Асимптотичні зображення розв’язків суттєво нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь другого порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені І.І. МЕЧНИКОВА

УДК 517.925

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

АСИМПТОТИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ'ЯЗКІВ СУТТЄВО НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ТА РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.02 - диференціальні рівняння

ХАРЬКОВ Віталій Михайлович

Одеса - 2009

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету імені І.І. Мечникова.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ЄВТУХОВ В'ячеслав Михайлович, Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ПЕЛЮХ Григорій Петрович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

доктор фізико-математичних наук, професор ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський державний університет, завідувач кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики.

Захист відбудеться «04» _грудня_ 2009 р. о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К41.051.05 при Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова за адресою: 65026, м. Одеса, вул. Дворянська, 2, аудиторія 73.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Одеського національного університету імені І.І. Мечникова (65082, м. Одеса, вул. Преображенська, 24).

Автореферат розісланий «03» _листопада_ 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Кореновський А.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останніми десятиріччями у зв'язку зі зростаючими потребами практики активно розвивається теорія суттєво нелінійних диференціальних рівнянь. Один з найважливіших напрямків цієї теорії пов'язаний з дослідженням асимптотичних властивостей розв'язків двочленних суттєво нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Цей напрямок базується на результатах, що стосуються відомого рівняння типу Емдена - Фаулера

y= p(t) |y| sign y,

де {-1,1}, p: [a,+[ ]0,+ [ - неперервна функція. Такого типу рівняння зустрічаються в астрофізиці, газовій динаміці, теорії плазми продуктів згорання та інших областях природознавства. Основні методи дослідження асимптотичних властивостей розв'язків цього рівняння були розроблені в роботах І. Т. Кігурадзе, Т. А. Чантурія, Ш. Белогорця, С. Талиаферо, Л. В. Клебанова, Дж. Вонга, О. В. Костіна, В. М. Євтухова та інших авторів.

Проте, на практиці при побудові математичних моделей з'являється необхідність враховувати різноманітні флуктуації і тому виникає природний інтерес до узагальненого рівняння Емдена-Фаулера, в якому справа замість степеневої функції знаходиться функція ц загального вигляду, що є визначеною та відмінною від нуля в деякому околі y₀ (-?y₀?+). При цьому, в залежності від поведінки функції ц(y) при yy₀ розрізняються наступні три найбільш важливих випадки: функція ц - правильно змінна з показником одиниця; функція ц - правильно змінна з показником відмінним від одиниці; функція ц - швидко змінна.

Асимптотичні зображення розв'язків такого типу рівнянь у випадку правильно змінної функції ц з показником, що не дорівнює одиниці, були отримані в роботах І. Т. Кігурадзе, Т. А. Чантурія, Д. В. Ізюмової, Дж. Вонга, С. Талиаферо, В. Маріча, М. Томіча, О. В. Костіна, В. М. Євтухова, Л. О. Кирилової. В той самий час для рівнянь, де функція ц - швидко змінна, відомі тільки окремі результати, що були одержані, наприклад, в роботах Н. Г. Дрік, В. Н. Шинкаренко, в яких розглядалися деякі конкретні швидкозмінні нелінійності. Таким чином, незважаючи на практичну цінність такого виду рівнянь, що виникають, наприклад, в електродинаміці плазми продуктів згорання, в літературі вони мало досліджені.

Поряд з диференціальними рівняннями на практиці часто розглядають їх дискретні аналоги - різницеві рівняння. Основні результати, які стосуються асимптотичних властивостей розв'язків дискретного рівняння Емдена-Фаулера, отримані в роботах Д. Хукера, В. Патули, Й. Попенди, В. Тренча, Й. Вербовського, Р. Агарвала, С. Елейді, Д. Ладаса, З. Дочлі, Й. Дібліка, М. Мігди та Є. Шмейдель. При цьому точні асимптотичні зображення розв'язків, а також необхідні та достатні умови їх існування були отримані або для досить вузького класу розв'язків, або тільки для окремих випадків дискретного аналога рівняння Емдена-Фаулера. Тому природно виникає питання про існування і асимптотичну поведінку розв'язків цього рівняння з більш широкого класу функцій.

