Нетерові напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

01.01.06 - Алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Тема:

Нетерові напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця

Дармосюк Валентина Миколаївна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Кириченко Володимир Васильович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, в.о. завідувача кафедри геометрії.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Кашу Олексій Іванович, Інститут математики та інформатики АН Республіки Молдова, головний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Безущак Оксана Омелянівна, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри та математичної логіки.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційну роботу присвячено вивченню напівдосконалих та напівдистрибутивних кілець.

Асоціативні кільця є дуже важливою і цікавою алгебраїчною структурою. Термін "кільце" був введений Р. Дедекіндом та Д. Гільбертом в кінці 19 століття і стосувався в цілому кілець алгебраїчних чисел, які є комутативними кільцями. Перше абстрактне означення кільця було дано А. Франкелем в 1914 році.

Важливим розділом теорії кілець є теорія скінченновимірних алгебр. Початок цієї теорії йде від Гамільтона, який в 1843 році відкрив кватерніони. Множина кватерніонів утворює тіло, тобто асоціативне некомутативне кільце, в якому кожен ненульовий елемент має обернений (справа та зліва).

Відома теорема Фробеніуса стверджує, що поле дійсних чисел та поле комплексних чисел є єдиними скінченновимірними дійсними асоціативно - комутативними алгебрами без дільників нуля. Тіло кватерніонів є єдиною скінченновимірною дійсною асоціативною, але некомутативною алгеброю без дільників нуля.

Перші результати сучасної теорії скінченновимірних алгебр були отримані Ф. Моліном, Е. Картаном та Г. Фробеніусом, які наприкінці XIX ст. дали класифікацію напівпростих алгебр над полями дійсних і комплексних чисел.

Першою класифікаційною теоремою сучасної теорії асоціативних кілець є фундаментальна теорема Веддербарна-Артіна про будову напівпростих артінових кілець. В 1908 р. Веддербарн довів цю теорему для скінченновимірних алгебр над довільним полем, а в 1927 р. Артін довів аналог теореми Веддербарна для довільних артінових напівпростих кілець.

Базові поняття сучасної теорії кілець формувалися в 20-х роках 20 століття в роботах Е. Нетер та Е. Артіна. Кільця, які розглядав Е. Артін в сучасній термінології називають артіновими.

Зауважимо, що радикал Джекобсона R напівпростого артінового кільця A дорівнює нулю. Вивчення артінових кілець з ненульовим радикалом Джекобсона є важливою і складною задачею.

В 1960 році американський математик Басс ввів поняття напівдосконалого кільця і довів, що будь-яке артінове кільце є напівдосконалим. В той же час існують напівдосконалі кільця, які не є нетеровими. Приклад кільця цілих чисел Z, яке є кільцем головних ідеалів, показує, що існують нетерові кільця, які не є напівдосконалими.

Добре відомо, що багато класів кілець характеризуються через властивості модулів над ними. Всі класи кілець в наступному ланцюзі характеризуються модульними властивостями кілець:

напівпрості артінові кільця напівдосконалі кільця головних ідеалів

напівланцюгові кільця напівдистрибутивні кільця

В цьому ланцюзі перші три класи кілець є напівдосконалими. Зауважимо, що напівдистрибутивні кільця не обов'язково є напівдосконалими. Добре відомо, що решітка ідеалів кільця Z цілих чисел є дистрибутивною, але кільце Z не є напівдосконалим.

Теорія напівдистрибутивних кілець виникла в середині 20 століття Blair R.L. Ideal lattice and the structure of rings/ R.L. Blair//Trans. Amer. Math. Soc.-1953.-75, №1. P. 136 - 153.

Behrens E.A. Distributive Darstellbare Ringe I / E.A. Behrens// Math. Z. - 1960.-73, №5. - P. 409 - 432.. Важливим кроком в розвитку теорії напівдистрибутивних кілець є стаття В. Стефенсона Stephenson W. Modules whose lattice of submodules is distributive/ W. Stephenson//Proc. London Math. Soc.-1974.-28, №2.- P. 291 - 310..

Наступний критерій дистрибутивності модуля навів В. Каміло Camillo V.P. Distributive modules/ V.P. Camillo// J.Algebra.-1975.-36, №1. - P. 16 - 25. : Модуль є дистрибутивним тоді і тільки тоді, коли кожен його фактормодуль містить в своєму цоколі не більше одного екземпляра кожного простого модуля.

В своїй монографії Tuganbaev A.A. Semidistributive Modules and Rings / A.A. Tuganbaev - Kluwer Academic Publishers, 1998.- 352 p. А.А. Туганбаєв задає наступні відкриті питання про будову нетерових напівдистрибутивних кілець. Нехай А нетерове напівдистрибутивне кільце:

1) чи є кільце А прямим добутком артінового кільця та напівпервинного кільця;

2) чи є кільце А спадковим, якщо кільце А напівпервинне.

Негативні відповіді на ці питання доведені в роботі В.В. Кириченко Полусовершенные полудистрибутивные кольца / В.В. Кириченко, Ю.В. Яременко// Математические заметки. - 2001. - Т.69, №1. - С. 153-156. В.В. Кириченка та Ю.В. Яременка.

Ми пишемо, що кільце А є SPSD - кільцем, якщо кільце A є напівдосконалим та напівдистрибутивним.

