Напівгрупи монотонних функцій та вільні піднапівгрупи топологічних напівгруп

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

УДК.512.534

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

НАПІВГРУПИ МОНОТОННИХ ФУНКЦІЙ ТА ВІЛЬНІ ПІДНАПІВГРУПИ ТОПОЛОГІЧНИХ НАПІВГРУП

Дорошенко Вадим Валерійович

Київ 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, Олійник Андрій Степанович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри та математичної логіки

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Любашенко Володимир Васильович, Інститут математики НАН України провідний науковий співробітник відділу топології;

кандидат фізико-математичних наук Дяченко Сергій Миколайович, Національний університет ''Києво-Могилянська Академія'', старший викладач кафедри математики.

Захист відбудеться «16» травня 2011 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 4е, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці ім. М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий «7» квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.М. Журавльов

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

напівгрупа множина натуральний

Актуальнiсть теми. Теорія напівгруп перетворень відіграє важливу роль в теорії напівгруп. Однією з причин цього є узагальнення теоретико-групової теореми Келі, за яким довільна напівгрупа може бути ізоморфно вкладена в напівгрупу перетворень деякої множини. Якщо на множині запроваджена деяка структура (наприклад, відношення порядку, метрика, топологія), то природно розглядати напівгрупи тих перетворень, які узгоджені з цією структурою. Зокрема, класичними прикладами напівгруп перетворень є напівгрупи ізотонних відображень, тобто тих перетворень частково впорядкованої множини, які узгоджені з відношенням часткового порядку. Дослідження напівгруп ізотонних відображень проводилися багатьма авторами, в тому числі А.Я.Айзенштат, Б.М.Шайном, Ю.М.Важеніним, Л.А.Скорняковим, А.Умаром. Для множин натуральних та цілих чисел з природніми відношеннями строгого лінійного порядку на них відповідні напівгрупи називаються напівгрупами монотонних функцій. Ці, а також інші нескінченні напівгрупи перетворень природно розглядати не лише як дискретні напівгрупи, а як топологічні, чи навіть метричні напівгрупи.

Поряд із вивченням чисто алгебраїчних властивостей нескінченних топологічних напівгруп природним є розгляд їхньої будови по відношенню до топології, яка задана на цій напівгрупі. Зокрема, тут можна розглядати топологічні властивості множин таких наборів елементів напівгрупи, які породжують напівгрупи з тими чи іншими властивостями, зокрема вільні напівгрупи. Це приводить до поняття майже вільної напівгрупи, аналогічного поняттю майже вільної групи, введеному раніше. Властивість майже вільності виконується для широкого классу груп: нерозв'язних скінченновимірних груп Лі Epstein D. B. Almost all subgroups of a Lie group are free / D. B. Epstein // Journal of Algebra. --- 1971. --- Vol.19. --- P.261-262., симетричної групи на множині натуральних чисел Dixon J. D. Most finitely generated permutation groups are free / J. D. Dixon // Bull. London Math. Soc. --- 1990. --- Vol.22. --- P.222-226., групи нескінченних унітрикутних матрицьHolubowski W. Most finitely generated subgroups of infinite unitriangular matrices are free / W. Holubowski // Bull. Austral. Math. Soc. --- 2002. --- Vol.66. --- P.419-423., проективних границь ітерованих вінцевих добутків груп підстановокBhattarcharjee M. The ubiquity of free subgroups in certain inverse limits of groups / M. Bhattarcharjee // Journal of Algebra. --- 1995. --- Vol.172. --- P.134-146.. П.Гартсайд та Р.Найт встановили достатню умову майже вільності для широкого класу топологічних групGartside P. M. Ubiquity of free subgroups / P. M. Gartside, R. W. Knight // Bull. London Math. Soc. --- 2003. --- Vol.35. --- P.624-634.. Цю умову вони застосували до деяких груп підстановок, груп Лі та проскінченних груп. Було доведеноAbert M. Group Laws and Free Subgroups in Topological Groups / M. Abert // Bull. London Math. Soc. --- 2005 --- Vol.37, №4. --- P.525-534., що локально компактні групи, в яких різні скінченні підмножини мають різні стабілізатори, є майже вільними. А.С.ОлійникОлийнык А.С. О свободных полугруппах автоматных преобразований / А. С. Олийнык // Математические заметки. --- 1998. --- Т.63, №2. --- С.248-259. ввів поняття майже вільності для топологічних напівгруп. Він довів, що напівгрупа автоматних перетворень є майже вільною. В. Голубовський Holubowski W. The ubiquity of free subsemigroups of infinite triangular matrices / W. Holubowski // Semigroup Forum. --- 2003.--- Vol.66, №2. --- P.231-235. довів майже вільність напівгрупи нескінченних унітрикутних матриць над скінченним полем. Аналогічні дослідження природно проводити для інших класів топологічних груп та напівгруп.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов'язана з дослiдженнями кафедри алгебри i математичної логiки Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка, якi ведуться за науково-дослiдною темою ``Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів'' (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета i задачi дослiдження. Дослідити напівгрупи монотонних та коскінченних монотонних відображень на множинах цілих та натуральних чисел. Описати в них незвідні системи твірних, визначальні співвідношення, групи автоморфізмів, відношення Гріна. Дослідити метризовані топологічні напівгрупи, які є майже вільними в топологічному сенсі.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії напівгруп, комбінаторної теорії напівгруп, теорії топологічних напівгруп.

