Дослідження властивостей розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 -- диференціальні рівняння

Дослідження властивостей розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом

Денисенко Наталя Леонідівна

Київ -- 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: академік НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Самойленко Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Черевко Ігор Михайлович, Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, декан факультету прикладної математики;

доктор фізико-математичних наук Романенко Олена Юріївна, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії динамічних систем.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Анотація

диференціальний рівняння матриця

Денисенко Н.Л. Дослідження властивостей розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

В дисертаційній роботі досліджуються питання існування неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом і вивчаються їх властивості. Для систем лінійних неоднорідних диференціально-функціональних рівнянь встановлено умови, за яких їх дослідження зводиться до дослідження системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь. Отримано умови існування сім'ї неперервно диференційовних на розв'язків систем лінійних і нелінійних диференціально-функціональних рівнянь і розроблено метод їх побудови. Встановлено достатні умови існування обмежених при розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу, запропоновано метод побудови таких розв'язків та досліджено їх асимптотичні властивості. Встановлено достатні умови існування і єдиності неперервних періодичних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу і досліджено структуру множини асимптотично періодичних розв'язків таких систем рівнянь.

Ключові слова: системи диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом, відхилення аргументу, неперервно диференційовний обмежений розв'язок, асимптотично періодичний розв'язок.

Аннотация

Денисенко Н.Л. Исследование свойств решений систем дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Дифференциально-функциональных уравнения с линейными отклонениями аргумента были основным объектом исследования многих математиков и широко используются в разных областях науки и техники. Обширные приложения, а также разнообразие и сложность проблем, которые возникают при их исследовании, стимулирует исследование различных вопросов теории таких уравнений. В настоящее время имеется большое количество публикаций, в которых изучено целый ряд актуальных проблем их теории. Среди них особое место занимают работы, в которых изучаются вопросы существования непрерывно дифференцируемых, ограниченных и периодических решений таких уравнений и исследуются их свойства.

В дисcертационной работе исследуются вопросы существования непрерывно дифференцируемых решений систем дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом и изучаются их свойства. Для систем линейных неоднородных дифференциально-функциональных уравнений получены условия, при которых их исследование сводится к исследованию системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом предлагается алгоритм построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений и обсуждается вопрос об ее исследовании. Получены условия существования семьи непрерывно дифференцируемых на решений систем линейных и нелинейных дифференциально-функциональных уравнений и разработан метод их построения. Рассматриваются, как правило, случаи уравнений с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия существования ограниченных при решений систем дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргумента, предложен метод построения таких решений и исследованы их асимптотические свойства. Установлены достаточные условия существования и единственности непрерывных периодических решений систем дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргумента. Предложен метод построения периодических решений таких систем уравнений. Исследована структура множества асимптотически периодических решений систем дифференциально-функциональных уравнений с линейными отклонениями аргумента. Получены оценки асимптотически периодических решений, позволяющие судить об их свойствах.

Ключевые слова: системы дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом, отклонение аргумента, неперервно дифференцируемое ограниченное решение, асимптотически периодическое решение.

Annotation

Denysenko N.L. Study of the solution properties for the systems of differential-functional equations with a linearly transformed argument. -- Manuscript.

The thesis is for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.02 -- Differential Equations. -- Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

Existence of continuously differentiable solutions of the systems of differential-functional equations with linearly transformed argument is investigated and their properties are studied in the thesis. Conditions under which the study of the systems of linear nonhomogeneous differential-functional equations is reduced to the study of the systems of ordinary linear differential equations have been established. Conditions of the existence of a family of continuously differentiable at solutions of the systems of linear and nonlinear differential-functional equations have been obtained and the method of their construction has been developed. The sufficient conditions of existence of bounded at solutions of the systems of differential-functional equations with linear deviations of argument have been established. Furthermore, the method of construction has been suggested for such solutions of system and its asymptotic properties have been studied. The sufficient conditions of existence and uniqueness of continuous periodic solutions of the systems of linear and nonlinear differential-functional equations with linear deviations of argument have been obtained. The structure of asymptotic periodic solutions set of such systems equations has been researched.

