Унітаризація зображень примітивних частково впорядкованих множин ручного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.98

01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

УНІТАРИЗАЦІЯ ЗОБРАЖЕНЬ ПРИМІТИВНИХ ЧАСТКОВО ВПОРЯДКОВАНИХ МНОЖИН РУЧНОГО ТИПУ

Якименко Данило Юрійович

Київ - 2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук,член-кореспондент НАН України, професор САМОЙЛЕНКО ЮРІЙ СТЕФАНОВИЧ, Інститут математики НАН України,завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, КОЧУБЕЙ АНАТОЛІЙ НАУМОВИЧ,Інститут математики НАН України,завідувач відділу нелінійного аналізу;

доктор фізико-математичних наук, доцент МУРАТОВ МУСТАФА АБДУРЕШИТОВИЧ,Таврійський національний університет імені В.І.Вернадського,професор кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться ``17'' травня 2011 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий ``13'' квітня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Проблема опису зображень частково впорядкованих множин (скорочено - чвм) та колчанiв у скiнченновимiрному лiнiйному просторi пов'язана з багатьма проблемами лiнiйної алгебри i активно вивчалась зокрема в роботах київських математиків А.В.Ройтера, Л.А. Назарової, Ю.А.Дрозда, М.М.Клейнера та ін. у 1970-х роках: дослiджено, в яких випадках задача класифiкацiї зображень має скiнченний, ручний та дикий тип, отримано опис зображень чвм та колчанiв у випадках скiнченного та ручного типу та ін.

Задачi класифiкацiї зображень чвм можна розглядати i у гiльбертовому просторi. Але вже навiть у найпростiших випадках такi задачi є дикими (наприклад, задача класифiкацiї трiйки пiдпросторiв, два з яких ортогональні, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi у скiнченновимiрному гiльбертовому просторi є *-дикою).

Ситуацiя полiпшується з введенням додаткових умов ортоскалярності на зображення в гільбертовому просторі. У випадку колчанiв у роботах С.А.Кругляка та А.В.Ройтера (2000-2010рр.) дослiджувалася задача класифiкацiї ортоскалярних зображень колчанiв. У той же час на мовi *-алгебр спецiального типу аналогiчнi задачi вивчалися С.А.Кругляком, В.Л.Островським, В.І.Рабановичем, Ю.С. Самойленко та ін. Виявилося, що результати цих дослiджень корелюють з результатами у випадку лiнiйного простору.

Природньо дослідити зв'язок мiж лiнiйними зображеннями та зображеннями з умовою ортоскалярностi у гiльбертовому просторi. Ортоскалярному зображенню чвм у гiльбертовому просторi вiдповiдає єдине з точністю до лінійної еквівалентності зображення чвм у лiнiйному просторi. Але зображення у лінійному просторі може бути лінійно не еквівалентне жодному ортоскалярному зображенню у гільбертовому просторі або ж бути лінійно еквівалентне кільком ортоскалярним, що не унітарно еквівалентні між собою.

Ю.П.Москальовою та Ю.С.Самойленком (2006р.) доведено, що всi незвiднi ортоскалярнi зображення породжують усi шурiвські зображення у лiнiйному просторi. Р.В.Грушевим та К.А.Юсенко (2010р.) аналогічне твердження доведено для усіх чвм скінченного типу.

У дисертаційній роботі досліджуються наступні питання: які нерозкладні зображення чвм у лiнiйному просторi є лінійно еквівалентні деяким ортоскалярним? Які ортоскалярні зображення відповідають конкретним зображенням у лінійному просторі?

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі функціонального аналізу у відповідності до загального плану дослідження в рамках науково-дослідної роботи ``Методи функціонального аналізу в задачах математичної фізики''. ортоскалярний гiльбертовий лiнiйний нерозкладний

Номер державної реєстрації 0106U000091.

Мета і завдання дослідження.

Метою роботи є дослiдження зв'язку мiж незвiдними ортоскалярними наборами пiдпросторiв гiльбертового простору та нерозкладними наборами пiдпросторiв лiнiйного простору.

