Основы теории вероятностей и финансовой математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой математики

1. Садоводческий кооператив застраховал на год свои дачные дома от пожара. Каждый из 600 домовладельцев внес по 1500 рублей. Вероятность пожара (в одном доме) в течение года равна 0,005, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 120000 рублей. Какова вероятность того, что страховая компания понесет убыток?

Р(0)= 0,0498

Р(1)=0,1494

Р(2)=0,2240

Р(3)=0,2240

Р(4)=0,1681

Р(5)=0,1008

Р(6)=0,0504

Р(7)=0,0216

-- из таблицы распределения Пуассона.

2. Случайная величина - число выпадений тройки при четырех подбрасываниях игральной кости. Для этой случайной величины составить закон распределения, найти и построить функцию распределения, многоугольник распределения, найти вероятность того, что тройка выпадет менее двух раз.

Решение

Схема Бернулли.

Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

P_n(m) = C^m_np^mq^n-m

где C^m_n - число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.

P₄(0) = (1-p)ⁿ = (1-0.33)⁴ = 0.2015

P₄(1) = np(1-p)^n-1 = 4(1-0.33)^4-1 = 0.397

P₄(4) = pⁿ = 0.33⁴ = 0.01186

Математическое ожидание.

M[X] = np = 4x0.33 = 1.32

Дисперсия.

D[X] = npq = 4x0.33x(1-0.33) = 0.8844

Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.

x	0	1	2	3	4
p	0.2015	0.397	0.2933	0.09631	0.01186

3. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения случайной величины - числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти вероятность .

Решение.

В данном случае мы имеем дело с биномиальным законом с и . Случайная величина - число возвращенных в срок кредитов из трех выданных принимает значения: , , и . Соответствующие им вероятности , , и найдем, воспользовавшись формулой Бернулли: :

;

;

.

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

.

4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

Найти коэффициент , функцию распределения , вероятность .

Решение:

Найдем параметр A из условия:

Или

9/2*A^-1 = 0

Откуда, A = ²/₉

Функция распределения.

5. Отделение банка обслуживает 1000 клиентов, держащих свой вклад в этом банке. В данном интервале времени любой клиент независимо от остальных может провести операцию по вкладу с вероятностью 0,001. Какова вероятность того, что в данном интервале будет ровно 3 операции по вкладам?

Решение

Вероятность р мала, а число n велико. np = 1 < 10. Значит случайная величина Х - распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.

Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,m). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

Найдем ряд распределения X.

Здесь л = np = 1000*0.001 = 1

P(0) = e^{- л} = e^-1 = 0.3679

P(1) = лe^-л = 1e^-1 = 0.3679

Найдем вероятность того, что событие наступит ровно 5 раза.

P(x=5) = 0.00307

6. Для лица, дожившего до 25-летнего возраста, вероятность смерти на 26-м году жизни равна 0,005. Застрахована группа в 10000 человек 25-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 1200 рублей страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховая компания выплачивает наследникам 100000 рублей. Какова вероятность того, что к концу года страховая компания:

a) окажется в убытке;

b) ее доход превысит 6000000 рублей;

c) ее доход превысит 4000000 рублей?

7. Негосударственный пенсионный фонд начисляет по пенсионным счетам годовых. 1 января 2008 года вкладчик перечислил руб. Какие проценты будут начислены на эту сумму к 31 декабря 2012 года?

Решение.

С 1 января 2008 года до 31 декабря 2012 года пройдет лет. По основной формуле сложных процентов к 31 декабря 2012 года на пенсионном счете будет накоплена сумма

.

Поэтому проценты составляют

руб.

8. Вкладчик внес на счет руб. Банк гарантирует, что на протяжении двух ближайших лет эффективная годовая процентная ставка будет равна . Через два года банк установит процентную ставку на следующие два года. Известно, что новая ставка не выйдет за пределы промежутка . Что можно сказать о сумме, которая будет накоплена за четыре года?

Решение.

По основной формуле сложных процентов искомое накопление есть

.

Величина не выйдет за пределы отрезка . Поэтому можно гарантировать, что .

9. Эксперты негосударственного пенсионного фонда предполагают, что на протяжении ближайших пяти лет эффективная годовая процентная ставка будет равна . На протяжении следующего пятилетия ожидается годовая процентная ставка . Человек покупает десятилетнюю ренту с выплатой в конце каждого года 2000 руб. Подсчитайте ее стоимость.

