Вероятности попадания при нормальном законе распределения для системы случайных величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Воронежская государственная технологическая академия

Кафедра ММиТС

Курсовая работа

На тему: «Вероятности попадания при нормальном законе распределения для системы случайных величин»

Выполнил: студент группы А-035

Милин В.Н.

Проверил: Никитин Б.Е

Воронеж 2005

Содержание

1. Нормальный закон на плоскости

2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду

3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания

5. Вероятность попадания в область произвольной формы

Список литературы

1.Нормальный закон на плоскости

Из законов распределения системы двух случайных величин имеет смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий большее распространение на практике. Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют нормальным законом на плоскости. В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулы:

(1.1)

Этот закон зависит от пяти параметров:

Смысл этих параметров нетрудно установить. Докажем, что параметры представляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин Х и Y; - их среднеквадратические отклонения; r -- коэффициент корреляции величин Х и Y.

Для того чтобы убедиться в этом, найдем прежде всего плотность распределения для каждой из величин, входящих в систему.

Согласно формуле:

Вычислим интеграл:



Предположим:

(1.2)

тогда:

Из интегрального исчисления известно, что:

*(1.3)

В нашем случае:

Подставим эти значения в формулу (1.3), имеем:

Откуда:

Или, учитывая формулу (1.2):

(1.4)

Таким образом, величина X подчинена нормальному закону с центром рассеивания и средним квадратическим отклонением . Аналогично покажем, что:

(1.5)

т.е. величина Y подчинена нормальному закону с центром рассеивания и средним квадратическим отклонением .

Для вычисления интеграла (1.3) достаточно показать степень до полного квадрата и после замены воспользоваться интегралом Эйлера-Пуассона.

Остается доказать, что параметр r в формуле (1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин Х и Y. Для этого вычислим корреляционный момент:

где - математические ожидания величин X и Y. Подставим в эту формулу выражение , получим:

, (1.6)

где

.

Произведем в интеграле (1.6) замену переменных:

(1.7)

Якобиан преобразования равен:

следовательно:

Учитывая, что

имеем:

(1.8)

Таким образом, доказано, что параметр r формуле (1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин Х и У.

Предположим теперь, что случайные величины Х и У, подчинены нормальному закону на плоскости, не коррелированны; положим формуле (1.1) r = 0. Получим:

(1.9)

Легко убедится, что случайные величины (X,Y), подчинены закону распределения с плотностью (1.9), не только коррелированны, но и независимы. Действительно

т. е. плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, а это значит что случайные величины (Х, У) независимы. Таким образом, для системы случайных величин, подчиненных нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость. Термины некоррелированные и независимые величины для случая нормального распределение эквивалентны. При r= 0 случайные величины (Х, У) зависимы. Нетрудно убедиться вычисляя условные законы распределения по формулам:

Проанализируем один из этих условных законов распределения, например f(y|x). Для этого преобразуем выражения плотности к виду:

Очевидно, это есть плотность нормального закона с центром рассеивания

(1.10)

и средним квадратическим отклонением

(1.11)

Формулы (1.10) и (1.11) показывают, что в условном законе распределения величины Y при фиксированном значении Х = x от этого значения зависит только математическое ожидание но не дисперсия.

Величина называется условным математическим ожиданием величины Y при данном х. Зависимость (1.IО) можно изобразить на плоскости хОу, откладывая условное математическое ожидание по оси ординат. Получится прямая, которая называется линией регрессии Y на Х. Аналогично прямая

(1.12)

есть линия регрессии Х мя У.Линия регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной зависимости Y от Х. При независимых Х и Y линии регрессии параллельны координатам осям.

Рассматривая выражение (1.1) для плотности нормального распределения на плоскости, мы видим, что нормальный закон на плоскости полностью определяется заданием пяти параметров: двух координат центра рассеивания , двух среднеквадратических отклонений и одного коэффициента корреляции r. В свою очередь последние три параметра полностью определяются элементами корреляционной матрицей: дисперсиями и корреляционным моментом . Таким образом, минимальное количество числовых характеристик системы - математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент -- в случае, когда система подчинена нормальному закону, определяет собой полностью закон распределения, т. е. образует исчерпывающую систему характеристик.
Так как на практике нормальный закон весьма распространен, то очень часто для полной характеристики закона распределения системы, оказывается, достаточно задать минимальное число -- всего пять -- числовых характеристик.

2. Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду

Рассмотрим поверхность распределения, изображающую функцию (1.1). Она имеет вил холма, вершина которого находятся над точкой () (рис. 2.2.1).

В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными f(х. у), получаются кривые, подобные нормальным кривым распределения. В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы. Напишем уравнение проекции такого эллипса на плоскость хОу:

(const=) (2.1)

Рис.2.2.1

Уравнение эллипса (2.1) можно проанализировать обычными методами аналитической геометрии. Применяя их, убеждаемся, что центр эллипса (рис.2.2.1) находится о точке с координатами (); что касается направления осей симметрии эллипса, то они составляю с осью Ох углы, определяемые уравнением

* (2.2)

Это уравнение дает два значения углов: и различающиеся на Таким образом, ориентация эллипса (рис.2.2.1) относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции r системы (Х, Y); если величины не коррелированны (т. е. в данном случае и независимы), то оси симметрии эллипса параллельны координатным осям; в противном случае они составляют с координатными осями некоторый угол.

Пересекая поверхность распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, и проектируя сечения на плоскость хОу, мы получим целое семейство подобных и одинаково расположенных эллипсов с общим центром (). Во всех точках каждого из таких эллипсов плотность распределения f (x,у) постоянна. Поэтому такие эллипсы называются эллипсами равной плотности или, короче эллипсами рассеивания. Общие оси всех эллипсов рассеивания называется главными осями рассеивания.

Известно, что уравнение эллипса принимает наиболее простой, так называемый канонический вид, если координатные оси совпадают с осями симметрии эллипса. Для того чтобы привести уравнение эллипса рассеивания к каноническому виду, достаточно перенести начало координат в точку () и повернуть координатные оси на угол , определяемый уравнением (2.2). При этом координатные оси совпадут с главными осями рассеивания, и нормальный закон на плоскости преобразуется к так называемому каноническому виду.

Каноническая форма нормального закона на плоскости имеет вид:

(2.3)

где -- так называемые главные средние квадратические отклонения, т. е. средние квадратические отклонения случайных величин (Е, Н) представляющих собой координаты случайной точки в системе координат, определяемой главными осями рассеивания . Главные средние квадратические отклонения выражаются через средние квадратические отклонения в прежней системе координат формулами:

(2.4)

Обычно, рассматривая нормальный закон на плоскости, стараются заранее выбрать координатные оси Ox, Оу так, чтобы они совпадали с главными осями рассеивание. При этом средние квадратические отклонения по осям и будут главными средними квадратическими отклонениями, и нормальный закон будет иметь вид:

(2.5)

В некоторых случаях координатные оси выбирают параллельно главным осям рассеивания, но начало координат с центром рассеивания не совпадают.

При этом случайные величины (Х, У) также оказываются независимыми, но выражение нормального закона имеет вид:

(2.6)

где - координаты центра рассеивания.

Перейдем в канонической форме нормального закона (2.5) от средних квадратических отклонений к вероятным отклонениям:

Величины , называются главными вероятными отклонениями. Подставляя выражения , через , в уравнение (2.5) получим другую каноническую форму нормального закона:

(2.7)

В такой форме нормальный закон часто применяется в теории стрельбы. Напишем уравнение эллипса рассеивания в каноническом виде:

Или

(2.8)

где R-- постоянное число.

