Численное интегрирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Метод касательных или метод Ньютона

Интерполяционный полином Ньютона

Численное интегрирование. Общие положения

Метод прямоугольников

Численное интегрирование

Заключение

Список литературы



Введение

Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). В настоящее время ЭВМ стали обычным оборудованием многих институтов и конструкторских бюро. Это позволило от простейших расчетов и оценок различных конструкций или процессов перейти к новой стадии работы - детальному математическому моделированию (вычислительному эксперименту), которое существенно сокращает потребность в натурных экспериментах, а в ряде случаев может их заменить.

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных -таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются.

В связи с этим современный специалист с высшим образованием должен обладать не только высоким уровнем подготовки по профилю своей специальности, но и хорошо знать математические методы решения инженерных задач, ориентироваться на использование вычислительной техники, практически освоить принципы работы на ЭВМ.



Метод касательных или метод Ньютона

корень функция касательный ньютон

Метод касательных или метод Ньютона- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен Исааком Ньютоном (1643-1727). Поиск решения осуществляется путем построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль 1й производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Описание метода

Чтобы решить уравнение f(x)=0 методом простой итерации, его необходимо привести к следующей форме:

X=ц(x),

где ц- сжимающее отображение.

Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения X*должно выполняться условие ц`(x)=0. Решение данного уравнения ищут в виде ц(x)=x+б(x) f(x),тогда:

В предположении, что точка приближения « достаточно близка» к корню x?, и что заданная функция непрерывна



При некоторых условиях эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного р-я уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления

Геометрический смысл метода Ньютона

Состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику y=f(x) в точке очередного последовательного приближения Xi, а за следующее приближение xi+1 берет точку пересечения этой касательной с осью OX. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом

Рис.1 Метод Ньютона

Затем, что по-другому метод Ньютона мы можем описать так на каждом шаге вместо исходного уравнения f(x)=0 мы решаем приближенное, линеаризованное в точке xi, уравнение

,

в котором левая часть-это многочлен Тейлера первого порядка для функции f(x) в точке xi., т.е., линейная функция

Решением линеаризованного уравнения служит следующее приближение xi+1, в то время как решаем исходного точного уравнения f(x)=0 служит искомый корень x*.

Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью е=0,0001. 3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Интерполяционный полином Ньютона

Во многих случаях удобнее пользоваться записью интерполяционного многочлена в другой форме- в форме Ньютона.

Общее понятие. Разности и их свойства.

Где - обобщенные на область действительных чисел бимолекулярные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона или первая интерполяционная формула Ньютона, применяется интерполирования

Где , , а выражение вида конечный результат

Обратная интерполяционная формула

Где

Интерполяционные формулы Ньютона-формулы вычислительной математики, применяющие для полиномиальной интерполяции.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине так, что =const, т.е. то интерполяционный многочлен можно записать в формуле Ньютона.

Интерполирование функции. Полиномы Ньютона.

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

2)Оценить погрешность полученного значения.

		Вариант №9
	1	1.0806
xi	1.15	1.0805
	1.3	0.9042
	1.45	0.5067
	1.6	-0.1492
	1.75	-1.0918
	1.9	-2.3342
о	1.18

Решение:



Численное интегрирование. Общие положения

Очень часто в процессе решения конкретных задач, как в научной, так и в инженерной практике возникает необходимость вычисления определенных интегралов вида:

Подынтегральная функция f (x) может быть задана одним из трех способов:

1)Задается явная формула для f(x), например, f(x)=cos(x)2

2)Функция f (x) явно не задана, но ее значение может быть вычислено при любом x из отрезка a, b . Обычно это значение вычисляется по некоторой подпрограмме.

3)Для некоторого фиксированного конечного набора точек xi из отрезка a, b задается таблица значений xi, f (xi) .

Интегралы от функций первого типа иногда удается вычислить аналитически, либо вручную, либо с помощью машинных символьных систем. Интегралы от функций второго и третьего типа (а также первого, если не используются символьные методы) обычно находят численными методами, т.е. методами, позволяющими найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой степенью точности.

Все методы приближенного вычисления определенных интегралов основаны на геометрическом смысле интеграла Ньютона-Лейбница. Он заключается в том, что определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x =а и x=b. (аABb), как показано на рисунке 1.

Рис.1

Такие методы называют квадратурными формулами.

Процедура численного интегрирования заключается в том, что отрезок [а, b] разбивается на п частичных отрезков, а затем подынтегральная функция f (x) аппроксимируется некоторой другой функцией Ф(x) , интеграл от которой вычисляется сравнительно просто. Для аппроксимации f (x) может быть использован любой класс простых функций, таких как полиномы, кусочные полиномы, тригонометрические, экспоненциальные или логарифмические функции. Конкретный выбор класса аппроксимирующих функций может зависеть от некоторых определенных свойств подынтегральной функции, но в наиболее распространенном случае, который здесь и рассматривается, в качестве таких функций используются полиномы.

Заменяя подынтегральную функцию на каждом шаге отрезками линий нулевого, первого и второго порядков, получаем соответственно приближенные формулы для вычисления интеграла:

- метод прямоугольников;

- метод трапеций;

- метод Симпсона.

Метод прямоугольников

Простейшим полиномом является константа. В формуле прямоугольников функция f (x) аппроксимируется своим значением в точке a (или в точке b), т.е.

(1)

Если значение функции f (x) берется в точке а, то формула (1) носит название формулы левых прямоугольников.