Наукова новизна одержаних результатiв.

У дисертацiйнiй роботi отримано такi нові результати:

* Доведено, що в напівгрупах монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел не існує незвідних систем твірних.

* В напівгрупах коскіченних монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел описано незвідні системи твірних. Побудовано зображення цих напівгруп через твірні та визначальні співвідношення.

* У напівгрупах всіх монотонних та у напівгрупах коскінченних монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел знайдено групи автоморфізмів.

* Описано відношення спряженості та централізатори елементів з точністю до ізоморфізму у напівгрупі коскінченних монотонних функцій на множині натуральних чисел.

* Знайдено достатні умови за яких замкнена піднапівгрупи напівгрупи всіх перетворень множини натуральних чисел буде майже вільною. Доведено майже вільність напівгрупи всіх перетворень множини натуральних чисел, її піднапівгруп монотонних функцій та ін'єктивних фукнцій.

* Наведено достатню умову майже вільності повної метризованої топологічної напівгрупи.

Практичне значення одержаних результатів. Результати мають теоретичний характер. Запропонована техніка може бути використана при дослідженні напівгруп ізотонних відображень, вільних піднапівгруп в топологічних напівгрупах, нескінченних напівгруп перетворень.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, викладені в розділах 2-4, одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на семінарі ``Теорія груп та напівгруп'' у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, а також на конференціях:

* V Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (м. Одеса, 2005 р.);

* VI Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (м. Кам'янець- Подільський, 2007 р.);

* VII Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні (м. Харків, 2009 р.);

* Український математичний конгрес (м. Київ, 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації викладено в 4 наукових статтях, опублікованих в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України, та у 4 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 127 сторінок друкованого тексту. Список використаних джерел обсягом 5 сторінки містить 35 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У першому роздiлi наведено визначення основних понять та формулювання необхідних відомих результатів, які використовуються в дисертаційній роботі.

Нехай ? лінійно впорядкована множина. Позначимо символом множину всіх перетворень, які зберігають порядок , тобто таких перетвореннь , що для довільних з випливає . Тоді є піднапівгрупою повної напівгрупи перетворень множини , яка складається з усіх строго зростаючих функцій. Назвемо перетворення коскінченним, якщо множина скінчена. Позначимо через множину всіх коскінченних перетворень з . Легко бачити, що є піднапівгрупою .