Важливим інструментом при вивченні кілець є поняття мінора та мінорної властивості Ф кільця, введенні Ю.А. Дроздом Drozd Yu.A. Minors and reduction theorems/ Yu.A. Drozd // Coll. Math. Soc. J. Bolyai.-1971.- v.6.-P. 173-176. в 1971 році. Вважається, що для кільця А з властивістю Ф виконується теорема редукції порядку n, якщо всі його мінори, порядку що не перевищує вказане значення n, мають дану властивість Ф і навпаки, якщо всі мінори кільця А порядку, що не перевищує n мають властивість Ф, то і кільце А має властивість Ф. Теорема редукції порядку 2 для SPSD - кілець та теорема розкладу для напівпервинних нетерових справа SPSD- кілець були доведені в статті В. В Кириченко та М.А. Хибиної. Кириченко В.В. Полусовершенные полудистрибутивные кольца / В.В. Кириченко, М.А. Хибина// Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры, Сборник статей. - К.: Ин-т математики НАН Украины. - 1993. - С. 457-480. Сагайдаки та первинні сагайдаки SPSD- кілець вивчалися В.В. Кириченком Kirichenko V.V. Semi-Perfect Semi-Distributive Rings / V.V. Kirichenko // Algebras and Representation Theory. - 2000.- Vol.3.- P. 81-98..

Важливим підкласом SPSD-кілець є напівланцюгові кільця. Вперше поняття "ланцюговий" та "напівланцюговий" для модулів та кілець були введені Л.А. Скорняковим. Ті ж самі поняття були введені американським алгебраїстом Уорфілдом, як "uniserial module" та "uniserial ring", "serial module" та "serial ring".

Напівланцюгові кільця досліджуються з початку 30-х років минулого століття. Їх вивчення пов'язано з іменами видатних алгебраїстів всього світу, зокрема, різні підкласи таких кілець вивчали Г. Кьоте, К. Асано, Т. Накаяма, Купіш, Мюразе, Голді, Ейзенбуд та Гріффіт.

Л.А. Скорняков довів, що кільце A є артіновим напівланцюговим кільцем тоді і тільки тоді, коли кожен лівий A- модуль є прямою сумою ланцюгових модулів.

Локальні нетерові та спадкові кільця вивчали П.M. Кон та А. Закс.

Вперше напівланцюгові неартінові кільця вивчалися та описувалися американським математиком Р.Б. Уорфілдом та В.В. Кириченком. Зокрема вони повністю описали структуру напівланцюгових нетерових кілець.

В роботі Кириченко В.В. Полусовершенные полудистрибутивные кольца /В.В.Кириченко, М.А. Хибина// Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры, Сборник статей.-К.: Ин-т математики НАН Украины.- 1993.- С. 457-480. В.В. Кириченка та М.А. Хибиної вивчено будову нетерових справа напівпервинних SPSD - кілець. Згідно з термінологією монографії Hazewinkel M. Algebras, Rings and Modules.Vol.1. /M. Hazewinkel, N. Gubareni, V.V. Kirichenko - Kluwer Academic Publishers, 2004.- 380 p. первинне нетерове SPSD - кільце з ненульовим радикалом Джекобсона називаємо черепичним порядком. Черепичні порядки та пов'язані з ними поняття (зокрема, матриці показників та сагайдаки) інтенсивно вивчаються В. В. Кириченком та його учнями.

Нагадаємо, що сагайдак, який містить щонайменше дві вершини, називається сильнозв'язним, якщо існує орієнтовний шлях з будь - якої його вершини в іншу. Для зручності, сагайдак, що містить одну вершину, теж вважаємо сильнозв'язним. Добре відомо, що сагайдак черепичного порядку є сильнозв'язним, але існують сильнозв'язні сагайдаки, які не є сагайдаками черепичних порядків, наприклад наступний сагайдак Q:

Для нетерових напівланцюгових кілець має місце теорема розкладу Кириченка - Уорфілда, яка стверджує, що нетерове напівланцюгове кільце є скінченним прямим добутком артінового кільця та спадкових первинних кілець.

В.В. Кириченко побудував структурну теорію для нетерових справа напівланцюгових кілець Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца /В.В.Кириченко.-К.,1975.-58 c.-(Препринт / Ан Украины. Ин-т математики; ИМ-75-1).

Кириченко В. В. О конечнопорожденных модулях над нетеровыми справа кольцами/ В.В. Кириченко // ДАН УССР, серия А-1976.- № 1.-С.9-12., зокрема, він довів, що теорема розкладу не має місця для таких кілець. Важливим інструментом при дослідженні напівланцюгових кілець є поняття сагайдака напівдосконалого кільця. У випадку скінченновимирних алгебр це поняття в 1972 році було введено відомим швейцарським математиком П. Габріелем. На випадок напівдосконалих кілець його узагальнив В.В. Кириченко 1975 році. Відмітимо, що для будь-якого напівланцюгового кільця можна визначити його сагайдак. Цей сагайдак є незв'язним об'єднанням точок, петель, орієнтовних ланцюгів та простих орієнтовних циклів.

Добре відомо, що артінове кільце є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його сагайдак є незв'язним об'єднанням вершин (без стрілок).

У дисертаційній роботі розглядаються нетерові напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця. Цей клас кілець містить напівпрості артінові кільця, некомутативні артінові кільця головних ідеалів, напівланцюгові нетерові кільця та черепичні порядки. Теорія напівдосконалих та напівдистрибутивних кілець виявилася набагато складнішою ніж теорія напівланцюгових кілець. Зокрема, теорема розкладу, аналогічна теоремі Кириченка - Уорфілда, не має місця для нетерових SPSD- кілець Див глава 14, §14.8., Hazewinkel M. Algebras, Rings and Modules.Vol.1. / M. Hazewinkel, N. Gubareni, V.V. Kirichenko - Kluwer Academic Publishers, 2004.- 380 p.. Важливим методом дослідження таких кілець є вивчення їх мінорних властивостей. Крім того важливим є вивчення факторкілець нетерових SPSD-кілець, зокрема квазіфробеніусових факторкілець.

