вони виникають: граток Бернуллі та перестановних коалесцентів.

Гратка Бернуллі - це схема зайнятості з нескінченною кількістю урн (схема Карліна) з випадковими ймовірностями потраплення в кожну урну, що визначаються в термінах послідовності незалежних та однаково розподілених випадкових величин . Ця схема була запропонована О. Гнедіним як узагальнення декількох моделей прикладної ймовірності. Якщо випадкова величина має розподіл, вироджений у точці , то гратка Бернуллі еквівалентна схемі, що виникає у класичній процедурі вибору лідера. Остання схема (або еквівалентні їй моделі) вивчалася у роботах Т. Брюса, А. Кнопфмахера, Г. Лушара, Х. Махмуда, Х. Продінгера, Д. Філла, С. Янсона та інших. Якщо має бета розподіл для деякого , то існує тісний зв'язок між гратками Бернуллі та випадковими підстановками, які досліджувалися такими авторами, як Р. Арратіа, А. Барбур, П. Ердьош, В. Колчін, С. Таваре, П. Туран та іншими. У даній роботі встановлено граничні результати для деяких функціоналів, пов'язаних з гратками Бернуллі. В цих результатах розподіл не припускається відомим в явному вигляді.

З моменту своєї появи у роботах Д. Ф. К. Кінгмана перестановні коалесценти стали потужним засобом у дослідженнях, пов'язаних з генетикою популяцій, зокрема, у аналізі генеалогії послідовностей ДНК. В основі коалесцента лежить модель нейтральної еволюції, а сам коалесцент є апроксимацією класичної моделі Райта-Фішера у випадку, коли розмір популяції великий.

Вагомий внесок у розвиток теорії перестановних коалесцентів зроблено у роботах Ж. Берестикі, Н. Берестикі, Ж. Бертуана, О. Гнедіна, О. М. Іксанова, М. Мьолє, Д. Пітмана, С. Сагітова, Д. Швайнсберга та інших. У даній роботі розв'язано декілька відкритих задач теорії перестановних коалесцентів, зокрема, доведено граничні результати для числа зіткнень у бета -коалесцентах та встановлено асимптотику трьох функціоналів на коалесценті Пуассона-Діріхле.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності до плану наукових досліджень кафедри дослідження операцій факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка в межах науково-дослідної теми "Розробка теорії і програмного забезпечення стохастичних моделей, теорії алгебраїчних систем та аналіз перспектив їх застосувань. Розробка та впровадження інформаційних технологій в освіті" (2006-2010 рр.), НДР №06 БП015-06, номер держреєстрації 0106U004352.

Підготовка дисертаційної роботи була частково підтримана грантом DFG (організація наукових досліджень Німеччини) № 436UKR 113/93/0-1, проект "Стохастичні нерухомі точки" (2007-2010 рр.). Частина цієї роботи виконувалась в рамках спільного з університетом міста Утрехт (Нідерланди) проекту "Combinatorial stochastic processes" (2008-2011 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є встановлення граничних результатів для випадкових рекурентних співвідношень, які виникають у дослідженнях, пов'язаних з гратками Бернуллі та у теорії коалесцентів з множинними зіткненнями, та знаходження асимптотичної поведінки моментів випадкових рекурентних співвідношень загального вигляду.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є випадкові лінійні рекурентні співвідношення, пов'язані з гратками Бернуллі та з функціоналами, що діють на коалесцентах.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є асимптотика моментів випадкових рекурентних співвідношень у загальному випадку, а також слабка збіжність функціоналів, що діють на гратках Бернуллі та функціоналів на коалесцентах з множинними зіткненнями.