Решение.

Приведенная ценность в настоящий момент пяти годовых платежей в моменты 1, 2, 3, 4, 5 равна

,

где символ указывает эффективную годовую процентную ставку на промежутке, который рассматривается в качестве единичного, т.е.

руб.

Приведенная ценность в момент пяти годовых платежей в моменты 6, 7, 8, 9, 10 равна

руб.

Чтобы привести эту сумму к моменту , умножим ее на , что даст руб. Итак, стоимость ренты есть 6704 руб.+4708 руб.=11412 руб.

Контрольная работа №1

1. Предположим, что в компании застраховано N = 1000 человек с вероятностью смерти в течение года q = 0, 4%. Компания выплачивает сумму b = 350000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Определите величину активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.

Решение.

Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы.

Прежде всего, мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного ущерба .

Поэтому

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина должна быть равной = 1,645, т.е. (от величины страхового пособия) или в абсолютных цифрах около 2687416 руб.()

2. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год. Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей таблице:

Страховая сумма	Причина смерти	Вероятность
100 000	Обычная	0,1
1 000 000	Несчастный случай	0,02

Относительная защитная надбавка равна 25%.

Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.

Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?

Решение.

Пусть - общее число проданных договоров. - выплаты по -му договору, - суммарные выплаты по всему портфелю, - относительная защитная надбавка, так что премия по одному договору равна .

По условию, . С другой стороны,

.

Поэтому

,

где - квантиль порядка 0,95 стандартного нормального (гауссовского) распределения.

Отсюда для искомого числа договоров имеем:

.

Поскольку для индивидуального договора,

,

,

,

Искомое число договоров равно

.

3. Компания «Продо» предполагает организовать групповое страхование жизни для своих сотрудников. Структура персонала приведена в следующее таблице:

Профессиональный класс	Число сотрудников	Страховая сумма	Вероятность смерти
1	50	1	0,1
2	50	1	0,2
3	100	2	0,1
4	100	2	0,2

Компания «Продо» предполагает внести в страховой фонд сумму, равную ожидаемым выплатам страховых возмещений.

Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму, равную определенной доле от размера ожидаемой выплаты. Размер этой доли определяется таким образом, чтобы с вероятностью 95% средств страхового фонда хватило для выплаты страховых возмещений.

Определите размер взноса для работников четвертого профессионального класса.

Решение.

Пусть - вероятность смерти сотрудника, - размер страховой суммы. Поскольку индивидуальные потери по договору принимают только два значения: 0 с вероятностью и с вероятностью , среднее значение индивидуальных потерь есть , а дисперсия - .

Предполагая независимость времен жизни сотрудников компании, можно подсчитать среднее и дисперсию суммарных выплат для каждого профессионального класса. Для этого нужно среднее (соответственно дисперсию) индивидуальных потерь умножить на число работников в классе:

.

Результаты расчетов поместим в таблицу:

Класс	Число Сотрудников
1 2 3 4	50 50 100 100	1 1 2 2	0,1 0,2 0,1 0,2	0,1 0,2 0,2 0,4	0,09 0,16 0,36 0,64	5 10 20 40	4.5 8 36 64

Чтобы получить среднее значение (дисперсию) суммарных выплат для всего портфеля, нужно сложить средние (дисперсии) суммарных потерь для всех четырех профессиональных классов, так что

, .

Размер страхового фонда равен . По условию, должно быть верно равенство

,

или, что то же самое,

.

Применяя гауссовское приближение для центрированной и нормированной величины общих выплат, мы имеем:

.

.

В рассматриваемой ситуации это равенство примет вид:

.

Соответственно защитная надбавка для работников четвертого профессионального класса равна . Иначе говоря, .

Контрольная работа №2

1. Женщина в возрасте 40 лет приобрела пожизненную страховую ренту, предусматривающую ежегодные выплаты в размере 50000 рублей, начиная с возраста 55 лет. Эффективная процентная ставка . Найти стоимость полиса.

Решение.

Величина ежегодных выплат, обозначим ее , равна

.

- актуарная современная стоимость отложенной пожизненной ренты, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).

.

.

2. Женщина в возрасте 25 лет покупает страховую ренту с ежемесячными страховыми выплатами в размере 500 д.е., начиная с возраста 55 лет. Она намеревается оплатить стоимость полиса посредством ежегодных премий, уплачиваемых в начале каждого года в течение 20 лет. Найти величину ежегодных нетто-премий, если эффективная процентная ставка .

