Метод усереднення в задачах оптимального керування звичайними диференціальними рівняннями

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.01.02 - Диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Метод усереднення в задачах оптимального керування звичайними диференціальними рівняннями

Добродзій Тетяна Василівна

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі загальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

СТАНЖИЦЬКИЙ Олександр Миколайович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри загальної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ВІТЮК Олександр Никанорович,

Інститут математики, економіки та механіки Одеського національного університету ім. І. І. Мечникова, професор кафедри обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, перший проректор

Захист відбудеться 21 червня 2011 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ,

просп. Академіка Глушкова, 4 Е, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м.Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 17 травня 2011 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одне з основних завдань сучасності полягає у відшуканні ефективних методів керувань різноманітними процесами. З кожним роком зростає актуальність проблеми раціонального використання природних багатств, матеріальних ресурсів, технічних засобів, людської праці, тощо. При цьому виникає потреба у застосуванні найкращого з можливих варіантів керування певним процесом, або, як кажуть, оптимального керування. Таким чином використання задач оптимального керування при розв'язанні економічних та технічних проблем сприяло швидкому розвитку нових розділів математики.

Математичними моделями реальних керованих процесів часто виступають диференціальні рівняння з малими параметрами, для дослідження яких зручно використовувати асимптотичні методи. Даний підхід дозволяє значно скоротити об'єм обчислень, необхідних для розв'язання вихідної задачі.

Починаючи з робіт М.М. Мойсеєва, асимптотичні методи використо-вуються при дослідженні задач оптимального керування. Багатьма вченими за допомогою цих методів були розв'язані важливі для практичного впровадження задачі керування рухом об'єктів. На даний момент існує два підходи щодо застосування асимптотичних методів при розв'язання задач оптимального керування.

Перший пiдхiд полягає в усередненні крайової задачі принципу максимуму Л.С. Понтрягiна. Дана методика розроблялася в роботах М.М. Мойсеєва, Ф.Л. Черноуська, Л.Д. Акуленка, Б.М. Соколова, А.Б. Васильєвої, В.Ф. Бутузова, В.О. Плотнiкова, Ю.Г. Євтушенко, T. Dontchev та iнших авторiв.

При другому пiдходi спочатку проводиться усереднення рiвнянь керованого руху, i вже далi розв'язується задача оптимального керування для усередненої системи. У роботах В.О. Плотнiкова цей пiдхiд був перенесений на загальний випадок вимірних керувань за допомогою узагальнення теореми М.М. Боголюбова на диференцiальнi включення. У роботах В.Г. Гайцгорi, В.О. Плотнiкова, А.В. Плотнiкова, О.Н. Вiтюка, О.П. Фiлатова, М.М. Хапаєва, T. Donchev, I. Slavov , G. Grameel цi результати були поширені на системи з повільними i швидкими змінними, на рівняння в банаховому просторі.

Актуальність цієї дисертаційної роботи полягає у подальшому вивченні задач оптимального керування iз застосуванням методу усереднення, а саме запропоновано більш просту та наглядну процедуру усереднення, при цьому множина допустимих керувань початкової та усередненої задач співпадають. Також проведено обґрунтування методу усереднення для рівнянь керованого руху на скінченному iнтервалi та на пiвосi. При цьому не використовується замiна початкової задачi оптимального керування диференцiальними включеннями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дослiджень даної дисертацiйної роботи пов'язана з науковими програмами Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка i виконувалася в рамках державної бюджетної наукової теми № 06БФ038-01 "Якiснi та аналiтичнi методи дослiдження i моделювання нелiнiйних систем та фiзико-математичних полiв"( номер державної реєстрацiї 0106U005863).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертацiйної роботи є встановлення умов близькостi розв'язкiв точних та вiдповiдних усереднених систем в стандартній за Боголюбовим формі, праві частини яких залежить від функціональних параметрів, а також умов iснування оптимального керування точної та усередненої задач оптимального керування такими ситемами та обґрунтування близькостi значення критерiїв якостi точних систем на оптимальних керуваннях усереднених систем до точних нижніх граней цих критеріїв.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослiдження є системи звичайних диференціальних рівнянь в стандартній за Боголюбовим формі, праві частини яких залежить від функціональних параметрів.

Предмет дослідження. Предметом дослiдження є обґрунтування методу усереднення для систем звичайних диференціальних рівнянь в стандартній за Боголюбовим формі, праві частини яких залежить від функціональних параметрів, а також його застосування до задач оптимального керування такими системами.

Методика дослiдження. В роботi використовуються методи теорiї диференцiальних рiвнянь, теорiї оптимального керування, многозначного аналiзу, функціонального аналізу, теорії функцій та теорiя усереднення.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримані нові теоретичні результати:

отримано принцип усереднення у випадку залежності правих частин від функціональних параметрів на асимптотично скінченних часових інтервалах та на півосі;

у нелiнiйному випадку знайдено умови, при яких оптимальне керування усередненої задачi є -оптимальним для точної задачi на асимптотично скiнченному часовому iнтервалi та на пiвосi;

доведено iснування оптимального керування початкової задачi оптимального керування та вiдповiдної усередненої задачi у випадку лiнiйної за керуванням системи; диференціальний рівняння усереднення оптимальний

отримано явнi оцінки (за малим параметром) близькостi розв'язкiв точної та вiдповiдної усередненої систем на асимптотично скiнченному часовому iнтервалi та на пiвосi у випадку перiодичної правої частини та отримано оцiнки близькостi (за малим параметром) критерiїв якостi.