Будемо позначати через і множини всіх натуральних чисел і цілих чисел відповідно, з природно визначеними відношеннями лінійних порядків на них. Кожне перетворення довизначимо в точці , поклавши . Далі під символом розуміється або . Для та позначимо

Оскільки ? строго зростаюча функція, то . Назвемо число висотою стрибка функції в точці . Будемо говорити, що має стрибок в , якщо .

Твердження 1.9. Для довільних перетворень виконується рівність .

Визначимо перетворення наступним чином

Зауважимо, що для перетворення можна розглядати як елемент напівгрупи .

Другий розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню напівгруп монотонних функцій та коскінченних монотоних функцій на множині натуральних чисел.

В підрозділі 2.1 розглядається питання про наявність незвідної системи твірних у напівгрупі . Спочатку на напівгрупі вводяться допоміжні бінарні відношення та наступним чином: для функцій має місце , якщо для довільного виконується , і має місце , якщо та .

Твердження 2.2. 1) Відношення є нестрогим частковим порядком на .

2) Відношення є строгим частковим порядком на .

3) Нехай . Тоді і . Якщо , то і

4) Нехай . Тоді з того, що або випливає, що .

Далі доводиться лема, яка описує елементи напівгрупи , що розкладаються в нетривіальний добуток.

Лема 2.2. Нехай та виконується одна з наступних умов:

1) перетворення має не менше стрибків;

2) перетворення має тільки стрибок, висотою не менше .

Тоді існують перетворення

Використовуючи введений порядок, його властивості з твердження 2.2 та лему 2.2 доводиться

Теорема 2.1. В напівгрупі немає мінімальної системи твірних.

В підрозділі 2.2 описуються незвідні системи твірних напівгрупи та знаходиться задання напівгрупи через твірні та співвідношення.

Теорема 2.2. Напівгрупа має єдину незвідну систему твірних, а саме

Відносно єдиної системи твірних знаходяться визначальні співвідношення.

Теорема 2.3. Наступні співвідношення виконуються в напівгрупі

Нехай ? вільна напівгрупа з базисом .

Означення 2.1. Елемент вільної напівгрупи називається канонічним, якщо він має форму

Означення 2.2. Будемо говорити, що елемент напівгрупи записаний в канонічній формі, якщо слово є канонічним.

Лема 2.6. Кожен елемент напівгрупи може єдиним чином бути записаним в канонічній формі.

Лема 2.8. Множина всіх канонічних слів утворює зріз класів еквівалентності відношення .

Використовуючи леми 2.6 та 2.8 отримуємо теорему про визначальні співвідношення.

Теорема 2.3. Напівгрупа має наступне зображення твірними та визначальними співвідношеннями

При доведені теореми будується алгоритм зведення елемента напівгрупи до канонічної форми. Це доводить те, що проблема рівності слів в напівгрупі розв'язна.

В підрозділі 2.3 розглядаються відношення Гріна та групи автоморфізмів напівгруп та .

Теорема 2.5. В напівгрупах та всі відношення Гріна є відношеннями рівності.

Для опису груп автоморфізмів наводиться поняття лівого та правого дільника напівгрупи .

Нехай . Будемо говорити, що правий (лівий) дільник , якщо існує такий, що ().

Далі доводяться властивості, які будуть використані в доведенні теореми про автоморфізми.

Лема 2.9. Нехай ? це множина натуральних або цілих чисел. Елемент є правим дільником елемента тоді і тільки тоді, коли .

Теорема 2.6. Групи автоморфізмів напівгруп та тривіальні.

В підрозділі 2.4 досліджуються централізатори елементів напівгрупи .

Централізатором елемента напівгрупи називається множина всіх елементів , які комутують з ним.

Теорема 2.8. Нехай . Тоді централізатор ізоморфний піднапівгрупі , яка містить всі натуральні числа, починаючи з деякого, причому відображення є зануренням в .

