Метод интегральных преобразований
Определение интегральных преобразований для функции v(x), заданной на положительной полуоси. Общие свойства преобразований. Метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, основанный на редукции к уравнениям целого порядка.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 10.08.2015 |
| Размер файла | 233,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru//
Размещено на http://www.allbest.ru//
1.Определение
Для функции, заданной на положительной полуоси, определим интегральные преобразования
(1.1)
, (1.2)
В случае, когда м = 0 или д = 0, будем обозначать , . Если преобразования и применяются к функции, зависящей от нескольких переменных, то в случае необходимости с помощью нижних индексов будем обозначать переменную, по которой проводится преобразование. Например,
Интеграл (1.1) будет сходиться, если функцияинтегрируема на любом конечном отрезке положительной полуоси и выполняются асимптотические неравенства
(1.3)
Для сходимости (1.2) достаточно выполнения неравенств
(1.4)
где и -- положительные постоянные.
Далее будем считать, что функции, к которым мы будем применять преобразования (1.1) и (1.2), интегрируемы на любом конечном отрезке положительной полуоси и удовлетворяют условиям (1.3) для преобразования (1.1) и условиям (1.4) для преобразования (1.2).
2.Свойства преобразований. Общие свойства
Свойство 1. Справедливы соотношения
, (2.1)
Из определений (1.1) и (1.2) следует (2.1).
Свойство 2. Пусть интегралы
существуют и конечны. Тогда
.(2.2)
Соотношение (2.2) следует из (1.1) и (1.2) и доказывается с помощью изменения порядка интегрирования.
Отсюда, в частности, следует, что
3.Эволюционные уравнения
Здесь мы рассмотрим метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, основанный на редукции к уравнениям целого порядка.
Пусть Х - множество точек , а .
Рассмотрим уравнение
интегральный преобразование функция
(1)
дробного порядка б (0;1) относительно неизвестной функции , означает либо производную Римана-Лиувилля, либо производную в смысле Капуто. Через обозначен линейный оператор, зависящий только от , с областью определения-- заданная функция.
Предположим, что функция является решением уравнения
(2)
т.е. для любого фиксированного для любого фиксированного и удовлетворяет начальному условию
(3)
С помощью(4)и (5)получаем, что если:
l)
2) функции при любом фиксированном удовлетворяют асимптотическим неравенствам:
(6)
(относительно при и при );
3)и для любого фиксированного , то функция , определенная равенством
является решением уравнения (1) в случае производной Римана-Лиувилля и удовлетворяет начальному условию
(7)
(8)
(9)
Аналогично, из (8) и (9) следует, что если для любого фиксированного выполнены соотношения:
F(x,y)=
И
,
а также условие 2) (см. выше), то
есть решение уравнения
с начальным условием
(10)
Таким образом, вопрос о существовании и представлении решения задачи Коши для уравнения (1) с начальными условиями (7) (в случае производной Римана-Лиувилля) или (10) (в случае производной Капуто) сводится к решению задачи Коши (3) для уравнения (2).
Литература
Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М. Наука. 2005, 199с.
Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М. ФИЗМАТЛИТ. 2003, 272с.
Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Н.: КБНЦ РАН, 2005.
А.В. Псху, “Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре”, Докл. Адыгской (Черкесской) Международной АН, 6:1 (20
В.А. Нахушева, Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов, Изд-во КБНЦ РАН, Нальчик, 2002.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Аналитические свойства интегральных преобразований. Интеграл Коши на различных кривых. Аналитическая зависимость от параметра. Существование производных всех порядков у аналитической функции. Вывод формулы Коши и формулировка следствий из данной формулы.
курсовая работа [260,2 K], добавлен 10.04.2011От анализа Фурье к вейвлет-анализу. Некоторые примеры функций вейвлет-анализа в MATLAB. Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлет. Применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений. Вейвлеты пакета wavelet toolbox.