Практичне значення одержаних результатів.

Отриманi в роботі результати носять в основному теоретичний характер. Вони є вагомим внеском у обґрунтування асимптотичних методів дослідження систем в стандартній за Боголюбовим формі, праві частини яких залежить від функціональних параметрів. Практичне значення отриманих результатiв полягає в можливостi їх застосування до розв'язання задач оптимального керування реальними процесами.

Особистий внесок здобувача.

Всi результати дисертацiйної роботи отриманi автором самостiйно. За результатами дисертацiї опублiкувано п'ять наукових статей у фахових виданнях [15], з них двi у спiвавторствi з науковим керiвником професором Станжицьким О.М. [1, 5], в яких Станжицькому О.М. належить постановка задач, визначення загальної схеми дослідження та аналіз одержаних результатів.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на:

мiжнароднiй науковiй конференцiї “Диференцiальнi рiвняння, теорiя функцiй та їх застосування” з нагоди 70-рiччя з дня народження академіка А.М. Самойленка (16 - 21 червня 2008 року, Мелiтополь);

мiжнароднiй науковiй конференцiї "Нелiнiйний аналiз та застосування" (2 - 4 квiтня 2009 року, м. Київ);

мiжнароднiй конференцiї "Моделювання та дослiдження стiйкостi динамiчних систем" (27 - 29 травня 2009 року, м. Київ);

мiжнароднiй конференцiї до 100-рiччя М.М.Боголюбова та 70-рiччя М.I. Нагнибiди (8 - 13 червня 2009 року, м. Чернiвцi);

четвертiй мiжнароднiй конференцiї "Constractive Methods for Non-Linear Boundary Value Problems" (1 - 4 липня 2009 року, Eger, Hungary);

Українському математичному конгресi-2009 (до 100-рiччя вiд дня народження М. М. Боголюбова) (27 - 29 серпня 2009 року, м. Київ);

п'ятiй мiжнароднiй науковiй конференцiї "The Problems of Di?erential Equations, Analysis and Algebra "(9 - 10 жовтня 2009 року, Aktobe, Kazakhstan);

мiжнароднiй лiтнiй математичнiй школi пам'ятi В.О. Плотнiкова (9 - 14 серпня 2010 року, м. Одеса);

Болгаро-турецько-українськiй конференцiї "Mathematical Analysis, Di?erential Equations and their Application"(15 - 20 вересня 2010 року, Sunny Beach, Bulgaria);

науковому семiнарi кафедри загальної математики механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (м. Київ, 2008, 2009, 2010 рр.);

науковому семiнарi кафедри математичного моделювання економiчних систем факультету менеджменту i маркетингу Нацiонального технiчного унiверситету України "Київського полiтехнiчного iнституту" (м. Київ, 2009, 2010 рр.);

спільному науковому семiнарi кафедри диференцiальних рiвнянь та кафедри оптимального керування та економiчної кiбернетики Iнституту математики, економiки та механiки Одеського нацiонального унiверситету ім. І.І Мечникова (м. Одеса, 2009, 2010 рр.)

спільному науковому семiнарi кафедри диференцiальних рiвнянь та кафедри прикладної математики факультету прикладної математики Чернiвецького нацiонального унiверситету iменi Юрiя Федьковича (м. Чернiвцi, 2010 р.);

спільному науковому семiнарi кафедри диференцiальних рiвнянь механiко-математичного факультету Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка та вiддiлу диференцiальних рiвнянь та теорiї коливань Iнституту математики НАН України (м. Київ, 2010).

Публікації. Результати досліджень, які включено до дисертації, опубліковано в тринадцяти працях, з них п'ять статей у фахових виданнях [1-5] та вісім тез у матеріалах міжнародних наукових конференцій [6-13].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків та списку використаних джерел, який містить 103 найменування. Повний обсяг дисертації становить 131 сторінку, з них список використаних джерел займає 12 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору О.М. Станжицькому за постановку задач, конструктивні поради та цікаві ідеї.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, розкрито суть та мету проведених досліджень, висвітлено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, наведено інформацію про апробацію роботи.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та спорідненими питаннями, висвітлює деякі результати щодо схожих проблем, отриманих іншими авторами.

У другому роздiлi розглядаються задачi оптимального керування на асимптотично скiнченному часовому iнтервалi.

У підроздiлі 2.1 наводиться постановка задач. Розглядається задача оптимального керування нелiнiйною системою на відрізку :

(2.1)

з критерiєм якостi

(2.2)

де - малий параметр, фазовий вектор , - область в , - вектор керування, , - деяка константа, X - вектор-функцiя, - деяка функцiя. Позначимо - розв'язок системи (2.1), що вiдповiдає керуванню .

Керування вважаються допустимими, якщо

a1) - вимiрнi, локально iнтегровнi при та при ;

b1) для кожного керування iснує стала , що , де не залежить вiд i ;

c1) iснує, , що при розв'язок задачi Кошi (2.1) визначений при , де не залежить вiд .

Множину допустимих керувань позначимо F. Потрiбно знайти такi допустимi керування ,що забезпечують мiнiмальне значення функцiоналу (2.2). Позначимо .