Key words: systems of differential-functional equations with linearly transformed argument, deviation of argument, continuously differentiable bounded solution, asymptotic periodic solution.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Теорія диференціальних рівнянь із відхиленнями аргументу представляє собою важливий розділ математики, розвитку якого присвячена велика кількість оригінальних статей і монографій: Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматулліної, Р. Беллмана, К. Кука, Л.Е. Ельсгольца, С.Б. Норкіна, Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, Д.І. Мартинюка, А.Д. Мишкіса, О.М. Шарковського, Г.П. Пелюха, Є.М. Райта, А. Халаная, Дж. Хейла та інших відомих математиків. В даний час існує багато робіт, в яких досить детально досліджені окремі класи таких рівнянь. До них, зокрема, відносяться диференціальні рівняння з постійними відхиленнями аргументу, основним джерелом яких є задачі теорії керування. Такі рівняння, як відомо, знаходять широкі застосування при описанні нелінійних явищ і процесів, що відбуваються в різноманітних реальних системах і все більше математиків вибирають їх в якості основного об'єкту дослідження. Але цього не можна сказати про диференціально-функціональні рівняння з лінійними відхиленнями аргументу вигляду

де - деяка дійсна вектор-функція дійсних аргументів, , які досліджувались багатьма математиками і широко застосовуються в різних областях науки і техніки. Поряд з властивостями, які характерні для звичайних диференціальних рівнянь, такі рівняння мають певні специфічні властивості, які відсутні у відповідних диференціальних рівнянь без відхилень аргументу. Особливо часто такі властивості виявляються при дослідженні розв'язків цих рівнянь в околах особливих точок і . Крім того, різноманітність і складність проблем, які з'являлись при їх дослідженні, стимулювали подальше більш глибоке вивчення існуючих питань і привертали увагу на пов'язані з ними нові питання в теорії диференціально-функціональних рівнянь. У результаті цього в даний час існує багато праць, в яких достатньо детально досліджено цілий ряд важливих проблем теорії диференціально-функціональних рівнянь.

Проте і досі в теорії диференціально-функціональних рівнянь є ціла низка питань, які досліджені дуже мало. До них, зокрема, належать питання існування неперервно диференційовних розв'язків широких класів таких рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу і дослідження їх властивостей при (), які мають важливе значення для подальшого розвитку теорії таких рівнянь. Саме ці питання і є основним об'єктом дослідження даної дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з планом науково-дослідних робіт за темами “Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь” (номер державної реєстрації 0198U001998), “Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань” (номер державної реєстрації 0101U000526), та на кафедрі диференціальних рівнянь Національного технічного університету України “Київський Політехнічний Інститут” згідно з держбюджетною темою “Асимптотичні та якісні методи дослідження еволюційних систем” (номер державної реєстрації 0107U010797), проекту Державного фонду фундаментальних досліджень України Ф25.1/021.

Мета і завдання дослідження. Основною метою дисертації є дослідження властивостей розв'язків систем лінійних і нелінійних диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу.

Об'єктом дослідження є системи диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу.

Предметом дослідження є неперервно диференційовні розв'язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу.

Основними завданнями дослідження є:

- встановлення достатніх умов існування неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь;

- дослідження структури множини неперервних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу;

- знаходження умов існування неперервних періодичних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь;

- дослідження асимптотичних властивостей неперервних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу.

Методи дослідження. Використовуються основні методи теорії звичайних диференціальних і диференціально-функціональних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації, які виносяться на захист, полягають в наступному:

- встановлено умови, за яких дослідження системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь зводиться до дослідження системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь;

- отримано достатні умови існування неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь;

- досліджено структуру множини неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом;

- досліджено асимптотичні властивості неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь;

- встановлено достатні умови існування і єдиності неперервних періодичних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та досліджено їх властивості.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Одержані в ній результати розвивають і доповнюють результати робіт багатьох математиків, в яких вивчались подібні питання для диференціально-функціональних рівнянь. Вони сприятимуть подальшому розвитку теорії диференціально-функціональних рівнянь і можуть бути використані при дослідженні задач теорії керування, біології, економіки та інших галузей науки і техніки, математичними моделями яких є такі рівняння.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержано автором самостійно. Постановка задач та визначення загального плану досліджень належать науковому керівникові А.М. Самойленку.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на таких конференціях та семінарах:

- Міжнародній науковій конференції ''Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування'' (м. Ужгород, 2006 р.);

- Міжнародній науковій конференції ''Диференціальні рівняння та їх застосування'' (м. Чернівці, 2006 р.);

- Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька Скоробогатька (м. Дрогобич, 2007 р.);

- XII Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (м. Київ, 2008 р.);

- Міжуніверситетській науковій конференції з математики та фізики для студентів та молодих вчених (м. Київ, 2009 р.);

- Міжнародній конференції до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (м. Чернівці, 2009 р.);

- наукових семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (2007 р., 2009 р.);

- наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь Національного технічного університету України “КПІ” (2008 р., 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 11 роботах, з яких 5 - в спеціалізованих фахових журналах [1-5], 6 - в збірниках тез наукових конференцій [6-11].

