Ергодичність та стійкість майже однорідних ланцюгів Маркова

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 519.21

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЕРГОДИЧНІСТЬ ТА СТІЙКІСТЬ МАЙЖЕ ОДНОРІДНИХ ЛАНЦЮГІВ МАРКОВА

Голомозий Віталій Вікторович

Київ - 2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор КАРТАШОВ Микола Валентинович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики.

Офіційні опоненти: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор КОРОЛЮК Володимир Семенович, Інститут математики НАН України, радник при дирекції;

кандидат фізико-математичних наук, доцент СУГАКОВА Олена Володимирівна, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри математики та теоретичної радіофізики радіофізичного факультету.

Захист відбудеться «23» червня 2011 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ, просп. Академіка Глушкова, 4 Е, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, м.Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий «19» травня2011 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Моклячук М. П.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження стійкості та ергодичності ланцюгів Маркова, особливо в неоднорідному випадку, було і залишається актуальним напрямком розвитку теорії випадкових процесів.

До останнього часу поведінка неоднорідних ланцюгів Маркова була недостатньо досліджена у порівнянні з результатами, отриманими для однорідних ланцюгів. Тим не менше, варто зазанчити, що в конкретних застосуваннях, таких як теорія адаптивного керування, теорія масового обслуговування, теорія ризиків, та інші процеси, що спостерігаються, не завжди є однорідним марковським, тоді як гіпотеза про те що ланцюг є ``майже однорідним'' - тобто близьким до однорідного в деякій топології, як правило, має сенс.

Саме тому дослідження асимпотитчної поведінки близьких, в деякому сенсі, процесів, в тому числі неоднорідних було вибрано як пріоритетний напрямок даної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках державної бюджетної дослідницької наукової теми №06БФ038-03 ''Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем'', що виконується на кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київсього національного університету імені Тараса Шевченка і входить до комплексного тематичного плану науково-дослідних робіт ''Математичні проблеми природознавства та економіки'' (номер державної реєстрації 0106U005864)

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії стійкості ланцюгів Маркова (у дискретному часі), включаючи випадок неоднорідних ланцюгів. В роботі вивчаються наступні задачі:

* вивчення стійкості неоднорідного процесу, який отримано шляхом малого збурення однорідного процесу.

* дослідження стійкості ланцюгів Маркова, що задаються близькими перехідними ймовірностями, в однорідному та неоднорідному випадках.

* дослідження стійкості однорідних ланцюгів Маркова у нерівномірних нормах (в -нормі). однорідний ланцюг марков ймовірність

Об'єктом дослідження є однорідні та неоднорідні ланцюги Маркова.

Предметом дослідження є задачі знаходження умов та оцінок стійкості та ергодичності ланцюгів Маркова.

Методика дослідження. Одним з основних інструментів дослідження є метод склеювання. Це відносно новий спосіб аналізу асимптотичних власитвостей ланцюгів Маркова, який активно розвивається в цей час. Класичний метод склеювання було розвинено для аналізу стійкості двох різних ланцюгів, що дало змогу отримати кінцеві результати за природніх умов готових для застосування в практичних задачах.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертації є новими. Основні з них є такі:

* Встановлені умови для рівномірної збіжності (збіжності в операторній нормі) до стаціонарного оператора перехідної ймовірності за кроків для неоднорідного ланцюга, перехідні ймовірності на -тому кроці якого отримані шляхом зникаючих збурень деякої перехідної ймовірності, що відповідає однорідному, рівномірно ергодичному ланцюгу Маркова. Показано, що отриманий таким чином неоднорідний ланцюг є асимптотично близьким до однорідного.

* Знайдено явні оцінки стійкості двох неоднорідних, близьких ланцюгів для яких виконана умова міноризації на всьому просторі.

* Встановлені умови та оцінка стійкості, для неоднорідних, близьких ланюцгів для яких виконана класична умова міноризації.