Задачi (2.1), (2.2) ставиться у вiдповiднiсть усереднена задача:

(2.3)

з критерiєм якостi

(2.4)

Де

(2.5)

Тут допустимі керування усередненої задачі (2.3), (2.4) задовольняють ті ж умови, що і допустимі керування точної задачі (2.1), (2.2) де умова (c1) виконується для розв'язку задачі Коші (2.3). Позначимо , де - множина допустимих керувань усередненої задачі.

Поряд із задачею (2.1), (2.2) розглядається задача оптимального керування лінійною за керуванням системою:

(2.6)

де е > 0 - малий параметр, t ? 0, T > 0 - деяка константа, фазовий вектор x D, D - область в , u U - вектор керування, U - опукла і замкнена множина, 0 U , A - вектор-функція, B - n Чm-матриця.

Керування u(t) вважаються допустимими, якщо існує е0 > 0, що при 0 < е < е0:

a2) u(t) Lp(0,) для деякого p > 1;

b2) u(t) U при t [0,];

c2) розв'язок задачі Коші (2.6) x(t,u) визначений на [0,].

Множину допустимих керувань позначимо ?. Потрібно знайти такі допустимі керування u(t), що забезпечують мінімальне значення функціоналу

(2.7)

де F(t,u) визначена при t ? 0, x D, опукла по u, неперервна знизу по u для довільного фіксованого t і така, що існує a > 0 та б , що F(t,u) ? a|u|p+б та для деякого K > 0, для довільного е > 0.

Відносно системи (2.6) вважаємо виконаними наступні умови:

2.1) Існують такі A0(x) і B0(x), що рівномірно по x D виконуються наступні співвідношення:

де q визначається з умови ;

2.2) A(t,x), B(t,x) - визначені, вимірні по t при кожному x, C(t,x) - визначена і неперервна при t ? 0, x D;

2.3) A(t,x), B(t,x), C(t,x) - обмеженi сталою M при t ? 0, x D;

2.4) A(t,x), B(t,x), C(t,x) -ліпшицеві по x зі сталою L в області D.

Поставимо у відповідність задачі (2.6), (2.7) на [0,] наступну усереднену задачу:

(2.8)

з критерієм якості

(2.9)

Множину її допустимих керувань позначимо .

Позначимо .

Надалі будемо вважати виконаною для усередненої системи (2.8) наступну умову:

(A) Якщо деяка сім'я допустимих керувань задовольняє рівномірну оцінку , де C > 0 і не залежить від е і , то існує е0=е0(C), що при 0 < е < е0 розв'язок усередненої задачі Коші y(t, ) лежить при t [0,] в області D разом з деяким с-околом, причому с не залежить від е і від , тобто с = с(C).

У підрозділі 2.2 доведено леми про близькість розв'язків точної та усередненої систем у випадку нелінійної та лінійної за керуванням задачі.

Лема 2.1. Нехай на множині Q={x D Rn,t ? 0, u U Rm} виконані умови:

1) X(t,x,u) - вимірна по t, обмежена сталою K та задовольняє умову Ліпшиця по x та u з константою M;

2) розв'язок =(t,u0), (0,u0)=x0 усередненої системи

(2.10)

визначений при всіх t ? 0 для всіх сталих керувань u0 U і лежить в області D разом з деяким с-околом, що не залежить від е і u0;

3) рівномірно відносно x D та u U існує границя (2.5).

Тоді для з > 0 і T > 0 існує е0(з,T) > 0, що для довільного 0 < е < е0 розв'язки задач Коші для точної системи (2.1) і усередненої системи (2.3) визначені на [0,], і справедлива оцінка

|x(t,u)?y(t,u)| ? з

для кожного керування, що задовольняє умови (a1) та (b1).

Лема 2.2. При виконанні умов 2.1)-2.4) та умови (A) для довільногоз > 0 існує е0=е0(C,з), що при 0 < е < е0 розв'язок задачі Коші x(t,u) точної системи (2.6) визначений на [0,], і справедлива оцінка

|x(t,u)?y(t,u)| ? з, t [0,]

для кожного допустимого керування, що задовольняє умову (A).

Підрозділ 2.3 присвячено встановленню результату про те, що оптимальне керування усередненої задачі є з-оптимальним для точної задачі у випадку нелінійної задачі, де поняття з-оптимальності розуміється в сенсі наступного означення:

Означення. Допустиме керування u(t) системи (2.1) називається з-оптимальним при з > 0, якщо |J(u)?J*| ? з.

Теорема 2.1. Нехай на множині Q={x D Rn,t ? 0, u U Rm} виконуються умови 1)- 3) леми 2.1, а також наступні умови:

4) функція Ц(x) задовольняє умову Ліпшиця з константою L в області D;

5) існує оптимальне керування u*(t,е) задачі (2.3), (2.4).

Тоді для з > 0 існує е0=е0(з) > 0, що

a) для довільного 0 < е < е0 J* > -?;

б) виконується нерівність |J(u*(t,е))?J*| ? з.

У підрозділі 2.4 отримано умови існування оптимального керування початкової та усередненої задач, а також доведено, що оптимальне керування усередненої задачі є з-оптимальним для точної задачі у випадку лінійної за керуванням задачі.

