Асимптотика спектрів диференціальних операторів другого та четвертого порядків зі сингулярними коефіцієнтами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

01.01.02 - диференціальні рівняння

УДК 517.928+517.984.6

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АСИМПТОТИКА СПЕКТРІВ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ ДРУГОГО ТА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКІВ ЗІ СИНГУЛЯРНИМИ ПОТЕНЦІАЛАМИ

МАНЬКО СТЕПАН

СТЕПАНОВИЧ

Львів - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Головатий Юрій Данилович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Мельник Тарас Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Гринів Ростислав Олегович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, старший науковий співробітник відділу функціонального аналізу.

Захист відбудеться “ 15 ” вересня 2011 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 10 ” серпня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Остудін Б. А.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Першопричиною складності багатьох задач аналізу є той факт, що простір узагальнених функцій не є алгеброю: у ньому не можна визначити множення, яке б успадковувало основні властивості множення неперервних функцій. Як наслідок, немає навіть теорії лінійних диференціальних рівнянь із узагальненими функціями в коефіцієнтах. Проте в багатьох галузях природознавства, зокрема у квантовій механіці, атомній фізиці, акустиці, фізиці твердих станів, механіці рідин, виникають такі диференціальні рівняння. Фізичні моделі, в яких застосовують диференціальні оператори зі сингулярними потенціалами, зосередженими на дискретній множині, часто називають точними, бо їх можна розв'язати: отримати резольвенти цих операторів у явному вигляді, знайти їхні спектри, обчислити коефіцієнти розсіяння та ін. Це дає змогу апроксимувати фізичні характеристики реальної системи. Зокрема у квантовій механіці такі оператори застосовують для опису точкових взаємодій. Ще в 1931-у році Р. Кроніг (R. Kronig) та В. Пенні (W. Penney) застосували точну модель до опису руху електрона в кристалічній ґратці. Системі відповідав одновимірний оператор Шредінґера з д-потенціалами, де д(x) - функція Дірака. Протягом наступних тридцяти років диференціальні оператори зі сингулярними потенціалами широко застосовували у фізиці. Проте часто це робилося на евристичному рівні та потребувало математичного обґрунтування.

Фізичні величини, які можна спостерігати в квантово-механічних системах, описують самоспряженими операторами в гільбертовому просторі. Тому точні моделі, починаючи з піонерської роботи Ф. О. Березіна та Л. Д. Фаддєєва 1961 року, вивчали в рамках теорії самоспряжених розширень симетричних операторів. Фундамент цієї теорії закладений в працях Д. Гільберта, Г. Вейля, Дж. фон Неймана, М. Стоуна, К. Фрідріхса. Теорія самоспряжених розширень активно розвивалася в другій половині минулого століття. Значний вклад в її розвиток зробили вітчизняні математики М. Г. Крейн, М. А. Наймарк, Ю. М. Березанський, М. Л. Горбачук, В. Е. Лянце, Ф. С. Рофе-Бекетов та ін. Теорію самоспряжених операторів інтенсивно застосовували для вивчення моделей квантової механіки, зокрема до прямих і обернених спектральних задач, у своїх працях С. Альбеверіо (S. Albeverio), Ю. М. Арлінський, Ф. Гезтезі (F. Gesztesy), Р. О. Гринів, В. О. Деркач, П. Екснер (P. Exner), К. Качапутті (C. Cacciapuoti), А. Г. Костюченко, А. Н. Кочубей, В. Д. Кошманенко, П. Б. Курасов, Б. М. Лєвітан, М. М. Маламуд, В. А. Марченко, Я. В. Микитюк, В. А. Михайлець, Л. П. Нижник, Б. Саймон (B. Simon), Р. Хоег-Крон (R. Hшegh-Krohn), Х. Холден (H. Holden), Е. Р. Цекановський, П. Шеба (P. Љeba), А. А. Шкаліков та багато ін.

Диференціальні оператори зі сингулярно збуреними коефіцієнтами досліджували також різними асимптотичними методами. Цей підхід використовували у своїх дослідженнях Д. І. Борісов, Р. Р. Гадильшин, В. В. Жиков, Т. А. Мельник, С. О. Назаров, О. А. Олєйнік, Є. Я. Хруслов та багато ін. Граничні оператори, отримані шляхом побудови асимптотик, можна трактувати як правильне з математичного та фізичного погляду тлумачення формальних диференціальних виразів із узагальненими функціями в коефіцієнтах. Асимптотичний аналіз лежить також в основі нових теорій узагальнених функцій - алгебр Ж. Коломбо (J. Colombeau), Ю. В. Єгорова, мнемофункцій, які застосовували до дослідження диференціальних операторів зі сингулярними коефіцієнтами А. Б. Антоневич, Я. В. Радино, Е. Розінґер (E. Rosinger) та ін. Основні результати дисертації також отримано асимптотичними методами.