Решение

3. Мужчина в возрасте 30 лет приобрел полис пожизненного страхования в размере 200000 рублей, с выплатой в конце года смерти. Стоимость полиса он будет оплачивать посредством серии платежей в начале каждого года в течение всей своей жизни. Найти размер ежегодных взносов.

Решение

Стоимость полиса, обозначим ее , равна

.

- ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования.

.

.

4. Мужчина в возрасте 55 лет заключил договор страхования. Найти актуарную современную стоимость пятилетней временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в конце года в размере 30000 рублей. Эффективная годовая процентная ставка .

Решение.

Актуарная современная стоимость временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу равна

,

актуарный распределение гауссовский величина

где - коэффициент дисконтирования.

Тогда искомая величина, обозначим ее , равна

.

.

Возраст,
55	59859
56	57831
57	55857
58	53940
59	52070

.

.

5. Мужчина в возрасте 37 лет покупает за 100000 рублей пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет. Эффективная процентная ставка . Найти величину ежемесячных выплат.

Решение.

Искомая величина ежегодных выплат равна ,

где - актуарная современная стоимость пожизненной отложенной ренты.

.

Тогда величина ежегодных выплат равна .

Величина ежемесячных выплат равна .

6. Женщина в возрасте 39 лет приобрела пожизненный страховой полис, по которому в случае ее смерти наследники должны получить 100000 рублей. Эффективная процентная ставка . Найти стоимость полиса.

Решение.

Стоимость полиса, обозначим ее , равна

.

- ожидаемая текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования.

.

.

7. Родители шестилетней девочки приобрели полис по оплате получения ребенком высшего образования по достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость 100000 рублей в год. Эффективная процентная ставка . Найти величину ежемесячных взносов.

Решение.

Стоимость полиса равна

,

Где - актуарная современная стоимость отложенной временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу.

- отложенная на лет временная пожизненная рента для человека возраста лет, выраженная через коммутационные числа и (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).

Тогда

.

8. Страхователь (мужчина) в возрасте 51 года заключил договор страхования жизни сроком на 9 лет (норма доходности - 5%). Найти ежегодную нетто-ставку в процентах (%).

Решение.

Ежегодная нетто-ставка (НС) при страховании жизни сроком на лет, вычисленная через коммутационные числа (коммутационные функции) на единицу страховой суммы, равна

,

где - коммутационные числа (находят по таблице коммутационных чисел).

9. Страхователь (женщина) в возрасте 45 лет заключил договор страхования на дожитие сроком на 10 лет (норма доходности - 5%, страховая сумма - 80000 руб.). Найти величину ежегодных взносов.

Решение.

10. Мужчина в возрасте 44 лет заключил договор смешанного страхования жизни сроком на 6 лет (норма доходности - 5%, страховая сумма - 60000 руб.). Найти величину ежегодных взносов.

Решение.

.

Тема 2. Характеристики продолжительности жизни

1. Используя таблицу смертности, вычислить:

a) Вероятность того, что 20-летняя женщина доживет до 70 лет.

b) Вероятность того, что 25-летний мужчина умрет в возрасте от 40 до 45 лет.

c) Вероятность того, что 25-летний мужчина не умрет в возрасте от 40 до 45 лет.

d) Вероятность того, что 35-летний мужчина умрет в возрасте до 50 лет.

Решение.

а) Вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере лет

.

Тогда искомая вероятность

.

Б) Вероятность того, что 25-летний мужчина умрет в возрасте от 40 до 45 лет.

в) Вероятность того, что 25-летний мужчина не умрет в возрасте от 40 до 45 лет.

с) Вероятность для человека возраста лет умереть в течение ближайших лет равна

.

2. Рассмотрим двух мужчин в возрасте 30 и 40 лет и 35-летнюю женщину. Найти вероятность того, что 30-летний мужчина и женщина, прожив 20 лет, умрут в течение следующих 10 лет, а 40-летний мужчина не умрет на протяжении тех же 10 лет.

Решение.

Искомая вероятность представляет собой произведение вероятностей событий что 30-летний мужчина и женщина, прожив 20 лет, умрут в течение следующих 10 лет, а 40-летний мужчина не умрет на протяжении тех же 10 лет.

Найдем вероятность, что женщина, прожив 20 лет, умрет в течение следующих 10 лет

.

