Математичне моделювання процесу рельєфоутворення в термопластичних середовищах

Размещено на http://allbest.ru

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

УДК 518.61

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ РЕЛЬЄФОУТВОРЕННЯ В ТЕРМОПЛАСТИЧНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

ПОТАПЕНКО Леонід Іванович

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі обчислювальної математики факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Грищенко Олександр Юхимович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, професор кафедри обчислювальної математики.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професорБулавацький Володимир Михайлович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник,

кандидат фізико-математичних наук, доцент Терещенко Василь Миколайович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики, доцент кафедри математичної інформатики.

Захист відбудеться “___“_________________2011р. о(об)___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архиві Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680, МСП, Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий “___” _________________ 2011р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ВАГІС О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У зв'язку з бурхливою комп'ютерізацією більшості сфер життя актуальним є дослідження різноманітних властивостей речовин, що могли використовуватися для збереження і запису інформації. Значне місце серед них посідають термопластичні матеріали. Дія світла на ці матеріали спричиняє цілий ряд процесів, внаслідок яких розм'якшуваний шар термопластика деформується, з утворенням геометричного рельєфу на вільній поверхні шару. Характер деформації залежить від інтенсивності випромінювання і, таким чином, несе інформацію про величину і характер модуляції випромінювання. Запис і відтворення голограм на термопластичних середовищах включає у себе комплекс різноманітних фізичних процесів, більшість з яких залежить від властивостей середовища. Дослідження цих процесів дозволяє визначити граничні можливості оптико-голографічного методу та розв'язати проблему створення носіїв запису та збереження інформації. Перші дослідження в цій області проведено в роботах Э. Берхарда, H.G. Budd, P.J. Cressman, W.E Glenn, М.Г. Находкіна та інших. Але ці процеси вивчені недостатньо повно, оскільки значна кількість невідомих параметрів, малі геометричні розміри області та дуже малі проміжки часу протікання процесу вносять значну складність у проведення фізичних експериментів. Тому актуальним є побудова математичних моделей, які адекватно описують термопластичне середовище і дозволяють моделювати фізичні процеси, які відбуваються при запису та збереженні інформації на термопластичних середовищах. Оскільки розплавлене термопластичне середовище може бути описано ньютонівською рідиною, процес проявлення прихованого зображення моделюється за допомогою систем рівнянь Нав'є - Стокса. Моделюванням термопластичного середовища займались М.Г. Находкін, H.G. Budd, U. Killat, М.Ю. Баженов, М.Г. Кувшинський, Ю.П. Гущо, І.І. Ляшко, А.Д. Бутенко, М.К. Новоселець та інші. Моделі, розглянуті в цих роботах, є спрощеними, недостатньо повними. В цих роботах моделювання гідродинамічних та теплофізичних процесів в термопластичному середовищі проводилось окремо. Використовувались лінеарізовані системи рівнянь. Крайові задачі розв'язувались за допомогою аналітичних методів. Для побудови повної моделі проявлення прихованого зображення треба сумісно враховувати гідродинамічні та теплофізичні процеси. Така модель є суттєво нелінійна. Для її реалізації необхідно використовувати чисельні методи.

Методи розв'язання нестаціонарних рівнянь Нав'є - Стокса започатковано в роботах І.Ю. Брайловської, О.А. Ладиженської, Р. Те- мама, О.М. Бєлоцерковського та інших. Подальший розвиток чисельних методів зроблено в роботах С.К. Годунова, О.А. Самарського, Г.І. Мар- чука, М.М. Яненко та їх учнів.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню процесу рельєфоутворення при проявленні прихованого зображення в термопластичних середовищах шляхом чисельного моделювання. В роботі узагальнено і удосконалено математичні моделі проявлення прихованого зображення. На базі цих моделей досліджуються закономірності утворення просторового рельєфу на поверхні термопластичного середовища під дією зовнішних сил. Для розв'язання задач, які отримані при побудові моделі, використовуються аналітичні та удосконалені в роботі чисельні методи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі обчислювальної математики Київського національного університету імені Тараса Шевченка згідно плану наукових досліджень у рамках бюджетних науково-дослідних тем № 01БФ015-06 “Моделювання та оптимізація інформаційних систем” (номер держреєстрації 0101V002178, 2001 - 2005) та № 06БФ015-04 “Теорія сингулярного оптимального керування системами з розподіленими параметрами” (номер держреєстрації 0106V005857, 2006 - 2010); госпдоговірних тем “Система підтримки прийняття адміністративних рішень на базі ГІС-технологій” (номер держреєстрації 0102U001162, 2003) та “Створення геофільтраційної моделі для уражених територій міста Києва грунтовими водами та інформаційної системи ДКП „Плесо” (номер держреєстрації 0104U007149, 2004).

