Голоморфні в півплощині функції покращеного регулярного зростання

З іншого боку, в 60-х роках минулого століття А. Гришин та М. Говоров, незалежно один від одного, поширили теорію Левіна - Пфлюгера на функції, голоморфні в півплощині.

В теорії голоморфних функцій цілком регулярного зростання встановлюються необхідні і достатні умови, за яких для голоморфної в функції порядку з індикатором співвідношення

, ,(0.2)

виконується рівномірно в кожному куті

Размещено на http://www.allbest.ru/

, , для деякої множини нульової відносної міри. У 2001 році К. Малютін та Н. Садик поширили результати А. Кондратюка на функції, - субгармонійні в півплощині.

Функції з асимптотиками вигляду (0.2) М. Говоров використовував для розв'язання крайової задачі Рімана, а А. Гришин і К. Малютін - для дослідження інтерполяційних задач. Проте, питання про отримання подібного до (0.1) вигляду асимптотик для функцій, голоморфних в півплощині, залишалось відкритим.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень, проведених в дисертації, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є введення поняття голоморфної в півплощині функції покращеного регулярного зростання та дослідження асимптотичних властивостей таких функцій, що передбачає вирішення наступних задач:

- отримання нових асимптотичних оцінок для коефіцієнтів Фур'є функцій, голоморфних у півплощині;

- встановлення нових асимптотичних оцінок для інтегралів, що містять кутові межові значення функцій, голоморфних у півплощині;

- знаходження критерію покращеного регулярного зростання функцій, голоморфних у півплощині, за умови, що нулі лежать на скінченній кількості променів.

Об'єктом дослідження є голоморфні в півплощині функції покращеного регулярного зростання.

Предметом дослідження є взаємозв'язок між асимптотичною поведінкою голоморфних у півплощині функцій та асимптотичною поведінкою їх нулів і кутових межових значень.

Методи дослідження. Використовуються сучасні методи дійсного аналізу та методи теорії голоморфних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі основні результати дисертації є новими. У роботі:

- вперше введено поняття голоморфної в півплощині функції покращеного регулярного зростання;

- вперше знайдено критерій покращеного регулярного зростання функцій, голоморфних у півплощині, за умови, що нулі розміщені на скінченній кількості променів;

- отримано нові асимптотичні оцінки для коефіцієнтів Фур'є функцій, голоморфних у півплощині;

- знайдено нові асимптотичні оцінки для інтегралів, що містять кутові межові значення функцій, голоморфних у півплощині.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані для подальшого розвитку теорії голоморфних функцій, а також при дослідженні крайових та інтерполяційних задач.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертаційній роботі результати отримано автором самостійно. У спільних працях з Б. Винницьким [1], [3], науковому керівнику належать постановки задач, загальне керівництво роботою та доведення нерівності (23) з [3]. У спільній публікації [2], співавторам належать теореми 2 - 4, які включені в дисертацію без доведення з метою повноти викладу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: Міжнародній математичній конференції ім. В. Скоробогатька (Дрогобич, 24 - 28 вересня 2007 р.); Міжнародній конференції “Аналіз і топологія” (Львів, 26 травня - 7 липня 2008 р.); Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 25 - 27 травня 2009 р.); Міжнародній конференції до 100-річчя М. М. Боголюбова та 70-річчя М. І. Нагнибіди (Чернівці, 8 - 13 червня 2009 р.); Міжнародній конференції з математичного аналізу пам'яті А. А. Гольдберга (1930 - 2008) (Львів, 31 травня - 5 червня 2010 р.); семінарі з теорії аналітичних функцій у Дрогобичі (керівник проф. Б. Винницький); Львівському міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій (керівники проф. А. Кондратюк і проф. О. Скасків.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 10 роботах [1-10], з яких 5 (2 без співавторів) - журнальні статті (4 опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України), 5 (3 без співавторів) - матеріали наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, переліку основних позначень, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, який займає 14 сторінок і містить 89 найменувань. Загальний обсяг роботи - 126 сторінок.

голоморфний півплощина асимптотика фур'є

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, формулюються мета і задачі дослідження, обґрунтовується наукова новизна і практичне значення одержаних результатів, вказується на особистий внесок здобувача, апробацію результатів дисертації і кількість публікацій.

У першому розділі вказано перелік основних означень, понять та термінів, зроблено огляд літератури, обґрунтовано вибір напрямку досліджень та наведено основні результати роботи.

У другому розділі ”Голоморфні в півплощині функції покращеного регулярного зростання нецілого порядку” вивчаються умови на асимптотичну поведінку нулів і межових значень, за яких для голоморфної у верхній півплощині функції нецілого формального порядку справедливі тонші асимптотичні оцінки в порівнянні з голоморфними функціями цілком регулярного зростання.

Розділ 2 складається з трьох підрозділів і висновків.

Функцію , голоморфну в , назвемо функцією покращеного регулярного зростання в , якщо за деяких , , і тригонометрично - опуклої функції знайдеться така множина , яка міститься в об'єднанні кругів зі скінченною сумою радіусів, що

, . (1)

В підрозділі 2.1 досліджено асимптотику голоморфних у верхній півплощині функцій порядку меншого за одиницю. При цьому, встановлено нові асимптотичні співвідношення для характеристик, які містять нулі і кутові межові значення функції.

Число називається формальним порядком функції , голоморфної в , якщо

.

Якщо функція є голоморфною в і обмеженою в кожному півкрузі

,

то для майже всіх існують скінченні межові значення

,

коли прямує до вздовж будь-якого недотичного шляху. При цьому майже скрізь на .

Нехай - голоморфна в півплощині функція, яка має формальний порядок, - нулі функції в , , , -кутові межові значення функції на дійсній осі, - сингулярна межова функція функції ,

,

.