Методика дослідження. Крім стандартного ймовірнісного апарату, у дисертаційній роботі використовуються методи

1. теорії відновлення та теорії випадкових блукань;

2. теорії правильної зміни;

3. теорії ітеративних функцій;

4. теорії марківських процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи є новими. Зокрема:

* запропоновано та обґрунтовано новий метод дослідження асимптотичної поведінки моментів випадкових рекурсивних послідовностей загального вигляду - метод ітеративних функцій;

* встановлена достатня умова слабкої збіжності часу поглинання спадних ланцюгів Маркова до експоненційного функціоналу від субординатора з відомою мірою Леві;

* у повній загальності доведено результат про слабку збіжність числа зайнятих інтервалів у гратках Бернуллі;

* встановлено асимптотичну поведінку середнього числа порожніх інтервалів та числа малих частин у гратках Бернуллі;

* знайдено асимптотику моментів та доведено центральну граничну теорему для числа зіткнень у бета -коалесцентах;

* досліджено асимптотичну поведінку моментів трьох функціоналів, що діють на коалесценті Пуассона-Діріхле.

Доведений у даній дисертації результат про слабку збіжність числа зайнятих інтервалів у гратці Бернуллі вказує п'ять режимів збіжності, що відрізняються нормуючими та центруючими константами та/або граничними законами. Він узагальнює результати, отримані у роботах О. Гнєдіна, О. Іксанова та інших при додаткових моментних припущеннях.

Запропонований метод дослідження асимптотичної поведінки моментів випадкових рекурсивних послідовностей є новим і базується на техніці ітеративних функцій. Даний метод був розроблений для розв'язання однієї задачі у теорії коалесцентів з множинними зіткненнями, але пізніше був узагальнений на довільні випадкові лінійні рекурсивні послідовності.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Результати даної роботи, що носять в основному теоретичний характер, є внеском до теорії відновлення, теорії коалесцентів та теорії ігор. Результат про асимптотичну поведінку моментів випадкових рекурсій, який наведено в другому розділі, є загальним і може бути застосований до довільних лінійних рекурсій, що виникають у різних розділах математики. Результати пункту 3.3.1, пов'язані зі збуреними випадковими блуканнями, також представляють самостійний інтерес.

Практичне значення отриманих результатів полягає у потенціальній можливості їх застосування до розв'язання деяких задач, що виникають у математичній фізиці, теорії алгоритмів, страховій справі, математичній біології, економіці, математичній статистиці та інших галузях.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації отримані автором особисто. З статей, написаних у співавторстві, до дисертації включені лише результати автора.

В статті [2] О. М. Іксанову та М. Мьолє належить підготовка остаточної версії статті та остання версія доведення теореми 1.5, в статті [1] автору належать варіанти доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на міжнародній конференції "Український математичний конгрес (Київ, 2009 р.), міжнародній конференції "9th German open conference in probability and statistics" (Лейпциг, Німеччина, 2010 р.), міжнародних конференціях "Problems of decision making under uncertainties" (Кам'янець-Подільський, 2009 р.; Львів, 2010 р.; Ялта, 2010 р.), міжнародній конференції з аналізу алгоритмів "AofA 2010" (Відень, Австрія, 2010 р.).

Також матеріали дисертаційного дослідження доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах при відділі теорії ймовірностей Інституту математики університету міста Кіль (Німеччина), на наукових семінарах відділення математики університету міста Утрехт (Нідерланди), при відділі випадкових процесів Інституту математики НАН України, на науковому семінарі з теорії випадкових процесів при кафедрі математичного аналізу та теорії ймовірностей НТУУ "КПІ" , а також на наукових семінарах при кафедрі дослідження операцій та при кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи викладено у 4 статтях [1,2,3,4], надрукованих у провідних наукових фахових виданнях України (які входять до переліку ВАК) та інших країн. Частина результатів міститься у статті [5], що вийшла у періодичному електронному іноземному виданні.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, 4-х розділів, висновків та списку використаних джерел. Кожен розділ розбито на підрозділи, які, в свою чергу, поділяються на пункти. Кожен розділ має власну нумерацію формул. Нумерація ж теорем, лем, зауважень тощо загальна для всієї роботи. Робота містить один малюнок та три таблиці.

1. Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів. У першому розділі наведено огляд літератури за тематикою дисертації, порівняно результати, отримані в роботі, з відомими раніше.

Дослідження асимптотики моментів випадкових рекурсивних послідовностей методом ітеративних функцій. У другому розділі дисертації запропоновано новий метод дослідження асимптотичної поведінки моментів випадкових рекурсивних послідовностей. Він носить назву "метод ітеративних функцій" і застосовується, зокрема, при доведенні теорем 52 та 54 у четвертому розділі. Метод був запропонований у роботі [4].