У 1986 році вийшла відома праця П. Шеби Љeba P. Some remarks on the д'-interaction in one dimension / P. Љeba // Rep. Math. Phys. - 1986. - V. 24, № 1. - P. 111-120., в якій автор вивчав одновимірний оператор Шредінґера з потенціалом д'(x). Він, апроксимувавши формальний гамільтоніан

-d2?dx2+бд'(x) послідовністю операторів Шредінґера з гладкими потенціалами, отримав в границі пряму суму незбурених операторів Шредінґера на півосях з умовами Діріхле в початку координат. З погляду теорії розсіяння це означає, що д'-бар'єр абсолютно непроникний для квантових частинок. Згодом були й інші спроби регуляризувати д'-потенціал як локальними, так і нелокальними регулярними потенціалами. У 2003 році група фізиків Christiansen P. L. On the existence of resonances in the transmission probability for interactions arising from derivatives of Dirac's delta function / P. L. Christiansen, H. C. Arnbak, A. V. Zolotaryuk, V. N. Ermakov, Y. B. Gaididei // J. Phys. A: Math. Gen. - 2003. - V. 36, № 27. - P. 7589-7600. обчислила коефіцієнти розсіяння на кусково-сталому бд'-подібному потенціалі та виявила явище резонансу для ймовірності проникнення, що не узгоджувалося з результатом П. Шеби. Вони показали, що існує дискретна множина сталих взаємодії б, при яких ймовірність проникнення при переході до границі залишається ненульовою. У дисертації доведено, що ефект резонансу присутній також і в асимптотиках спектра операторів Шредінґера з потенціалами, які ростуть на безмежності та мають д'-подібні збурення. Крім того, доведено існування резонансів ймовірності проникнення для широкого класу д'-подібних потенціалів з компактними носіями. Це спонукало Ю. Д. Головатого та Р. О. Гриніва Golovaty Yu. D. On norm resolvent convergence of Schrцdinger operators with д'-like potentials / Yu. D. Golovaty, R. O. Hryniv // J. Phys. A: Math. Theor. - 2010. - V. 43, № 4. - ID 155204, 21 p. до перегляду результату П. Шеби. Вони довели, що для бд'-подібних потенціалів з компактними носіями існує достатньо великий набір сталих взаємодії б, при яких граничний оператор в сенсі рівномірної резольвентної збіжності відрізняється від оператора, отриманого П. Шебою.

В останні роки значно зріс інтерес до теорії диференціальних рівнянь на геометричних графах, які застосовують у теорії оптичних кристалів, акустиці, теорії хвилеводів, квантовому хаосі Kuchment P. Quantum graphs: an introduction and a brief survey / P. Kuchment. - Analysis on graphs and its applications proceedings of symposia in pure mathematics, 77, AMS, 2008. - P. 291-312.. Передусім це пов'язано з бурхливим розвитком нанотехнологій та мікроелектроніки, який дозволив виготовляти тонкі мережеподібні конструкції, для яких природно виникають фізичні моделі на графах. У квантовій фізиці ці моделі дістали назву квантових графів. Теорія самоспряжених розширень симетричних операторів та точкові взаємодії на графах є природним узагальненням відповідних теорій на прямій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка в рамках науково-дослідної державної теми ``Дослідження коректності класичних та некласичних задач для рівнянь у частинних похідних'' (номер держреєстрації 0108U004134).

Мета й завдання дослідження.

Мета дослідження дисертаційної роботи - вивчення асимптотичних властивостей спектрів та власних функцій, а також коефіцієнтів розсіяння для звичайних диференціальних операторів зі сингулярно збуреними коефіцієнтами.

Перелічимо завдання дослідження.

* Побудувати й обґрунтувати асимптотику власних значень і власних функцій одновимірних операторів Шредінґера з д'-подібними збуреннями потенціалів, знайти асимптотику коефіцієнтів розсіяння на д'-подібних бар'єрах.

* Вивчити асимптотичну поведінку власних значень та власних підпросторів операторів Шредінґера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах, отримати асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа.

* Дослідити асимптотику спектра та власних функцій крайових задач для диференціальних операторів четвертого порядку із д''- та д'''-подібними збуреннями коефіцієнтів.

Об'єкт дослідження: звичайні диференціальні оператори другого та четвертого порядків зі сингулярно збуреними коефіцієнтами.

Предмет дослідження: асимптотика спектрів диференціальних операторів зі сингулярно збуреними потенціалами, асимптотика коефіцієнтів розсіяння для операторів Шредінґера.

Методи дослідження: методи теорії диференціальних рівнянь, спектральної теорії самоспряжених операторів, асимптотичні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. Для сингулярно збурених диференціальних операторів другого та четвертого порядків вперше отримано такі результати.

* Побудовано й обґрунтовано асимптотику власних значень та власних функцій одновимірних операторів Шредінґера з д'-подібними збуреннями потенціалів.

* Отримано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на д'-подібних потенціалах з компактними носіями, описано явище резонансу для даних розсіяння.

* Досліджено асимптотичну поведінку спектрів та власних підпросторів операторів Шредінґера на зіркових некомпактних графах зі сингулярними збуреннями потенціалів, які мають нульове середнє та зосереджені в околі вершин графа.

* Описано асимптотику матриць розсіяння на сингулярних потенціалах, локалізованих у вершині зіркового графа. Встановлено ефект резонансу.