* Встановлені умови та оцінки стійкості, для однорідних ланцюгів в нерівномірній нормі.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають як теоретичне значення, так і практичне застосування в теорії масового обслуговування, актуарній математиці, теорії ризиків та інших галузях, в яких використовуються ланцюги Маркова.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем особисто. Науковому керівнику належить лише постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на:

* VI міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених ``Шевченківська весна'' (м. Київ 2008).

* VI міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених ``Шевченківська весна'' (м. Київ 2009).

* засіданні наукового семінару ``Числення Маллявена та його застосування'', відділу теорії випадкових процесів, Інституту Математики НАН України.

* 13 міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м Київ, 2010).

* другій міжнародній конференції ''Modern Stochastics Theory and Applications II'' (м. Київ 2010).

* засіданнях наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей, статистики та актуарної математики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

* засіданнях наукового семінару з теорії випадкових процесів при кафедрі математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України ''КПІ'', під керівництвом Булдигіна В.В.

Публікації. Всього за темою дисертації надруковано 7 наукових робіт, з них 3 у фахових виданняї, що відповідають вимогам ВАК України [1]-[3], 4 у тезах доповідей на наукових конференціях. [4]-[7].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел (108 найменувань) та додатку. Повний обсяг дисертації становить 184 сторінки. Основний зміст викладено на 130 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Дисертація складається зі вступу, шести розділів, розбитих на підрозділи, висновків, додатку та списку використаних джерел.

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями, висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, отримані іншими авторами.

В другому розділі розглядається неоднорідний ланюцюг, який отримано шляхом збурення відповідного однорідного. Нехай вимірний простір. Позначимо через , простори скінчених знакозмінних мір та вимірних функцій на відповідно.

Маючи довільну норму на просторі можна визначити норму в просторі :

Розглянемо норми які будуть використовуватись в подальшому:

Рівномірна норма, або норма повної варіації:

(1)



де , міри отримані з розкладу Гана.

- норма для дискретного простору.

Нехай - дискретний або скінчений простір:

(2)

-норма, яка визначається наступним чином, нехай

- вимірна функція, деяка міра:

(3)

-норма для перехідного ядра визначається наступним чином:

(4)

Означення 1 Ймовірнісне перехідне ядро називається стаціонарним проектором для перехідного ядра , якщо виконані наступні рівності:

а також з того що випливає , для .

Означення 2 Однорідний за часом, ланцюг Маркова з перехідною ймовірністю називається рівномірно ергодичним відносно норми (вважаємо ), зі стаціонарним проектором , якщо існують такі константи , що:



Зауваження 1 Для рівномірно ергодичного ланцюга зі стаціонарним проектором та єдиною інваріантною мірою має місце наступна рівність:

(5)

Зауваження 2 Надалі в цьому розділі розглядатимемо лише ланцюги з єдиною інваріантною мірою.

Означення 3 Неоднорідний за часом ланцюг Маркова з перехідною ймовірністю на -тому кроці називається майже однорідним, по відношенню до однорідного за часом ланцюга , з перехідною ймовірністю , якщо різниці прямують до нуля в деякій топології при .

Для неоднорідного ланцюга введемо позначення перехідної ймовірності за кроків:

(6)

де під розуміємо одиничне перехідне ядро: .

Позначимо:

(7)

Зауваження 3 Якщо при фіксованому , то при кожному .

Теорема 1 Нехай однорідний за часом, ланцюг Маркова, з перехідною ймовірністю , єдиною інваріантною мірою , та стаціонарним проектором , - неоднорідний за часом, майже однорідний по відношенню до ланцюг з перехідною ймовірністю на -тому кроці , та для деякого виконані умови

1)

2) , для кожного .