Результати відносно структурної будови таких кілець містяться в монографіях Фейса Фейс К. Алгебра: кольца, молули и категории. Ч.2 / К.Фейс.-М.: Мир, 1979. - 464 с., Туганбаєва Tuganbaev A.A. Distributive modules and Related Topics /A.A. Tuganbaev.- Gordon and Breach Science Publishers, 1999.- 274 с.;

Tuganbaev A.A. Semidistributive modules and rings / A.A. Tuganbaev - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998.-352с., Хазевінкеля, Губаренії та Кириченка Hazewinkel M. Algebras, Rings and Modules.Vol.1. / M. Hazewinkel, N. Gubareni, V.V. Kirichenko - Kluwer Academic Publishers, 2004.- 380 p.;

Hazewinkel M. Algebras, Rings and Modules.Vol.2 / M. Hazewinkel, N. Gubareni, V.V. Kirichenko - Kluwer Academic Publishers, 2007. - 400 р..

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, тема 06БФ038-02 “Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів”(номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета i задачі дослідження. Метою дослідження є вивчення властивостей напівланцюгових та напівдосконалих напівдистрибутивних кілець за допомогою техніки мінорів та сагайдаків.

У дисертаційній роботі поставлено наступні задачі:

- дослідити -мінорні властивості напівдосконалих кілець;

- встановити зв'язок між властивостями черепичних порядків та їх факторкільцями;

- дослідити сагайдаки та факторкільця трикутних черепичних порядків;

- встановити будову слабопервинних спадкових справа SPSD-кілець;

- довести, що всі власні мінори артінового спадкового кільця спадкові;

- довести, що якщо всі власні мінори артінового кільця A квазіфробеніусові, то кільце A квазіфробеніусове.

Об'єктом дослідження є асоціативні напівдосконалі кільця та їх сагайдаки, зокрема, артінові кільця, спадкові кільця, квазіфробеніусові та напівдистрибутивні кільця.

Предмет дослідження - сагайдаки черепичних порядків, мінори асоціативних кілець, спадкові та квазіфробеніусові кільця, слабопервинні спадкові справа напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця.

Методи дослідження. Основними методами, що використовуються при дослідженнях в дисертаційній роботі є методи теорії сагайдаків (скінченних орієнтованих графів), методи теорії мінорів кілець та загальні методи теорії кілець та модулів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано нові теоретичні результати:

- доведено, що черепичний порядок A є спадковим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є праворядним;

- побудовано приклад черепичного порядку A, в якому існує двосторонній ідеал I такий, що фактор кільце A/I є праворядним, але кільце A не є напівланцюговим;

- доведено, що властивість кільця бути черепичним порядком є 2-мінорною;

- доведено, що будь-яке слабопервинне спадкове справа напівдосконале та напівдистрибутивне кільце є напівланцюговим нетеровим кільцем;

- доведено, що зведений черепичний порядок A = {?,е(A)} є горенштейновим трикутним порядком тоді і тільки тоді, коли B = A/A є напівланцюговим кільцем;

- для довільного артінового кільця A, сагайдак якого Q(A) містить s вершин доведено, що властивості: Ф₁ - спадковість та Ф₂ - квазіфробеніусовість не є (s-1)- мінорними.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в спеціальних курсах, в дослідженнях з теорії кілець та модулів і прикладних дослідженнях.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

- V міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, липень 2005 р.);

- міжнародній конференції по теорії радикалів (Київ, липень - серпень 2006 р.);

- науковій конференції пам'яті доктора фіз.-мат. наук, професора С.С. Левіщенка (Київ, жовтень 2006 р.);

- VI міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам'янець-Подільський, липень 2007 р.);

- міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченній 100-річчю з дня народження Куроша О.Г. (Москва, травень - червень 2008 р.);

- засіданні алгебраїчного семінару Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (Київ, вересень 2007 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 10 наукових роботах [1-10]. З них п'ять статей у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та п'ять тез доповідей на математичних конференціях, чотири з яких міжнародні.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел, що містить 90 найменувань. Повний обсяг роботи становить 136 сторінок, з них 126 сторінок основного змісту та 10 сторінок використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, зазначено наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі наведено короткий історичний огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлено сучасний стан вивчення проблем, подібних до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

Другий розділ дисертації носить допоміжний та систематизуючий характер і містить основні означення понять та деякі твердження, які використовуються в роботі.

У підрозділі 2.1 наводяться основні поняття теорії ідемпотентів, які є необхідними при вивченні цілого ряду питань. Також розглядається двосторонній пірсовський розклад кільця, вводяться означення простого та напівпростого модуля, простого кільця та мінімального ідеалу.

Підрозділ 2.2 присвячений частково впорядкованим множинам. Зокрема наводяться означення найбільшого, найменшого елемента частково впорядкованої множини, а також сюпремума та інфімума. Вводиться поняття решітки та описуються її властивості. Розглядається зв'язок частково впорядкованих множин з булевими алгебрами та кільцями.

Поняття FD- кільця та FDI-кільця, а також їх властивості розглядаються в підрозділі 2.3.

Означення 2.3.4 Кільце A називається скінченно-розкладним кільцем (FD- кільцем), якщо воно розкладається в прямий добуток скінченного числа нерозкладних кілець.

Означення 2.3.5 Кільце A називається кільцем з скінченним розкладом одиниці, або FDI- кільцем, якщо існує розклад одиниці 1А 1 = e₁+e₂+…e_n в скінченне число попарно ортогональних примітивних ідемпотентів e_i.

Відмітимо, що кожне FDI - кільце є FD- кільцем, але не навпаки.

У підрозділі 2.4 вводиться означення первинного радикалу, дається його внутрішня характеристика.

В підрозділі 2.5 визначається поняття кускової області у випадку FDI-кілець.

Підрозділ 2.6 містить означення локального, напівлокального та напівдосконалого кільця. Наводяться приклади напівдосконалих кілець.

Нагадаємо, що ідемпотент e кільця A називається локальним, якщо кільце eAe локальне. Має місце наступна важлива теорема:

Теорема 2.6.4 Mьller B. On semiperfect rings /B. Mьller // Ill. J. Math.-1970.- Vol.14, № 3.-P.464-467. Кільце A є напівдосконалим тоді і тільки тоді, коли 1А розкладається в суму скінченного числа попарно ортогональних локальних ідемпотентів.