Из уравнения видно, что полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным среднеквадратическим отклонениям (а значит, и главным вероятным отклонениям). Назовем единичным эллипсом рассеивания тот из эллипсов равной плотности вероятности, полуоси которого равны главным средним квадратическим отклонениям . (Если пользоваться в качестве характеристик рассеивания не главными средними квадратическими, а главными вероятными отклонениями, то естественно будет называть единичным тот эллипс, полуоси которого равны ,). Кроме единичного эллипса рассеивания иногда рассматривают еще полный эллипс рассеивания, под которым понимают тот из эллипсов равной плотности вероятности, в который с практической достоверностью укладывается все рассеивание. Размеры этого эллипса, разумеется от того, что понимать под практической достоверностью. В частности, если принять за практическую достоверность вероятность порядка 0.99. то ‚полным эллипсом рассеивания можно считать эллипс с полуосями 3,3.Рассмотрим специально один частный случай, когда главные средние квадратические отклонения равны друг другу:

Тогда все эллипсы рассеивания обращаются в круги, и рассеивание называется круговым. При круговом рассеивании каждая из осей, проходящих через центр рассеивания, может быть принята на главную ось рассеивания, или, другими словами, направление главных осей рассеивания неопределенно. При некруговом рассеивании случайные, величины Х, У, подчиненные нормальному закону на плоскости, независимы тогда и только тогда, когда координатные оси параллельны главным осям рассеивания; при круговом рассеивании случайные величины (Х, У) независимы при любом выборе прямоугольной системы координат. Эта особенность кругового рассеивания приводит к тому, что оперировать с круговым рассеиванием гораздо удобнее, чем с эллиптическим. Поэтому на практике, где только возможно, стремятся приближенно заменять некруговое рассеивание круговым.

3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть случайная точка (Х, У) на плоскости подчинена нормальному закону:

(3.1)

Рис. 3.3.1

При атом главные оси рассеивания параллельны координатным осям и величины Х и Y независимы. Требуется вычислить вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в прямоугольник R, стороны которого параллельны координатным осям хОу, а следовательно и главным осям рассеивания (рис. 3.3.1). Согласно формуле имеем:

откуда, применяя формулу для вероятности попадания на участок находим:

(3.2)

где Ф(x) -- нормальная функция распределения.

Если нормальный закон на плоскости дан в канонической форме, то и формула (3.2) принимает вид:

(3.3)

Если стороны прямоугольника не параллельны координатным осям тоформулы (3.2) и (3.3) уже неприменимы. Только при круговом рассеивании вероятность попадания в прямоугольник любой ориентации вычисляется по формулам (3.2) или (3.3). Формулы (3.2) и (3.3) широко применяются при вычислении вероятностей попадания в цели: прямоугольные, близкие к прямоугольным, составленные из прямоугольников или приближенно заменяемые таковыми.

Пример. Производятся стрельба с самолета по прямоугольному щиту размером 9м х 12 м. лежащему на земле горизонтально. Главные вероятные отклонения: в продольном направление = 10 м. в боковом направлении =5 м. Прицеливание - по центру мишени, заход - вдоль мишени. Вследствие несовпадения дальности пристрелки и дальности Рис.3.3.2 фактической стрельбы средняя точка попадании смещается в сторону недолета на 4 м. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Решение. На чертеже (рис. 3.3.2) наносим мишень, точку прицеливания (т. п.) и центр рассеивания (ц. р.). Через ц. р. проводим главные оси рассеивания: по направлению полета е перпендикулярно к нему. Перейдем от главных вероятных отклонений и к главным средним квадратическим:

По формуле (3.3) имеем:

4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания

К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания в которые может быть вычислена в конечном виде, принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равной плотности).

Пусть нормальный закон на плоскости задан в канонической форме:

 (4.1)

Рассмотрим эллипс рассеивания уравнение которого

где параметр представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к главным средним квадратическим отклонениям. По данной формуле имеем:

(4.2)

Сделаем в интеграле (4.2) замену переменных:

Этой подстановкой эллипс преобразуется в круг радиуса . Следовательно,

(4.3)

Прейдем в интеграле (4.3) от декартовой системы координат к полярной, положив:

. (4.4)

Якобиан преобразования (4.3) равен r. Производя замену переменных получим:

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям равна:

(4.5)

В качестве примера найдем вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону на плоскости хОу,

В единичный эллипс рассеивание, полуоси которого равны среднеквадратическим отклонениям:

a=; b=.