Як наслідок маємо

Наслідок 2.3. Усі централізатори елементів напівгрупи є комутативними піднапівгрупами.

Наслідок 2.4. Всі комутативні піднапівгрупи напівгрупи ізоморфні піднапівгрупам напівгрупи натуральних чисел з операцією додавання.

Наслідок 2.5. Відношення бути перестановочними є відношенням еквівалентності на напівгрупі .

Твердження 2.3. Для довільної піднапівгрупи адитивної напівгрупи натуральних чисел, існує піднапівгрупа , яка їй ізоморфна.

В підрозділі 2.5 досліджується відношення напівгрупової спряженості в напівгрупі .

Для функції , позначимо

тобто місце першого стрибка функції .

Теорема 2.8. Елементи напівгрупи спряжені тоді і тільки тоді коли

та .

В підрозділі 2.6 досліджується ріст скінченно породжених піднапівгруп напівгрупи та існування в ній вільних некомутативних піднапівгруп.

Теорема 2.9. Всі скінченно породжені піднапівгрупи напівгрупи мають поліноміальний ріст.

З поліноміальності росту скінченно породжених піднапівгруп напівгрупи отримуємо

Наслідок 2.6.В напівгрупі не існує вільних некомутативних піднапівгруп.

На відміну від напівгрупи коскінченних монотонних функцій на множині натуральних чисел в напівгрупі всіх монотонних функцій на цій множині існують вільні піднапівгрупи.

Твердження 2.4. Елементи напівгрупи такі, що , породжують вільну піднапівгрупу рангу .

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню напівгруп монотонних функцій та коскінченних монотоних функцій на множині цілих чисел.

В підрозділі 3.1 доводиться, що напівгрупа не має незвідної системи твірних. Для цього послідовно визначається ряд вкладених одна в одну піднапівгруп напівгрупи таких, що з не існування системи твірних в меншій випливає не існування в більшій. В першу чергу доводиться допоміжна лема, що обгрунтовує цю техніку.

Лема 3.1. Нехай ? напівгрупа та ? піднапівгрупа така, що множина є ідеалом. Якщо не існує незвідної система твірних в піднапівгрупі , то не існує незвідної систем твірних в напівгрупі .

Позначимо через множину всіх таких перетворень з , множина стрибків яких обмежена знизу.

Лема 3.2. Множина є піднапівгрупою .

Лема 3.3. Множина є ідеалом в .

Отже, напівгрупа задовільняє умови леми 3.1.

Для перетворення визначимо .

Визначимо множину . Множина є піднапівгрупою напівгрупи .

Лема 3.5. Множина є ідеалом піднапівгрупи .

Отже, піднапівгрупа піднапівгрупи задовільняє умовам леми 3.1. Таким чином, достатньо довести відсутність незвідної системи твірних в піднапівгрупі .

Лема 3.6. Якщо перетворення таке, що , то існують такі , що та виконуються нерівності .

Позначимо .

З леми 3.6 випливає, що множина є системою твірних .

Лема 3.7. Множина є ідеалом .

Нехай та ? всі точки стрибків функції . Визначимо

якщо функція має не менше двох стрибків, та в іншому випадку.

Лема 3.8. Нехай . Якщо добуток належить множині , то виконуються нерівності .

Лема 3.9. Якщо , то існують функції такі, що виконується та .

Оскільки множина є ідеалом, то кожен елемент множини не може розкладатися в добуток елементів піднапівгрупи , який містить елементи з множини . Отже, в довільній системі твірних піднапівгрупи повинен бути елемент з . А тоді, використовуючи леми 3.8 та 3.9, розкладаємо цей елемент через інші твірні. Отримуємо теорему.

Теорема 3.1. Напівгрупа не містить незвідної системи твірних.

В підрозіділі 3.2 описано всі незвідні системи твірних напівгрупи . Всі вони є скінченними та їх зліченна кількість.