* Знайдено асимптотику спектра та власних підпросторів крайової задачі для диференціального оператора четвертого порядку з д''-подібним коефіцієнтом.

* Вивчено асимптотику спектра та власних підпросторів крайової задачі для диференціального оператора четвертого порядку з д'''-подібним потенціалом.

Практичне значення одержаних результатів. Теоретичні результати дисертаційної роботи можна застосовувати для побудови точних моделей квантової механіки, фізики конденсованих матеріалів, акустики, а також для наближеного обчислення характеристик пружних одновимірних континуумів з локальними неоднорідностями. Методи, запропоновані в роботі, можна використовувати для дослідження інших класів диференціальних операторів зі сингулярними коефіцієнтами. Зокрема, результати дисертації процитовані в кількох працях3, Kostenko A. S. 1-D Schrцdinger operators with local point interactions on a discrete set / A. S. Kostenko, M. M. Malamud // J. Differ. Equations. - 2010. - V. 249, № 2. - P. 253-304., Zolotaryuk A. V. Boundary conditions for the states with resonant tunnelling across the д'-potential / A. V. Zolotaryuk // Phys. Lett. A. - 2010. - V. 374, № 15-16. - P. 1636-1641., Zolotaryuk A. V. Point interactions of the dipole type defined through a three-parametric power regularization / A. V. Zolotaryuk // J. Phys. A: Math. Theor. - 2010. - V. 43, № 10. - ID 105302, 21 p. які опубліковані в зарубіжних журналах.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації автор отримав самостійно. У спільних з науковим керівником працях Ю. Д. Головатому належать формулювання задач й аналіз отриманих результатів. Крім того, у праці [2] Ю. Д. Головатому належать розділ 3.1 та леми 6.3, 6.4.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації апробовані на наукових семінарах та конференціях:

- семінар з функціонального аналізу Інституту математики НАН України (керівники: акад. НАН України Ю. М. Березанський, чл.-кор. НАН України М. Л. Горбачук, чл.-кор. НАН України Ю. С. Cамойленко);

- семінар ``Асимптотичні та аналітичні методи для задач математичної фізики'' кафедри математичної фізики Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники: д. ф.-м. н., проф. Т. А. Мельник, д. ф.-м. н., проф. В. Г. Самойленко);

- семінар відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (керівник: д. ф.-м. н., проф., чл.-кор. НАН України Б. Й. Пташник);

- Львівський міський семінар з диференціальних рівнянь (керівники: д. ф.-м. н., проф., чл.-кор. НАН України Б. Й. Пташник, д. ф.-м. н., проф. М. І. Іванчов, д. ф.-м. н., проф. П. І. Каленюк);

- науково-дослідницький семінар з диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка (керівники: канд. ф.-м. н., доц. М. М. Бокало, канд. ф.-м. н., доц. О. М. Бугрій, канд. ф.-м. н., доц. Ю. Д. Головатий);

- Чотирнадцята всеукраїнська наукова конференція сучасних проблем прикладної математики та інформатики присвячена 90-річчю О. М. Костовського, Львів, 2-4 жовтня 2007 року;

- Друга міжнародна конференція сучасних проблем механіки і математики, Львів, 25-29 травня 2008 року;

- Міжнародна наукова школа-конференція ``Тараповські читання'', Харків, 21-25 квітня 2008 року;

- Дванадцята міжнародна конференція імені акад. М. Кравчука, Київ, 15-17 травня 2008 року;

- The Tenth International Conference on Integral Methods in Science and Engineering, Santander, Spain, July 7-10, 2008;

- Український математичний конгрес - 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова), Київ, 27-29 серпня 2009 року;

- Міжнародна конференція до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди, Чернівці, 8-13 червня 2009 року;

- Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені акад. Я. С. Підстригача, Львів, 25-29 травня 2009 року;

- Шістнадцята всеукраїнська наукова конференція сучасних проблем прикладної математики та інформатики присвяченій 50-річчю створення Обчислювального центру Львівського університету, Львів, 8-9 жовтня 2009 року;

- Тринадцята міжнародна конференція імені акад. М. Кравчука, Київ, 13-15 травня 2010 року;

- Конференція молодих учених ``Підстригачівські читання - 2010'', Львів, 25-26 травня 2010 року;

- Міжнародна конференція молодих вчених з диференціальних рівняння та їх застосувань, присвяченій Я. Б. Лопатинському, Львів, 3-6 листопада 2010 року,

- Міжнародна конференції з функціонального аналізу, присвяченій 90-річчю від дня народження В. Е. Лянце, Львів, 17-21 листопада 2010 року.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 6 статтях. Серед них 5 публікацій у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України [2-6], і 1 у зарубіжному науковому журналі з імпакт-фактором 1,577 [7]. Результати також додатково висвітлені у статті [1] та в 12 тезах, опублікованих у матеріалах наукових конференцій [8-19].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації охоплює 163 сторінки, список використаних джерел містить 130 найменувань і розміщений на 14 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, зазначено мету та завдання дослідження, наукову новизну, апробацію одержаних результатів та їхнє практичне значення.