Мета та завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у побудові та дослідженні математичних моделей процесу рельєфо- утворення при проявленні прихованого зображення.

Для досягнення цієї мети в роботі поставлено такі задачі:

- побудувати математичні та чисельні моделі процесу рельєфо- утворення при проявленні прихованого зображення;

- для детального дослідження моделей рельєфоутворення провести декомпозицію моделей на послідовність простіших моделей;

- розробити та обґрунтувати чисельні алгоритми для розв'язання нелінійної системи рівнянь Нав'є - Стокса та теплового балансу;

- провести дослідження температурного поля в термопластичному середовищі у випадку імпульсного нагрівання підкладки;

- розв'язати задачу оптимального керування імпульсним нагрівом термопластичного середовища при проявленні прихованого зображення;

- знайти аналітичний розв'язок задачі для ізотермічної лінеарізованої моделі проявлення прихованого зображення;

- дослідити вплив нормальних та тангенціальних поверхневих сил на розвиток геометричного рельєфу поверхні термопластичного шару при проявленні прихованого зображення;

- провести дослідження моделі проявлення прихованого зображення в умовах електрокапілярного ефекту;

- побудувати програмне забезпечення, яке реалізує чисельні моделі рельєфоутворення при проявленні прихованого зображення в термопластичних середовищах.

Об'єкт дослідження - моделі рельєфоутворення у термопластичних середовищах.

Предметом дослідження - розвиток математичних моделей рельєфоутворення у термопластичних середовищах та чисельних методів для розв'язання відповідних початково-крайових задач.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої мети використовувалась низка методів: для отримання аналітичного розв'язку - методи теорії збурень; для побудови чисельного розв'язку системи рівнянь Нав'є - Стокса і теплового балансу використовуються неявні різницеві схеми, для їх реалізації - ітераційні методи; для доведення збіжності ітераційного алгоритму використовується метод фон-Неймана.

Наукова новизна отриманих результатів. Наукова новизна результатів дисертаційної роботи полягає в удосконаленні та розвитку математичних моделей рельєфоутворення у термопластичних середовищах. Основні результати роботи, які виносяться на захист, полягають у наступному:

- узагальнено та удосконалено модель рельєфоутворення при про- явленні прихованого зображення та проведена декомпозиція моделі на простіші моделі;

- побудовано аналітичний розв'язок задачі для ізотермічної лінеа- різованої моделі;

- розроблено ітераційний алгоритм розв'язання нелінійної системи рівнянь Нав'є - Стокса і теплового балансу. Вперше отримано скінченно-різницеву модель для обчислення тиску. Досліджено збіжність алгоритму;

- проведений порівняльний аналіз впливу нормальної та танген- ціальної складових поверхневої сили на розвиток рельєфу поверхні темопластичного шару при проявленні прихованого зображення, отримано умови, при яких досягається найбільша амплітуда геометричного рельєфу при врахуванні електрокапілярного ефекту;

- уперше поставлено та розв'язано задачу оптимального керування нагрівом термопластичного середовища.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи мають практичний характер і можуть бути використані при моделюванні процесів гідродинаміки в'язкої рідини, рельєфографії тощо. Методика та програмне забезпечення використано в ДП НДІ “Оріон” (акт про використання програмного забезпечення від 24.06.2009) при розробках та виготовленні розрядних електродів з текстурованими поверхнями плазмових технологічних пристроїв.

Особистий внесок здобувача. Всі основні положення, теоретичні та практичні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Використані в дисертаційній роботі ідеї, положення чи гіпотези інших авторів мають відповідні посилання і використані лише для підкріплення ідей здобувача.

Роботи [4, 5, 13, 15-18] опубліковані без співавторів. У роботах [8, 14] здобувачеві належить побудова різницевих схем для рівняння теплового балансу, порівняльний аналіз результатів чисельних розрахунків з експериментальними результатами; в [1, 7] - побудова алгоритму розв'язання задачі проявлення прихованого зображення, розробка програмного забезпечення та проведення чисельних експериментів; у [2, 10] - постановка та розв'язування задачі оптимального керування імпульсним нагрівом термопластичного середовища; в роботі [3] - побудова ітераційного алгоритму розв'язування початково-крайової задачі для системи рівнянь Нав'є - Стокса; в [6] - отримання аналітичного розв'язку лінеарізованої системи рівнянь Нав'є - Стокса, в роботах [9, 11, 12] - побудова алгоритмів, проведення чисельних експериментів, порівняльний аналіз розрахункових результатів з результатами фізичних експериментів.