Теорема 2.2. При виконанні умов 2.1)-2.4) та умови (A) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 точна задача (2.6), (2.7) та усереднена задача (2.8), (2.9) мають розв'язки, і для довільного з > 0 існує е1=е1(з) ? е0, що при 0 < е < е1 справедливе наступне твердження |J*?J()| ? з, де - оптимальне керування усередненої задачі.

Третій розділ присвячений питанням застосування методу усереднення до задач оптимального керування диференціальними рівняннями на півосі.

Розглядається задача оптимального керування системою диференціальних рівнянь (2.1) з критерієм якості

(3.1)

де функція L(t,x,u) задовольняє умову: існує г(t) ? 0, що для довільного t ? 0 та довільних x, y D виконується нерівність

(3.2)

Керування u(t) вважаються допустимими, якщо вони задовольняють умови

a1), b1) та

c3) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок задачі Коші (2.1) визначений та єдиний при t ? 0, де е0 не залежить від u(t);

d3) |J(u)| < ?.

Множину допустимих керувань задачі (2.1), (3.1) позначимо F1. Нехай існує границя

(3.3)

що не залежить від t та рівномірна відносно t ? 0, x D і u U.

Поставимо у відповідність задачі (2.1), (3.1) при t ? 0 усереднену систему (2.3) з критерієм якості

(3.4)

Надалі будемо вважати, що виконуються наступні умови:

(A1) Для довільної сталої u0 U розв'язок (ф) = (ф, u0) усередненої системи

(3.5)

визначений при всіх ф ? 0 і лежить в області D з деяким своїм с - околом, де с не залежить від u0;

(A2) розв'язок (ф) є рівномірно асимптотично стійким по ф0 і u0.

Поряд з нелінійною задачею керування на півосі розглядається задача оптимального керування системою диференціальних рівнянь, що є лінійною за керуванням (2.6) з критерієм якості

(3.6)

де е > 0 - малий параметр, t ? 0, фазовий вектор x D, D - замикання обмеженої області в Rn, x0 - внутрішня точка D, u U Rm - вектор керування, U - опукла, замкнена множина, 0 U, A - вектор-функція, B - nЧm матриця. Функцію F(t,u) будемо вважати опуклою по u для довільного фіксованого t, напівнеперервною знизу по u і такою, що існує a > 0, p > 1, для яких F(t,u) ? a|u|p і для деякого K > 0: .

Нехай виконуються наступні умови:

3.1) Існують такі A0(x) і B0(x) , що рівномірно по x D та t ? 0 справедливі наступні граничні співвідношення:

де q визначаються з умови ;

3.2) A(t,x), B(t,x), C(t,x) - визначені і неперервні за сукупністю змінних при t ? 0, xD;

3.3) A(t,x), B(t,x) - обмеженi сталою M при t ? 0, x D, C(t,x) ? 0 при t ? 0, x D, та існує y D, що ;

3.4) A(t,x), B(t,x) - ліпшицеві по x зі сталою L в D, а для C(t,x) виконується нерівність |C(t,x)?C(t,y)| ? б(t)|x?y|, де при t ? 0, x D, y D.

Керування u(t) вважаються допустимими, якщо

a4) u(t) Lp(0,?);

b4) u(t) U майже при всіх (за мірою Лебега) t ? 0;

c4) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок задачі Коші (2.6) x(t,u) визначений і єдиний при t ? 0 та лежить в D;

d4) J(u) < ?.

Множину таких керувань u(t) позначимо ?1.

Поставимо у відповідність задачі (2.6), (3.6) при t ? 0 усереднену задачу (2.8) з критерієм якості

(3.7)

В подальшому будемо вважати, що для усередненої системи виконується наступна умова:

(А3) Якщо на деякій множині керувань, що задовольняють умови a4) і b4), виконується оцінка , то:

1) існує е0=е0(C1), що при 0 < е < е0 розв'язок усередненої задачі y(t,u) лежить при t? 0 в D з деяким с-околом, причому с не залежить від е і від u;

2) y(t,u) рівномірно асимптотично стійкий відносно t0, е, y1t0 і u з даної множини.

У підрозділі 3.2 доведено леми про обґрунтування методу усереднення у нелінійному і лінійному за керуванням випадках на півосі.

Лема 3.1. Нехай на множині Q={t ? 0, x D Rn, u U Rm} виконуються наступні умови:

1)X(t,x,u) - неперервна за сукупністю змінних, обмежена і задовольняє умову Ліпшиця по x та u зі сталою M;

2)рівномірно відносно t ? 0, x D і u U існує границя (3.3);

3)виконуються умови (A1) та (A2).

Тоді для довільного з > 0 можна вказати таке е0(з) > 0, що при 0 < е < е0 розв'язки задач Коші для системи (2.1) і усередненої системи (2.3) визначені при t? 0, і справедлива оцінка |x(t,u)?y(t,u)| ? з для кожного керування u(t), що задовольняє умови a1) і b1).

Лема 3.2. При виконанні умов 3.1)-3.4) і умови (A3) для довільного з > 0 існує е0(з, C1) > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок x(t,u) точної системи (2.6) визначений при t ? 0, і справедлива оцінка |x(t,u)?y(t,u)| ? з для кожного допустимого керування u(t), що задовольняє умову (А3), де y(t,u) - відповідний розв'язок усередненої системи (2.8).

У підрозділі 3.3 доводиться, що оптимальне керування усередненої задачі здійснює наближений оптимальний синтез точної задачі на півосі.