Найдем вероятность, что 30-летний мужчина, прожив 20 лет, умрет в течение следующих 10 лет

Найдем вероятность, что 40-летний мужчина не умрет на протяжении тех же 10 лет.

Искомая вероятность будет равна .

3. 30% людей из числа умирающих в возрасте от 25 до 75 л6т умирают, не достигнув 50 лет. Вероятность того, что 25-летний умрет, не достигнув 50 лет, равна 15%. Найти .

Решение:

1-0.30=0.7 Люди от 25-75 лет, которые не умирают в возрасте 50 лет.

1-0,15=0,88 Вероятность того, что 25 летний не умрет, не достигнув 50 лет.

4. Используя данные таблицы смертности, и предполагая равномерное распределение смертей в течение года найти:

a) Вероятность того, что 30-летний мужчина проживет 10 лет, но умрет в течение следующих трех месяцев.

b) Вероятность того, что женщина после выхода на пенсию умрет на протяжении двух месяцев.

Решение:

а) Вероятность того, что человек возраста лет проживет еще лет и умрет на протяжении последующих лет равна

.

б) В предположении равномерного распределения смертей искомая вероятность равна

.

Используя данные таблицы смертности, получим

.

5. Кривая смертей имеет вид . Найти:

a) функцию выживания ;

b) дисперсию времени жизни .

Решение.

a) Найдем неизвестный коэффициент из условия

.

Функция выживания

.

b) Дисперсия времени жизни вычисляется по формуле

.

.

.

6. Кривая смертей имеет вид Найти функцию выживания .

Решение.

c) Найдем неизвестный коэффициент из условия

.

Функция выживания

.

7. Интенсивность смертности задана формулой . Найти функцию выживания .

Решение.

Функция выживания через интенсивность смертности определяется по формуле

.

Тогда

8. Функция выживания задана формулой . Найти вероятность смерти человека в возрасте 39 лет в течение ближайших 10 лет.

Решение.

Вероятность (т.е. вероятность смерти человека возраста в течение ближайших лет) в актуарной математике обозначается . Тогда

9. Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 25 лет описывается законом де Муавра с предельным возрастом лет. Найти вероятность того, что этот человек проживет еще по крайней мере 25 лет.

Решение.

Вероятность (т.е. вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере лет) в актуарной математике обозначается :

Функция выживания в модели Муавра с предельным возрастом имеет вид

.

Тогда .

10. Функция выживания задана формулой . Найти вероятность того, что человек в возрасте 30 лет проживет еще по крайней мере 20 лет.

Решение.

Вероятность (т.е. вероятность того, что человек в возрасте лет проживет еще по меньшей мере лет) в актуарной математике обозначается :

Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни

1. Предположим, что продолжительность жизни описывается моделью де Муавра с предельным возрастом 100 лет, а эффективная годовая процентная ставка равна 11%. Подсчитайте нетто-премии для человека в возрасте 37 лет, если заключается договор:

а) пожизненного страхования;

б) 7-летнего смешанного страхования жизни;

в) пожизненного страхования, отсроченного на 3 года;

г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой суммой.

Решение.

Как мы знаем, остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное распределение на промежутке , значит, функция плотности имеет вид:

.

Интенсивность процентов , коэффициент дисконтирования . После этих предварительных замечаний приступим к расчетам:

а) для пожизненного страхования имеем

.

б) для смешанного 7-летнего страхования

.

в) для пожизненного, отсроченного на 2 года

.

г) для пожизненного, с непрерывно увеличивающейся страховой суммой

.

2. Страховая компания заключила 40000 договоров пожизненного страхования. Предположим, что остаточное время жизни каждого из застрахованных характеризуется интенсивностью смертность , которая не меняется с течением времени, а интенсивность процентов .

Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95% вероятность выполнения компанией своих обязательств.

Решение.

Подсчитаем вначале нетто-премию. В соответствии с формулой , где - плотность остаточного времени жизни. Поскольку нам известна интенсивность смертности, то мы можем найти функцию выживания

,

что, в свою очередь, дает формулу для плотности :

.

Теперь мы можем подсчитать нетто-премию:

.

Второй момент

,

следовательно, дисперсия

.

Теперь относительная страховая надбавка равна:

.

Соответственно премия есть

.

Напомним, что величина страховой суммы используется нами в качестве единицы измерения денежных сумм, так что, если, например, рублей, то рубля.

Размещено на Allbest.ru

...