Позначимо через -кратну композицію функції з собою.

Означення 1. Нехай функція є строго зростаючою, необмеженою, неперервною на області визначення та задовольняє умову: для деякого та довільного існує таке, що

(2)

Нехай функції та є неперервними на області визначення. Визначимо функцію рівністю

Де



Функція називається ітеративною функцією, породженою четвіркою , та позначається

.

Метод ітеративних функцій використовується для дослідження асимптотичної поведінки розв'язку рекурсії

(3)

де - заданий трикутний масив невід'ємних чисел, а - задана послідовність невід'ємних чисел. Зауважимо, що моменти лінійних випадкових рекурентних співвідношень вигляду (1), задовольняють рекурентне співвідношення вигляду (3).

Наведемо алгоритм відшукання асимптотичної поведінки моментів випадкових рекурентних співвідношень.

Метод ітеративних функцій

Виконати зведення до ймовірностей. Як результат, отримуємо рекурсію

де

для всіх та . Нехай - випадкова величина з розподілом .

2) Довести розбіжність .

3) Знайти неперервну, строго зростаючу, необмежену функцію , що визначена на , таку, що

.

Вибрати так, щоб виконувалась умова (2). Знайти неперервну функцію , визначену на , таку, що .

4) Знайти ітеративну функцію , породжену четвіркою , де - довільна неперервна на функція (див. означення 1).

5) Якщо є елементарною функцію, то перейти на наступний крок, інакше вибрати функцію так, щоб була двічі диференційовною та перейти на наступний крок.

6) Якщо

,

то перейти на наступний крок, інакше перейти на крок 3 та вибрати іншу функцію з асимптотично меншим членом .

7) Якщо

то . Якщо



то

.

У підрозділі 2.1 розділу 2 сформульовано та доведено теореми, що обгрунтовують наведений вище алгоритм, а також наведено ряд прикладів його застосування.

Окремим випадком співвідношення (1) є рекурсія

(4)

де - це довільний випадковий індекс, а випадкова величина вважається незалежною від та розподіленою як для кожного . Випадкові рекурсії вигляду (4) природно інтерпретувати в термінах ланцюгів Маркова. Нехай - це спадаючий ланцюг Маркова з множиною станів та перехідними ймовірностями

Для довільного фіксованого визначимо випадкову величину

(5)

що є часом поглинанная ланцюга, який стартує у стані . Зафіксувавши розмір першого стрибка ланцюга та скориставшися марківською властивістю, отримаємо рівність розподілів (4), де є розміром першого стрибка. Отже, розподіл задається так

(6)

Підрозділ 2.2 розділу 2 присвячений дослідженню асимптотичної поведінки часу поглинання спадних ланцюгів Маркова, тобто рекурсіям вигляду (4). Наведемо основний результат підрозділу 2.2.

Теорема 19. Припустимо, що для всіх існує границя

(7)

Тоді при

(8)

де - субординатор з експонентою Лапласа .

Третій та четвертий розділи присвячені дослідженню граток Бернуллі та коалесцентів з множинними зіткненнями, відповідно.

Гратка Бернуллі - це модель розміщення, що може бути реалізована так. Розглянемо випадкове розбиття відрізку точками мультиплікативного випадкового блукання

де є незалежними копіями випадкової величини , що називається кроком. Нехай - вибірка розміру з рівномірного на розподілу, яка не залежить від , а - відповідні порядкові статистики. Інтервал називається зайнятим, якщо він містить принаймні одну точку рівномірної вибірки, та порожнім у супротивному випадку.

Введемо позначення

,

,

*

- номер останнього зайнятого інтервалу, якщо рахувати справа наліво;

*

- число порожніх інтервалів до останнього зайнятого;

*

- число зайнятих інтервалів;

*

- кількість інтервалів, в яких містяться рівномірних точок.