Теорема 3.2. Підмножина буде незвідною системою твірних напівгрупи тоді і тільки тоді, коли вона має вигляд

де функція така, що , та підмножина є незвідною системою твірних напівгрупи .

Підрозділ 3.3 присвячено знаходженню визначальних співвідношень напівгрупи відносно незвідної системи твірних .

Покладемо

де для ,

Нехай є вільною напівгрупою, що вільно породжена множиною . Визначимо

,

де , для , . Будемо називати слово канонічним, якщо воно має форму

Будемо говорити, що елемент напівгрупи записаний в канонічній формі, якщо слово є канонічним.

Зауважимо, що фактично система визначальних співвідношень будується відносно системи твірних .

Лема 3.14. Наступні рівності виконуються в

Лема 3.16. Кожен елемент з напівгрупи може бути однозначно записаний в канонічній формі.

Лема 3.17. Множина всіх канонічних слів утворює зріз відношення еквівалентності .

Використовуючи доведені леми отримуємо.

Теорема 3.5. Напівгрупа має наступне зображення твірними та визначальними співвідношеннями

В підрозіділі 3.4 досліджуються відношення Гріна в піднапівгрупах та .

Теорема 3.5. Нехай

або

Тоді

1) тоді і тільки тоді, коли існує таке, що для всіх : .

2) тоді і тільки тоді, коли існує таке, що для всіх : .

Теорема 3.6. 1) Нехай . Тоді тоді і тільки тоді, коли або .

2) В відношення і збігаються та тоді і тільки тоді, коли існують , такі, що .

Теорема 3.7. Нехай . Тоді

1) тоді і тільки тоді, коли існують , що .

2) тоді і тільки тоді, коли існують такі , що .

В підрозділі 3.5 досліджуються групи автоморфізмів напівгруп та .

Означення 3.3. Автоморфізм напівгрупи називається внутрішнім, якщо існує таке , що для довільного , .

Теорема 3.8. Групи автоморфізмів напівгруп та ізоморфні нескінченій циклічній групі. При цьому довільний автоморфізм кожної з цих напівгруп є внутрішнім.

В підрозділі 3.6 знайдено ріст напівгрупи .

Теорема 3.9. Напівгрупа має експоненціальний ріст.

Четвертий розділ присвячено вивченню майже вільних напівгруп.

В підрозділі 4.1 дається означення майже вільної топологічної напівгрупи.

Нехай ? топологічна напівгрупа. Для кожного визначимо множини

.

та

.

Теорема 4.2. Напівгрупа називається майже вільною, якщо для кожного множина є множиною другої категорії, а її доповнення є множиною першої категорії. Напівгрупа називається злічено майже вільною, якщо множина є множиною другої категорії, а її доповнення є множиною першої категорії.

Визначається природна метрика на напівгрупі , відносно якої множення є неперервним. Доводиться, що утворений метричний простір є повним.

В підрозділі 4.2 розглядаються повні метризовані топологічні напівгрупи з одиницею. Доводиться теорема про зв'язок майже вільності та зліченої майже вільності.

Теорема 4.1. Нехай є є повною метризованою топологічною напівгрупою. Тоді напівгрупа є майже вільною тоді і тільки тоді, коли вона є зліченно майже вільною.

Доводиться основний результат цього підрозділу ? достатня умова майже вільності. Означення 4.2. Підмножина топологічної напівгрупи називається комутативною якщо довільні два елемента з комутують. Інакше множина називається некомутативною.

Теорема 4.2. Нехай є повною метризованою топологічною напівгрупою з одиницею . Припустимо, що виконуються умови

1) топологічна напівгрупа містить вільну щільну піднапівгрупу;

2) довільний окіл одиниці є некомутативним.

Тоді топологічна напівгрупа є майже вільною.

В підрозділі 4.2 розглядаються майже вільні піднапівгрупи напівгрупи з введеною в підрозділі 4.1 метрикою .