Основні завдання: дослідити, які системи підпросторів лінійного простору, що відповідають зображенням примітивних чвм ручного типу, можна унітаризувати; визначити характери, з якими можлива унітаризація.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист:

1. Доведено, що будь-який лiнiйно нерозкладний ортоскалярний набiр пiдпросторiв скiнченновимiрного гiльбертового простору є шурiвським.

2. Доведено, що будь-який шурiвський набiр пiдпросторiв, що вiдповiдає примiтивнiй частково впорядкованiй множинi ручного типу, унiтаризується з деяким характером.

3. У випадку чвм, що вiдповiдає , отримано опис характерів, з якими можлива унiтаризацiя шурiвських зображень.

4. У випадку чвм, що вiдповiдає , отримано опис характерів, з якими можлива унiтаризацiя шурiвських зображень з неперервного спектру.

5. Побудована сім'я шурiвських п'ятiрок пiдпросторiв, які не унiтаризуються з жодним із характерів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертацiйна робота має теоретичний характер. Результати дисертацiї розвивають теорiю систем пiдпросторiв в лiнiйних та гiльбертових просторах i можуть бути використанi при побудовi та дослiдженнi зображень чвм, колчанiв та *-алгебр у гiльбертовому просторi.

Методи дослідження. В дисертації використовуються методи спектральної теорії операторів, теорії зображень -алгебр в гільбертових просторах, теорії інваріантів, використовуються відповідні функтори Кокстера для систем підпросторів.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка задач належать науковому керівникові проф. Ю.С. Самойленку. Доведення всіх результатів дисертації проведено автором самостійно. В спільній роботі [4] дисертанту належать включені до дисертації теореми про опис усіх характерів, з якими можлива унітаризація шурівських зображень та теорема про унітаризацію нерозкладних систем одновимірних підпросторів скінченновимірного лінійного простору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідалися та обговорювалися на семінарі ``Алгебраїчні проблеми функціонального аналізу'' (Інститут математики НАН України, Київ; керівник семінару - член-кореспондент НАН України, доктор фіз.-мат. наук Ю.С. Самойленко), а також на наступних математичних школах та конференцiях:

* Міжнародна школа зі спектральних та еволюційних питань, Кромш, 2007 та 2008.

* Український математичний конгрес - 2009 (до 100-річчя від дня народження Миколи М. Боголюбова), Київ, Інститут математики НАН України, 27-29 серпня 2009.

* Всеукраїнська наукова конференція ``Сучасні проблеми теорії ймовірностей та математичного аналізу'', Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, факультет математики та інформатики, Ворохта, Івано-Франківськ, 2011.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 5 статтях у фахових виданнях [1, 2, 4, 3, 5] та тезах доповідей [6, 7] на наукових конференціях.

Структура й об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить найменувань. Загальний об'єм дисертації складає сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі наведено основні означення теорії зображень чвм та колчанів у лінійних та гільбертових просторах.

Нехай - скінченновимірний линійний простір над полем . Ситемою підпросторів будемо називати набір , де - підпростори , . Дві системи та будемо називати еквівалентними, якщо існує невироджений оператор , що . Сумою систем називатимемо . Систему називатимемо нерозкладною, якщо вона не еквівалентна сумі двох ненульових систем. Систему називатимемо шурівською, якщо множина . Відомо, що шурівська система обов'язково є нерозкладною, але не будь-яка нерозкладна є шурівською.

Нехай є скінченна частково впорядкована множина (скорочено - чвм) розміру з порядком . Зображеннями цієї множини називатимемо такі системи підпросторів , що , якщо .

Задача класифікації нееквівалентних нерозкладних зображень чвм - важлива і активно вивчалась у 1970-х роках. Кажуть, що чвм має скінченний тип, якщо вона має лише скінченну кількість нееквівалентних нерозкладних зображень, ручний тип - якщо вона має нескінченну кількість зображень, але існує їх опис, дикий тип - якщо задача опису є безнадійною. Усі скінченні чвм класифіковані за типом. Для чвм скінченного типу отримано опис усіх нерозкладних зображень, для чвм ручного типу побудовані алгоритми опису нерозкладних зображень.