Теорема 3.1. Нехай на множині Q={t ? 0, x D Rn, u U Rm} виконуються умови леми 3.1 та існує оптимальне керування усередненої задачі (2.3), (3.4). Тоді для довільного з > 0 існує е0=е0(з) > 0, що при 0 < е < е0 J* > -?, і виконується нерівність |J()?J*| ? з.

У підрозділі 3.4 для лінійної за керуванням задачі оптимального керування доводиться існування розв'язків точної та усередненої задач при 0 < е < е0 та встановлено результат про те, що оптимальне керування усередненої задачі є з-оптимальним для точної задачі.

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови 3.1)-3.4) та умова (A3). Тоді існує е0>0, що при 0 < е < е0 точна задача (2.6), (3.6) та усереднена задача (2.8), (3.7) мають розв'язки, і для довільного з > 0 існує 0 < е1=е1(з) < е0, що при 0 < е < е1 справедлива оцінка |J*?J()| ? з, де - оптимальне керування усередненою задачею (2.8), (3.7).

Варто відмітити, що практична перевірка умови (A3) є досить складною, тому у підрозділі 3.5 вона замінена наступною:

(A4) При = 0 розв'язок z(ф) системи

(3.8)

є рівномірно асимптотично стійким за x0 і ф0 та лежить в області D разом зі своїм с - околом при ф ? 0.

Таким чином, перевірка умови (A3) при всіх u зводиться до її перевірки для u = 0. При цьому, однак, потрібно звузити клас допустимих керувань, а саме, надалі допустимими керуваннями для задачі (2.6), (3.6) будемо вважати керування, що задовольняють умови:

a5) існує ц(t) ? 0, така що і |u(t)| ? ц(t) при t ? 0, u - вимірна функція;

b5) u(t) U при t ? 0 та умови c4), d4).

Множину таких керувань u(t) позначимо G. Функцію F(t,u) будемо надалі вважати невід'ємною, опуклою по u для довільного фіксованого t, і напівнеперервною знизу по u і для деякого K > 0 має місце нерівність . Нехай виконані умови 3.1)-3.4), допустимі керування усередненої задачі (2.8), (3.7) задовольняють тим самим умовам a5) і b5), що і допустимі керування точної задачі (2.6), (3.6), а c4) і d4) виконуються для розв'язку усередненої задачі. Множину допустимих керувань усередненої задачі позначимо . Нехай .

Лема 3.3. При виконанні умов 3.1)-3.4) та умови (А4) для довільного з > 0 існує е0 = е0(з) > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок x(t,u) точної системи (2.6) і розв'язок y(t,u) усередненої системи (2.8) визначені при t ? 0, і справедлива оцінка |x(t,u)?y(t,u)| ? з при t ? 0 для кожного допустимого керування u(t).

З використанням леми 3.3 доводиться наступна теорема.

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови 3.1)-3.4) та умова (А4). Тоді існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 точна задача (2.6), (3.6) та усереднена задача (2.8), (3.7) мають розв'язки, і для довільного з > 0 існує е1=е1(з) < е0, що при 0 < е < е1 справедлива оцінка |J0*?J()| ? з, де - оптимальне керування усередненої задачі.

Четвертий розділ присвячений важливим питанням, пов'язаним з практичним застосуванням отриманих у попередніх розділах результатів.

У підрозділі 4.1 наведено постановки задач. Зауважимо, що надалі праві частини систем, що будуть розглядатися, є періодичними по t.

Розглядається задача оптимального керування системою диференціальних рівнянь (2.1) з критерієм якості (2.2), де X - вектор-функція, періодична по t з періодом И.

Керування u(t) вважаються допустимими, якщо виконуються умови a1), b1) та

c6) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок задачі Коші (2.1) визначений і єдиний при t [0,].

Множину допустимих керувань позначимо Fp. Позначимо .

Поставимо у відповідність задачі (2.1), (2.2) на [0,] наступну усереднену задачу (2.3), (2.4), де . Позначимо .

Окрема увага приділяється дослідженню задачі оптимального керування системою диференціальних рівнянь, що лінійна за керуванням, оскільки для таких задач можна відмовитися від перевірки обтяжливої умови b1). Отже, розглянемо задачу

(4.1)

з критерієм якості (2.7), де A - вектор-функція, періодична по t з періодом И.

Будемо вважати, що виконуються наступні умови:

4.1) A(t,x) - визначена, вимірна по t при кожному x, B(x) - визначена при x D, а C(t,x) - визначена та неперервна за сукупністю змінних при t ? 0, x D;

4.2) A(t,x), B(x), C(t,x) - обмеженi сталою M при t ? 0, x D;

4.3) A(t,x), B(x), C(t,x) - ліпшицеві по x зі сталою L в області D.

Керування u(t) вважаються допустимими для задачі (4.1), (2.7) якщо виконуються умови a2) та b2) та

c7) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок x(t,u) задачі Коші (4.1) визначений і єдиний на [0,].

Множину таких керувань u(t) позначимо ?p.

Поставимо у відповідність задачі (4.1), (2.7) на [0,] наступну усереднену задачу:

(4.2)

з критерієм якості (2.9), де . Множину її допустимих керувань позначимо . Позначимо .