Апробація результатів дисертації. Oсновні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на конференціях та семiнарах: 5 Всесоюзна конференція “Бессеребряные и необычные фотографические процессы” (Суздаль, 1988); Всесоюзна конференція “Голографический корреляционный анализ и регистрирующие среды” (Київ, 1988); 6, 12 Міжнароднi конференції ім. академiка М. Кравчука (Київ, 1997, 2008), Міжнароднi конференції “Обчислювальна та прикладна математика” (Київ, 2002, 2004, 2009). У повному обсязі робота доповідалась на семінарах кафедр обчислювальної математики, моделювання складних систем, системного аналізу та теорії прийняття рішень Київського національного університету імені Тараса Шевченка, семінарі відділу математичних систем моделювання проблем екології та енергетики Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України.

Публікації. Автором опубліковано 18 статей та тез наукових конференцій, з яких за матеріалами дисертації опубліковано 5 статей у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, а також у 8 тезах міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Перелiк використаних джерел мiстить 115 найменувань. Повний обсяг роботи - 129 сторінок, у тому числі - 102 сторінки основного тексту, додатку, 19 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено актуальність теми дисертації, сформульовано мету роботи, показано наукову новизну, практичне значення роботи, апробацію отриманих результатів.

У першому розділі подається огляд наукових досліджень з тематики дисертаційної роботи. В цьому розділі приведені основні відомості щодо процесів рельєфоутворення в термопластичних середовищах, дано огляд робіт з моделювання процесів прихованого зображення в термопласичному середовищі, а також огляд чисельних методів розв'язання систем рівнянь Нав'є - Стокса для нестисливої в'язкої рідини.

Другий розділ присвячено побудові математичної моделі проявлення прихованого зображення в термопластичних середовищах. У цьому розділі також зроблено аналіз моделей прихованого зображення, які досліджуються в даній роботі, сформульовано ізотермічну лінеарізовану модель, знайдено аналітичний розв'язок лінеарізованої системи рівнянь Нав'є - Стокса.

Термопластична плівка являє собою тонкий шар полімерного напівпровідника. Експериментально встановлено, що термопластичне середовище при температурі, близькій до температури проявлення прихованого зображення, можна розглядати як ньютонівську рідину. Тому об'єкт моделювання процесу проявлення прихованого зображення може бути описаний системою рівнянь Нав'є - Стокса для в'язкої нестисливої рідини, а також рівнянням теплового балансу.

У загальному випадку така система рівнянь є досить складною, а її чисельне розв'язання в повному обсязі є обтяжливим. Ця обставина вимагає розумного спрощення математичної моделі. Тому вводиться ряд припущень, загальних для всіх моделей.

1. Моделювання процесу проявлення прихованого зображення будемо здійснювати в двовимірному випадку.

2. Оскільки рельєф поверхні незначний у порівнянні з характерними геометричними розмірами області, і є меншим від кроку сітки, тому область розв'язку задачі замінюємо наближено областю вважаючи рельєф незначним.

Специфіка моделі полягає у тому, що заряд розподілений на поверхні носія періодично. Тобто поверхневі сили є періодичними за змінною . Розв'язок задачі знаходимо в межах одного періода.

Розглядаємо випадок дії тільки поверхневих електростатичних сил. Об'ємними силами нехтуємо.

Ці припущення є загальними для всіх моделей, які будуть розглянуті в роботі. Крім прийнятого, при розгляді конкретних моделей будуть зроблені додаткові припущення.

З урахуванням розглянутих припущень система рівнянь з крайовими та початковими умовами, що описують процес проявлення прихованого зображення, може бути записана таким чином:

(1)

, (2)

, (3)

, (4)

, , (5)

, (6)

, , (7)

, (8)

. (9)

рельєфоутворення тепловий термопластичний

Система доповнюється умовами періодичності для функцій за змінною .

Система рівнянь замикається співвідношенням, яке визначає залежність в'язкості від температури:

, (10)

де - константа Больцмана, - енергія активації.

Геометричний рельєф поверхні обчислюємо за формулою:

, (11)

де - початковий рельєф.

Така модель є суттєво нелінійною. У процесі моделювання потрібно визначити параметри середовища , функції , а також потужність джерела так, щоб у момент часу

, (12)

де - задана функція, - час оптимального проявлення, тобто час, при якому для заданої просторової частоти утворюється максимальна амплітуда рельєфу поверхні.