Означення 4.3. Відображення називається майже ін'єктивними, якщо його звуження на деяку підмножину зі скінченним доповненням в множині є ін'єктивним.

Тобто відображення є майже ін'єктивними, якщо множина пар різних натуральных чисел таких, що , скінчена, що еквівалентно тому, що існує таке натуральне число таке, що для довільних натуральних виконується нерівність .

Означення 4.4. Нехай . Будемо говорити, що образ відображення майже міститься в множині , якщо множина

скінчена.

Визначимо наступні умови для напівгрупи .

Умова 4.1. Напівгрупа ? замкнена підмножина в метричному просторі .

Умова 4.2. Існують нескінчені множини такі, що для довільного відображення в довільному околі існують майже ін'єкції , для яких образ майже міститься в , а образ майже міститься в .

Має місце наступна теорема.

Теорема 4.3. Напівгрупа , що задовільняє умовам 4.1 і 4.2, є майже вільною.

Доведена теорема застосовна лише до напівгрупи з введеною метрикою, на відміну від теореми 4.2, але застосовувати її простіше, що видно з прикладів застосування. Найбільша складність застосування теореми 4.2 ? це побудувати вільну щільну піднапівгрупу.

В підрозділі 4.4 наводяться приклади застосування теорем 4.2 та 4.3. Доводиться, застосовуючи обидві теореми, що напівгрупа з метрикою є майже вільною.

Використовуючи теорему 4.2 доводиться, що напівгрупа автоматних перетворень на скінченному алфавіті є майже вільною.

Використовуючи теорему 4.3 доводиться, що напівгрупи всіх монотоних відображень, всіх неспадних, всіх ін'єктивних відображень натуральних чисел з метрикою є майже вільними.

Нехай нескінченна підмножина множини . Визначимо напівгрупу

Використовуючи теорему 4.3 доводиться, що напівгрупа з метрикою є майже вільною. Цим наведено приклад континуальної сім'ї майже вільних піднапівгруп напівгрупи .

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджуються напівгрупи перетворень монотонних функцій та топологічні напівгрупи, які є майже вільними.

Введено напівгрупи монотонних та коскінченних монотонних функцій на множині натуральних чисел ? , . Доведено, що в напівгрупі немає незвідної системи твірних, в той час як в напівгрупі існує єдина незвідна система твірних. Знайдено визначальні співвідношення напівгрупи відносно єдиної незвідної системи твірних. Доведено, що в напівгрупах та не існує нетривіальних автоморфізмів. Доведено, що всі відношення Гріна на напівгрупах та є відношеннями рівності. В напівгрупі описано спряженість та централізатори елементів з точністю до ізоморфізму. Доведено, що всі скінченно породжені піднапівгрупа напівгрупи мають поліноміальний ріст. Отже, вона не містить вільних піднапівгруп. Побудована вільна піднапівгрупа напівгрупи .

Введено напівгрупи монотонних та коскінченних монотонних функцій на множині цілих чисел ? , . Доведено, що в напівгрупі немає незвідної системи твірних. Описані всі незвідні системи твірних в напівгрупі . Знайдено визначальні співвідношення напівгрупи відносно триелементної системи твірних. Доведено, на напівгрупах та всі автоморфізми внутрішні, та група автоморфізмів ізоморфна адитивній напівгрупі цілих чисел. Знайдені відношення Гріна в обох цих напівгрупах. Доведено, що напівгрупа має експоненційний ріст.

Розглянута властивість майже вільності топологічних напівгруп. Наведена достатня умова, коли піднапівгрупа напівгрупи перетворень зліченної множини є майже вільною. Знайдена достатня умова, коли повна топологічна напівгрупа є майже вільної. Використовуючи ці умови доведено, що напівгрупи всіх перетворень зліченної множини, всіх ін'єктивних перетворень, всіх монотонних перетворень натуральних чисел, всіх автоматних перетворень на скінченному алфавіті є майже вільними. Побудовано приклад континуальної сім'ї піднапівгруп напівгрупи перетворень натуральних чисел, які є майже вільними.