3) . Тоді для всіх ,

(8)

Теорема 2 Нехай однорідний за часом, рівномірно ергодичний ланцюг Маркова, з перехідною ймовірністю та стаціонарним проектором , - неоднорідний за часом, майже однорідний по відношенню до ланцюг з перехідною ймовірністю на -тому кроці , причому . Тоді для всіх ,

(9)

Наступний приклад та зауваження після нього показують, що умова (3) теореми 1 є близькою до необхідної.

Теорема 3 Нехай перехідне ядро, що відповідає однорідному за часом, рівномірно ергодичному ланцюгу Маркова:



що має стаціонарний проектор:

Нехай перехідне ядро на -тому кроці що відповідає неоднорідному за часом ланцюгу .

Нехай виконані умови

1)

2)

Тоді для довільного має місце збіжність:

(10)

Зауваження 4 Умова (1) теореми 3, що є переформулюванням умови (3) теореми 1 є суттєвою. Справді розглянемо наступний випадок: , . Тоді умова (2) теореми 3 виконана, а нерівність в умові (1) цієї ж теореми, перетворюється на рівність, тоді як ланцюг з матрицею перехідних ймовірностей:

очевидно не є ергодичним.

Основними результатами третього розділу є теореми про стійкість майже однорідного ланцюга за умови міноризації на всьому просторі.

Нехай , два неоднорідних ланцюги Маркова, визначених на спільному просторі , а , відповідні перехідні ймовірності за один крок, що мають вигляд:

де - стохастичні ядра, - малий параметр.

Припускаємо, що виконана наступна умова рівномірної міноризації: Існують , ймовірнісна міра , такі, що для кожних :

(11)

Введемо позначення для ймовірностей переходу за кроків:

Теорема 4 Нехай виконана умова рівномірної мінорізації (11). Тоді, для всіх , , має місце нерівність:

(12)

Наступний приклад показує, що порядок оцінки з теореми 12 є точним. Розглянемо однорідні ланцюги:

(13)

(14)

(15)

тобто

Будемо вважати, що:

(16)

Теорема 5 Для кожного , існують такі ланцюги з інваріантними мірами та , що задовільняють умови теореми 4, причому для кожного :

(17)

Тобто перший порядок оцінки у (12) є точним, і похибка у сталій не більша ніж в разів.

В четвертому розділі розглядається стійкість ланцюгів за класичної умови міноризації для однорідних ланцюгів.

Нехай деякі стохастичні ядра. Тоді визначимо: 

(18)

Ядро це "спільна частина" двох перехідних ймовірностей та . Близькість і полягає у малості параметра .

Скрізь у цьому розділі будемо розглядати наступну норму.

Для доведення оцінок потрібні наступні умови:

(A1) Умова міноризації:

Існує множина , ймовірнісна міра , та константа , що для кожного виконується нерівність:

(19)

(A2) Для стохастичного ядра існує єдина скінчена інваріантна міра , причому наступні величини скінчені:

Визначимо ядра:

(20)

(21)



Зауваження 5 Замість умови (A1) можна розглядати наступну умову (), яка є аналогом (A1) при :

Існує така множина , що для довільного ,

У цьому випадку, оператор набуває вигляду:

Всі наступні викладки справедливі, якщо замість умови (A1) розглядати (), якщо обрати визначене вище та .

Позначимо:

(22)

(23)

(A3) Розглянемо умову:

(24)

(25)

Введемо перехідну ймовірність:

(26)

Покажемо, що дійсно є перехідної ймовірністю. Розглянемо два випадки:

1) . Тоді:

Очевидно, є ймовірнісню мірою при кожних , і те що є вимірною функцією при фіксованих . Крім того:

2) . Тоді:

що очевидно є перехідним ядром.

Отже ядро є марківським перехідним ядром.