Згідно з рівностями розподілів

(9)

(10)

(11)

де випадкові величини та припускаються незалежними від випадкової величини , що є числом рівномірних точок, що не потрапили до першого інтервалу, та розподіленими так як та для кожного ; а випадкова величина припускається незалежною від випадкової величини , що є числом рівномірних точок, що не потрапили до першого зайнятого інтервалу, та розподіленою так як для кожного , послідовності , та є лінійними випадковими рекурсивними послідовностями. Розділ 3 даної роботи присвячений отриманню різних граничних теорем для них.

У подальшому припускається, що розподіл випадкової величини не є зосередженим на множині для жодного або, що еквівалентно, розподіл випадкової величини є неарифметичним.

В теоремі 23 досліджена слабка збіжність послідовності . Для формулювання цього результату введемо

Та

Теорема 23. Якщо існують функції та такі що слабко збігається (при ) до деякого власного невиродженого розподілу, то слабко збігається (при ) до того самого розподілу, де замість можна взяти або . Константи визначаються так

Наступна теорема описує режими збіжності та дає явний вигляд центруючих та нормуючих констант.

Теорема 24. Умова теореми 23 виконується тоді і лише тоді, коли розподіл належить області притягання стійкого закону або функція повільно змінюється на нескінченності. Існує п'ять режимів збіжності:

1. Якщо , то з

(12)

,

послідовність слабко збігається до стандартного нормального закону.

2. Якщо та

для деякої функції , що повільно змінюється на нескінченності, то з , що задається формулою (0.12), та , де - це довільна додатна послідовність така, що , послідовність слабко збігається до стандартного нормального закону.

3. Якщо

(13)

для деякої функції , що повільно змінюється на нескінченності та , то з , що задається (12), та

,

де - це довільна додатна послідовність, така що , послідовність cлабко збігається до -стійкого закону з характеристичною функцією

4. Нехай (13) виконується з та - це довільна неспадаюча функція така, що . Покладемо

Тоді з

Та



послідовність слабко збігається до -стійкого закону з характеристичною функцією

5. Нехай (13) виконується для . Тоді з та

послідовність слабко збігається до розподілу Міттаг-Леффлера , що однозначно визначається моментами

Твердження 35 вказує асимптотику середнього числа порожніх інтервалів гратки Бернуллі.

Твердження 35. Послідовність має таку асимптотичну поведінку:

1. Якщо та , то

Зокрема, якщо

,

 то .

2. Якщо та , то

3. Якщо та , то при

Цікавим є окремий випадок

,

для якого число порожніх інтервалів має однаковий розподіл для всіх .

Твердження 36. Якщо

,

то для кожного випадкова величина має геометричний розподіл з параметром .

Останній результат третього розділу встановлює асимптотику малих частин гратки Бернуллі у випадку нескінченного .

Твердження 40 (б). Якщо , то для кожного . Отже, за ймовірністю.

Теорія коалесцентів. Наведемо неформальні означення перестановних коалесцентів. Перестановний коалесцент з множинними зіткненнями

є марківським процесом, що набуває значень у множині розбиттів натуральних чисел. В момент часу процес стартує з -блочного розбиття, а далі еволюціонує згідно з правилом: у кожний момент часу , якщо число блоків дорівнює , то кожен піднабір з блоків зливається в один блок з інтенсивністю

де позначає деяку скінченну міру, визначену на сегменті .

Перестановний коалесцент з одночасними множинними зіткненнями є марківським процесом з тим же самим простором станів та початковим розподілом. Еволюція у даному класі коалесцентів відбувається згідно з правилом: у кожний момент часу , якщо число блоків дорівнює то вони зливаються у блоків у кожному з яких міститься

початкових блоків відповідно, з інтенсивністю

Де

, ,

а позначає деяку скінченну міру на .

При дослідженні перестановних коалесцентів цікавими з точки зору застосувань є такі функціонали:

* - число зіткнень коалесцента, доки не залишиться єдиний блок (для коалесцента з одночасними множинними зіткненнями одночасні зіткнення рахуються як одне);

* - час до поглинання (висота дерева коалесцента або час повернення до найближчого спільного предка);

* - повна довжина дерева коалесцента (тобто сумарний час життя всіх блоків в коалесценті до часу поглинання).