В зв'язку з вищевикладеним, актуальним є дослідження асимптотичної поведінки розв'язків нелінійних неавтономних двочленних диференціальних рівнянь другого порядку з швидко змінними нелінійностями, а також подальше дослідження асимптотичної поведінки розв'язків дискретного рівняння Емдена-Фаулера.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок дисертаційних досліджень є складовою частиною теми «Дослідження асимптотичного поводження розв'язків диференціальних рівнянь аналітичними і якісними методами», яка виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Одеського національного університету імені І. І. Мечникова, номер держреєстрації 0109U003665.

Мета і завдання дослідження. Об'єкти дослідження: 1) нелінійне диференціальне рівняння

y= p(t) ц(y), (1)

в якому {-1,1}, p: [a,[]0, +[ (-<a<?+) - неперервна функція, ц:I]0,+[ (I - односторонній окіл y₀, |y₀|? +) - двічі неперервно диференційовна функція, що задовольняє умови

ц(y)0 при yI, ц(y)= ц₀, ц₀{0, +},

=г, гR\{0};

2) нелінійне різницеве рівняння

² y_n = p_n |y_n| sign y_n, (2)

в якому {-1,1}, p_n > 0 (n N), у R\{0, 1}.

Предмет дослідження - асимптотична поведінка різних типів розв'язків диференціального рівняння (1) при t та різницевого рівняння (2) при n+?.

Мета дослідження - розробка методів, що дозволяють встановлювати асимптотичні зображення при t для розв'язків диференціальних рівнянь виду (1) з нелінійностями, що є або швидко або правильно змінними функціями при yy₀, та асимптотичні зображення при n+? для нових типів розв'язків різницевого рівняння Емдена-Фаулера.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі використовуються якісні та асимптотичні методи сучасної теорії звичайних диференціальних рівнянь, класичного аналізу, лінійної алгебри, функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими. До головних з них відносяться наступні:

1) вперше виділені класи так званих (л)-функцій, які містять нові типи розв'язків рівняння (1);

2) для кожного з можливих типів (л)- розв'язків рівняння (1) отримані необхідні та достатні умови їх існування і встановлені асимптотичні зображення при t таких розв'язків та їх перших похідних;

3) для рівняння (2) означені класи P(л) та P₁(м) -розв'язків, які в попередніх дослідженнях цього рівняння не розглядались. Отримані необхідні та достатні умови існування таких розв'язків, а також їх асимптотичні зображення при n+?.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Отримані в роботі результати суттєво доповнюють дослідження, що відомі для рівнянь виду (1), (2), та можуть бути використані при подальшій побудові асимптотичної теорії суттєво нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи одержані автором самостійно. У спільній з науковим керівником праці [1] В. М. Євтухову належать постановка задач, вибір напрямків досліджень та аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались на міжнародній конференції «Шості Боголюбовські читання» (Чернівці, 2003 р.); на міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р.); на конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 2005 р.); на міжнародній конференції «Диференціальні рівняння та їх застосування» (Київ, 2005 р.); на міжнародній конференції «Интегральные уравнения и их применения» (Одеса, 2005 р.); на міжнародній конференції «Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры» (Брест, 2005 р.); на XXVIII конференції молодих вчених механіко-математичного факультету МГУ (Москва, 2006 р.); на XIII міжнародній конференції студентів, аспірантів і молодих вчених «Ломоносов» (Москва, 2006 р.); на міжнародній науковій конференції «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування» (Ужгород, 2006 р.); на міжнародній науковій конференції “Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування” (Мелітополь, 2008 р.); 14^th International conference on difference equations and applications (Istanbul, 2008), Progress on difference equations 2009 (Bedlewo, 2009), на семінарі в Інституті математики НАН України (Київ, 2008 р.), неодноразово на науковому семінарі кафедри диференціальних рівнянь в Одеському національному університеті імені І.І. Мечникова.

Публікації. Основні результати роботи опубліковані в трьох статтях [1 - 3], які входять до переліку ВАК України, та у двох матеріалах [4, 5] і дванадцяти тезах [6 - 17] міжнародних наукових математичних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, які розбиті на параграфи, висновків та списку використаних джерел, який містить 99 найменувань. Повний обсяг роботи становить 139 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, ставляться мета і завдання дослідження, відзначається наукова новизна одержаних в дисертації результатів, їх практичне значення і апробація.