Доведення наступної теореми про стійкість використовує метод склеювання. Його можна описати наступним чином. Стартують два незалежні ланцюги. Якщо вони потрапляють в , то ми ''розігруємо склеювання'', підкидаючи монету що видає 1 з ймовірністю , і 0 з ймовірністю . Якщо випадає 0, то наступний крок ланцюги роблять з ймовірностями , і далі знову йдуть незалежно. Якщо ж випала 1, то ми кажемо, що ланцюги склеїлись і надалі йдуть по спільній траєкторії з перехідною ймовірністю , та початковим розподілом . На кожному кроці склеєного ланцюга, ми робимо випробування, яке з ймовірністю його розклеює в два незалежних ланцюги з початковим розподілом . Тоді введені вище об'єкти можна інтерпретувати наступним чином:

це ймовірність ''не склеювання'',

є ймовірність несклеювання ланцюга за кроків, що стартував розклеєним з точок (або ймовірність того, що склеювання відбулося пізніше ніж ).

є математичне сподівання моменту склеювання, для ланцюга що стартував розклеєним з початковим розподілом .

описує рух розклеєного ланцюга.

Теорема 6 Нехай виконані умови (A1), (A2), (A3).

Позначимо , тоді для довільних , та :

(27)

де

При , мажорується величиною, що не залежить від , а саме:

Твердження теореми залишається вірним, якщо замість підставити будь які константи що іх перевищують.

П'ятий розділ присвячено стійкості неоднорідних за часом ланцюгів Маркова. Нехай - однорідний ланцюг Маркова з перехідною ймовірністю , - неоднорідний ланцюг з перехідними ймовірностями на -тому кроці , для яких виконані зображення:



де "спільна частина" двох перехідних ймовірностей, набір деяких стохастичних ядер. Позначимо,

де - одиничне перехідне ядро: , для довільної міри та вимірної функції .

Розглянемо наступні умови:

(A1) Умова міноризації:

Існує множина , ймовірнісна міра , та константа , що виконується нерівність:

(28)

Визначимо стохастичні ядра:

(29)

(30)

Позначимо:

(31)

(32)

Визначимо неоднорідну послідовність:

(33)

Зауваження 6 Зауважимо, що за умови рівномірної інтегровності для послідовності :

(34)

можна визначити стохастичну мажоранту:

та для кожних , :

Розглянемо наступні умови:

(M) Умова мажорування: Нехай при кожному послідовність рівномірна інтегровна за відносно рахуючої міри, тобто має місце збіжність (34), та для деякої мажоруючої послідовності і для кожного :

(35)

(M2) Нехай існує така послідовність , зі скінченим середнім , а отже і скінченою сумою , що для кожного та має місце наступна нерівність:

(36)

тут - мажоруюча послідовність з умови (M).

Зауваження 7 Якщо, для перехідної ймовірності існує єдина інваріантна міра , та наступні величини скінчені:

то в якості можна вибрати послідовність:

Очевидно, що

і крім того:



Визначимо хвости послідовностей, :

(37)

Зауваження 8 Послідовність взагалі кажучи ймовірнісним розподілом не є, хоча .

Теорема 7 Нехай виконані умови (A1), (M), (M2). Тоді для кожного має місце нерівність:

(38)

де

тут визначено в умові (M2).

У шостому розділі досліджується питання стійкості однорідних ланцюгів Маркова в нерівномірній нормі.

Нехай - вимірний простір, деяка міра на ньому, - вимірна функція. Тоді -нормою називається наступна норма:

Розглядаються два однорідних ланцюги Маркова - , та з перехідними ймовірностями та відповідно. Припускається наступна умова ''близькості'' двох ланцюгів:

Існує таке , перехідні ядра , , що 

(39)

Встановлено умови, за яких перехідні ймовірності ланцюгів та за кроків будуть близькими у -нормі.

В цьому розділі використовуються позначення з розділу 4.

Введемо позначення:

(40)

Нехай та - вимірні функції такі, що:

(41)

Зауваження 9 Наприклад функції , задовільняють дану умову.

Зауваження 10 Надалі будемо вважати фунцію монотонно зростаючою.

Нехай деяка послідовність дійсних чисел,

(42)

Ми будемо розглядати послідовності , для яких виконана умова

(B1)

(43)



Зокрема, якщо , , , то , та , тоді ряд з умови (B1) збіжний.