Для такого эллипса = 1. Имеем:

Пользуясь таблицей 2 приложения, находим

Формула (4.5) чаще всего применяется для вычисления вероятности попадания в круг при круговом рассеивании.

Пример. Не пути быстро движущейся малоразмерной цели площади 1,2 м ставится осколочное поле в форме плоского диска радиуса R = 30 м. Внутри диска плотность осколков постоянна и равна 2 оск./. Если цель накрыта диском, то число осколков, попадающих в нее, можно считать распределенным по закону Пуассона. В силу малости цели можно рассматривать ее как точечную и считать, что она или полностью накрывается осколочным полем (если ее центр не попадает в круг), или совсем не накрывается (если ее центр не попадает в круг). Попадание осколка гарантирует поражение цели. Пре прицеливании центр круге стремится совместить в плоскости хОу с началом координат О (центром цели), но в следствие ошибок точка рассеивается около О (рис. 4.4.1). Закон рассеивания нормальный, рассеивание круговое, Определить вероятность поражения цели Р(А).

Решение. Чтобы цель была поражена осколками, необходимо совмещение двух событий:

1) попадание цели (точки О) в осколочное поле (круг радиуса R)

2) поражение цели при условии, что попаданий произошло. Вероятность попадания цели в круг, очевидно, равна вероятности того, что центр круга (случайная точка ) попадает в круг радиуса R, описанный вокруг начала координат. Применим формулу (4.5). Имеем:

Вероятность попадания цели в осколочное поле равна:

Далее найдем вероятность поражения цели при условии, что она накрыта осколочным листом. Среднее число осколков а, попадающих в накрытую полем цель, равно произведению площади цели на плотность поля осколков: 1,2*2=2,4.

Условная вероятность поражения цели есть не что иное, как вероятность попадания в нее хотя бы одного осколка. Тогда мы имеем:

Вероятность поражения цели равна:

Р(А) = 0,675*0,969 = 0,613.

Воспользуемся формулой (4.5) для вероятности попадания в круг, чтобы вывести одно важное для практики распределение так называемое распределение Релея.

Рассмотрим на плоскости хОу (рис. 4.4.2) случайную точку (Х, Y), рассеивающуюся вокруг начала координат О по круговому нормальному закону со среднеквадратическим отклонением . Найдем закон распределения случайной величины R- расстояния от точки (Х, Y) до начали координат, т. е. длины случайного вектора с составляющими Х, Y.

Найдем сначала функцию распределения F(r) величины R. По определению

F(r) = P(R < r).

Это есть не что иное, как вероятность попадания Рис.4.4.2 случайной точки (X,Y) внутрь круга радиуса r (рис.4.4.2). По формуле (4.5) вероятность равна:

,

где

т.е.

. (4.6)

Данное выражение функции распределения имеет смысл только при положительных значениях r; при отрицательных r нужно положить F(r)=0. Дифференцируя функцию распределения F(r) по r,найдем плотность распределения:

(4.7)

Закон Релея (4.7) встречается в разных областях практики: в стрельбе, радиотехнике, электротехнике и др.

Рис. 4.4.3.

График функции (плотности закона Релея) приведен на рис. 4.4.3, Найдем числовые характеристики величины R распределенной по закону Релея, а именно: ее моду М и математическое ожидание . Для того чтобы найти моду - абсциссу точки, в которой плотность вероятности максимальна, продифференцируем и приравняем производную к нулю:

Корень этого уравнения и есть искомая мода:

М= (4.8)

Таким образом, наивероятнейшее значение расстояния R случайной точки (Х, Y) от начала координат равно среднему квадратическому отклонению рассеивания. Математическое ожидание найдем по формуле:

Производим замену переменной:

получим:

Интегрируя по частям, найдем математическое ожидание расстояния R:

5. Вероятность попадания в область произвольной формы

При стрельбе ударными снарядами вычисление вероятности попадания в цель сводиться к вычислению вероятности попадания случайной точки

(X,Y) а некоторую область D. Пусть случайная точка (X,Y) подчинена нормальному закону в каноническом виде. Вероятность попадания точки (X,Y) в область D выражается интегралом:

(5.1)

Рис. 5.5.1

В отдельных частных случаях (например, когда область D есть прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, или эллипс рассеивания, а также в некоторых других имеющих меньшее практическое значение) интеграл (5.1) может быть выражен через известные функция; в общем же случае этот интеграл через известные функции не выражается. На практике для вычисления вероятности попадания в область произвольной формы применяются следующее приближенные способы:

1. Область D приближенно заменяется областью, составленной из прямоугольников, стороны которых параллельны главным осям рассеивания.