У першому розділі (§1.1 - 1.3) зроблено огляд наукових праць з тематики досліджень дисертаційної роботи і наведена постановка задачі. Для рівнянь (1) і (2) виділені класи (л), P(л) та P₁(м) - розв'язків.

Розв'язок y:[t_y,[_Yo рівняння (1), [t_y,[[a,[, будемо називати (л)- розв'язком, якщо функція z(t)=ц(y(t)) задовольняє умови:

z(t)= z'(t)= =л.

Розв'язок (y_n)рівняння (2), де n₀ N, будемо називати P(л) -розв'язком, якщо мають місце наступні співвідношення:

y_n = y₀, y₀= = л.

Розв'язок (y_n) рівняння (2), де n₀N, будемо називати P₁(м) -розв'язком, якщо мають місце наступні співвідношення:

y_n = y₀, y₀= = м.

Розділ II (§2.1 - 2.4) присвячений дослідженню асимптотичних властивостей розв'язків диференціального рівняння (1). В першому параграфі наведені необхідні та достатні умови існування (л)- розв'язків рівняння (1) та їх асимптотичне зображення при t.

Введемо деякі допоміжні позначення. Нехай . Позначимо

=sign ц(y), (t)=

Для рівняння (1) отримані наступні результати.

Теорема 2.1. Для існування у рівняння (1) (л)-розв'язків, де лR\{1,г,2г-1}, необхідно і достатньо виконання умов

б(л-г)>0,

та інтеграли

p^1/2()d і

є одночасно або збіжними, або розбіжними. Більш того, для кожного такого розв'язку мають місце при t асимптотичні зображення

ц(y(t))=б(л-г) (1- л)^{-2 -2}(t) p^-1(t) [1+o(1)],

= б(л-г)^-1(1- л) (t) p(t)[1+o(1)].

Теорема 2.2. Нехай існує скінчена або нескінчена границя . Тоді для існування у рівняння (1) (?)-- розв'язків необхідно і достатньо, щоб

=-1, бp(s) ds d >0

в околі(, y₀) і інтеграли

p(s) ds d і

були одночасно або збіжними або розбіжними. Більш того, для кожного такого розв'язку мають місце при t асимптотичні зображення

= бp(s) ds d[1+o(1)], =б p(s) ds d[1+o(1)].

У випадку г=1, що відповідає ситуації, коли функція ц швидко змінна при yy₀, множина {1,г,2г-1}, елементи якої є особливими значеннями параметру л, співпадає з множиною {1}. В теоремах 2.3-2.5 питання про існування та асимптотичну поведінку (1)- розв'язків рівняння (1) досліджене при деяких додаткових умовах на функцію ц.

У §2.2 приводиться одне допоміжне твердження, яке також має самостійне значення. Цей результат стосується питання про існування прямуючих до нуля при x+? розв'язків квазілінійної системи диференціальних рівнянь

u=Au + R₁(x, u) + R₂(x, u), (3)

де A=(a_kl), a_klR (k,l=1,2), R_j(x, u) =(R_ij(x, u₁,u₂))(j=1,2) - вектор-функції, неперервні на множині [x₀, +?)R, R=[-b₀,b₀] [-b₀,b₀], b₀ -додатна константа. диференціальний рівняння різницевий асимптотичний

Теорема 2.6. Нехай при

R_i1 (x, u₁, u₂) = 0 рівномірно по (u₁, u₂)R,

= 0 рівномірно по x[x₀, +?)

і дійсні частини власних значень матриці А відмінні від нуля. Тоді система диференціальних рівнянь (3) має розв'язокu=(u₁, u₂): [x₁, +?) R (x₁ ? x₀), який прямує до при x+?.

В §2.3 приводяться доведення теорем, що були сформульовані у §2.1.

В §2.4 в якості прикладу розглядається рівняння з експоненціально-степеневою нелінійністю

y = tⁿ e^уy |y|^k,

де {-1,1}, у, k, n R, у, k ? 0. Для цього рівняння встановлюються асимптотичні зображення різних типів розв'язків, прямуючих до ±? при t у випадках, коли щ = + ?, щ = 0 або щ (0, +?).