Розв'язати задачу оптимального керування для нелінійної системи диференціальних рівнянь із складними крайовими умовами на даний час неможливо, тому для визначення невідомих величин проведена декомпозиція моделі на послідовність більш простих моделей.

Одною з таких моделей є ізотермічна лінеарізована модель.

За умови цієї моделі процес проявлення прихованого зображення носить ізотермічний характер, що легко здійснити при повільному проявленні прихованого зображення.

При побудові цієї моделі ми використовуємо спрощену систему рівнянь (1)-(11). У цій системі відсутнє рівняння переносу тепла (4) з відповідними йому крайовими та початковими умовами. В'язкість є незалежною від температури та координат. У рівняннях руху відсутні конвективні члени.

Отримана система рівнянь є лінійною, і тому є можливість знаходження аналітичного розв'язку задачі. В підрозділі 2.4 знайдений такий розв'язок цієї системи рівнянь у випадку відсутності тангенціальної складової поверхневої сили.

Отриманий аналітичний розв'язок дозволяє визначити кінетику розвитку геометричного рельєфу, розподіл основних змінних задачі (компоненти вектора швидкості та тиск) у початковий момент проявлення, тобто при дуже малих часах проявлення, а також отримати якісні характеристики проявлення для будь-якого часового інтервалу. Цей розв'язок використовується для порівняння розрахунків, отриманих наближеними методами розв'язання більш загальних задач проявлення прихованого зображення з метою достовірності отриманих результатів.

У третьому розділі роботи проведено розгляд неізотермічної моделі рельєфоутворення в термопластичних середовищах. Така модель є суттєво нелінійною. Для її дослідження застосувати аналітичні методи неможливо. Тому в цьому розділі основна увага приділяється розробці чисельних моделей, їх аналізу та методам їх розв'язання.

Для чисельного розв'язання системи рівнянь (1)-(11) побудовано неявну скінченно-різницеву схему, яка апроксимує систему рівнянь з порядком апроксимації . Для реалізації схеми запропоновано ітераційний процес:

, (13)

,

, (14)

(15)

де



У підрозділі 3.4 досліджено збіжність ітераційного процесу (13)-(15). Умови збіжності процесу встановлено в такій теоремі.

Теорема. Для збіжності ітераційного процесу достатніми є умови:

, . (16)

Наслідком теореми є умова практичного вибору просторових кроків сітки:

Основною складністю при побудові різницевих схем у змінних “швидкість-тиск” є розв'язання рівняння нерозривності в зв'язку з неможливістю визначити тиск в явному вигляді. У багатьох роботах ця складність вирішується шляхом обчислення тиску за допомогою рівняння Пуассона для функції тиску

.

У дисертації запропоновано інший метод знаходження функції тиску.

Використовуючи різницеві рівняння (13), (14) побудована консервативна різницева схема для обчислення тиску. Тобто отримане різницеве рівняння другого порядку апроксимації стосовно :

(17)

Де

(18)

, ,

Для розв'язання рівнянь (17), (18) застосовується ітераційний процес послідовної верхньої релаксації, який у нашому випадку має такий вигляд:

де - параметр релаксації ().

У четвертому розділі розглянуто моделі прихованого зображення, які отримані в результаті декомпозиції основної моделі. Для їх дослідження проведено обчислювальні експерименти на основі чисельного алгоритму, побудованого в третьому розділі.

Розглядається декомпозиція моделі щодо дії поверхневої сили прихованого зображення. Оскільки поверхнева сила може бути представлена у вигляді суми нормальної і тангенціальної складової сили, то досліджено моделі прихованого зображення окремо у випадку дії тільки нормальної і тільки тангенціальної складової сили.

Для кожного з цих випадків розглянуто дві часових області:

1) область малих часів проявлення, тобто така область часів, для якої ;

область великих часів проявлення, для цієї області - , або , де - час механічної релаксації рідини, визначений за формулою:

.

Результати обчислювальних експериментів показують, що гідродинамічна течія у тонких плівках у термопластику має свої закономірності, властиві як у випадку дії нормальних сил, так і тангенціальних, також кожний із цих випадків має свої особливості.