Дослідження цих функціоналів природно пов'язане з випадковими рекурсивними послідовностями, оскільки мають місце такі рівності розподілів:

де випадкова величина є числом блоків, що залишилися після першого зіткнення, а випадкова величина є часом до першого зіткнення, при цьому випадкова величина (, ) припускається незалежною від () та розподіленою так як (, ) для кожного .

Перестановний коалесцент з множинними зіткненнями називається бета (2,b) коалесцентом, якщо відповідна міра задається рівністю



де є бета функцією. Підрозділ 4.1 четвертого розділу присвячений встановленню граничних результатів для числа зіткнень таких коалесцентів. Вибір такого специфічного об'єкта дослідження пояснюється тим, що методи, що використовувалися для дослідження бета коалесцентів з , виявилися неспроможними для аналізу бета коалесцентів.

Введемо позначення: для

позначає дзета-функцію Гурвіца, а

- логарифмічну похідну гамма-функції.

Наведемо основні результати підрозділу 4.1. Теорема 41 встановлює двочленні асимптотичні розклади моментів .

Теорема 41. При для довільного

де

,

.

Зокрема, дисперсія має асимптотичний розклад

Теорема 44 доводить посилений закон великих чисел для .

Теорема 44. При

де .

Нарешті центральна гранична теорема для міститься у теоремі 45.

Теорема 45. При послідовність

де та , слабко збігається до стандартного нормального закону.

Перестановний коалесцент з одночасними множинними зіткненнями називається коалесцентом Пуассона-Діріхле, якщо характеристична міра має щільність по відношенню до розподілу Пуассона-Діріхле з параметром . У підрозділі 4.2 четвертого розділу встановлено асимптотику моментів числа зіткнень та часу до поглинання (теорема 52), а також доведено слабку збіжність підхожим чином нормованої повної довжини дерева (теорема 54) коалесцента Пуассона-Діріхле.

Теорема 52. При для довільного



де позначає або число зіткнень , або час до поглинання коалесцента Пуассона-Діріхле, а функція визначається функціональним рівнянням

Зауважимо, що функція не спадає, є необмеженою та зростає повільніше за будь-яку ітерацію логарифма.

Теорема 54. При

рекурентний співвідношення бернуллі коалесцент

де випадкова величина має стандартний показниковий розподіл.

Користуючись нагодою, автор дисертації висловлює щиру вдячність своєму науковому керівникові, доктору фізико-математичних наук, професору Олександру Маратовичу Іксанову - за постановку розглянутих в дисертації наукових проблем, постійну увагу, цінні поради та підтримку в роботі. Також автор висловлює подяку своїм колегам та вчителям з кафедри дослідження операцій факультету кібернетики, зокрема, доценту Данилу Павловичу Проскуріну за його рекомендацію щодо вступу на кафедру дослідження операцій, без якої ця робота навряд чи була б написана. Окрема подяка висловлюється професору Олександру Васильовичу Гнедіну за теплу гостинність та підтримку автора під час візитів до університету м. Утрехт (Нідерланди), а також за нашу плідну співпрацю, результати якої частково відображені в цій дисертації.

Висновки

Отримані в даній дисертаційній роботі результати розв'язують ряд відкритих задач відносно асимптотичної поведінки лінійних випадкових рекурсивних послідовностей, як загального вигляду так і конкретних, що виникають у дослідженнях граток Бернуллі та коалесцентів з множинними зіткненнями.

Другий розділ роботи присвячений дослідженню моментів випадкових рекурсій. В цьому розділі запропоновано новий загальний метод дослідження асимптотичної поведінки моментів лінійних випадкових рекурсивних послідовностей - метод ітеративних функцій. На ряді прикладів показана його універсальність, обговорено переваги та недоліки. Зокрема, за допомогою методу розв'язано декілька відкритих задач з теорії коалесцентів.

У другій частині другого розділу, за допомогою методу моментів, знайдено достатні умови слабкої збіжності нормованого часу поглинання спадного ланцюга Маркова до експоненційного функціоналу від субординатора, які доповнюють відомі результати по асимптотиці часу поглинання ланцюгів Маркова.