Розділ III (§3.1 - 3.4) присвячений розгляду питання про існування і асимптотичну поведінку P(л) та P₁(м) - розв'язків рівняння (2). Використання двох класифікацій розв'язків обумовлено суттєвими відмінностями методик дослідження рівняння (2). При цьому у випадках, коли з'являються труднощі при дослідженнях в межах однієї методики, для широкого класу рівнянь виявляється достатньо ефективною друга методика.

В §3.1 сформульовані необхідні та достатні умови існування P(л) та P₁(м) - розв'язків рівняння (2), а також наведені їх асимптотичні зображення при . Зокрема, приводяться наступні твердження.

Теорема 3.1. Нехай mp_m = +?. Тоді для існування у рівняння (2) P(л)-розв'язків, таких, що лR\{-1, -1/2, 0}, необхідно і достатньо виконання умов

бл(1-у)>0, =+?, =(1-у)(1+л),

де В належить околу точки y₀. Більш того, кожний додатний P(л)- розв'язок, де лR\{-1,-1/2,0}, допускає при n+? асимптотичні зображення

y_n=[1+o(1)], y_n=[1+o(1)].

Теорема 3.2. Нехай mp_m < +?. Тоді для існування у рівняння (2) P(л)- розв'язків, таких, що лR\{-1, -1/2, 0}, необхідно і достатньо виконання умов

бл(1-у)<0, <+?, =(у-1)(1+л).

Більш того, кожний додатний P(л)- розв'язок, де лR\{-1, -1/2, 0}, допускає при n+? асимптотичні зображення

y_n=[1+o(1)], y_n= [1+o(1)].

Для формулювання наступної теореми нам знадобляться допоміжні позначення. Нехай C₁,C₂R, nN. Покладемо для n ? 3

I₁(n,C₁,C₂,у)=|у|^n/2-1 (C₁+C₂(-1)ⁿ+ln p_k |у|^-k/2 (1+(-1)^n+k)/2),

I₂(n,C₁,C₂,у)=|у|^n/2-1 (C₁ sin (рn/2)+ C₂ cos (рn/2)- ln p_k |у|^-k/2 cos р(n-k)/2),

M={(C₁, C₂) R²: I(n+1,C₁,C₂,у}- I(n,C₁,C₂,у}=+?} ,

Теорема 3.3. Для існування у рівняння (2) P₁(?) - розв'язків необхідно і достатньо виконання умови M?Ш. Більш того, для кожного вектора (C₁,C₂)M існує розв'язок, що має асимптотичне зображення

|y_n|=e^{I(n,C1,C2,у)} [1+o(1)] при n+?. (4)

І навпаки, для будь-якого P₁(?) - розв'язку рівняння (2) існує такий вектор (C₁,C₂) M що цей розв'язок має вигляд (4).

Теорема 3.4. Для існування у рівняння (2) P₁(м) - розв'язків, де мR\C_у, необхідно і достатньо виконання умов

б=1, =|м|^1-у.

Більш того, кожний P₁(м)- розв'язок, де мR\C_у, має асимптотичне зображення

y_n=± (sign м)ⁿ| м -1|^2/(у-1) p_n ^1/(1-у) [1+o(1)] при n+?.

В §3.2 приводяться допоміжні твердження про існування прямуючих до нуля при n+? розв'язків квазілінійних систем різницевих рівнянь, що використовуються при доведенні основних результатів третього розділу, та які також мають самостійний інтерес.

В §3.3 приводяться доведення теорем, сформульованих в §3.1.

В §3.4 в якості прикладу розглядається дискретний аналог класичного диференціального рівняння Емдена - Фаулера

² y_n = n^k|y_n| sign y_n (5)

де {-1,1}, k R, у R\{0,1}. За допомогою наведених в параграфі 3.1 результатів отримані наступні нові для цього класу рівнянь твердження.

Наслідок 13.1. Нехай kR\{-2,-1-у,-(3+у)/2}. Тоді для існування у рівняння (5) P(л)- розв'язків, де лR\{-1, -1/2, 0}, необхідно і достатньо виконання умов

(k+2)(k+у+1)>0) і л=(k+у+1)/(1-у).