дипломная работа [1,5 M], добавлен 12.04.2014Методика нахождения различных решений геометрических задач на построение. Выбор и применение методов геометрических преобразований: параллельного переноса, симметрии, поворота (вращения), подобия, инверсии в зависимости от формы и свойств базовой фигуры.
курсовая работа [6,4 M], добавлен 13.08.2011Определение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду. Принцип построения разностных схем. Конечно-разностный метод решения задач. Двусторонний метод аппроксимации.
дипломная работа [603,8 K], добавлен 24.01.2013Уравнения Фредгольма и их свойства как классический пример интегральных уравнений с постоянными пределами интегрирования, их формы и степени, порядок формирования и решения. Некоторые приложения интегральных уравнений. Общая схема метода квадратур.
курсовая работа [97,2 K], добавлен 25.11.2011Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Теорема существования, единственности решения задачи Коши. Общее решение дифференциального уравнения, изображаемое семейством интегральных кривых на плоскости. Способ нахождения огибающей семейства кривых.
реферат [165,4 K], добавлен 24.08.2015Обоснование итерационных методов решения уравнений в свертках, уравнений Винера-Хопфа, с парными ядрами, сингулярных интегральных, интегральных с одним и двумя ядрами. Рассмотрение алгоритмов решения. Анализ учебных программ по данной дисциплине.
дипломная работа [2,2 M], добавлен 27.06.2014Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.
реферат [111,0 K], добавлен 24.08.2015Использование эквивалентных преобразований. Понятие основных замкнутых классов. Метод минимизирующих карт и метод Петрика. Операция неполного попарного склеивания. Полином Жегалкина и коэффициенты второй степени. Таблицы значений булевых функций.
контрольная работа [90,4 K], добавлен 06.06.2011Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013История возникновения дифференциальных исчислений. Изучение особенностей дифференциального уравнения I порядка. Описание соотношения, связывающего функцию и ее производные. Рассмотрение метода изоклин. Построение интегральных кривых методом изоклин.
курсовая работа [458,4 K], добавлен 17.02.2016Решение дифференциальных уравнений. Численный метод для заданной последовательности аргументов. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции. Применение шаговых методов решения Коши.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 16.12.2008Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) при решении задач аппроксимации функции в прикладной математике. Метод Гаусса с выбором главного элемента и оценка погрешности при решении системы линейных уравнений, итерационные методы.
контрольная работа [94,4 K], добавлен 04.09.2010Решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов с помощью метода Винера-Хопфа. Решение задач в случае бесконечного и полубесконечного промежутка. Применение метода Винера-Хопфа к уравнению Лапласа.
реферат [1,3 M], добавлен 18.05.2010Приведение к системе уравнений первого порядка. Разностное представление систем дифференциальных уравнений. Сеточные методы для нестационарных задач. Особенность краевых задач второго порядка. Разностные схемы для уравнений в частных производных.
реферат [308,6 K], добавлен 13.08.2009Содержание понятия, исследование свойств и применение различных методов решения функциональных уравнений. Порядок решения функциональных уравнений Коши на множестве Q рациональных чисел, на оси R, полуоси R. Измеримые функции и гиперболические косинусы.
дипломная работа [211,8 K], добавлен 01.10.2011Теоретическое обоснование расчетных формул. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Метод Рунге-Кутта. Ломаная Эйлера. Построение схем различного порядка точности. Выбор шага. Апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге.
курсовая работа [111,1 K], добавлен 13.11.2011Описание системы трехмерного визуализатора процесса дефрагментации с точки зрения системного анализа. Исследование преобразований состояний кубика Рубика с помощью математической теории групп. Анализ алгоритмов Тистлетуэйта и Коцембы решения головоломки.
курсовая работа [803,2 K], добавлен 26.11.2015Приведение уравнения к каноническому виду при помощи преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот кривой. Построение графика кривой в канонической и общей системах координат.
контрольная работа [133,5 K], добавлен 12.01.2011