В третьому та четвертому розділах отримано результати, які розв'язують ряд відкритих задач відносно асимптотичної поведінки функціоналів, що виникають у схемі граток Бернуллі та у теорії коалесцентів з множинними зіткненнями.

1. Досліджена модель граток Бернуллі, яку можна інтерпретувати як схему розміщення куль по нескінченній послідовності урн з випадковими ймовірностями попадання кулі до кожної урни. Знайдена асимптотична поведінка для деяких функціоналів на гратках Бернуллі, зокрема:

- У повній загальності встановлено слабку асимптотичну поведінку для певним чином нормалізованої та центрованої послідовності, що описує кількість зайнятих урн. В явному вигляді вказані коефіцієнти нормування та центрування та відповідні їм граничні розподіли.

- Знайдено асимптотику середнього числа порожніх урн, що розташовані зліва від самої правої зайнятої урни.

- Встановлена асимптотична поведінка числа малих часток у гратках Бернуллі за додаткового моментного припущення.

2. Встановлено асимптотичну поведінку функціоналів, що діють на певні класи коалесцентів.

- Досліджена асимптотика числа зіткнень у бета-коалесценті:

А) знайдено двочленні асимптотичні розклади моментів,

Б) встановлено посилений закон великих чисел,

В) доведена центральна гранична теорема.

- Знайдена асимтпотика функціоналів на коалесценті Пуассона-Діріхле:

А) для числа зіткнень знайдено асимптотики моментів та встановлено слабкий закон великих чисел,

Б) доведена слабка збіжність певним чином нормованої повної довжини дерева коалесценту до невиродженого розподілу,

В) для часу поглинання знайдено асимптотики моментів та встановлено слабкий закон великих чисел.

Cписок опублікованих праць за темою дисертації

1. Gnedin A. Limit theorems for the numbr of occupied boxes in the Bernoulli sieve / A. Gnedin, A. Iksanov, A. Marynych //Theory Stoch. Proc. - 2010. -Т. 16(32). - P. 44-57.

2. Iksanov A. On the number of collisions in beta-coalescents / A. Iksanov, A. Marynych, M. Mцhle //Bernoulli. - 2009. -V. 15. - P.829-845.

3. Маринич О.В. Асимптотична поведінка часу поглинання спадних ланцюгів Маркова / О. В. Маринич //Вісник Київського університету: фізико-математичні науки. - 2010. - №1. - С. 118-121.

4. Маринич О.В. Про асимптотичну поведінку моментів випадкових рекурсивних послідовностей /О. В. Маринич //Доповіді НАН України. - 2011. - №3. - С. 23-27.

5. Gnedin A. The Bernoulli sieve: an overview [Електронний ресурс] / A. Gnedin, A. Iksanov, A. Marynych //Discrete Math. Theor. Comput. Sci. - 2010. - V. AM. - P. 329-342. - Режим доступу до журн.: http://www.dmtcs.org/dmtcs-ojs/index.php/proceedings/article/download/dmAM0123/3301.

6. Маринич О.В. Про один метод дослідження асимптотичної поведінки моментів випадкових рекурсій /О. В. Маринич //Український математичний конгрес. - Київ. - 2009.

7. Маринич О.В. Про число зіткнень у -коалесцентах /О. В. Маринич //Problems of decision making under uncertainties. - Кам'янець-Подільський. - 2009. - C. 78.

8. Marynych A. Asymptotics of moments of linear random recurrences /A. Marynych // 9th German open conference in probability and statistics. - Leipzig, Germany. - 2010. - C. 120-121.

9. Маринич О.В. Асимптотична поведінка часу поглинання спадних ланцюгів Маркова /О. В. Маринич //Problems of decision making under uncertainties. - Львів. - 2010. - C. 80.

10. Іксанов О.М. Слабка збіжність числа зайнятих інтервалів у гратках Бернуллі /О. М. Іксанов, О. В. Маринич // Problems of decision making under uncertainties. - Ялта. - 2010. - C. 175.

Размещено на Allbest.ru

...