Більш того, кожний додатний розв'язок з цього класу при n+? має асимптотичні зображення

y_n=n^(k+2)/(1-у)[1+o(1)],

y_n= n^{(k+у+1)/(1-у)}[1+o(1)].

Наслідок 13.2. При у >1 рівняння (5) має P₁(?) - розв'язки, що допускають при n+? асимптотичне зображення

|y_n|=n^{k/(1- у )}exp(C₁+C₂(-1)ⁿ) у ^n/2-1[1+o(1)],

де C₁,C₂ - дійсні сталі, що задовольняють умову C₁(у^1/2-1)-|C₂|( у^1/2+1) >0.

Наслідок 13.3. Для існування у рівняння (5) P₁(м) - розв'язків, де мR\C_у, необхідно і достатньо виконання умов

б=1, м=-1.

Більш того, кожний P₁(м) - розв'язок, де мR\C_у, має при n+? одне з двох асимптотичних зображень

y_n= ± 4^1/(1-у) n^k/(1-у)(-1)ⁿ [1+o(1)].

Крім того, доведено, що рівняння (5) при у(-?,-1)(-1,0)(0,1) не має P₁(?) - розв'язків.

ВИСНОВКИ

Виникнення в різних областях природознавства нових типів задач, що можуть бути сформульовані в термінах теорії суттєво нелінійних неавтономних диференціальних та різницевих рівнянь, обумовили необхідність детального дослідження асимптотичних властивостей розв'язків нелінійних двочленних диференціальних та різницевих рівнянь другого порядку.

Дана дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичного поводження при t (+?)монотонних розв'язків рівняння (1), де функція ц або правильно або швидко змінна при yy_o, та розв'язків узагальненого різницевого рівняння Емдена-Фаулера при n+? .

Головними новими результатами дисертації є наступні:

1) Для диференціального рівняння (1) виділений клас (л) - розв'язків, що містить в собі раніше не досліджені в літературі типи розв'язків. Цей клас за своїми асимптотичними властивостями розпадається на три неперетинні підмножини, які відповідають випадкам лR\{1,г,2г-1}, л =? і л{1,г,2г-1}.

2) Для кожного з можливих типів (л)- розв'язків y(t) рівняння (1) одержані асимптотичні зображення виразів та ц(y(t)) при t

3) Для різницевого рівняння (2) виділені класи P(л) та P₁(м) - розв'язків. Для цих типів розв'язків встановлені необхідні та достатні умови їх існування, а також асимптотичні зображення таких розв'язків при n+? у явному вигляді.

Отримані в роботі результати суттєво доповнюють теорію двочленних різницевих рівнянь зі степеневими нелінійностями та теорію двочленних диференціальних рівнянь з нелінійностями, що відмінні від степеневих, які активно розробляються в останнє десятиріччя. Одержані результати можуть бути використані при досліджені диференціальних та різницевих рівнянь вищих порядків з нелінійностями аналогічного типу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / В. М. Евтухов, В. М. Харьков // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 10. - С. 1311-1323.

2. Харьков В. М. Об асимптотике решений дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностью, близкой к экспоненциальной [текст] / В. М. Харьков // Нелінійні коливання. - 2008. - Т. 11, № 4. - С. 541-553.

3. Харьков В. М. Асимптотические представления одного класса решений разностного уравнения второго порядка со степенной нелинейностью [текст] / В. М. Харьков // Укр. мат. журн. - 2009. - Т. 61, № 6. - С. 839-854.

4. Kharkov V. Asymptotic behavior of a class of solutions of second-order Emden-Fowler difference equations [текст] / V. Kharkov // Proceedings of the 14th international conference on difference equations and applications, edited by M. Bohner, Z. Dosla, G. Ladas, Mehmet Unal, Agacik Zafer. - 2009. - P. 213-220.

5. Харьков В. М. Асимптотические представления решений одного существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка [текст] / В. М. Харьков // Вестник молодых ученых «Ломоносов». - Москва : "Max Press". - 2007. - Вып. 3. - С. 243-247.