Відомо (Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. - М.: Наука, 1986. - 240 с.), що якщо голоморфна в функція нецілого формального порядку з індикатором є функцією цілком регулярного зростання в , то

,

,.

В цьому підрозділі доводиться аналог вищезгаданого результату для голоморфних функцій покращеного регулярного зростання.

Теорема 2.1. Нехай для голоморфної в функції формального порядку за деякої тригонометрично -опуклої на функції існують і послідовність такі, що

,,,

і рівномірно за

,.

Тоді

,,

і знайдеться , що

,

,.

В підрозділі 2.2 досліджується питання взаємозв'язку між умовами

, ,,(2)

, , ,(3)

де - функція, локально інтегровна на , - множина скінченої міри.

Нехай , і функція є монотонною на проміжку , тоді (Винницький Б. В., Хаць Р. В. Про асимптотичну поведінку цілих функцій нецілого порядку // Математичні студії. - 2004. - Т. 21, № 2. - С. 140-150) співвідношення (3) і

,(4)

є еквівалентними. Таке ж, як добре відомо, є справедливим і у випадку .

Якщо ж функція не є монотонною, то (4) не обов'язково випливає з (3). Проте правильне таке твердження (Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. ? М.: Гостехиздат, 1956. ? 632 с.).

Теорема А. Нехай , і функція є локально інтегровною на . Якщо виконується

,

, ,

, ,

де така множина, що

, ,

де - міра Лебега на .

При вивченні голоморфних в півплощині функцій покращеного регулярного зростання виникає необхідність в отриманні аналогу теореми А.

Наведена нижче теорема показує, що потрібний аналог згаданих вище результатів знайти важко, а це приводить до додаткових труднощів при вивченні вказаного класу функцій.

Теорема 2.2. Для будь-яких і існує така функція , локально інтегровна на , що для кожного виконується

,,

для деякого виконується (3),

,,

для деякої множини нескінченної міри і

для кожного .

Підрозділ 2.3 присвячений знаходженню критерію покращеного регулярного зростання голоморфних в півплощині функцій нецілого формального порядку з нулями на скінченній кількості променів.

Як добре відомо, кожна голоморфна у півплощині функція формального порядку подається у вигляді

, (5)

де - нулі функції , , - дійсні сталі, - сингулярна межова функція функції , , - первинний множник Вейєрштрасса роду . При цьому - кутові межові значення функції на , для кожного проміжку і функція є локально інтегровною на . Сингулярна межова функція функції , голоморфної і обмеженої в кожному півкрузі , , є незростаючою функцією, похідна її дорівнює нулеві майже скрізь і вона визначається, з точністю до адитивної сталої і значень в точках розриву, рівністю:

.

Нехай

- кількість нулів функції з півкруга , які належать променю і

,

.

Основною в цьому підрозділі є наступна

Теорема 2.6. Для того, щоб голоморфна в функція нецілого формального порядку , нулі якої розміщені на скінченній системі променів , , , була функцією покращеного регулярного зростання, необхідно і достатньо, щоб для деяких , , , і кожного виконувались умови

,,,(6)

,.(7)

Доведенню теореми 2.6 передує ряд інших тверджень, серед яких виділимо наступне.

Лема 2.1. Нехай - неціле число, - незростаюча на функція, похідна якої дорівнює нулеві майже скрізь, - така функція, що для кожного проміжку і функція є локально інтегровною на , - послідовність точок з півплощини , які лежать на скінченній кількості променів ,, . Тоді, якщо

(8)

і для деяких , , та для деякого , , виконуються співвідношення (6) - (7), то функція , визначена формулою (5), є голоморфною в і виконується (1) з функцією , визначеною рівністю

,

,

,

.

Якщо, крім цього, для майже всіх то функція має формальний порядок .

Відзначимо, що якщо функція не має нулів, то з доведення леми 2.1 випливає, що (1) виконується з . З результатів Б. Хабібулліна (Khabibullin B. N. Asymptotic behavior of the difference of subharmonic functions // Matem. studii. - 2004. - V. 21, № 1. - P. 47 - 63) випливає, що доданок можна замінити на .

З теореми 2.6 випливає наступне твердження.

Наслідок 2.2. Нехай - неціле число, - незростаюча на функція, похідна якої дорівнює нулеві майже скрізь, - така функція, що для кожного проміжку і функція є локально інтегровною на , - послідовність точок з півплощини , які лежать на скінченній кількості променів , , . Тоді, якщо виконується (8), для деяких , , , , , і кожного виконуються співвідношення (6) - (7) та для майже всіх виконується

,(9)

то функція , визначена формулою (5), є голоморфною в , має формальний порядок і для кожного кута , , знайдеться таке, що зовні множини , яка міститься в об'єднанні кругів зі скінченною сумою радіусів, виконується

,. (10)

Проте, ми не знаємо, чи справедливе обернене твердження, тобто чи для кожної голоморфної в функції нецілого формального порядку з нулями на скінченній системі променів, яка задовольняє умову (10), виконуються співвідношення (6) - (7).

У випадку, коли і не має нулів, наслідок 2.2 перетинається з результатами А. Хейфіца (Хейфиц А. И. Индикаторы аналитических в открытой полуплоскости функций порядка меньше единицы, имеющих во внутренних углах вполне регулярный рост // Изв. АН. СССР. Сер. матем. - 1975. - Т. 39, №4. - С. 899 - 910) але відповідні твердження не випливають одне з одного.

У третьому розділі “Голоморфні в півплощині функції покращеного регулярного зростання цілого порядку” вивчаються умови на асимптотичну поведінку нулів і межову поведінку голоморфної в функції цілого формального порядку, за яких виконується асимптотика (1). Розділ 3 складається з двох підрозділів і висновків.