У підрозділі 2.7 подана характеристика досконалих кілець. Вводиться поняття T-нільпотентних ідеалів.

Третій розділ присвячений мінорам асоціативних кілець, які були введені Ю. А. Дроздом.

У підрозділі 3.1 вводиться поняття сагайдака напівдосконалого кільця. Нагадаємо, що скінченний орієнтований граф називається сагайдаком.

Означення 3.1.2 Нехай A - напівдосконале нетерове справа кільце з радикалом Джекобсона R, P₁,…,P_s - попарно не ізоморфні проективні нерозкладні модулі. Нехай проективним накриттям Р(P_iR) модуля P_iR є:

, .

Поставимо у відповідність головним модулям P₁,…,P_s точки 1,…,s в площині і з'єднаємо стрілкою t_ij точки i та j. Побудований граф називається правим сагайдаком (або просто сагайдаком) напівдосконалого нетерового справа кільця A.

Означення 3.1.3 Нехай A напівдосконале кільце таке, що A/R² є артінове справа кільце. Сагайдак кільця A/R² називається сагайдаком кільця A.

В цьому підрозділі наведено ряд тверджень, які використовується при доведеннях в подальших розділах.

Підрозділ 3.2 присвячений первинному сагайдаку FDD- кільця.

Нехай A напівдосконале кільце і нехай I ідеал кільця A, який міститься в радикалі Джекобсона R кільця A, такий що ідемпотенти можна піднімати по модулю I.

Факторільце , де всі кільця нерозкладні та - розклад в суму попарно ортогональних центральних ідемпотентів. Нехай W = I/I², представляємо через точки 1,…,t. Вважаємо, що з точки i в точку j йде стрілка тоді і тільки тоді, коли . Отриманий скінченно орієнтований граф Q(A,I) називається сагайдаком асоційованим з ідеалом I. Множина точок {1,2,...,t} називається множиною вершин, а множина стрілок між цими точками називається множиною стрілок сагайдака Q(A,I). Сагайдак Q(A,I) напівдосконалого кільця A однозначно визначається перенумерацією вершин і не змінюється для еквівалентних в сенсі Моріта кілець. Більше того, Q(A,I) = Q(A/I²,W).

Оскільки ідемпотенти можна підняти по модулю I, то ідемпотенти можна підняти по модулю I, зберігаючи їх ортогональність, тобто виконується рівність 1 = f₁+f₂+…+f_t, де f_if_j = д_ijf_i та = f_i+I, для i,j = 1,…,t. Нехай A_ij = f_iAf_j та I_ij = f_iIf_j для i,j = 1,…,t. Очевидно, f_iAf_jI для i?j. Отже, двосторонній пірсовський розклад ідеалу I має наступний вигляд:

.

Первинний радикал PrA кільця A є нільідеалом. Ідемпотенти можна підняти по модулю довільного нільідеалу. Розглядаємо сагайдак Q = (A,PrA) асоційований з первинним радикалом PrA.

Означення 3.2.1 Сагайдак Q = (A,PrA) напівдосконалого кільця A називається первинним сагайдаком кільця A.

Спадкові кільця та їх властивості розглядаються в підрозділі 3.3.

Означення 3.3.1 Кільце A називається спадковим справа (зліва), якщо будь-який його правий (лівий) ідеал є проективним правим (лівим) A-модулем. Кільце називається спадковим кільцем, якщо воно спадкове справа та зліва.

У підрозділі 3.4 розглядаються основні властивості напівдосконалих напівдистрибутивних кілець. Наведено ряд тверджень, які використовуються в подальших міркуваннях.

Модуль M називається дистрибутивним, якщо для всіх підмодулів K, L, N виконується рівність K?(L+N) = K?L+K?N.

Підмодуль та фактормодуль дистрибутивного модуля є дистрибутивними. Модуль називається напівдистрибутивним, якщо він є прямою сумую дистрибутивних модулів. Кільце A називається напівдистрибутивним справа (зліва), якщо правий (лівий) регулярний модуль A_A (_АА) є напівдистрибутивним. Напівдистрибутивне справа і зліва кільце є напівдистрибутивним.

У підрозділі 3.5 вводяться поняття напівланцюгового кільця та модуля.

Модуль називається ланцюговим, якщо решітка його підмодулів є ланцюгом, тобто множина всіх його підмодулів є лінійно впорядкованою по включенню. Модуль називається напівланцюговим, якщо він розкладається в пряму суму ланцюгових підмодулів.

Кільце називається ланцюговим справа (зліва), якщо воно є правим (лівим) ланцюговим модулем над собою, тобто решітка правих ідеалів є лінійно впорядкованою. Кільце називається напівланцюговим справа (зліва), якщо воно є правим (лівим) напівланцюговим модулем над собою. Кільце, яке є одночасно напівланцюговим справа і зліва називається напівланцюговим кільцем.

Кожен ланцюговий модуль є дистрибутивним модулем і кожен напівланцюговий модуль є напівдистрибутивним модулем.

Напівдосконалі напівдистрибутивні кільця називаємо SPSD-кільцями. Сагайдаки таких кілець та сагайдаки черепичних порядків описуються в підрозділі 3.6.

Мінори асоціативних кілець та k- визначенні властивості кілець розглядаються в підрозділі 3.7.

Поняття мінора асоціативного кільця з одиницею було введено Ю. А. Дроздом в 1971 році. Нехай A- кільце, P- скінченнопороджений проективний A-модуль, який можна розкласти в пряму суму n нерозкладних модулів.

Кільце ендоморфізмів B = End_A(P) модуля P називається мінором порядку n кільця А.