Запропоновані в дисертаційній роботі методики можуть бути застосовані при дослідженні напівгруп монотонних функцій, напівгруп ізотонних перетворень, дослідження напівгруп перетворень та метризованих топологічних напівгруп на майже вільність.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику Олійнику Андрію Степановичу за постановку задач, постійну увагу і підтримку в роботі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

References

1. Doroshenko V. Generators and relations for the semigroups of increasing functions on and / V.Doroshenko // Algebra and Discrete mathematics. ? 2005. ? № 4. ? P. 1-15.

2. Дорошенко В. В. Про напівгрупи перетворень зліченних лінійно упорядкованих множин, які зберігають порядок / Дорошенко В. В. // Український математичний журнал. ? 2009. ? Т.61, №6. ? С.723-732.

3. Doroshenko V. Free subsemigroups in topological semigroups / Vadym Doroshenko // Semigroup Forum. ? 2009. ? V.79, №3. ? C. 427-434.

4. Дорошенко В. В. Большинство полугрупп преобразований свободны / Дорошенко В. В. // Математически заметки. ? 2010. ? Т.87, №3. ? С. 464-467

5. Doroshenko V. Generators and relations in semigroups of monotone functions / V. Doroshenko // 5th International Algebraic Conference in Ukraine (July 20-27, 2005). ? Odessa, 2005. ? P. 63.

6. Doroshenko V. On the centralizers in the semigroup of order preserving transformations / V.Doroshenko // 6th International Algebraic Conference in Ukraine, (July 1-7, 2007). ? Kamyanetz-Podilsky, 2007. ? P. 66-67.

7. Doroshenko V. Free subsemigroups in topological semigroups / Vadym Doroshenko // 7th International Algebraic Conference in Ukraine, (August 18-23, 2009). ? Kharkov, 2009. ? P. 42.

8. Doroshenko V. Free commutative subsemigroups in topological commutative semigroups / Vadym Doroshenko // Український математичний конгресс. ? 2009. ? http://www.imath.kiev.ua/ congress2009/Abstracts/Doroshenko.pdf

АНОТАЦІЯ

Дорошенко В. В. Напівгрупи монотонних функцій та вільні піднапівгрупи топологічних напівгруп. ? Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 ? алгебра і теорія чисел. ? Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2011.

Дисертаційна робота присвячена вивченню напівгруп монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел та властивості топологічних напівгруп бути майже вільними.

Введено напівгрупи монотонних та коскінченних монотонних функцій на множинах натуральних та цілих чисел ? , , , відповідно. Доведено, що в напівгрупах , немає незвідних систем твірних, в той час як в напівгрупі існує єдина незвідна система твірних, а в напівгрупі їх існує зліченна кількість та всі вони описані. Знайдено визначальні співвідношення напівгруп та . Доведено, що в напівгрупах та не існує нетривіальних автоморфізмів, а в напівгрупах та всі автоморфізми внутрішні та групи автоморфізмів цих напівгруп ізоморфні адитивній напівгрупі цілих чисел. В напівгрупі описано спряженість та централізатори елементів з точністю до ізоморфізму.

Розглянута властивість майже вільності топологічних напівгруп. Наведено дві достатні умови, коли піднапівгрупа напівгрупи перетворень зліченної множини є майже вільною. Використовуючи ці умови доведено, що напівгрупи всіх перетворень зліченної множини, всіх ін'єктивних перетворень, всіх монотонних перетворень натуральних чисел, всіх автоматних перетворень на скінченному алфавіті є майже вільними.

Ключові слова: напівгрупа, незвідна система твірних, група автоморфізмів, централізатор, ріст, топологічна напівгрупа, майже вільність топологічної напівгрупи.