Установлено такі закономірності гідродинамічної течії, які характеризують обидва випадки (нормальних і тангенціальних сил):

- основні особливості гідродинамічної течії реалізуються в межах просторового періоду;

- в залежності від частоти величина амплітуди рельєфу має ділянки зростання при і спадання - при , де - частота, - довжина хвилі поверхневої деформації;

- в області малих часів коефіцієнт поверхневого натягу не впливає на рух рідини, і при цьому робота поверхневих сил дорівнює диссіпації енергії;

- в області великих часів проявлення на течію впливають капілярні сили, що призводить до зсуву в область більш низьких просторових частот, зменшенню швидкості росту амплітуди рельєфу, а потім і “заліковуванню” рельєфу.

Течія під дією тільки нормальних поверхневих сил має такі особливості:

- виконується співвідношення у випадку малих часів проявлення;

- під дією нормальних сил рідина перетікає з ділянок плівки, де в ділянки, де;

- оптимальний масштаб руху рідини дорівнює .

Течія під дією тільки тангенціальних поверхневих сил має такі особливості:

- присутність вихрового руху для визначеної області частот;

- виконується співвідношення у випадку малих часів про- явлення;

- рельєф утворюваний під дією тангенціальних сил значно посту- пається рельєфу, утворюваному під дією нормальних сил при .

У підрозділі 4.4 досліджується модель проявлення прихованого зображення за умови електрокапілярного ефекту. При цьому визначаються режими проявлення прихованого зображення, що забезпечують найбільшу амплітуду геометричного рельєфу поверхні реєструючого середовища при заданому значенні поверхневої сили на момент початку проявлення. Такі дослідження необхідні для визначення режимів проявлення прихованого зображення, що забезпечують найбільше можливе значення дифракційної ефективності при заданому значенні сил.

Дія електрокапілярного ефекту призводить до узагальнення поняття коефіцієнта поверхневого натягу, який визначається з такого виразу:

, (19)

де - діелектрична проникність термопластика.

Залежності заряду поверхні від часу визначається за формулою:

, (20)

де - постійна часу релаксації поверхневого заряду, логарифм якої лінійно залежить від температури реєструючого середовища:

, (21)

тут - постійна Больцмана, - енергія активації процесу релаксації потенціалу поверхні.

Електропровідність має активаційну залежність від температури

. (22)

Аналогічне співвідношення справедливе і для в'язкості:

, (23)

де - енергія активації в'язкої течії.

Наслідком останніх рівностей є узагальнене співвідношення Вальдена:

(24)

де .

Співвідношення Вальдена дозволяє встановити взаємозв'язок між величиною в'язкості розплаву полімеру і швидкістю спаду сили прихованого зображення. При цьому враховується експериментально встановлений факт відповідності швидкостей релаксації поверхневої щільності заряду та основної гармоніки сили прихованого зображення.

Для визначення оптимальних режимів проявлення за умови електрокапілярного ефекту досліджувалась математична модель (1)-(11). Істотною є умова (9), в якій замість коефіцієнта поверхневого натягу входить ефективний коефіцієнт поверхневого натягу , який обчислений за формулою (19).

Система рівнянь (1)-(11), при вищезазначених умовах, замикається співвідношеннями (19)-(22).

З метою встановлення оптимального режиму проявлення прихо- ваного зображення в результаті розрахунків визначалась кінетика геомет- ричного рельєфу поверхні прошарку при різноманітних значеннях .

Аналіз результатів обчислювального експерименту показує, що коли 1.05, оптимальний рельєф можна отримати при найбільш високій температурі проявлення.

При величина практично не залежить від температури. При величина оптимального рельєфу зростає зі зниженням температури, при якій відбувається візуалізація прихованого зображення.

При моделюванні прихованого зображення в неізотермічному режимі необхідно з'ясувати вплив зосередженого джерела тепла на границі термопластичного шару і підкладки, а також визначити функцію , яка входить у крайову умову (7) для системи рівнянь (1)-(11).

Оскільки швидкість руху речовини мала, то вплив кінетичної енергії на теплові процеси в термопластичному середовищі незначний. Тому була розглянута задача визначення кінетики розподілу температури в складній двошаровій області, включаючи підкладку і термопластичний прошарок:

, (25)

де - безрозмірна температура;

- коефіцієнт температуропровідності; - потужність джерела тепла; - дельта-функція Дірака;

- товщина підкладки, нижня межа якої знаходиться на поверхні, ;

- потужність, що виділяється на одиницю площі провідного прошарку, який вважається нескінченно тонким,

, (26)

, (27)

, (28)

. (29)

де - коефіцієнт теплопровідності середовища ,

Система рівнянь (25)-(29) доповнюється умовами періодичності для за змінною .