Поняття мінора є дуже важливим і застосовується в структурній теорії кілець, зокрема при описі напівланцюгових нетерових справа кілець і різних класів напівдистрибутивних кілець. Багато властивостей кілець відображаються через їх мінори. Зокрема, мінори артінових та нетерових кілець є відповідно артіновими та нетеровими. Кільце є напівдосконалим тоді і тільки тоді, коли будь-який мінор першого порядку цього кільця є напівдосконалим.

Ми розглядаємо мінори FDI-кілець, бо в іншому випадку мінори можуть не існувати. Нехай . Вважається, що властивість Ф кільця А є n- мінорною властивістю тоді і тільки тоді, коли всі його мінори, порядки яких не перевищують n, мають властивість Ф і навпаки, якщо всі мінори кільця А порядку, що не перевищує n мають властивість Ф, то і кільце А має властивість Ф.

Відмітимо, що властивість Ф може виконуватися для всіх ідемпотентів еА таких, що e?1, але кільце А не володіє властивістю Ф.

Приклад такого кільця наводиться нижче.

Приклад 3.7.1 Позначимо через M_n(В) кільце всіх квадратних матриць з елементами з кільця В.



Нехай є підкільцем кільця M₄(В), де D-тіло, е₁₁, е₂₂,е₃₃,е₄₄ - матричні локальні ідемпотенти.

Зрозуміло, що всі мінори першого порядку - це тіла D, другого порядку - кільця вигляду T₂(D) (T_n(D) - кільце всіх верхніх трикутних матриць порядку n над тілом D). Мінори третього порядку мають вигляд , або . Всі ці кільця є спадковими, але кільце A₄ не є спадковим.

Таким чином, ми побудували приклад артінового кільця сагайдак якого має чотири вершини, а властивість Ф- спадковість не є 3 - мінорною.

Для квазіфробеніусових кілець ситуація виглядає протилежним чином. Якщо А - квазіфробеніусове кільце, то не завжди кільце eAe - квазіфробеніусове. Але, якщо сагайдак Q(A) артінового з двох сторін кільця A має, щонайменше чотири вершини, то з того що кільце eAe є квазіфробеніусовим для ідемпотентів кільця A, відмінних від 0 та 1, випливає, що кільце А є квазіфробеніусовим. Таким чином, властивість артінового кільця А, сагайдак якого Q(A) містить s вершин не є (s-1)- мінорною.

Ідемпотент кільця A називається тривіальним, якщо він дорівнює 0 або 1, в іншому випадку ідемпотент називається нетривіальним.

Нагадаємо, що цоколем модуля M називається сума всіх його простих підмодулів. Ця сума позначається socM. Через topM позначається фактормодуль M/MR. Якщо P₁,…,P_s всі нерозкладні попарно неізоморфні головні А - модулі, то всі попарно неізоморфні прості А - модулі, тобто кожен головний А-модуль Р містить один максимальний підмодуль PR.

Всі результати про головні та прості модулі мають місце для будь-яких напівдосконалих кілець. Ми будемо використовувати ті самі позначення, що і для артінових кілець.

Означення 3.7.2. Напівдосконале кільце A дозволяє підстановку Накаями множини {1,2,…,s}, якщо виконуються наступні умови:

(nр 1) ;

(nр 2) .

Артінове кільце A називається квазіфробеніусовим кільцем (QF - кільцем), якщо воно дозволяє підстановку Накаями.

Квазіфробеніусове кільце A називається фробеніусовим кільцем, якщо для всіх i = 1,…s.

Будемо говорити, що артінове кільце A задовільняє умову F, якщо для довільного нетривіального ідемпотента еА кільце eAe квазіфробеніусове.

Теорема 3.7.3 Нехай артінове кільце A задовільняє умову F. Тоді якщо кількість вершин в сагайдаку Q(A) кільця A не менше чотирьох, то кільце A квазіфробеніусове.

У підрозділі 3.8 наводиться будова кільця H_m(?). Ми наслідуємо УорфілдаWarfield R.B. Jr. Serial Rings and finitely presented modules / R.B. Warfield Jr.// Journal of Algebra.-1975.- №37.-P.187-222. в означенні дискретно нормованого кільця.

Означення 3.8.1 Дискретно нормоване кільце є нетеровим локальним ланцюговим кільце, яке не є артіновим. Це еквівалентно тому, що кільце ? з радикалом Джекобсона M задовольняє наступним умовам:

1. ?/M- тіло;

2. ;

3. Mⁿ ? 0 для всіх n>0;

4. Mⁿ/Mⁿ⁺¹ є простим, як лівий і правий ?-модуль.

В цьому випадку M = ? = ?, де - простий елемент кільця ?.

Кільце H_m(?) має наступний вигляд:

,

де ? - дискретно нормоване кільце.

Ми розглядаємо верхнєтрикутні матричні кільця у вигляді H_m(?), оскільки прагнемо, щоб нумерація вершин сагайдака була узгодженою з нумерацією головних модулів. Нагадаємо, що головний модуль - це проективний А-модуль, який має наступний вигляд: P = eA, де e- локальний ідемпотент. Отже,

H_m(?) = P₁…P_m,

де e_ii H_m(?) = P_i.

Нехай R- радикал Джекобсона, тобто P_iR = P_i+1 (i = 1,…,m-1) і P_mR = рP₁, тобто . В такому випадку сагайдак є простим циклом C_m.

Скінченно-породжені модулі над напівмаксимальними кільцями розглядаються в підрозділі 3.9.

Мінори черепичних порядків розглядаються в підрозділі 3.10.

Найбільш природнім класом кілець, для яких можна розглядати мінори є клас напівдосконалих кілець.

Нехай А напівдосконале кільце. Для одиниці 1А існує розклад 1 = e₁+e₂+…e_n в скінченну суму попарно ортогональних локальних ідемпотентів e₁,e₂,…,e_n. Поняття k- мінорності для напівдосконалих кілець не залежить від розкладу 1А і тому визначається для них однозначно.