АННОТАЦИЯ

Дорошенко В. В. Полугруппы монотонных функций и свободные полугруппы топологических полугрупп. ? Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 ? алгебра и теория чисел. ? Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2011.

Диссертационная работа посвящена изучению полугрупп монотонных функций на множествах натуральных и целых чисел и свойству топологических полугрупп быть почти свободными. Для полугрупп монотонных функций исследованы вопросы существования неприводимой системы образующих, определяющих соотношений, групп автоморфизмов, отношений Грина, роста. В исследовании почти свободности приведены два достаточных условия того, что топологическая полугруппа есть почти свободной.

Определены полугруппы монотонных и коконечных монотонных функций на множествах натуральных чисел ? , . Доказано, что в полугруппе не существует неприводимой системы образующих, в то время как в полугруппе существует единственная неприводимая система образующих. Найдены определяющие соотношения полугруппы относительно единственное неприводимое системы образующих. Доказано, что в полугруппах и не существует нетривиальных автоморфизмов. Доказано, что все отношения Грина на полугруппах и есть отношениями равенства. В полугруппе описано сопряженность и централизаторы элементов с точностью до изоморфизма. Доказано, что все конечно порожденные подполугруппы полугруппы имеют полиномиальный рост. Поэтому, она не содержит свободных подполугрупп. Построена свободная подполугруппа полугруппы .

Определены полугруппы монотонных и коконечных монотонных функций на множествах целых чисел ? , . Доказано, что в полугруппе не существует неприводимой системы образующих Описаны все неприводимые системы образующих полугруппы . Найдены определяющие соотношения полугруппы относительно трёхэлементной системы образующих. Доказано, что в полугруппах и все автоморфизмы внутренние и группы автоморфизмов этих полугрупп изоморфны аддитивной полугруппе целых чисел. Найдены отношения Грина в обеих этих полугруппах. Доказано, что полугруппа имеет экспоненциальный рост.

Рассмотрено свойство почти свободности топологических полугрупп. Приведено достаточное условие, чтобы подполугруппа полугруппы преобразование счетного множества была почти свободной. Найдено достаточное условие, когда полная метризуемая топологическая полугруппа есть почти свободной. Используя эти условия доказано, что полугруппы всех преобразований счетного множества, всех инъективных преобразований, всех монотонных преобразований натуральных чисел, всех автоматных преобразований на конечном алфавите есть почти свободными. Построен пример континуальной семьи подполугупп полугруппы преобразований натуральных чисел, что есть почти свободными.

Ключевые слова: полугруппа, неприводимая система образующих, группа автоморфизмов, централизатор, рост, топологическая полугруппа, почти свободность топологической полугруппы.

ANNOTATION

Doroshenko V.V. The semigroups of monotone functions and free subsemigroups of topological semigroups . ? Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.06 ? algebra and number theory. ? Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2011.

Thesis is devoted to study of the semigroups of monotone functions on the sets natural and integer numbers and to study of almost free sumsemigroups of topological semigroups.

The notions of semigroups , , , of monotone functions and co-finite monotone functions on the set of natural and integer numbers are introduced. It is proven that there are no minimal systems of generators in the semigroups , , the semigroup has the unique system of generators, the semigroup has countable set of minimal systems of generators and they are described. Defining relations for semigroups and are found. It is shown that there are no non-trivial automorphism in semigroups and . It is proven that all automorphisms of the semigroups and are internal and a group of automorphisms of these semigroups are isomorphic to additive semigroup of integers. In the semigroup conjugacy and centralizers with respect to isomorphism are found.

It is considered property of topological semigroup to be almost free. Two sufficient conditions are found for topological semigroup to be almost free. Using these conditions it is proven that semigroups of all transformations, all injective transformation, all monotone transformation of natural numbers, all automaton transformation over finite alphabet are almost free.

Keywords: semigroup, minimal system of generators, automorphism group, centralizer, growth, topological semigroup, almost freeness of topological semigroup.

Размещено на Allbest.ru

...