Розглянемо функцію , та умову

(U1) Для довільних ,

(44)

тут - перехідне ядро що визначене в розділі 4, формула (26), - математичне сподівання породжене цією перехідною ймовірністю, визначено в розділі 4, формула (31).

(V1) Існує вимірна функція , така що для функції

(45)

та для довільних , мають місце умови:

(46)

Позначимо, для з умови міноризації (A1):

(47)

(48)

Визначимо, також для функції та для константи , що задовільняє (43): 

(49)

(50)

Розглянемо наступну умову (K): Нехай деяка вимірна, невід'ємна функція.

(51)

Теорема 8 Нехай виконані умови (A1), (A2), (A3), (K), а також умови (B1), (U1), (V1). Нехай - вимірна функція, для якої:

(52)

де визначено у (45).

Тоді для довільного , має місце нерівність:

(53)

де



ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджується питання стійкості та ергодичності ланцюгів Маркова, зокрема розглядається випадок неоднорідних за часом ланцюгів. Основним завданням дослідження є знаходження умов та оцінок стійкості ланцюгів Маркова.

У дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

* Встановлені умови для рівномірної збіжності (збіжності в операторній нормі) до стаціонарного оператора перехідної ймовірності за кроків для неоднорідного ланцюга, перехідні ймовірності на -тому кроці якого отримані шляхом зникаючих збурень деякої перехідної ймовірності, що відповідає однорідному, рівномірно ергодичному ланцюгу Маркова. Показано, що отриманий таким чином неоднорідний ланцюг є асимптотично близьким до однорідного.

* Знайдені явні оцінки стійкості двох неоднорідних, близьких ланцюгів для яких виконана умова міноризації на всьому просторі.

* Встановлені умови та оцінка стійкості, для неоднорідних, близьких ланюцгів для яких виконана класична умова міноризації.

* Встановлені умови та оцінки стійкості, для однорідних ланцюгів в нерівномірній нормі.

Отримані в роботі результати мають теоретичне значення при вивченні ланцюгів Маркова та практичне застосування в теорії масового обслуговування, актуарній математиці, теорії ризиків та інших областях науки, де використовуються Марковські моделі. Отримані результати можуть бути використані при розв'язанні таких важливих задач, як оцінювання ймовірності банкрутства, оцінювання довжини черги або часу очікування і т.д.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1) Голомозий В.В. Умови ергодичності та стійкості майже однорідних ланцюгів Маркова / В.В. Голомозий // Прикладна статистика, актуарна та фінансова математика. - Донецьк 2007 - Вип. №2 - с. 25-35

2) Голомозий В.В. Стійкість неоднорідних ланцюгів Маркова / В.В. Голомозий // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. - 2009. - вип. 4. - С. 10-15.

3) Голомозий В.В, Субгеометрична оцінка стійкості для однорідних ланцюгів Маркова / В.В. Голомозий // Теорія ймовірностей та математична статистика. - Київ 2010. - Вип. 81 - С.31-46.

4) Голомозий В.В. Ергодичність та стійкість майже однорідних ланцюгів Маркова / В.В. Голомозий// Тези доп. Міжнародна науково-практична конференція студентів, аспірантів та молодих вчених ``Шевченківська весна''. - К., 2008. - Ч. 1. - С. 120.

5) Golomoziy.V. Stability estimate, for one kind of non-homogeneous Markov chains / V.V. Golomoziy// Тези доп. сьомої мiжнар. міждисципл. конф. молодих вчених ``Шевченківська весна''. - К., 2009. - С. 24.

6) Голомозий В.В. Оцінка стійкості для ланцюгів Маркова / В.В. Голомозий //Матеріали XIII міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - K, 2010. - С. 36.