6. Харьков В. М. Об условиях существования исчезающих на бесконечности вещественных решений у квазилинейных систем конечно-разностных уравнений с почти постоянными коэффициентами [текст] / В. М. Харьков // Шості Боголюбовські читання: Міжнародна конференція, 26-30 серпня 2003 р. : тези доповідей. - Київ, 2003. - С. 231.

7. Харьков В. М. Об асимптотике исчезающих на бесконечности решений одного нелинейного уравнения второго порядка [текст] / В. М. Харьков // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004 р. : тези доповідей. - Львів, 2004. - С. 216.

8. Харьков В. М. Асимптотична поведінка розв'язків суттєво нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку [текст] / В. М. Харьков // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. академіка Я. С. Підстригача, 24-27 травня 2005 р. : тези доповідей. - Львів, 2005 - С. 323-324.

9. Харьков В. М. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка [текст] / В. М. Харьков // Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування, 6-9 червня 2005 р. : тези доповідей. - Київ, 2005. - С. 112.

10. Харьков В. М. Об особом случае одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка [текст] / В. М. Харьков // Интегральные уравнения и их применения, 29 июня - 4 июля 2005 г. : тезисы докладов. - Одесса, 2005. - С. 153.

11. Харьков В. М. Асимптотические представления решений дифференци-альных уравнений второго порядка с экспоненциально-степенной нелинейностью [текст] / В. М. Харьков // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры (DE&CAS 2005), 5-8 октября 2005 г. : материалы международной конференции. - Брест, 2005. - С. 208-210.

12. Харьков В. М. Об асимптотике решений одного класса существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [текст] / В. М. Харьков // Труды XXVIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. - Москва, 2006. - С. 216-218.

13. Харьков В. М. Асимптотика решений одного существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка [текст] / В. М. Харьков // Сборник тезисов XIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". - Москва, 2006. - С. 75-76.

14. Харьков В. М. Об асимптотике одного класса решений разностного уравнения второго порядка со степенной нелинейностью [текст] / В. М. Харьков // Міжнародна наукова конференція "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування", 18-23 вересня 2006р. : тези доповідей. - Ужгород, 2006. - С. 121.

15. Харьков В. М. Об асимптотике одного класса решений разностного уравнения второго порядка со степенной нелинейностью [текст] / В. М. Харьков // Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування: Міжнародна наукова конференція, 16-21 червня 2008 р. : тези доповідей. - Мелітополь, 2008. - С. 120-121.

16. Kharkov V. Asymptotic behavior of one class solutions of the second-order Emden-Fowler difference equation [текст] / V. Kharkov // 14th international conference on difference equations and applications, July 21-25, 2008: abstracts. - Istanbul, 2008. - P. 99.

17. Kharkov V. M. On one class of solutions of the k-th order Emden Fowler difference equation [текст] / V. Kharkov // Progress on difference equations, May 25-29, 2009: abstracts. -Bedlewo, 2009. - P. 67.

АНОТАЦІЯ

Харьков Віталій Михайлович. Асимптотичні зображення розв'язків суттєво нелінійних диференціальних та різницевих рівнянь другого порядку. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, Одеса, 2009.

Дисертацію присвячено дослідженню асимптотичних властивостей розв'язків істотно нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку з нелінійностями, що є або швидко або правильно змінними функціями при прямуванні аргументу до особливої точки, та різницевого рівняння Емдена-Фаулера.

Для диференціальних рівнянь виділяється достатньо широкий клас так званих (л) -розв'язків, який за своїми асимптотичними властивостями розпадається на три неперетинні підмножини. У дисертаційній роботі одержано необхідні і достатні умови існування, а також асимптотичні зображення при t для розв'язків з кожної підмножини.

Для різницевого рівняння Емдена-Фаулера виділені класи P(л) та P₁(м) - розв'язків, кожний з яких досліджується окремо. Для них одержані необхідні і достатні умови їх існування, а також асимптотичні зображення при n+?.

Ключові слова: суттєво нелінійні двочленні диференціальні рівняння другого порядку, різницеве рівняння Емдена-Фаулера, асимптотичні зображення розв'язків, умови існування.

АННОТАЦИЯ

Харьков Виталий Михайлович. Асимптотические представления решений существенно нелинейных дифференциальных и разностных уравнений второго порядка. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, Одесса, 2009.

Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотических свойств решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с нелинейностями, являющимися либо быстро, либо правильно меняющимися функциями при стремлениии аргумента к особой точке, и разностного уравнения Эмдена - Фаулера. Для этих классов дифференциальных и разностных уравнений получены следующие основные результаты.

Для дифференциального уравнения

y= p(t) ц(y), (1)

где {-1,1}, p: [a,[]0, +[ (-<a<?+) - непрерывная функция, ц:I]0,+[ ( - односторонняя окрестность y₀, | y₀|? +) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям:

ц(y)0 при yI, ц(y)= ц₀, ц₀{0, +},

=г, гR\{0};

выделен класс (л) - решений, содержащий в себе ранее не исследованные в литературе типы решений. Этот класс по своим асимптотическим свойствам распадается на три непересекающихся подмножества, соответствующих случаям лR\{1,г,2г-1}, л = ? и л{1,г,2г-1}. Для первых двух типов (л) -решений получены необходимые и достаточные условия их существования, а также асимптотические представления при t в неявном виде. Для (л )- решений третьего типа удалось установить необходимые и достаточные условия их существования, а также асимптотические представления, при некоторых дополнительных условиях на функцию ц. При этом особое внимание здесь было уделено наименее исследованному в литературе случаю г=1, когда ц - быстро меняющаяся функция при yy_o.

Для разностного уравнения

² y_n = p_n |y_n| sign y_n,

в котором {-1,1}, p_n > 0 (n N), у R\{0, 1}, выделены классы P(л) и P₁(м) - решений, для каждого из которых разработана методика исследования асимптотического поведения при n+? решений, принадлежащих данным классам. Для этих типов решений установлены необходимые и достаточные условия их существования, а также асимптотические представления при n+? в явном виде. Использование двух классификаций решений обусловлено существенными отличиями методик исследования разностного уравнения. Однако в диссертационной работе показано, что полученные результаты дополняют друг друга. В случаях, являющимися особыми при исследовании в рамках одной методики, для широкого класса дискретных функций p_n оказывается достаточно эффективной вторая методика и наоборот.

При установлении указанных выше результатов существенно использовались полученные в диссертации вспомогательные утверждения о существовании исчезающих на бесконечности решений двумерных квазилинейных систем дифференциальных и разностных уравнений. Благодаря этим вспомогательным утверждениям было доказано существование у дифференциальных и разностных уравнений решений с заданными асимптотическими свойствами. Кроме того, установленные признаки существования исчезающих на бесконечности решений имеют самостоятельный интерес.

Разработанные в диссертационной работе методики исследований асимптотического поведения решений существенно нелинейных двучленных дифференциальных и разностных уравнений второго порядка могут быть распространены на объекты более общей структуры. В частности, на уравнения высших порядков с нелинейностями аналогичного типа.

Ключевые слова: существенно нелинейные двучленные дифференциальные уравнения второго порядка, разностное уравнение Эмдена-Фаулера, асимптотические представления решений, условия существования.

ABSTRACT

Kharkov Vitaliy. Asymptotic representations of solutions of essential nonlinear differential and difference second order equations. - Manuscript.

The thesis for the degree of the Candidate of physical and mathematical sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. - Odessa National University named after I. I. Mechnikov, Odessa, 2009.

Thesis is devoted to the investigation of asymptotic properties of solutions of essential nonlinear second order differential equations with nonlinearities which are either rapid or proper various functions if the argument tends to the singular point; and asymptotic behaviors of Emden-Fowler difference equation are established too.

The enough general set of such named (л)- solutions is considered for differential equations. This class consists from three disjoined sets by its asymptotic properties. The necessary and sufficient conditions of existence and asymptotic representations as t of solutions from every such subset are proved in the thesis.

The classes of such named P(л) and P₁(м) -solutions are considered for the Emden-Fowler difference equation. Each of these classes is investigated separately. The necessary and sufficient conditions of existence and their asymptotic representations as n+? are established.

Key words: essentially nonlinear binomial differential equations of the second order, Emden-Fowler difference equation, asymptotic representations of solutions, conditions for the existence.

Размещено на Allbest.ru

...