Надалі вважаємо, що для усередненої системи (4.2) виконується наступна умова:

(A5) Якщо деяка сім'я керувань задовольняє рівномірну оцінку , де C > 0 та не залежить від е i , то існує е0=е0(C), що при 0 < е < е0 розв'язок y(t, ) усередненої задачі (4.2) лежить при t [0,] в області D разом з деяким с-околом, причому с не залежить від е і від .

Поряд із нелінійною задачею оптимального керування на асимптотично скінченному інтервалі також будемо розглядати задачу оптимального керування системою диференціальних рівнянь на півосі (2.1) з критерієм якості (3.1), для якої е > 0 - малий параметр, t ? 0, фазовий вектор x D, D - область Rn, u U Rm - вектор керування, X - n-мірна вектор-функція, періодична по t з періодом И, а функції L(t,x,u) задовольняє умову (3.2).

Керування u(t) вважаються допустимими для задачі (2.1), (3.1), якщо виконуються умови a1), b1), а також справедливі наступні умови

c8) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок задачі Коші (2.1) визначений і єдиний при t ? 0;

d8) |J(u)| < ?.

Множину допустимих керувань задачі (2.1), (3.1) позначимо .

Поставимо у відповідність задачі (2.1), (3.1) при t ? 0 усереднену задачу (2.3), (3.4), де , t ? 0. Множину її допустимих керувань позначимо . Позначимо

Надалі вважаємо, що виконуються умова (A1) та умова

(A6) Pозв'язок (ф) є експоненціально стійким, тобто існує д > 0, таке що з нерівності |(ф0,u0)? (ф0,u0)| ? д випливає виконання нерівності

|(ф,u0)?(ф,u0)| ? N|(ф0,u0)? (ф0,u0)|e?б(ф?ф0),ф ? ф0,

де N, б - деякі додатні сталі, (ф,u0) - розв'язок (3.5).

Будемо також розглядати задачу оптимального керування системою диференціальних рівнянь (4.1) на півосі з критерієм якості (3.6), D - обмежена область в Rn.

Нехай також виконуються наступні умови:

4.4) A(t,x), C(t,x) - визначені і неперервні при t ? 0, x D, B(x) - визначена і неперервна при x D;

4.5) A(t,x), B(x) - обмеженi сталою M при t ? 0, x D, C(t,x) ? 0 при t ? 0, x D та існує y D, що ;

4.6) A(t,x), B(x) - ліпшицеві по x зі сталою L в області D, а для C(t,x) виконується нерівність |C(t,x) ? C(t,y)| ? в(t)|x ? y|, де при t ? 0, x D, y D.

Керування u(t) вважаються допустимими для задачі (4.1), (3.6) якщо виконуються умови a4), b4), d4) та

c9) існує е0 > 0, що при 0 < е < е0 розв'язок x(t,u) задачі Коші (4.1) визначений і єдиний при t ? 0 та лежить в області D.

Множину таких керувань u(t) позначимо .

Поставимо у відповідність задачі (4.1), (3.6) при t ? 0 усереднену задачу (4.2), (3.7), де . Множину допустимих керувань позначимо . Позначимо .

Будемо вважати, що для усередненої системи (4.2) виконується умова:

(A7) розв'язок y(t,) є експоненціально стійким, тобто існує у > 0 таке, що при виконанні нерівності |y(t0,)?y1(t0,)| < у справедливою буде нерівність

|y(t,)?y1(t,)| < N|y(t0,)?y1(t0,)|e?б(t?t0), t ? t0,

де N, б - деякі додатні сталі, y1(t,) - розв'язок системи (4.2).

У підрозділі 4.2 знайдено явний вигляд е0, що при 0 < е < е0 можна встановити явні оцінки близькості (за малим параметром) розв'язків точної та усередненої систем у нелінійному та лінійному за керуванням випадках.

Лема 4.1. Нехай на множині Q={t ? 0, x D Rn, u U Rm} виконані наступні умови:

1)X(t,x,u) - вимірна по t, обмежена cталою K та задовольняє умову Ліпшиця по x та u з константою M;

2)розв'язок =(t,u0), (0,u0)=x0 усередненої системи (2.10) визначений при t ? 0 і лежить в області D разом з деяким с-околом, причому с не залежить від u0 та е, де u0 довільна фіксована точка з U.

Тоді для довільного T > 0 існує , що для довільного 0 < е < е0 розв'язок x(t,u) задачі (2.1) та розв'язок y(t,u) усередненої задачі (2.3) визначені на [0,], і справедлива оцінка

|x(t,u)?y(t,u)| ? Cе,

дe C=eMT(2MCц+KИ(2+MT)).

Лема 4.2. При виконанні умов 4.1) - 4.3) та умови (A5) для довільного T

> 0 існує , що при 0 < е < е1 розв'язок x(t,u) точної системи (4.1) визначений на [0,], і для кожного допустимого керування справедлива оцінка

|x(t,u) ? y(t,u)| ? , t [0,],

де .

Лема 4.3. Нехай на множині Q={t ? 0, x D Rn, u U Rm} виконуються умови:

1)X(t,x,u) - вимірна по t, cталою K та задовольняє умову Ліпшиця по x та u з константою M;

2)виконуються умови (A1) та (A6).

Тоді для довільного 0 < е < , де , розв'язки точної системи (2.1) та усередненої системи (2.3) визначені при t ? 0, та виконується оцінка |x(t,u) ? y(t,u)| ? еC0 для кожного керування u(t), що задовольняє умови a1) та b1), де , , .