Теорема 3.10.3. Властивість кільця бути напівпервинним є 2- мінорною в класі напівдосконалих кілець.

Твердження 3.10.1. Властивість кільця бути напівдистрибутивим є 2- мінорною в класі напівдосконалих кілець.

Твердження 3.10.2. Властивість кільця А бути SPSD- кільцем є 2- мінорною в класі напівдосконалих кілець.

Теорема 3.10.4. Властивість кільця бути черепичним порядком є 2- мінорною в класі напівдосконалих кілець.

Наслідок 3.10.1. Властивість кільця бути спадковим черепичним порядком є 2 - мінорною в класі напівдосконалих кілець.

Теорема 3.10.4 та наслідок 3.10.1 є узагальненням результатів Ю.А. Дрозда Drozd Yu.A. Minors and reduction theorems/ Yu.A. Drozd// Coll. Math. Soc. J. Bolyai.-1971.- v.6.-P. 173-176. та У. ГустафсонаGustafson W.H. On hereditary orders /W.H. Gustafson // Communications in algebra.-1987.- 15.-P.219-226. .

Четвертий розділ присвячено властивостям напівдосконалих та напівдистрибутивних кілець.

Поняття скінченнозображувальних модулів та деякі їх властивості розглядаються у підрозділі 4.1. Через R ми позначаємо радикал Джекобсона кільця A. напівдосконалий напівдистрибутивний черепичний факторкільце

Означення 4.1.1 Модуль M називається скінченно-зображувальним, якщо він скінченно-породжений і існує епіморфізм скінченно-породженого проективного модуля P на модуль M такий, що Ker є скінченно-породженим модулем.

Слабопервинні спадкові справа SPSD- кільця розглядаються в підрозділі 4.2.

Означення 4.2.1 Кільце A називається первинним, якщо добуток будь-яких двох ненульових двосторонніх ідеалів A є ненульовим.

Означення 4.2.2 Iдеал I в кільці A називається напівпервинним, якщо вiн має наступнi властивостi: якщо I є правим (чи лiвим) iдеалом в кiльцi A таким, що J²I, то тодi JI.

Означення 4.2.3 Кільце A називається напівпервиним, якщо 0 є напiвпервинним iдеалом, тобто кiльце A не мiстить ненульових нільпотентних ідеалів.

Означення 4.2.4 Кільце A називається слабопервинним, якщо добуток будь-яких двох ідеалів, які не належать R, є ненульовим.

Твердження 4.2.2. Якщо A слабопервинне спадкове справа SPSD -кільце і e - ненульовий ідемпотент кільця A, то кільце eAe також є слабопервинним спадковим справа SPSD -кільцем.

Твердження 4.2.6. Будь-який зведений мінор слабопервинного спадкового справа SPSD -кільця ізоморфний кільцю H₂(?), де - дискретно нормоване кільце.

Твердження 4.2.7. Нехай A спадкове справа слабопервинне SPSD -кільце, яке не є артіновим та локальним. Тоді A еквівалентно в сенсі Моріти кільцю H_m(?), де m?2.

Зауважимо, що існує багато прикладів артінових слабопервинних напівдистрибутивних кілець. Тому умова спадковості кільця є суттєвою для сформульованої нище теореми.

Теорема 4.2.5. Спадкове справа слабопервинне SPSD -кільце еквівалентне в сенсі Моріти або тілу, або кільцю H_m(?). Навпаки всі такі кільця є спадковими справа і зліва слабопервинними SPSD -кільцями.

У підрозділі 4.3 розглядаються факторкільця нетерових напівдосконалих кілець.

Теорема 4.3.6. Наступні умови є еквівалентними для черепичного порядка А:

(1) А спадкове справа і зліва кільце;

(2) А - напівланцюгове кільце;

(3) A/R² - напівланцюгове кільце;

(4) A/R² - праворядне кільце.

Умови (1)-(3) цієї теореми були доведенні раніше В.В. Кириченком, умову (4) ми отримали в ході дисертаційного дослідження.

Підрозділ 4.4 присвячений квазіфробеніусовим кільцям.

Умовами Накаями для напівдосконалого кільця А називаються наступні дві умови: цоколі головних правих і лівих А - модулів прості; головні модулі (праві і ліві) з ізоморфними цоколями ізоморфні.

Квазіфробеніусові кільця характеризуються наступною теоремою Кириченко В.В. О квазифробениусовых кольцах и горенштейновых порядках/ В.В. Кириченко // Труды Ин-та математики им. В. А. Стеклова АН СССР.-1978.-Т. 148.-С. 168- 174.:

Теорема 4.4.1. Для двостороннього артінового кільця А наступні умови є еквівалентними:

1) А - квазіфробеніусове;

2) кільце А задовольняє умовам Накаями.

Для первинного нетерового SPSD- кільця з ненульовим радикалом Джекобсона справедливою є теорема:

Теорема 4.4.4. Черепичний порядок A є напівланцюговим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є квазіфробеніусовим.

Теорема 4.4.5. Черепичний порядок A є спадковим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є квазіфробеніусовим.

Теорема 4.4.6. Кільце А є спадковим тоді і тільки тоді, коли існує допустимий ідеал І такий, що A/I є квазіфробеніусовим кільцем скінченного типу.

Теорема 4.4.7. Нехай I - двосторонній ідеал черепичного порядку A, який лежить в R². Кільце A є напівланцюговим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/I є напівланцюговим артіновим кільцем.

Ми побудували приклад черепичного порядку A з матрицею показників та ідеала I з матрицею показників таких що, факторкільце A/I є праворядним нерозкладним кільцем, але не є напівланцюговим.

Підрозділ 4.5 присвячено сагайдакам трикутних черепичних порядків.

Позначимо через M_n(Z) кільце всіх nn - матриць над кільцем цілих чисел Z. Нехай е = M_n(Z).