Аналогічну задачу можна формулювати і у випадку гільбертового простору. Нехай - скінченновимірний гільбертів простір над , - система підпросторів гільбертового простору. Дві системи та будемо називати унітарно еквівалентними, якщо існує унітарний оператор , що . Сумою гільбертових систем називатимемо , де - пряма сума гільбертових просторів. Систему гільбертових просторів називатимемо незвідною (ортогонально нерозкладною), якщо вона не є унітарно еквівалентною до суми двох ненульових систем. Кожну систему гільбертових підпросторів можна розглядати як систему лінійних підпросторів, якщо не брати до уваги скалярний добуток. При цьому, якщо дві системи унітарно еквівалентні, то вони й лінійно еквівалентні, але не навпаки. Якщо система лінійно нерозкладна, то вона й незвідна, але не навпаки.

Поняття зображень чвм у гільбертовому просторі вводиться аналогічно лінійному випадку, тобто це такі системи підпросторів гільбертового простору, що , якщо .

Система підпросторів називається ортоскалярною з характером , , якщо

де - ортопроектори на підпростори .

Задача класифікації зображень чвм у гільбертовому просторі без додаткових умов є *-дикою навіть для чвм, що складається з трьох точок, дві з яких порівняльні (С. А. Кругляк, Ю. С. Самойленко, 1980р.). Але виявилося, що задача класифікації має опис розв'язків, подібний до лінійного випадку, якщо накласти на зображення додаткові умови ортоскалярності. Задача, якій присвячена дисертаційна робота - дослідити зв'язок між лінійними нерозкладними зображеннями та ортоскалярними зображеннями у гільбертовому просторі.

Ортоскалярній системі підпросторів у гільбертовому просторі відповідає єдина з точністю до лінійної еквівалентності система підпросторів лінійного простору. Але система підпросторів у лінійному просторі може бути лінійно нееквівалентна жодній ортоскалярній системі підпросторів у гільбертовому просторі або ж бути лінійно еквівалентна кільком ортоскалярним, що не є унітарно еквівалентними між собою. Виникає питання: які ортоскалярні системи гільбертових підпросторів відповідають системі лінійних підпросторів?

Здобувачем отриманий наступний результат

Теорема 1.8.1. Нехай - ортоскалярна з деяким характером система підпросторів. Тоді, якщо - лінійно нерозкладна, то вона є лінійно шурівською.

Цей результат у подальшому був посилений С.А.Кругляком (2007р.): незвідна ортоскалярна з деяким характером система обов'язково є лінійно шурівською. Причому, якщо є дві лінійно еквівалентні системи, які ортоскалярні з одним й тим же характером, то вони також й унітарно еквівалентні.

Будемо казати, що система підпросторів унітаризуєтся з деяким характером , якщо можна так ввести скалярний добуток у , що отримана система буде ортоскалярною з характером .

Постають наступні задачі:

1. Які системи можна унітаризувати з деяким характером?

2. Отримати опис характерів, з якими можлива унітаризація конкретних систем.

У другому розділі досліджується унітаризація четвірок підпросторів. Доведено, що будь-яка шурівська четвірка унітаризується з деяким характером та отримано опис таких характерів. Наведемо опис усіх шурівських четвірок у лінійному просторі.

Нехай - розмірність системи , тобто . Формою Тітса називають таку квадратичну форму

Відомо, що для будь-якої нерозкладної системи четвірок, форма Тітса від розмірності системи дорівнює 1 або 0. Якщо форма Тітса дорівнює 1, то таку розмірність називають дійсним коренем. У цьому випадку, який в подальшому називатимемо дискретним спектром, в цій розмірності існує єдине нерозкладне зображення. Якщо форма Тітса дорівнює 0, то відповідну розмірність називають уявнем коренем, а такий випадок - неперервним спектром. Усі уявні корені мають вигляд , причому шурівські четвірки будуть лише в розмірності .

Дефектом системи називають число



Одним з методів побудови шурівських систем є функтори Кокстера та . Ці функтори дозволяють з однієї системи четвірок підпросторів отримувати іншу, причому зберігаючи властивості нерозкладності та шуровості. Вони також зберігають дефект та тип кореня.

Відомо, що у дискретному спектрі всі дійсні корені можна описати наступним чином

та перестановки ;

та перестановки .