Лема 4.4. При виконанні умов 4.4)-4.6), (A5) та (A8) для довільного 0 < е < , де , розв'язок системи (4.1) визначений при t ? 0, та справедлива оцінка

|x(t,u) ? y(t,u)| ?

де , , .

У підрозділі 4.3 отримано оцінки близькості (за малим параметром) відповідних критеріїв якості для точних та усереднених систем.

Теорема 4.1. Нехай на множині Q={x D Rn, t ? 0, u U Rm} справедливі умови леми 4.1 та виконуються умови:

3) функція Ц(x) задовольняє умову Ліпшиця з константою L в області D;

4) існує оптимальне керування u*(t,е) задачі (2.3), (2.4).

Тоді для будь-якого T > 0 існує таке, що для довільного 0 < е < е0 справедливі наступні твердження:

а) J* > - ?;

б) виконується нерівність |J(u*(t,е))?J*| ? е(2LC+1),

де C=eTM(2MCц+KИ(2+ MT)).

Теорема 4.2. При виконанні умов 4.1) - 4.3) та умови (A5) точна задача (4.1), (2.7) та усереднена задача (4.2), (2.9) мають розв'язки, і для довільного T > 0 існує , що при 0 < е < е1 виконується нерівність

|J*?J()| ? ,

де - оптимальне керування усередненої задачі (4.2), (2.9),

.

Теорема 4.3. Нехай на множині Q={t ? 0, x D Rn, u U Rm} виконуються умови леми 4.3 та існує оптимальне керування u* усередненої задачі (2.1), (3.1). Тоді існує таке , що для довільного 0 < е < справедливі наступні твердження:

а) J* > - ?;

б)виконується нерівність |J(u*)?J*| ? е(1+2Cг)C0,

де , , .

Теорема 4.4. При виконанні умов 4.4) - 4.6), (A5) та (A7) точна задача (4.1), (3.6) та усереднена задача (4.2), (3.7) мають розв'язки, і для довільного 0 < е < , де , виконується нерівність

,

де - оптимальне керування усередненої задачі (4.2), (3.7),

, , .

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню задач оптимального керування звичайними диференціальними рівняннями за допомогою методу усереднення. А саме, встановлено умови існування оптимального керування точної та усередненої задач керування та обґрунтувано оцінки близькості значень критеріїв якості точних систем на оптимальних керуваннях усереднених систем до точних нижніх граней цих критеріїв. Відповідні результати отримані у нелінійному випадку та у випадку лінійної за керуванням задачі на асимптотично скінченних інтервалах та на півосі. При цьому у випадку періодичної правої частини керованих систем оцінки близькості (за малим параметром) можна виписати у явному вигляді.

В дисертаційній роботі отримано наступні основні результати:

- доведено твердження про близькість розв'язків точних та відповідних усереднених систем на асимптотично скінченних інтервалі та на півосі у нелінійному випадку та у випадку лінійних за керуванням задач;

- встановлено умови, при яких оптимальне керування усередненої задачі є з-оптимальним для точної задачі у нелінійному випадку та у випадку лінійних за керуванням задач на скінченному часовому інтервалі та на півосі;

- доведено існування оптимального керування вихідної задачі оптимального керування та відповідної усередненої задачі у випадку лінійної за керуванням системи;

- одержано явні оцінки близькості (за малим параметром) розв'язків точної та відповідної усередненої систем на скінченному часовому інтервалі та на півосі у випадку періодичної правої частини;

- отримано оцінки близькості (за малим параметром) відповідних критеріїв якості для точних та усереднених систем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Носенко Т.В. Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування / Т.В. Носенко, О.М. Станжицький // Нелінійні коливання. - 2008. - Т.11, №4.- С. 512 - 519.

2. Добродзій Т.В. Дослідження задач оптимального керування системами диференціальних рівнянь, лінійних по керуванню, методом усереднення / Т.В. Добродзій // Український математичний вісник. - 2009. - Т.6, №2. - С. 150 - 172.

3. Добродзій Т.В. Метод усереднення в задачах керування періодичними системами / Т.В. Добродзій // Нелінійні коливання. - 2010. - Т.13, №2. - С. 147 - 154.

4. Добродзій Т.В. Метод усереднення в задачах оптимального керування періодичними системами, що лінійні за керуванням / Т. В. Добродзій // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук. праць. Математика. - 2010. - Вип.501. - С. 20 - 23.

5. Станжицкий А. Н. Исследование задач оптимального управления на полуоси методом усреднения / А.Н. Станжицкий, Т.В. Добродзий// Дифференц. уравнения. - 2011. - Т.47, № 2. - С. 264 - 277.

6. Носенко Т.В. Метод усереднення в деяких задачах оптимального керування / Носенко Т.В.// Міжн. наук. конф. "Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування" з нагоди 70-річчя з дня народження акад. НАН України А.М. Самойленка, 16 - 21 червня 2008 р., Мелітополь: тези доп. конф. - Київ, 2008. - С. 85 - 86.

7. Dobrodzii T. V. Research of problems of optimal control of differential equations' systems, which are linear with respect to control, by averaging method / T.V. Dobrodzii // The Nonlinear Analysis and Application: Materials of International Scientific Conference, 02 - 04 April 2009. - Kyiv, 2009. - P. 94 - 95.