Сагайдак називається простим, якщо його матриця суміжності є (0,1)- матриця, тобто сагайдак не має кратних стрілок та кратних петель.

Означення 4.5.1. Матриця е = (б_ij) називається матрицею показників, якщо б_ij+б_jk?б_ik для i,j,k = 1,…,n і _ii = 0 для i = 1,…,n. Матриця показників називається зведеною, якщо б_ij+б_jk>0 для i,j = 1,…,n..

Нехай е = (б_ij) є зведеною матрицею показників. Нехай е⁽¹⁾ = (в_ij), де в_ij = б_ij для i?j та в_ii = 1 для i = 1,…,n., та е⁽²⁾ = (г_ij),, де . Тоді (0,1)- матриця [Q] = е⁽²⁾-е⁽¹⁾ є матрицею суміжності для сильнозв'язного простого сагайдака Q = Q(е). Сагайдак Q = Q(е). називається сагайдаком зведеної матриці показників е.

Нагадаємо, що сильнозв'язний простий сагайдак називається допустимим, якщо він є сагайдаком зведеної матриці показників.

Означення 4.5.3. Черепичний порядок A будемо називати горенштейновим черепичним порядком, якщо A є бієктивною A-решіткою, тобто A* = Hom_?(A,?) є проективною лівою A-решіткою.

Означення 4.5.4. Черепичний порядок A = {?,е(A)} називається трикутним, якщо матриця показників е = (б_ij) є трикутною, тобто _ij = 0 для i?j.

Твердження 4.5.1. Якщо допустимий сагайдак, який складається тільки з простого цикла, C_n і петель в деяких вершинах, не має петлі, хоча б в одній вершині, то він не має петель в усіх вершинах і співпадає з простим циклом C_n.

Теорема 4.5.3. Зведений черепичний порядок A = {?,е(A)} є горенштейновим трикутним порядком тоді і тільки тоді, коли B = A/A є напівланцюговим кільцем.

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

ВИСНОВКИ

У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, які пов'язані з вивченням будови напівдосконалих та напівдистрибутивних кілець. В роботі широко використовується поняття мінора асоціативного кільця з одиницею, яке було введено Ю.А. Дроздом в 1971 році. Багато властивостей кілець справджуються для всіх мінорів цих кілець. Ми розглядаємо мінори FDI- кілець, тобто кілець з розкладом одиниці в скінченну суму попарно ортогональних примітивних ідемпотентів. За допомогою техніки мінорів та сагайдаків в дисертації досліджуються властивості напівланцюгових та напівдосконалих напівдистрибутивних кілець.

Основними науковими результатами дисертації є наступні:

§ Доведено, що властивість кільця бути черепичним порядком є 2-мінорною в класі напівдосконалих кілець. Також узагальнено результати Ю.А. Дрозда та У. Густафсона, а саме доведено, що властивість кільця бути спадковим черепичним порядком є 2-мінорною в класі напівдосконалих кілець.

§ Доведено, що будь-яке слабопервинне спадкове справа напівдосконале і напівдистрибутивне кільце є напівланцюговим нетеровим кільцем.

§ Доведено, що зведений черепичний порядок A = {?,е(A)} є горенштейновим трикутним порядком тоді і тільки тоді, коли B = A/A є напівланцюговим кільцем.

§ Доведено, що черепичний порядок A є напівланцюговим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є квазіфробеніусовим.

§ Доведено, що черепичний порядок А є спадковим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є квазіфробеніусовим.

§ Встановлено, що черепичий порядок А є спадковим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є праворядним.

§ Доведено, що будь-який власний мінор спадкового кільця є спадковим кільцем та з того що будь-який власний мінор кільця є квазіфробеніусовим випливає, що кільце є квазіфробеніусовим.

§ Для довільного артінового кільцяА, сагайдак якого Q(A) містить s вершин доведено, що властивості: Ф₁ - спадковість та Ф₂ - квазіфробеніусовість не є (s-1)- мінорними.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору В.В. Кириченку за постановку розглянутих в дисертаційній роботі задач та консультації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Дармосюк В.Н. Колчаны треугольных черепичных порядков/ В.Н. Дармосюк // Известия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины . - 2007. - №2 (41). - С. 50-54.

2. Дармосюк В.М. Мінори черепичних порядків / В.М. Дармосюк // Вісник Київського університету. Математика. Механіка. - 2007. - №17-18. - С. 29-32.

3. Дармосюк В.М. Слабопервинні спадкові справа SPSD-кільця/ В.М. Дармосюк// Математичні Студії. - 2007. - Т. 28, №1. - С. 11-17.

4. Дармосюк В. Властивості квазіфробеніусових кілець/ В.М. Дармосюк// Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2008. - Випуск №1. - С. 21-22.

5. Дармосюк В.М. Факторкільця нетерових напівдосконалих кілець/ В. М. Дармосюк// Вісник Київського університету. Серія: фізико - математичні науки. - 2008. - Випуск №4. - С. 15-19.

6. Darmosiuk V.N. On prime Noetherian semiperfect and semidistributive rings/ V.N. Darmosiuk // 5th International Algebraic Conference in Ukraine, 20-27 july 2005: abstracts of talks. - Odessa, 2005. - P. 55.

7. Darmosiuk V.N. On prime hereditary semiperfect and semidistributive rings/ V.N. Darmosiuk // International Conference on Radical, 30 july - 5 august 2006: abstracts of talks. - K., 2006.- P. 27-28.

8. Дармосюк В.М. Властивості черепичних порядків/ В.М. Дармосюк // Наукова конференція пам'яті доктора фіз.-мат. наук, професора С.С. Левіщенка, 7 жовтня 2006 р.: тези доповідей.- К., 2006.- С. 36.

9. Дармосюк В.М. Спадкові справа слабопервинні SPSD-кільця/ В.М. Дармосюк // 6th International Algebraic Conference in Ukraine,1-7 july 2007: abstracts of talks. - Kamyanets-Podilsky, 2007. - P. 54.