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 77 найменувань. Повний обсяг роботи складає 136 сторінок.

Автор висловлює глибоку подяку науковому керівнику академіку НАН України А.М. Самойленку за допомогу у роботі над дисертацією.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність розглядуваних в дисертації задач, визначено мету дослідження, сформульовано основні результати роботи і вказано на їх значення для подальшого розвитку теорії диференціально-функціональних рівнянь.

У першому розділі дисертації дається короткий огляд результатів інших авторів, які є близькими до теми дисертаційної роботи.

У другому розділі дисертації розглядаються системи лінійних і нелінійних диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом. При цьому основна увага зосереджена на вивченні питань існування неперервно диференційовних розв'язків таких систем та дослідженні їх властивостей.

Перший і другий підрозділи цього розділу присвячено дослідженню неперервних розв'язків систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь вигляду

(1)

де , , -- дійсні матричні функції розмірності , -- вектор-функція розмірності , -- невідома вектор-функція розмірності .

У підрозділі 2.1 встановлено умови, за яких вивчення системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь (1) зводиться до дослідження системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь вигляду

(2)

де , -- деякі матрична і векторна функції відповідно. При цьому під розв'язком рівняння (1) розуміємо неперервно диференційовну вектор-функцію , яка при підстановці перетворює (1) у тотожність.

Доведена, зокрема, така теорема.

Теорема 2.1. Нехай виконуються умови:

всі елементи матриць , i вектора є визначеними, неперервними при функціями і

;

існують такі додатні сталі і що виконуються умови

де -- одинична матриця.

Тоді всі розв'язки системи звичайних диференціальних рівнянь (2) є на проміжку розв'язками системи диференціально-функціональних рівнянь (1) де -- деяка додатна стала, яка задовольняє умову

В підрозділі 2.2 досліджується питання існування неперервно диференційовних при розв'язків системи рівнянь (1) і відповідної їй однорідної системи рівнянь

(3)

Основними результатами цього підрозділу є такі теореми.

Теорема 2.4. Якщо всі елементи матриць є неперервними і обмеженими при функціями, то система рівнянь (3) має сім'ю неперервних при розв'язків , де , , , - довільні сталі.

Зауважимо, що розв'язки будуються у вигляді ряду

(4)

де векторні функції , , визначаються формулами

(5)

де , , , - довільні сталі.

Теорема 2.5. Якщо всі елементи матриць i вектора є неперервними і обмеженими при функціями то система рівнянь (1) має принаймні один неперервний при розв'язок .

При доведенні теореми розв'язок системи рівнянь (1) будується у вигляді ряду

(6)

де векторні функції , , визначаються за допомогою співвідношень

(7)

Із теорем 2.4, 2.5 випливає теорема.

Теорема 2.6. Якщо всі елементи матриць i вектора є неперервними і обмеженими при функціями, то система рівнянь (1) має сім'ю неперервних при розв'язків , де , , , - довільні сталі, - визначено співвідношеннями (4), (5), а - співвідношеннями (6), (7).

Аналогічні результати (теореми 2.8 - 2.10) отримано в підрозділі 2.2 при дослідженні питань про існування неперервних при розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь з багатьма відхиленнями аргументу вигляду

де , , , , , - -матричні функції, - вектор-функція розмірності .

У підрозділі 2.3 розглядається система нелінійних диференціально-функціональних рівнянь вигляду

(8)

де , , , - дійсні, -матричні функції, . Оскільки розроблений у підрозділі 2.2 метод побудови неперервно диференційовних розв'язків системи лінійних рівнянь неможливо застосувати до дослідження аналогічних питань для системи нелінійних рівнянь, то в даному підрозділі запропоновано новий підхід, який дає можливість отримати аналогічні результати для системи нелінійних рівнянь вигляду (8).

Для системи рівнянь (8) мають місце такі теореми.

Теорема 2.12. Нехай виконуються умови:

всі елементи матриць є неперервними обмеженими при функціями і

де

всі компоненти вектора є неперервними за всіма змінними при , функціями і

вектор-функція задовольняє умову

де , .

Тоді система рівнянь (8) має сім'ю неперервно диференційовних при розв'язків , де -- довільні сталі.

При доведенні цієї теореми розв'язки системи рівнянь (8) будуються у вигляді ряду

де векторні функції , , є розв'язками послідовності систем рівнянь

Теорема 2.13. Нехай виконуються умови 1), 3) теореми 2.12 і умова:

2) всі компоненти вектора є неперервними за всіма змінними при функціями, і .