8. Добродзій Т.В. Дослідження задач оптимального керування за допомогою методу усереднення на нескінченному інтервалі / Т.В.Добродзій// Dynamical System Modelling and Stability Investigation: International Conference, 27 - 29 May 2009:Thesis of conferense reports. - Kyiv, 2009. - P. 285.

9. Dobrodzii T.V. Investigation of optimal control problems by averaging method on infinite interval / T.V. Dobrodzii// Міжн. конф. до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди, 8 - 13 червня 2009 р.: тези доп. - Чернівці, 2009. - С. 232 - 233.

10. Stanzhytskyi O. Averaging method in optimal control problems for systems of ordinary differential equations [Електронний ресурс] / O. Stanzhytskyi,T. Dobrodzii// Український математичний конгрес, 27 - 29 серпня 2009 р.: тези доп. - Київ, 2009. - Режим доступу

http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/StanzhytskyiDobrodzii.html

11. Станжицкий А.Н. Метод усреднения в задачах оптимального управления системами дифференциальных уравнений / А.Н. Станжицкий, Т.В. Добродзий, В.И. Кравец // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: пятая междунар. конф., 9 - 10 октября 2009 г.: тезисы докл. - Актебе, 2009. - С. 115 - 117.

12. Добродзій Т.В. Метод усереднення в задачах керування періодичними системами / Т.В. Добродзій, В.В. Могильова // Международная летняя математическая школа памяти В.А. Плотникова, 9 - 14 серпня 2010 р.: тези доп. - Одеса, 2010. - С. 46.

13. Dobrodzii T.V. Averaging method in optimal control problem of periodic systems / T.V. Dobrodzii// Mathematical Analysis, Differential Equations and their Application: Bulgarian - Turkish - Ukrainian Scientific Conference, 15 - 20 September 2010: Abstracts. - Sunny Beach, 2010. - P. 16 - 17.

АНОТАЦІЯ

Добродзій Т.В. Метод усереднення в задачах оптимального керування звичайними диференціальними рівняннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011.

У дисертації досліджуються задачі оптимального керування звичайними диференціальними рівняннями методом усереднення. Отримані твердження про близькість розв'язків точних і відповідних усереднених систем в нелінійному випадку та і випадку лінійних за керуванням задач на асимптотично скінченних інтервалах та на півосі. В кожному із даних випадків знайдено умови, при яких оптимальне керування усередненої задачі є - оптимальним для точної задачі, тобто з точністю реалізує критерій якості точної задачі. Для лінійних за керуванням задач оптимального керування системами диференціальних рівнянь доведено існування оптимальних керувань точної та усередненої задачі. У випадку періодичної правої частини керованої системи виписані явні оцінки близькості (за малим параметром) розв'язків точної та відповідної усередненої систем та отримано оцінки близькості (за малим параметром) критеріїв якості.

Ключові слова: метод усереднення, оптимальне керування, усереднена система, близькість критеріїв якості, малий параметр.

АННОТАЦИЯ

Добродзий Т.В. Метод усреднения в задачах оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2011.

Диссертационная работа посвящена исследованию задач оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями с помощью метода усреднения. Изучение данных задач особенно актуально в сегодняшних условиях, поскольку с каждым годом возрастает необходимость рационального использования природных богатств, материальных ресурсов, человеческого труда. Таким образом, возникает потребность в использовании наилучшего из возможных вариантов управления определенным процессом.

Получены утверждения о близости решений точных и соответствующих усредненных систем в нелинейном случае и в случае линейных по управлению задач на асимптотически конечных интервалах и на полуоси. В каждом из этих случаев найдены условия, при которых оптимальное управление усредненной задачи является -оптимальным для точной задачи, т.е. с точностью до реализует критерий качества точной задачи. Для задач оптимального управления системами дифференциальных уравнений, линейных по управлению, доказано существование оптимальных управлений точной и усредненной задач. В случае периодической правой части управляемой системы получены явные оценки близости (по малому параметру) траекторий точной и соответственной усредненной систем, а также выписаны оценки близости (по малому параметру) критериев качества.

Ключевые слова: метод усреднения, оптимальное управление, усредненная система, близость критериев качества, малый параметр.

ABSTRACT

Dobrodzii T.V. Averaging method in optimal control problems of ordinary differential equations. - Manuscript.

Dissertation for scientific degree of a candidate of physical and mathematical statistics on speciality 01.01.02 - differential equations - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2011.

In the dissertation the optimal control problems of ordinary differential equations are investigated by averaging method. Statements of proximity for solutions of original systems and corresponding averaged systems are obtained in the nonlinear case and in the case of linear control problems on asymptotically finite intervals and on semiaxis. In each of these cases the conditions under which the optimal control of averaged problem is -optimal for original problem are found. That is means, it implements cost functional of the original problem with accuracy . The existence of optimal controls for original and averaged problems in the case of linear with respect to control systems of differential equations is proved. In the case of time-periodic right-hand side of controlled system the explicit estimations of proximity (with a small parameter) of solutions of original and corresponding averaged systems are obtained. Also the estimations of proximity (with a small parameter) of cost functionals are presented.

Key words: averaging method, optimal control, averaged system, proximity of cost functionals, small parameter.

Размещено на Allbest.ru

...