У першому розділі зроблено огляд праць з теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів та асимптотичних методів.

У другому розділі розглянуто сім'ю операторів Шредінґера зі сингулярно збуреними потенціалами. Оператор є замиканням в суттєво самоспряженого оператора

визначеного на , , . Тут - гладка функція, яка необмежено зростає при , а - гладка функція з компактним носієм. Припустимо також, що



Послідовність збігається до при в , тому її називають -подібною, а функцію - -подібним профілем. Через позначено множину всіх -подібних профілів , носії яких збігаються з відрізком [-1,1].

Оператор має дискретний простий спектр, що гарантує умова при . Асимптотична поведінка послідовності операторів залежить від сталої і профілю . Нехай - послідовність власних значень оператора .

Твердження 2.1. Для кожної пари власні значення є неперервними функціями параметра , обмеженими зверху при . Якщо , то спектр операторів необмежений знизу при . Існує лише скінченна кількість власних значень, що збігаються до при . Зокрема для першого власного значення правильна оцінка , де - деяка додатна стала.

Множину власних значень з номерами називаємо обмеженим спектром сім'ї операторів . Зауважимо, що нормовані в власні функції з номерами локалізуються в околі початку координат, експоненційно малі поза ним і слабко в збігаються до нуля при . В дисертації вивчено асимптотичну поведінку лише власних значень з обмеженого спектра та відповідних власних функцій.

Розглянемо спектральну задачу

Позначимо через власне значення задачі (1) з номером більшим за , а через - відповідну власну функцію. Асимптотичні розвинення та мають вигляд

де функції , визначені на й належать до , а функції , визначені на . Два ряди у розвиненні власної функції узгоджені умовами

Тут і надалі - стрибок функції в точці .

Функція є розв'язком крайової задачі

Асимптотики залежать від того, чи має задача (3) нетривіальні розв'язки. Цю задачу трактуємо як спектральну стосовно параметра зі знакозмінною ваговою функцією і ставимо їй у відповідність -самоспряжений та -невід'ємний оператор в просторі Крейна з канонічною симетрією .

Твердження 2.2. Спектр задачі (3) дійсний, дискретний і має дві точки скупчення й . Ненульові власні значення задачі прості. Нульове власне значення двократне, і йому відповідає ланцюг з власного та приєднаного векторів.

Спектр задачі (3) називаємо резонансною множиною та позначаємо через . Якщо - власна функція задачі (3), що відповідає , то відображення , визначене за правилом називаємо функцією зв'язку.

Випадок, коли , в дисертації названо випадком відсутності резонансу, а коли - випадком резонансу. Якщо , то . З умов спряження

отримано задачі

для головних членів асимптотик. Коли , з (4) та умови існування розв'язку задачі

для поправки випливає, що і - власне значення та власна функція задачі

Як за резонансу, так і його відсутності можна знайти всі члени розвинень (2).

Введемо на півосях оператори Шредінґера ,

а також сім'ю самоспряжених операторів на прямій ,



де . Для кожного граничний оператор визначено як пряму суму за відсутності резонансу і коли .

Твердження 2.4. Власні значення оператора з номерами більшими зазбігаються до точок спектра оператора. До власного значення операторакратностіможе збігатися не більше власних значень оператора. Відповідні власні функції операторазбігаються в до власних функцій оператора .

Згідно з цим твердженням власні значення та власні функції оператора збігаються при лише до точок спектра і власних функцій оператора . Правильне й обернене твердження: кожне власне значення граничного оператора є точкою скупчення власних значень збуреного оператора.

Нехай-самоспряжений оператор у гільбертовому просторі з дискретним спектром.

Означення 2.1. Квазімодою з нев'язкою для оператора називатимемо таку пару , що .

Означення 2.2. Нехай та - підпростори гільбертового простору, а та - відповідні ортопроектори. Число називатимемо розхилом між підпросторами та .

Для кожної пари та простого власного значення оператора з власною функцією розглянуто часткові суми побудованих вище розвинень (2)

Функція має розриви в точках . Проте існує функція з малою нормою в така, що сума належить до , а пара є квазімодою оператора з нев'язкою порядку . З леми Вішика-Люстерніка Вишик М. И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М. И. Вишик, А. А. Люстерник // Успехи мат. наук. - 1957. - T. 12, №5. - С. 3-122. випливає існування власного значення оператора з власною функцією , для яких правильні нерівності

зі сталою незалежною від . У випадку, коли граничний оператор є прямою сумою, власне значення може бути двократним. В цьому випадку побудовано пару майжеортогональних квазімод , і доведено аналогічні оцінки. асимптотичний граф сингулярний розсіяння

Послідовність власних значень оператора , впорядкованих за зростанням із врахуванням кратностей позначено через . Якщо належить до спектра , то через позначено відповідний власний підпростір. Нехай - підпростір, породжений власними функціями збурених операторів , що відповідають тим власним значенням, які збігаються до при . Прийнявши , сформулюємо основний результат щодо асимптотики спектра збуреного оператора .

Теорема 2.1. Для всіхвласні значення з обмеженого спектра операторів збігаються до власних значень операторівіз врахуванням номерів. Крім того

Для відповідних власних підпросторів виконується нерівність

Тут - довільне натуральне число, а сталі , залежать лише від .