Розв'язуючи цю задачу ми знаходимо функцію - температуру провідного підшару, яка входить у крайову умову (7) системи рівнянь (1)-(11). В результаті чисельних експериментів також визначались важливі характеристики: залежність часу встановлення стаціонарного розподілу температури усередині термопластичного прошарку від потужності джерела і товщини , а також залежність різниці температур провідного підшару і вільної поверхні від товщини .

При розв'язуванні теплофізичної задачі ми вважали відомою величину - потужність імпульсу струму, за рахунок якого відбувається нагрівання термопластичного середовища.

Але важливою є відповідь на питання: якої потужності імпульс струму треба пропускати через струмопровідну плівку, щоб досягти на поверхні термоплас- тичного шару деякої наперед заданої технологічно обумовленої температури.

Сформулюємо поставлену задачу як задачу оптимального керування для краєвої задачі (25)-(29).

Оптимальне значення визначається з умов мінімуму такого функціоналу:

, (29)

де - деякий наперед заданий розподіл температури.

Для розв'язання цієї задачі будується допоміжна спряжена задача. Для знаходження розв'язку вихідної та спряженої крайових задач використовується метод скінченних різниць на нерівномірній сітці. Мінімум функціоналу знаходиться за градієнтним методом. На кожному кроці градієнтного методу послідовно розв'язуються пряма та спряжена задачі методом установлення і уточнюються значення функції у вузлах сітки за формулами градієнтного методу.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена математичному моделюванню процесу рельєфоутворення в термопластичних середовищах, зокрема розвитку методів чисельного моделювання для дослідження проявлення прихованого зображення.

В роботі узагальнено і удосконалено математичні моделі проявлення прихованого зображення. На базі цих моделей досліджуються закономірності виникнення просторового рельєфу на поверхні термопластичного середовища під дією зовнішних сил.

Основні результати дисертаційної роботи.

1. На основі рівнянь Нав'є - Стокса та теплового балансу узагальнено та удосконалено чисельну модель проявлення прихованого зображення.

2. Отримано аналітичний розв'язок задачі для ізотермічної лінеарізованої моделі проявлення прихованого зображення. Цей розв'язок дозволяє визначити кінетику розвитку геометричного рельєфу в початковий момент проявлення, отримати якісні характеристики проявлення для будь-якого часового інтервалу. Він використовується для тестування більш загальних моделей проявлення прихованого зображення.

3. Розроблені чисельні алгоритми для розв'язання нелінійної системи рівнянь Нав'є - Стокса та теплового балансу на основі неявної ітераційної різницевої схеми. Для обчислення функції тиску побудовано різницеве рівняння, яке є наслідком різницевого рівняння руху та закону збереження маси в різницевій формі. Проведено дослідження збіжності ітераційної різницевої схеми.

4. За допомогою проведення декомпозиції моделі досліджено вплив нормальних та тангенціальних поверхневих сил на розвиток геометричного рельєфу поверхні термопластичного шару при проявленні прихованого зображення.

5. Проведено дослідження та аналіз температурного поля в термопластичному середовищі у випадку імпульсного нагрівання підложки. З метою отримання потрібної температури на поверхні термопластичного середовища поставлена та розв'язана задача оптимального керування імпульсним нагрівом термопластичного середовища.

6. Побудувано програмне забезпечення, яке реалізує чисельні моделі рельєфоутворення при проявленні прихованого зображення. Методика та програмне забезпечення було використано при розробках та виготовленні розрядних електродів з текстурованими поверхнями плазмових технологічних пристроїв.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Ляшко И.И. Численное решение задачи проявления скрытого изображения в термопластических средах в случае переменной вязкости деформируемого слоя / Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Заболотный М.А., Потапенко Л.И. // Доклады АН УССР. Серия А. - 1984. - № 12. - С. 42-45.

2. Грищенко О.Ю. Моделювання оптимального температурного поля в термопластичному середовищі / Грищенко О.Ю., Потапенко Л.І., Стеля О.Б. // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 1998. - № 1(83). - С. 23-26.

3. Грищенко О.Ю. Про один ітераційний алгоритм розв'язування початково-крайової задачі для системи рівнянь Нав'є - Стокса / Грищен-ко О.Ю., Потапенко Л.І., Ляшко В.І. // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2001. - № 1. - С. 180-185.

4. Потапенко Л.І. Про збіжність скінченно-різницевої схеми для системи рівнянь Нав'є - Стокса / Потапенко Л.І. // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2002. - № 1(87). - C. 56-60.