7) 3. Golomoziy V.V. Stability estimate of time-homogeneous Markov chains / V.V. Golomoziy // International Conference Modern Stochastic: Theory and Applications II September 7-11, 2010, Kyiv, Ukraine. Abstracts. - 2010 . - С. 47.



АНОТАЦІЯ

Голомозий В.В. Ергодичність та стійкість майже однорідних ланцюгів Маркова. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ 2011.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню ергодичності та стійкості ланцюгів Маркова, зокрема у неоднорідному випадку. Отримані умови на стійкість ланцюгів Маркова як в однорідному так і в неоднорідному випадках. Отримані умови та оцінки ергодичності та стійкості неоднорідного ланцюга який мало відрізняється від однорідного ланцюга, за умови рівномірної ергодичності останнього. Отримано ряд оцінок стійкості за різних умов міноризації.

За умови рівномірної міноризації вдалося отримати оцінку точною за порядком і точною за константою.

За класичної умови міноризації та додаткових моментних умов отримано умови та оцінки стійкості для однорідного ланцюга в нормі повної варіації та -нормі. В неоднорідному випадку, за умов рівномірної інтегровності хвостів моменту склеювання отримано умови та оцінку стійкості для неоднорідного ланцюга.

Ключові слова: ланцюг Маркова, ергодичність, стійкість, склеювання.



АННОТАЦИЯ

Голомозый В.В, Ергодичность и устойчивость почти однородных цепей Маркова. - Рукопись.

Дисертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев 2011.

Дисертационная работа посвящена ислледование эргодичности и устойчивости цепей Маркова, в частности в неоднородном случае. Получены условия на устойчивость цепей Маркова как в однородном так и в неоднородном случаях.

Получены условия и оценки устойчивости для неоднородных цепей близких в некотором смысле к однородной цепи, при условии равномерной ергодичности последней. Результат установлен для широкого класса возможных норм. В частности, результаты были происллюстрированы на примере цепи рождения и гибели в неравномерной -норме.

Получены условия и оценки устойчивости при различных формах условия миноризации. При условии равномерной миноризации удалось получить оценку точную как по порядку, так и по константе, что было показано на соотвествующем примере. При классическом условии миноризации и дополнительных моментных условиях получены оценки устойчивости для однородной цепи в норме полной вариации и -норме.

При условии равномерной интегрируемости хвостов момента склеивания получены оценки устойчивости для неоднородных цепей Маркова.

В работе получены оценки для эргодичности и устойчивости неоднородной цепи близкой к некоторой однородной, равномерно-эргодичной цепи. Близость заключается в малости разностей переходных вероятностей на -том шаге. При условии равномерной миноризации (миноризации на всем пространстве) получена оценка точная как по порядку так и по константе, что показано на соотвествующем примере. Заметим, что условие равномерной миноризации является достаточно обременительным, однако в результате получены точные оценки. Найдены условия при которых установлены оценки устойчивости для однородной цепи в равномерной и -нормах, при класическом условии миноризации. Также получены оценки устойчивости для неоднородных цепей в неоднородном случае, при условии класической миноризации.

Ключевые слова: цепь Маркова, эргодичность, устойчивость, склеивание.



ABSTRACT

Golomoziy V.V., Ergodicity and stability of almost homogeneous Markov chains. - Manuscript.

The thesis for the degree of the candidat of physical and mathematical sciences in speciality - 01.01.05 - Probability theory and Mathematical statistic. - Kyiv National Taras Shevchenko university, Kyiv 2011.

Thesis is devoted to investigation of ergodicity and stability of Markov chains, particulary in time non-homogeneous case. Obtained conditions for stability of Markov chains in both - homogeneous and non-homogeneous cases. One of such conditions, is minorization condition. With the condition of uniformal minorization obtained an estimate which is accurate for an order and for a constant. Using classical minorization condition obtained estimates of stability for homogeneous and non-homogeneous chains and also estimate of stability in -norm.

Keywords: Markov chain, ergodicity, staibility, coupling.

Размещено на Allbest.ru

...