У другому розділі також розглянуто задачу розсіяння на -подібному потенціалі вигляду . Введемо оператори та , які збігаються з операторами та , відповідно, якщо прийняти .

Матрицю розсіяння , асоційовану з та вільним гамільтоніаном, обчислено безпосередньо. За відсутності резонансу, коли , , де - одинична матриця. Якщо , то

де - функція зв'язку. Доведено, що матриця розсіяння на потенціалі прямує при до матриці . Розглянуто стаціонарне розсіяння для та вільного гамільтоніана. Знайдено розв'язок рівняння

вигляду

де сталі , , і залежать від , та . Тут і - розв'язки рівняння , які задовольняють початкові умови , та , . Підставивши розв'язок в умови спряження , , одержано лінійну систему для знаходження невідомих коефіцієнтів

Розв'язавши цю систему, ми отримали

при . За відсутності резонансу число відмінне від нуля, тому коефіцієнт проникнення прямує до 0, а коефіцієнт відбиття збігається до . Якщо ж , то є власною функцією задачі (3). Тоді , що істотно змінює граничну поведінку коефіцієнтів розсіяння. Аналогічну знайдено другу пару коефіцієнтів розсіяння.

Теорема 2.2. Для кожного та матриця розсіяння збігається при до матриці .

Цей результат знаходить підтвердження в дослідженнях фізиків2,6,7, Toyama F. Transmission-reflection problem with a potential of the form of the derivative of the delta function / F. Toyama, Y. Nogami // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - V. 40, № 29. - P. F685-F690., які обчислювали коефіцієнти розсіяння для конкретних кусково-сталих -подібних потенціалів.

У третьому розділі досліджено асимптотику спектра сім'ї операторів Шредінґера зі сингулярно збуреними потенціалами на геометричному графі. Геометричним графом називають сукупність вершин - точок в - та сукупність ребер - гладких неперетинних кривих, які з'єднують ці точки. Відображення називають функцією на графі, а через позначають її звуження на ребро . Інтеграл функції на графі є сумою інтегралів вздовж всіх його ребер. Стверджують, що функція належить до одного з просторів , , , якщо її звуження належить до відповідного простору на кожному ребрі . Диференціювання функцій на графі здійснюють за натуральним параметром ребер. Парні похідні не залежать від параметризації, тому оператор Шредінґера визначений на інваріантно. Через позначають граничне значення у вершині похідної функції , яку беруть вздовж ребра в напрямі від цієї вершини.

Диференціальним рівнянням на графі називають сукупність рівнянь на всіх ребрах . Кажуть, що функція задовольняє умови Кірхгофа у вершині , якщо , , де , , - ребра графа, що прилягають до вершини .

Розглянемо некомпактний граф , що складається з трьох променів , та , з'єднаних у вершині , яка є початком координат в . Введемо множину функцій

де - граф, отриманий як перетин графа з одиничною кулею з центром в . Для кожного елемента визначимо послідовність , . Потенціал названо -подібним. Розглянемо сім'ю самоспряжених операторів



Тут - гладка на функція, неперервна у вершині і така, що при для всіх . Ця умова гарантує дискретність спектра операторів .

Твердження 3.1. Нехай . Для кожного власні значення оператора є неперервними функціями параметра , обмеженими зверху при . Якщо величина достатньо велика, то спектр необмежений знизу при та існує не більше ніж скінченна кількість власних значень, які збігаються до .

Множину обмежених при власних значень ми назвали обмеженим спектром сім'ї операторів . Через позначено точку перетину ребра зі сферою радіуса і центром у вершині графа, а через - подрібнення графа , яке містить нові вершини , та . Кожна з них ділить відповідне ребро графа на два ребра та графа (рис. 1). Через позначено зірковий підграф такий, що та . При -гомотетії з центром у вершині граф переходить в , зображений на рис. 1.

Рис. 1. Зіркові графи та .

Розглянемо спектральну задачу



Через позначено власне значення цієї задачі з номером , а через - відповідну власну функцію. Асимптотичні розвинення для та знайдено у вигляді

де функції , визначені на та належать до , а , визначені на . Функція - розв'язок крайової задачі

на графі , причому функція задовольняє умови Кірхгофа у вершині . Задачу (5) розглянуто як спектральну щодо параметра . Асимптотика власного значення та власної функції залежить від того, чи належить до спектра задачі (5).

Лема 3.1. Для кожного спектр задачі (5) дійсний, дискретний і необмежений в обидва боки. Ненульові власні значення задачі (5) можуть бути простим або двократними. Нульове власне значення завжди двократне, і йому відповідає ланцюг з власного та приєднаного векторів.

Спектр задачі (5) ми назвали резонансною множиною і позначили через . Зауважимо, що , де - підмножина простих власних значень задачі (5), а - двократних. Якщо і йому відповідає власна функція , то приймемо , , . Якщо ж належить до , а функції та утворюють базу у відповідному власному підпросторі, то приймемо , ,.Вектор задає пряму в , яка інваріантна щодо вибору бази у власному підпросторі задачі (5). Отож, визначено відображення зв'язку , де - дійсна проективна площина. Вибором бази у власному підпросторі можна забезпечити умову .