5. Потапенко Л.І. Математичні моделі рельєфоутворення в термопластичних середовищах / Потапенко Л.І. // Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2007. - № 1(94). - C. 70-73.

6. Заболотный М.А. Особенности информационных свойств термопластических сред при временах проявления скрытого изображения меньше времени механической релаксации / Заболотный М.А., Потапенко Л.И. // Фундаментальные основы оптической памяти и среды. - 1984. - Вып.15. - С. 15-22.

7. Ляшко И.И. Численное решение задачи проявления скрытого изображения в термопластических системах / Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Заболотный М.А., Потапенко Л.И. // Фундаментальные основы оптической памяти и среды. - 1985. - Вып. 16. - С. 85-93.

8. Ляшко И.И. Численное исследование распределения температур в деформируемой среде при проявлении скрытого изображения в реальном масштабе времени / Ляшко И.И., Грищенко А.Е., Заболотный М.А., Потапенко Л.И. // Фундаментальные основы оптической памяти и среды. - 1986. - Вып. 17. - С. 7-12.

9. Заболотный М.А. Оптимальные режимы визуализации скрытого изображения в пленках карбазолсодержащих полимерных полупроводников / Заболотный М.А., Потапенко Л.И., Павлов В.А. // Фундаментальные основы оптической памяти и среды. - 1989. - Вып. 20. - С. 48-54.

10. Ляшко С.І. Оптимальне керування в задачах масопереносу / Ляш- ко С.І., Потапенко Л.І., Пришляк К.О., Стеля О.Б. // Волинський математичний вісник. - 1998. - № 5. - С. 97-100.

11. Заболотный М.А. Деформирование термопластического слоя нормальными поверхностными силами в неизотермическом случае / Заболотный М.А., Потапенко Л.И. // День науки. Физические процессы при регистрации голограмм в регистрирующих средах на основе полимерных полупроводников. (Тезисы докладов). - Киев. - 1987. - С. 68-69.

12. Заболотный М.А. О деформировании тонкой пленки полимерного полупроводника поверхностными силами при проявлении скрытого изображения в режиме с нарастающей температурой / Заболот- ный М.А., Потапенко Л.И. // Бессеребряные и необычные фотографические процессы: тезисы докладов 5 Всесоюзной конференции. - Суздаль. - 1988. - С. 41.

13. Потапенко Л.И. Определение оптимальных режимов визуализации скрытого изображения / Потапенко Л.И. // Голографический и корреляционный анализ и регистрирующие среды. Тезисы докладов. - Киев. - 1988. - С. 26.

14. Грищенко О.Ю. Чисельне моделювання температурного поля в деформованому середовищі / Грищенко О.Ю., Потапенко Л.І. // 6 Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука: 15-17 травня 1997. Матеріали конференції. - К., 1997. - С. 122.

15. Потапенко Л.І. Ітераційний алгоритм розв'язування задачі проявлення прихованого зображення в термопластичних середовищах / Потапенко Л.І. // Збірка тез міжнародної конференції «Обчислювальна та прикладна математика». - К., 2002. - C. 79.

16. Потапенко Л.І. Особливості гідродинамічної течії в термопластичних плівках у випадку дії нормальних і тангенціальних поверхневих сил / Потапенко Л.І. // Тези конференції «Обчислювальна та прикладна математика». Журнал обчислювальної та прикладної математики. - 2004. - № 2(91). - C. 125.

17. Потапенко Л.І. Математичне моделювання процесу рельєфоутворення в термопластичних середовищах / Потапенко Л.І. // 12 Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука: 15-17 травня 2008. Матеріали конференції. - К., 2008. - Т. 1. - С. 768.

18. Потапенко Л.І. Ізотермічна модель рельєфоутворення в термопластичних середовищах / Потапенко Л.І. // ІІІ Міжнародна конференція «Обчислювальна та прикладна математика». Матеріали конференції. - К., 2009. - С. 61.

АНОТАЦІЯ

Потапенко Л.І. Математичне моделювання процесу рельєфоутво-рення в термопластичних середовищах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2011.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню процесу рельєфоутворення при проявленні прихованого зображення шляхом чисельного моделювання.

В роботі узагальнено і удосконалено математичні моделі рельєфоутворення в термопластичних середовищах.

На базі цих моделей досліджуються закономірності виникнення просторового рельєфу на поверхні термопластичного середовища під дією зовнішних сил.

У роботі сформульовано математичну модель рельєфоутворення при проявленні прихованого зображення та проведено декомпозиція моделі на простіші моделі.