Вероятность попадания в каждый из таких прямоугольников вычисляется по формуле (3.3). Этот способ можно рекомендовать тогда, когда число прямоугольников, на которые приближенно разбивается цель D, не слишком велико.

2. Вся плоскость хОу с помощью некоторой системы линий (прямых али кривых) заранее разбивается на рад ячеек, вероятности попадания в которые могут быть выражены точно через известные функции, и вычисляется вероятность попадания в каждую ячейку. Такая система линий с соответствующими ей вероятностями попадания в ячейки называется сеткой рассеивания. Работа с сеткой заключается в том, что изображение сетки накладывается на изображение цели, после чего производится суммирование вероятностей попадания в ячейки, накрытые целью; если цель накрывает часть ячейки, то берется часть вероятности попадания в ячейку, пропорциональная накрытой площади.

Сетку рассеивания можно применять двояким образом: а) строить цель в масштабе сетки, б) Строить сетку в масштабе цели.

Если цель имеет сложные очертания и, особенно, если она сравнительно невелика, бывает обычно удобнее построить на изображении цели в том же масштабе ту часть сетки, которая занята целью. Если же цель имеет сравнительно простые очертания и довольно велика (занимает значительную часть полного эллипса рассеивания).

эллипс закон канонический произвольный



Рис. 5.5.2

Обычно удобнее построить цель я масштабе сетки. Так как стандартная сетка строится для кругового рассеивания, а на практике рассеивание в общем случае круговым не является, при построении цели в масштабе сетки приходится в общем случае пользоваться разными масштабами по осям Ох и Оу. При этом способе удобно иметь в распоряжении сетку рассеивания, выполненную на прозрачной бумаге, и накладывать ее на перестроенное изображение цели. Прямолинейная сетка рассеивания для одного координатного угла дана на рис. 5.5.2. Сторона ячейки равна 0,2E 0,33.



Рис.5.5.3.

В ячейках проставлены вероятности попадания в них, выраженных в сороковых долях процента.

3. В случае, когда размеры области D невелики по сравнению сосредними квадратическими отклонениями (не превышают 0.5- с.к.о. в направлении соответствующих осей), вероятность попадания в эту область может быть приближенно вычислена по формуле, не содержащей операции интегрирования.

Рассмотрим на плоскости xОy малую цель D произвольной формы (рис. 5.5.3). Допустим, что размеры этой цели невелики по сравнению с вероятными отклонениями ,.

Теперь мы имеем:

(5.2)

где -плотность распределения системы (X,Y). Применим к интегралу (5.2) теорему о среднем значении:

где () -некоторая точка внутри области D; - площадь области D.

В случае, когда система (X,Y) подчинена нормальному закону в каноническом виде, имеем:

При сравнительно малых размерах области D плотность распределения в пределах этой области изменяется мало и практически может быть принята постоянной. Тогда в качестве точки () можно выбрать любую точку в пределах области D (например, приблизительный центр цели).

Формулы типа (5.3) широко применяются на практике. Для областей, наибольшие размеры которых не превышают 0.5 среднего квадратического отклонения в соответствующем направлении, они дают вполне приемлемые по точности результаты. В отдельных случаях их применяют и для более крупных областей (порядка одного с. к. о.). При условии внесения некоторых поправок (а именно, замены величин несколько увеличенными значениями) область, применимости этой формулы может быть расширена на области размером порядка двух с. к. о.

Список литературы

1. Е.С Вентцель. «Теория вероятности».М.:Высш.шк.,1998-с.184-201

Размещено на Allbest.ru

...