За відсутності резонансу, коли , задача (5) має лише тривіальний розв'язок. Тому з умов спряження

отримано умови Діріхле у вершині для головного члена розвинення власної функції

тобто граничний оператор є прямою сумою операторів ,

що діють на ребрах .

У випадку, коли , з (6) та умови існування розв'язку задачі Неймана

з умовами Кірхгофа у вершині для отримано умови спряження



На графі введено сім'ю операторів ,

де . За простого резонансу серед координат вектора може бути один нуль. Якщо, наприклад, , то умови спряження треба трактувати так

За двократного резонансу, коли , справджуються умови

які отримуємо з (6) та двох умови існування розв'язку задачі для . В цьому випадку всі координати вектора відмінні від нуля. Визначимо на графі сім'ю самоспряжених операторів ,

Для кожного введемо граничний оператор як пряму суму за відсутності резонансу, а також як чи у випадку простого та двократного резонансів відповідно.

Позначимо через множину власних значень оператора , впорядковану за зростанням із врахуванням кратності, а через - ортонормовану в систему власних функцій. Нехай і - послідовність власних значень граничного оператора та ортонормованих в власних функцій.

Теорема 3.1. Нехай і спектр граничного оператора простий. Тоді для кожного натурального існують незалежні від сталі та такі, що справджуються нерівності

де - кількість власних значень збуреного оператора, які прямують до .

У третьому розділі ми також розглянули задачу розсіяння на -подібному потенціалі, що локалізований в околі вершини графа. Введемо на графі оператори Шредінґера та , які збігаються з операторами та за умови . Безпосередньо обчислюємо матрицю розсіяння для оператора . За відсутності резонансу , де - одинична матриця. За резонансу, коли , матрицю розсіяння можна подати в термінах відображення зв'язку

де - кратність власного значення . Нагадаємо, що .

Теорема 3.2. Для всіх і матриця розсіяння для збуреного оператора збігається при до матриці розсіяння для оператора .

У четвертому розділі вивчено асимптотику спектра сім'ї диференціальних операторів четвертого порядку зі сингулярно збуреними потенціалами. Нехай гладка функція визначена на скінченному інтервалі , що містить початок координат. Приймемо і розглянемо сім'ю самоспряжених операторів

де , . Тут - гладка функція з компактним носієм, що задовольняє умови

Послідовність збігається до при в топології розподілів, тому її природно називати -подібною. Через позначено множину всіх -подібних профілів , носії яких збігаються з інтервалом . Спектр оператора дискретний.

Твердження 4.1. Для кожної пари власні значення оператора є неперервними функціями стосовно параметра , обмеженими зверху при . Якщо величина достатньо велика, то спектр необмежений знизу при . Існує не більше ніж скінченна кількість власних значень, які збігаються до при .

В дисертації розглянуто спектральну задачу

і побудовано асимптотики для її власних значень і власних функцій з номерами більшими ніж . Асимптотична поведінка власних значень і власних функцій залежить від того, чи належить до спектра задачі

зі знакозмінною ваговою функцією .

Лема 4.1. Для всіх спектр задачі (7) дійсний, необмежений в обидва боки та складається з простих і двократних власних значень.

Якщо належить до спектра задачі (7), то залежно від кратності власного значення говорять про простий чи двократний резонанс. Нехай належить до спектра задачі (7), а у відповідному власному підпросторі існує власна функція така, що , тоді говорять про вироджений резонанс.

У кожному з перелічених випадків визначено граничний оператор . Розглянемо в оператори ,

За відсутності резонансу граничний оператор є прямою сумою .

Введемо оператори ,

У випадку невиродженого простого резонансу належить до спектра задачі (7), а відповідна власна функція задовольняє умову . Якщо одне з чисел або дорівнює нулю, то граничний оператор є прямою сумою або . Якщо ж обидва ці числа не дорівнюють нулю, то ,

де . Тут через ми позначили простір функцій на , звуження яких на кожен з інтервалів і є класу . Крім того, ці функції задовольняють крайові умови Діріхле у точках та .

За виродженого простого резонансу приймемо і визначимо граничний оператор ,

Пряма сума є граничним оператором у випадку невиродженого двократного резонансу.

Зрештою розглянемо випадок виродженого двократного резонансу. Нехай та - база власного підпростору, де функція реалізовує вироджений резонанс. Прийнявши , , введемо граничний оператор ,

Позначимо через множину власних значень оператора , впорядковану за зростанням із врахуванням кратності, а через - ортонормовану в систему власних функцій. Нехай і - послідовність власних значень граничного оператора та ортонормованих в власних функцій.

Теорема 4.1. Нехай і спектр граничного оператора простий. Тоді для кожного натурального існують незалежні від сталі та такі, що справджуються нерівності

де - кількість власних значень збуреного оператора, які прямують до при .