У випадку, коли , нерозкладна система в кожній з цих розмірностей буде також і шурівською. Причому, всі ці системи можна отримати за допомогою функторів Кокстера з найпростіших, тобто систем четвірок у просторі розмірності 1. У розмірностях нерозкладна система буде шурівською тільки у випадку , який є тривіальним.

Усі шурівські нееквівалентні системи у розмірності можна описати наступним чином:

, ;

та перестановки .

Для кожної з наведених четвірок підпросторів отримано опис характерів, з якими можлива унітаризація, наступним чином.

Для систем четвірок підпросторів гільбертового простору можна ввести функтори Кокстера , які відповідають функторам визначеним у лінійному випадку. Тобто, якщо системі S у гільбертовому просторі відповідає система L у лінійному просторі, то системі відповідає , а системі відповідає .

Більше того, функтори зберігають незвідність та ортоскалярність, хоча й з іншим характером. А саме, якщо система ортоскалярна з характером , то система ортоскалярна з характером , а система ортоскалярна з характером , де , , .

Має місце наступне твердження: якщо система четвірок лінійного простору унітаризується з характером , то система унітаризується з характером , а система унітаризується з характером .

Використовуючи це твердження, формули перерахунку характерів та опис характерів для найпростіших систем у просторі розмірності 1, отримано наступну теорему

Теорема 2.2.1. Позначимо для . Для кожної шурівської четвірки підпросторів у дискретному спектрі, необхідні й достатні умови на характер , з яким можлива унітаризація, задаються наступним чином:

,

,

де .

Опис характерів у неперервному спектрі визначається наступною теоремою

Теорема 2.3.1.

а) Четвірка унітаризується з характером тоді й тільки тоді, коли .

б) Кожна четвірка унітаризується з характером тоді й тільки тоді, коли .

Доведення цієї теореми спирається на опис усіх одновимірних четвірок підпросторів двовимірного гільбертового простору, що задовільняють умові .

У третьому розділі розглядаються питання унітаризації зображень чвм, що відповідають розширеним графам Динкіна , , . У випадку отримано опис параметрiв, з якими можлива унiтаризацiя шурiвських зображень з неперервного спектру. Для та доводиться, що для будь-якого шурівського зображення існує унітаризація.

Для зображень чвм , , , аналогічно випадку четвірки підпросторів, вводиться поняття квадратичної форми Тітса від розмірності зображення. Для нерозкладних зображень може бути тільки 1 або 0. У випадку дискретного спектру, опис характерів, з якими можлива унітаризація зображень, отриманий у роботах С.В.Поповича, Ю.С.Самойленка та С.А.Кругляка.

У випадку неперервного спектру, шурівські зображення існують лише в мінімальному уявному корені. Для цей корінь дорівнює , для це , для це .

Теорема 3.1.1 дає опис усіх шурівських зображень з неперервного спектру для , , .

Для розв'язку питань унітаризації у цих випадках розглядається поняття стабільності з характером набору підпросторів.

Cистема підпросторів лінійного простору називається стабільною з характером , якщо для будь-якого підпростору виконується

Якщо нерівності не строгі, то таку систему називають напівстабільною.

Систему підпросторів будемо називати підсистемою системи , а розмірність - підрозмірністю системи .

Має місце наступний критерій: шурівський набір підпросторів лінійного простору унітаризується з характером тоді й тільки тоді, коли є стабільним з характером .

Використовуючи цей критерій та підрахунок усіх можливих підрозмірностей шурівських зображень отримано наступну теорему

Теорема 3.2.2. Для унітаризації шурівських зображень у неперервному випадку необхідні та достатні наступні умови на характер ,

1. слідова умова:

2. додатково для :

для , :

для :

Для та опис усіх можливих підрозмірностей складна задача. Але в цих випадках можна довести унітаризацію (теореми 3.4.1 та 3.4.2 відповідно) без опису характерів.

Для цього використовуються наступні твердження.

Твердження 3.4.1. Якщо шурівський набір підпросторів стабільний з деяким характером, то набір для будь-якого теж є стабільним з деяким характером.

Лема 3.4.1. Для будь-якого шурівського зображення з неперервної серії можна удалити один підпростір таким чином, що отриманий набір підпросторів залишиться шурівським.