10. Дармосюк В.Н. Теоремы редукции для ассоциативных колец / В.Н. Дармосюк // Международная конференция посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша, 27 мая - 03 июня 2008: тезисы докладов. - М., 2008. - С. 81-82.

АНОТАЦІЯ

Дармосюк В.М. Нетерові напівдосконалі та напівдистрибутивні кільця. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - Алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню напівдосконалих та напівдистрибутивних кілець (SPSD-кілець). Нехай A асоціативне кільце з радикалом Джекобсона R.

Важливим підкласом SPSD - кілець є клас напівланцюгових кілець. Цей клас кілець був введений Л.А. Скорняковим та Р.Б. Уорфілдом. Артінові напівланцюгові кільця вивчали Кьоте, Накаяма, Ейзенбуд та Гріффіт та інші математики протягом 30-80 років ХХ століття.

Ми використовуємо важливе поняття мінора асоціативного кільця, введеного Ю.А. Дроздом, при вивчені черепичних порядків, тобто правих нетерових первинних SPSD-кілець з ненульовим радикалом Джекобсона. Зокрема, властивість кільця бути спадковим черепичним порядком є 2-мінорною в класі напівдосконалих кілець. Доведено, що будь-яке слабопервинне спадкове справа SPSD - кільце є напівланцюговим нетеровим кільцем. Показано, що зведений черепичний порядок A = {?,е(A)} є горенштейновим трикутним порядком тоді і тільки тоді, коли B = A/A є напівланцюговим кільцем. Доведено, що черепичний порядок A є напівланцюговим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є квазіфробеніусовим. Аналогічний результат доведено для спадкових черепичних порядків. Ми показали, що черепичий порядок А є спадковим тоді і тільки тоді, коли факторкільце A/R² є праворядним.

Ключові слова: сагайдак напівдосконалого кільця, напівланцюгове кільце, мінор асоціативного кільця, спадкове кільце, черепичний порядок, квазіфробеніусове кільце.

АННОТАЦИЯ

Дармосюк В.Н. Нетеровы полусовершенные и полудистрибутивные кольца. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - Алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Дисертационная работа посвящена исследованию свойств полусовершенных и полудистрибутивных колец. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованной литературы.

Во введении обоснована актуальность работы, определены предмет, цель и задачи исследования, указаны методы, научная новизна, теоретическое и практическое значение исследования, описаны личный вклад соискателя, апробация полученных результатов, структура диссертации.

В первом разделе приведен краткий исторический обзор литературы по теме диссертации и описано современное состояние изучения проблем, близких к рассматриваемым в диссертационной работе.

Второй раздел имеет вспомогательный та систематизирующий характер, он содержит основные определения и некоторые утверждения, что рассматриваются в работе.

Третий раздел посвящен минорам ассоциативных колец, введенных Ю.А. Дроздом. Рассмотрено разные примеры минорных свойств в классе полусовершенных колец. Доказано, что свойство кольца быть полупервичным, полудистрибутивным и SPSD-кольцом есть 2-минорною. Обобщением результатов Ю.А. Дрозда и У. Густафсона является доказательство того, что свойство кольца быть наследственным черепичным порядком есть 2-минорною в классе полусовершенных колец. Для произвольного артинова кольца А, колчан которого Q(A) содержит s вершин доказано, что свойства: Ф₁ - наследственность и Ф₂ - квазифробениусовость не являются (s-1) - минорными.

В четвертом разделе рассматриваются свойства полуцепных колец. Показано, что любое слабопервичное наследственное справа полусовершенное и полудистрибутивное кольцо является полуцепным нетеровым кольцом. Доказано, что приведенный черепичный порядок A = {?,е(A)} является горенштейновым треугольным порядком тогда и только тогда, когда B = A/A является полуцепным кольцом. Черепичный порядок A является наследственным тогда и только тогда, когда факторкольцо A/R² является квазифробениусовым. Показано, что черепичный порядок A наследстенен тогда и только тогда, когда факторкольцо A/R² полуцепное справа. Доказано, что любой собственный минор наследственного кольца является наследственным кольцом, из того что, любой собственный минор кольца является квазифробениусовым следует, что кольцо является квазифробениусовым.

Ключевые слова: колчан полусовершенного кольца, полуцепное кольцо, минор ассоциативного кольца, наследственное кольцо, черепичный порядок, квазифробениусовое кольцо.



ANNOTATION

Darmosiuk V.M. Noetherian semiperfect and semidistributive rings. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of candidate of sciences in physical and mathematical, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2009.

The thesis work is devoted to study of semiperfect and semidistributive rings (shortly, SPSD - rings). Let A be associative ring with the radical R.

The important subclass of SPSD - rings is the class of serial rings. This class was introduced by L.A. Skornyakov and R.B. Warfield. Artinian serial rings studied by Kцthe, Nakayama, Einsenbut and Griffith and others during 30-80 years of XX century.

We apply the useful Drozd's notion of the minor of an associative rings for studying tiled orders, i.e. right Noetherian prime SPSD - rings with the nonzero Jacobson radical. In particular, the property of ring to be hereditary order is two-minor in the class of semiperfect rings. It is proved that every weakly prime right hereditary SPSD - ring is a serial Noetherian ring. We show that a reduced tiled order A = {?,е(A)} is the Gorenstein triangular order if and only if the ring B = A/A is serial ring. It is proved that a tiled order A is serial if and only if the ring A/R² is quasi-Frobenius. Analogous result is proved for hereditary tiled orders. We show that a tiled order A is hereditary if and only if the ring A/R² is right serial.

Key words: quiver of semiperfect ring, serial ring, minor of an associative ring, hereditary ring, tiled order, quasi-Frobenius ring.

Размещено на Allbest.ru

...