У четвертому розділі ми також дослідили асимптотику спектра сім'ї операторів з -подібним збуреннями потенціалів вигляду , де - гладка функція з носієм , що задовольняє умови

Через позначено множину усіх -подібних профілів. Розглянемо в самоспряжені оператори і з областями визначення

Позначимо через , і , послідовності власних значень та ортонормованих в власних функцій операторів і відповідно.

Теорема 4.2. Нехай і спектр граничного оператора простий. Тоді для кожного натурального існують незалежні від сталі та такі, що

де - кількість власних значень збуреного оператора, які прямують до при .

ВИСНОВКИ

Для сингулярно збурених звичайних диференціальних операторів другого та четвертого порядків вперше отримано такі результати.

1. Побудовано й обґрунтовано асимптотику власних значень та власних функцій одновимірних операторів Шредінґера з д'-подібними збуреннями потенціалів.

2. Отримано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на д'-подібних потенціалах з компактними носіями, описано явище резонансу для даних розсіяння.

3. Досліджено асимптотичну поведінку спектрів та власних підпросторів операторів Шредінґера на зіркових некомпактних графах зі сингулярними збуреннями потенціалів, які мають нульове середнє та локалізовані в околі вершин графа.

4. Описано асимптотику матриць розсіяння на сингулярних потенціалах, локалізованих у вершині зіркового графа. Встановлено ефект резонансу.

5. Знайдено асимптотику спектра та власних підпросторів крайової задачі для диференціального оператора четвертого порядку з д''-подібним коефіцієнтом. Встановлено, що гранична поведінка власних значень та власних функцій не залежить від вибору регуляризації коефіцієнта д''(x).

6. Вивчено асимптотику спектра та власних підпросторів крайової задачі для диференціального оператора четвертого порядку з д'''-подібним потенціалаом. Показано, що асимптотика залежить від вибору апроксимації сингулярного коефіцієнта, що є аналогом резонансу, отриманого для оператора Шредінґера.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Головатий Ю. Д. Оператор Шредінгера з д'-потенціалом / Ю. Д. Головатий, С. С. Манько// Доповіді НАН України. - 2009. - № 5. - С. 16-21.

[2] Головатий Ю. Д. Точні моделі для операторів Шредінґера з д'-подібними потенціалами / Ю. Д. Головатий, С. С. Манько // Укр. матем. вісник. - 2009. - Т. 6, № 2. - С. 173-207.

[3] Манько C. C. Про оператори Шрединґера та Штурма-Ліувілля з д'-потенціалами / С. С. Манько // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2009. - № 71. - С. 142-155.

[4] Man'ko S. S. On spectral properties of the fourth order differential operator with singular coefficients / S. S. Man'ko // Мат. студії. - 2010. - Т. 33, № 2. - С. 173-191.

[5] Манько C. C. Диференціальні оператори четвертого порядку з узагальненими функціями в коефіцієнтах / С. С. Манько // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. - 2010. - № 72. - С. 168-188.

[6] Манько C. C. Про оператор Шредінґера зі сингулярним потенціалом на геометричному графі / С. С. Манько // Науковий вiсник Чернiвецького нац. ун-ту. Математика. - 2011. - Т. 1, № 3. - C. 61-71.

[7] Man'ko S. S. On д'-like potential scattering on star graphs / S. S. Man'ko // J. Phys. A: Math. Theor. - 2010. - V. 43, № 44. - ID 445304, 14 p.

[8] Головатий Ю. Д. Асимптотика власних значень і власних функцій задачі Штурма-Ліувілля з д'-подібним потенціалом / Ю. Д. Головатий, С. С. Манько // XIV Всеукраїнська наукова конференція ``Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики'': матеріали конференції. - Львів, 2007. - С. 51-52.

[9] Манько C. C. Про спектр оператора Шредінґера із сингулярно збуреним потенціалом / С. С. Манько// Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: матеріали конфереції I. - Київ, 2008. - С. 717.

[10] Головатий Ю. Д. Асимптотика спектру оператора Шредінґера з д'-подібним збуренням потенціалу / Ю. Д. Головатий, С. С. Манько // Международная научная школа-конференция ``Тараповские чтения'': сборник материалов. - Харьков, 2008. - С. 191-194.

[11] Головатий Ю. Д. Оператор Шредінґера з д'-потенціалом: неоднозначність моделі / Ю. Д. Головатий, С. С. Манько // II Міжнародна наукова конференція ``Сучасні проблеми механіки та математики'': тези доповідей, том 3. - Львів, 2008. - С. 105-106.

[12] Golovaty Yu. On the Schrdinger operator with д'-interaction / Yu. Golovaty, S. Man'ko // The Tenth International Conference on Integral Methods in Science and Engineering: abstracts. - Santander, Spain, 2008. - P. 91.

[13] Man'ko S. S. Singular perturbations of the fourth order differential operators / S. S. Man'ko // XVI Всеукраїнська наукова конференція ``Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики'': матеріали конференції. - Львів, 2009. - С. 135.

[14] Man'ko S. S. Differential operators of the fourth order with distributions in a coefficients / S. S. Man'ko // Міжнародна конференція до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди: тези доповідей. - Чернівці, 2009. - С. 240-241.