Рис.2 Метод средних прямоугольников

Для подсчета интеграла разделим интервал интегрирования a, b на n равных отрезков длины h = (b-a)/n. На каждом из отрезков функция f(x) заменяется прямоугольником с отрезками как основаниями, равными h и вертикальными боковыми сторонами высотой f(xi). При этом точка Xi выбирается, как середина каждого элементарного отрезка. Метод "средних" прямоугольников (метод средних) является более точным, чем методы "левых" и "правых" прямоугольников, когда в качестве точек xi могут выбираться левые или правые границы элементарных отрезков.

С геометрической точки зрения означает, что площадь криволинейной трапеции (aABb), ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и двумя прямыми x=a и x=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями h = (b-a)/n и высотами f(xi) где хi = а +i *h, i = 1,2... n..

Для интервала a, b и шага интегрирования h полная формула будет записана в виде:

Где n - число разбиений для интервала [a, b], и точка x0 совпадает с a.

II Метод трапеции

Следующим простейшим полиномом является линейная функция. Если она выбрана, совпадающей с f (х) в концах отрезка a и b, то получаем трапецию.

Площадь этой трапеции (интеграл от линейной функции), используемая в качестве приближения к значению интеграла от f(х), определяется по формуле:

Эта формула известна как формула трапеции.



Рис. Метод трапеции

Для того чтобы найти приближенное значение площади S, разделим отрезок интегрирования [a,b] на n равных частей длины h = (b-a)/n . В точках разбиения х0 =a, x1=a + h,...xn=b проводим ординаты у0,у1,...уn до пересечения с кривой у = f(х), т.е. уi = f(xi), хi =a + ih, i= 0,1,2....n. Концы ординат соединяем прямолинейными отрезкам, т.е. на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции у = f(x) заменяем стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), и получим трапецию.

Тогда площадь криволинейной трапеции aABb приближенно можно считать равной площади фигуры, ограниченной ломаной линией aACD...Bb . Площадь этой фигуры, которую мы обозначим как S, равна сумме площадей трапеций:

+=

Таким образом, для интервала a, b и шага интегрирования h полная формула приближенного значения интеграла будет записана в виде:

где n - число разбиений для интервала a, b и точка х0 совпадает с a, а точка хn совпадает с b.

III Метод Симпсона

Более высокая точность определения численного значения определенного интеграла получается при аппроксимации функции f(x) квадратичным интерполяционным полиномом, который совпадает с f(x) в крайних точках a и b, а также в средней точке (a+b)/2. Интеграл от этого квадратичного полинома выражается формулой:

Которая называется формулой Симпсона

Рис.3 Метод Симпсона

В методе Симпсона площадь криволинейной трапеции рассчитывается как сумма площадей ряда криволинейных трапеций, у которых криволинейная сторона представляет собой участок параболы. Это можно видеть на рисунке 4.

Каждая парабола может быть проведена только через три граничные точки, принадлежащие двум соседним отрезкам. Поэтому число участков разбиения отрезка [a, b] в отличие от предыдущих методов обязательно должно быть четным. Таким образом, вместо каждых двух элементарных прямолинейных трапеций будем рассматривать одну элементарную трапецию, ограниченную параболической дугой. Исходя из этого, определенный интеграл на случай разбиения интервала a, b на n участков с шагом h приближенно вычисляется по формуле:

-полная формула Симпсона

Таким образом, для реализации метода прямоугольников, трапеции и Симпсона для вычисления определенного интеграла необходимо:

Задать в явном виде определенный интеграл, площадь которого необходимо определить. После этого задаются пределы интегрирования, и шаг интегрирования. Затем проводится расчет по формулам.

Для метода Симпсона число разбиений n должно быть четным, что подлежит проверке при составлении программы.

Численное интегрирование

Задание: Состоит из двух пунктов (a и b).

1)Найти приближенное значение интеграла по формулам левых и правых прямоугольников с точностью .

2)Найти приближенное значение интеграла по формуле средних прямоугольников с точностью .

3)Найти приближенное значение интеграла по формуле трапеции с точностью .

4)Найти приближенное значение интеграла по формуле Симпсона с точностью .

5)Сравнить полученные результаты.

Решение:

Метод Эйлера

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Описание метода:

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка



где функция определена на некоторой области . Решение ищется на интервале . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах , которое обозначим через определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности:

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности

Где -- средний шаг, то есть существует такая, что

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода:

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Задание: Найти приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на отрезке с шагом при начальном условии используя метод Эйлера

Для тестовых примеров найти относительные погрешности и сравнить полученные результаты. Построить графики точного и численного решений.

Оценить погрешность приближенного решения заданного уравнения в выбранной точке, построить график численного решения.



Заключение

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных -таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются.

В связи с этим современный специалист с высшим образованием должен обладать не только высоким уровнем подготовки по профилю своей специальности, но и хорошо знать математические методы решения инженерных задач, ориентироваться на использование вычислительной техники, практически освоить принципы работы на ЭВМ.



Список литературы

1. Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966.- 664 с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы -М.: Наука, 1975. - 632 с.

3. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т.1. - М.: Наука, 1966. - 464 с.

4. Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т.2. - М.: Физматгиз, 1962.- 640 с.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.

6. Сборник Задач по методам вычислений: Учебное пособие: Для вузов. / Под ред. П.И. Монастырского. - 2-е изд. перераб. и доп. -М.: Физматлит, 1994. -320 с.

7. Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск:Наука Сиб. отделение, 1991.

8. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бейсик, фортран, паскаль -Томск: 1991.

9. Дьяконов В.П. Справочник по MathCad 6.0 - М: СК Пресс, 1997, 328с.

10. Хемминг Р.В. Численные методы. - М.: Наука, 1968.

11. Лапчик М.П. Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы: Уч. Пособие для ст. вузов. -М.: Изд. Центр «Академия», 2004. - 384 с.

Размещено на Allbest.ru

...