Отримано аналітичний розв'язок лінійної системи рівнянь Нав'є - Стокса, яка описує ізотермічну лінеарізовану модель.

Розроблений ітераційний алгоритм розв'язку нелінійної системи рівнянь Нав'є - Стокса і теплового балансу. Досліджено збіжність ітераційного процесу.

Проведений порівняльний аналіз впливу нормальної та тангенціальної складових поверхневої сили на розвиток рельєфу поверхні темопластичного шару при проявленні прихованого зображення.

Досліджено модель проявлення прихованого зображення за умови електрокапілярного ефекту.

Проведено дослідження температурного поля в термопластичному середовищі за умови імпульсного нагрівання термопластичного середовища.

Розв'язана задача оптимального керування імпульсним нагрівом термопластичного середовища.

Ключові слова: термопластичне середовище, проявлення прихованого зображення, рельєфоутворення, ньютонівська рідина, в'язкість середовища, рівняння Нав'є - Стокса.

АННОТАЦИЯ

Потапенко Л.И. Математическое моделирование процесса рельефообразования в термопластических средах. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН України, Киев, 2011.

Диссертационная робота посвящена исследованию процесса рельефообразования при проявления скрытого изображения в термо- пластических средах путем численного моделирования. В работе проведено обобщение и усовершенствование математических моделей рельефообразования. На базе этих моделей исследуются закономерности образования пространственного рельефа на поверхности термопласти- ческой среды под действием внешних сил.

В первом разделе рассматривается обзор научных результатов по тематике роботы. В этом разделе приведены основные сведения о процессе рельефообразования в термопластических средах.

Второй раздел посвящен построению математической модели про- явления скрытого изображення в термопластичних средах. В этом разделе проведен анализ моделей проявлении скрытого изображения, исследуемых в работе, сформулирована изотермическая линеари- зированная модель, построено аналитическое решение линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса, описывающей изотермическую линеаризированную модель.

В третьем разделе работы исследуется неизотермическая модель рельефообразования в термопластических средах. Такая модель является существенно нелинейной. Для ее исследования применяются численные методы. Для численного решения системы уравнений Навье - Стокса построена неявная конечноразностная схема. Для реализации схемы используется итерационный процесс. Исследована сходимость данного итерационного процесса. В этом разделе также получена конечно- разностная модель для вычисления давления.

В четвертом разделе рассмотрены модели скрытого изображения, полученные в результате декомпозиции модели. Для их исследования проведены вычислительные эксперименты на основе численного алгоритма, построенного в третьем разделе. Проведен сравнительный анализ влияния нормальной и тангенциальной составляющих поверх- ностной силы на развитие рельефа поверхности термопластического слоя при проявлении скрытого изображения. Исследована модель проявления скрытого изображения в условиях электрокапиллярного эффекта. Проведено исследование температурного поля в термопластической среде в условиях импульсного нагревания термопластической среды. Постав- лена и решена задача оптимального управления импульсным нагреванием термопластической среды.

Ключевые слова: термопластическая среда, проявление скрытого изображения, рельефообразование, ньютоновская жидкость, вязкость среды, уравнения Навье - Стокса.

ABSTRACT

Potapenko L.I. - Mathematical modeling of the formation of relief in the thermoplastic medium. - Manuscript.

The present thesis devoted to nomination for the degree of the Candidate in technical sciences, speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computing methods. - V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of NAS of Ukraine, Kyiv, 2011. This thesis is devoted the process of formation of relief in display of hidden image by the numerical modeling. The paper summarizes and improved mathematical models of the fotmation of relief in thermoplastic medium. Based on these models patterns of formation the spatial relief on the surface of thermoplastic medium under external forces are investigated.

The paper formulates mathematical model for the formation of relief in display of hidden image and conducted decomposition models into simpler models. An analytical solution of the linear system of Navier - Stokes equations, which describes the isothermal linearized model is obtained. The iterative algorithm of solution of nonlinear equations Navier - Stokes equations and thermal balance is developed. The convergence of the iterative process is investigated. The comparative analysis of the impact of normal and tangential components of surface forces on the development of surface relief of thermoplastic layer is obtained. A model display of hidden image in electrocapilary effect is investigated. A study of temperature field in the thermoplastic medium under pulse heating thermoplastic medium is made. The problem of optimal control pulse heating thermoplastic medium is solved.

Key words: thermoplastic medium, display of hidden image, manifestation latent image, the formation of relief, Newtonian fluid, the viscosity of the medium, the Navier - Stokes equations.

Размещено на Allbest.ru

...