[15] Man'ko S. S. On the Schrdinger operator with point interactions /S. S. Man'ko // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача: тези доповідей. - Львів, 2009. - С. 240-241.

[16] Манько C. C. Оператор Шредінґера зі сингулярним потенціалом на геометричному графі / С. С. Манько// Тринадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: матеріали конфереції I. - Київ, 2010. - С. 263.

[17] Man'ko S. S. On the 4th order differential operator with singular coefficients / S. S. Man'ko // International Conference on Functional Analysis dedicated to the 90-th anniversary of V. E. Lyantse: abstracts of reports. - Lviv, 2010. - P. 63.

[18] Манько C. C. Про розсіяння у вершині зіркового графа, в якій зосереджений сингулярний потенціал / С. С. Манько // Third International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Yaroslav Lopatynsky: book of abstracts. - Lviv, 2010. - P. 73.

[19] Манько C. C. Асимптотика спектра оператора Шредінґера зі сингулярним потенціалом на геометричному графі / С. С. Манько // Конференція молодих учених ``Підстригачівські читання - 2010'': матеріали конференції. - Львів, 2010.

АНОТАЦІЇ

Манько С. С. Асимптотика спектрів диференціальних операторів другого та четвертого порядків зі сингулярними коефіцієнтами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2011.

У дисертації побудовано асимптотику власних значень і власних функцій одновимірних операторів Шредінґера з д'-подібними збуреннями потенціалів. Досліджено асимптотику коефіцієнтів розсіяння на д'-подібних бар'єрах. Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних підпросторів операторів Шредінґера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах. Отримано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа. Як у випадку прямої, так і у випадку графів виявлено явище резонансу для граничної поведінки спектра та коефіцієнтів розсіяння. Одержано асимптотику спектра та власних функцій крайових задач для диференціальних операторів четвертого порядку із д''- та д'''-подібними збуреннями коефіцієнтів. За д'''- подібного збурення виявлено аналог резонансу.

Ключові слова: оператор Шредінґера, точкова взаємодія, д'-потенціал, асимптотика спектра, стаціонарна задача розсіяння.

Манько С. С. Асимптотика спектров дифференциальных операторов второго и четвертого порядков с сингулярными коэффициентами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2011.

В диссертации построена асимптотика собственных значений и собственных функций одномерных операторов Шрёдингера с д'-образными возмущениями потенциалов. Построена асимптотика коэффициентов рассеяния на д'-образных барьерах. Изучено также асимптотическое поведение собственных значений и собственных подпространств операторов Шрёдингера с сингулярными потенциалами на некомпактных звездных графах. Получена асимптотика коэффициентов рассеяния на сингулярных потенциалах, которые локализируются в вершине графа. Как и в случае прямой, так и в случае графа установлен эффект резонанса в граничном поведении спектра и коэффициентов рассеяния. Найдена асимптотика спектра и собственных функций краевой задачи для дифференциальных операторов четвертого порядка с д''- и д'''-образными возмущениями коэффициентов. При д'''-образном возмущении установлен аналог резонанса.

Ключевые слова: оператор Шрёдингера, точечное взаимодействие, д'-потенциал, асимптотика спектра, стационарная задача рассеяния.

Man'ko S. S. Asymptotic Expansions of Spectra for Differential Operators of the Second and Fourth Order with Singular Coefficients. - Manuscript.

The Thesis for a doctor's degree of sciences in Physics and Mathematics by speciality 01.01.02 - differential equations. Ivan Franko National University of L'viv, L'viv, 2011.

The Thesis deals with the study of differential operators of the second and fourth order with singular coefficients. Such operators approximate differential operators with distributions in coefficients.

In Chapter 2 one-dimensional Schrцdinger operators with д'-like perturbed potentials are studied and the asymptotic expansions of eigenvalues and eigenfunctions of these operators are constructed. Here д is the Dirac delta-function. It is showed that the limit behavior of eigenvalues and eigenfunctions depends on approximation of the д'-potential. The asymptotics of scattering data on д'-like barriers are also investigated. The limit behavior of the scattering matrices as well as the limit behavior of spectra depend on approximation of the potential д'.

The Schrцdinger operators with singular potentials on noncompact starshaped graphs are studied in Chapter 3 and the asymptotic behavior of their eigenvalues and eigenspaces are derived. The scattering problem on singular potentials localized near a graph vertex is also considered and the asymptotics of the scattering coefficients are obtained. The resonant phenomenon for the limit behavior of spectra and scattering data is established: the asymptotic behavior strongly depends on approximation of the singular potential on a graph.

In Chapter 4 the boundary value problems for differential operators of the fourth order with singular coefficients are investigated. The д''- and д'''-like perturbations of coefficients were considered. The asymptotic expansions of spectra and eigenfunctions of these operators are constructed. It is proved that the limit behavior of eigenvalues and eigenfunctions of operator with д''-like perturbations does not depend on approximation of the potential д''. In the case of д'''-like perturbations the resonant phenomenon for the limit behavior of spectra is established.

Key words: Schrцdinger operator, point interaction, д'-potential, asymptotic expansion of spectrum, scattering problem.

Размещено на Allbest.ru

...