Лема 3.4.2. Для будь-якого шурівського зображення з неперервної серії можна удалити один підпростір таким чином, що отриманий набір підпросторів залишиться шурівським.

У четвертому розділі розглядається контрприклад, який показуює, що не будь-який шурівський набір підпросторів можна унітаризувати. Розглядаються набори підпросторів, для яких можлива унітаризація. Наводяться методи побудови таких наборів. Зокрема, доведено, що будь-який шурівський набір одновимірних підпросторів можна унітаризувати з деяким характером.

Нехай є скінченновимірний лінійний простір та лінійні оператори . Через позначатимемо оператор, який діє за формулою . Будемо розглядати п'ятірки підпросторів вигляду

Нехай - лінійний простір, . Візьмемо

де .

Розглянемо п'ятірки підпросторів , що побудовані із наведених . Будемо позначати їх як .

Доведено, що п'ятірки шурівські (лема 4.2.1) та не еквівалентні між собою при різних (лема 4.2.2).

Використовуючи такі п'ятірки отримано наступну теорему.

Теорема 4.2.1. У розмірності існує сім'я шурівських нееквівалентних п'ятірок підпросторів, що не унітаризуються з жодним із характерів.

Таким чином, не всі шурівські системи унітаризуються з деяким характером. Але можна будувати системи, які дозволяють унітаризацію. У підрозділі 4.3 розглядаються методи побудови таких систем.

Теорема 4.3.1. Нехай - скінченновимірний лінійний простір, - шурівський набір одновимірних підпросторів, тобто . Тоді унітаризується з деяким характером.

Наступна теорема дає критерій унітаризації розкладних систем підпросторів.

Теорема 4.3.2. Розкладна система підпросторів лінійного простору унітаризується з характером тоді й тільки тоді, коли з унітаризується кожний з доданків , де .



ВИСНОВКИ

У дисертації досліджено унітаризацію систем підпросторів лінійного простору, властивості ортоскалярних систем підпросторів гільбертового простору. Зокрема, отримано наступне:

1. Доведено, що будь-який лiнiйно нерозкладний ортоскалярний набiр пiдпросторiв скiнченновимiрного гiльбертового простору є шурiвським.

2. Доведено, що будь-який шурiвський набiр пiдпросторiв, що вiдповiдає примiтивнiй частково впорядкованiй множинi ручного типу, унiтаризується з деяким характером. У випадку чвм, що вiдповiдає , отримано повний опис характерів, з якими можлива унiтаризацiя шурiвських зображень. У випадку чвм, що вiдповiдає , отримано повний опис характерів, з якими можлива унiтаризацiя шурiвських зображень з неперервного спектру.

3. Побудована сім'я шурiвських п'ятiрок пiдпросторiв, які не унiтаризуються з жодним із характерів. Доведено, що шурівський набір одновимірних підпросторів унітаризується з деяким характером. Розглянуто методи побудови систем, що дозволяють унітаризацію.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Якименко Д. Ю. Про нерозкладні та транзитивні системи підпросторів / Д. Ю. Якименко // Укр. мат. журн. - 2007. - Т 59, №5. - С. 717-720.

[2] Якименко Д. Ю. Унитаризация представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует графу / Д. Ю. Якименко // Укр. мат. журн. - 2009. - Т 61, №10. - С.717-720.

[3] Якименко Д. Ю. Унитаризация представлений частично упорядоченного множества, которое соответствует графу / Д. Ю. Якименко // Укр. мат. журн. - 2010. - Т 62, №6. - С.847-853.

[4] Samoilenko Yu. S. On n-tuples of subspaces in linear and unitary spaces / Yu. S. Samoilenko, D. Yu. Yakymenko // Methods of Funct. Anal. and Topology. - 2009. - Vol.15, №.1 - P.383-396.

[5] Yakymenko D. Yu. Unitarization of Schur representations of poset corresponding to / D.Yu. Yakymenko // Methods of Funct. Anal. and Topology. - 2010. - Vol.16, №3. - P.264-270.

[6] Якименко Д. Ю. Unitarization of Schur representations of posets, those correspond to extended Dynkyn Dyagrams / Д. Ю. Якименко // „Український Математичний Конгрес - 2009” - Київ, 2009. - Режим доступу до тез доповідей:http://www.imath.kiev.ua/ congress2009/Abstracts/Yakimenko.html

[7] Якименко Д. Ю. Унітаризація зображень частково впорядкованих множин ручного типу / Д. Ю. Якименко // Всеукраїнська наукова конференція "Сучасні проблеми теорії ймовірностей та математичного аналізу" (Ворохта 2011), тези доповідей. - Івано-Франківськ, Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника, факультет математики та інформатики. - 2011. - С.75-76.



АНОТАЦІЇ

Якименко Д. Ю. Унітаризація зображень примітивних частково впорядкованих множин ручного типу. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. - Інститут математики НАН України, Київ, 2011.

Дисертація присвячена дослідженню систем підпросторів гільбертового простору.

У дисертації вивчається зв'язок між шурівськими системами підпросторів лінійного простору та незвідними системами підпросторів гільбертового простору з умовою ортоскалярності. Доведено, що будь-яка шурівська система підпросторів, що відповідає зображенню примітивної частково впорядкованої множини ручного типу, унітаризується з деяким характером. Для будь-якої шурівської четвірки підпросторів знайдено опис характерів, з якими можлива унітаризація. Для шурівських зображень у неперервному спектрі знайдено опис характерів, з якими можлива унітаризація. Побудовані контрприклади систем підпросторів, що не унітаризуються з жодним із характерів. Наведено методи побудови систем, що дозволяють унітаризацію.

Ключові слова: унітаризація, ортоскалярність, системи підпросторів гільбертового простору, зображення частково впорядкованих множин, теорія зображень, розширені графи Динкіна.



Якименко Д. Ю. Унитаризация представлений примитивных частично упорядоченных множеств ручного типа. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2011.

Диссертация посвящена изучению систем подпространств гильбертового пространства.

В диссертации изучается связь между шуровскими системами подпространств линейного пространства и неприводимыми системами подпространств гильбертового пространства с условием ортоскалярности. В первом разделе диссертации даются основные понятия теории представлений частично упорядоченных множеств и колчанов в линейных и гильбертовых пространствах. Доказано, что любой линейно неразложимый ортоскалярный набор подпространств конечномерного гильбертового пространства является шуровским.

Во втором разделе исследуется унитаризация четверок подпространств. Для любой шуровской четверки подпространств линейного пространства дано описание характеров, с которыми возможна унитаризация.

В третьем разделе исследуется унитаризация представлений , , . Показано, что любое шуровское представление , или унитаризуется с некоторым характером. В случае получено описание характеров, с которыми возможна унитаризация шуровских представлений из непрерывного спектра.

В четвертом разделе построено семейство шуровских неэквивалентных пятерок подпространств, которые не могут быть унитаризованы ни с каким характером. Рассматриваются также примеры и методы построения наборов подпространств, которые могут быть унитаризованы с каким-то характером.

Ключевые слова: унитаризация, ортоскалярность, системы подпространств гильбертового пространства, представления частично упорядоченных множеств, теория представлений, расширенные графы Динкина.



Yakymenko D. Yu. Unitarization of representations of primitive poset of tame type. - Manuscript. The thesis is presented for the scientific degree of the candidate of physics and mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 2011.

The thesis is devoted to investigation of systems of subspaces of Hilbert spaces.

We study a relation between brick n-tuples of subspaces of a finite dimensional linear space, and irreducible n-tuples of subspaces of a finite dimensional Hilbert (unitary) space such that a linear combination, with positive coefficients, of orthogonal projections onto these subspaces equals the identity operator. We prove that brick systems that correspond to representations of primitive poset of tame type can be unitarized with some character. For any brick quadruple of subspaces we describe sets of characters that admit an unitarization. For representations of in continuous spectrum we describe sets of characters that admit an unitarization. The counterexamples of non unitarizable brick system of subspaces are constructed. The methods for constructing unitarizable systems of subspaces are considered.

Key words: unitarization, orthoscalarity, systems of subspaces of Hilbert spaces, representations of partially ordered sets, representation theory, extended Dynkin diagrams.

Размещено на Allbest.ru

...