Тоді система рівнянь (8) має неперервно диференційовний при розв'язок у вигляді ряду

де , є розв'язками послідовності систем рівнянь

Оскільки за допомогою заміни змінних

дослідження системи рівнянь (8) зводиться до дослідження системи

для якої виконуються всі умови теореми 2.12, то має місце наступний наслідок.

Наслідок 2.2. Якщо виконуються умови теореми 2.13, то система рівнянь (8) має сім'ю неперервно диференційовних при розв'язків , де , , , - довільні сталі.

Одержані вище результати узагальнюються в підрозділі 2.3 на системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з багатьма відхиленнями аргументу вигляду

де , , , , , , - дійсні, -матричні функції, .

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню систем лінійних і нелінійних диференціально-функціональних рівнянь із багатьма лінійними відхиленнями аргументу. Основною його метою є вивчення асимптотичних властивостей неперервно диференційовних розв'язків таких систем рівнянь та дослідження структури їх множини. Зокрема, для системи диференціально-функціональних рівнянь вигляду

(9)

у випадку, коли при , при (), , - стала -матриця, , , , - дійсні матричні функції розмірності , доведено таку теорему.

Теорема 3.3. Нехай виконуються умови: всі власні значення , , матриці такі, що Re при , Re при , , тобто існують проектори , , такі що

 при

при

всі елементи матриць , , , є неперервними обмеженими при функціями і

виконується співвідношення

Тоді справедливі твердження:

існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків де - довільні сталі, системи рівнянь (9), які прямують до нуля при

існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків де - довільні сталі, системи рівнянь (9), які прямують до нуля при .

При дослідженні системи диференціально-функціональних рівнянь (9) у випадку, коли , , (в цьому випадку відхилення аргументу є від'ємним), доведено таку теорему.

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови 1), 2) теореми 3.3 і умова

3)

де . Тоді справедливі твердження:

існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків , де , , , -- довільні сталі, системи рівнянь (9), які прямують до нуля при

існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків , де , , , -- довільні сталі, системи рівнянь (9), які прямують до нуля при .

У підрозділі 3.3 досліджено асимптотичні властивості неперервних розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь вигляду

(10)

у випадку, коли при , при (), , -- стала -матриця, .

Доведено, зокрема, таку теорему.

Теорема 3.7. Нехай виконуються умови:

всі власні значення , , матриці такі, що Re при , Re при , , тобто існують проектори , , такі що ,

 при

при

при вектор-функція така, що і

де , , ,

Тоді при достатньо малому справедливі твердження:

1) існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків , де , , , -- довільні сталі, системи рівнянь (10), які прямують до нуля при

2) існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків , де , , , -- довільні сталі, системи рівнянь (10), які прямують до нуля при .

В силу теореми 3.7 виникає питання про існування і властивості неперервно диференційовних на розв'язків системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь (10) у випадку, коли , . Відповідь на це питання дає така теорема.

Теорема 3.8. Нехай виконуються умови 1), 2) теореми 3.7 і умова

3)

де . Тоді при достатньо малому справедливі твердження:

існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків , де , , , -- довільні сталі, системи рівнянь (10), які прямують до нуля при

існує сім'я неперервно диференційовних обмежених при розв'язків , де , , , -- довільні сталі, системи рівнянь (10), які прямують до нуля при .

У четвертому розділі дисертації досліджується існування періодичних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу.

У підрозділі 4.1 розглядається система диференціально-функціональних рівнянь вигляду

(11)

у випадку, коли ; -- дійсна стала -матриця, власні числа якої задовольняють умову Re, ; , , -- дійсні -періодичні матричні функції розмірності ; -- дійсна -періодична векторна функція розмірності ; , . Оскільки в цьому випадку існує неособлива матриця така, що де -- деякі сталі матриці розмірності і , власні значення яких задовольняють умови

 (12)

то, виконуючи в (11) перетворення

(13)

отримаємо систему інтегральних рівнянь

(14)

(15)

Основними результатами цього підрозділу є такі теореми.

Теорема 4.3. Нехай виконуються умови:

власні значення , , матриці такі, що має місце (12), тобто при всіх

всі елементи матриць і вектора є неперервними -періодичними при функціями і

Тоді існує єдиний неперервний -періодичний розв'язок системи рівнянь (14).

Враховуючи теорему 4.3 і співвідношення (13), знаходимо, що вектор-функція є єдиним неперервним -періодичним розв'язком системи рівнянь (11).

Для однорідної системи рівнянь

(16)

яка відповідає (11), доведено таку теорему.

Теорема 4.4. Нехай виконуються умови теореми 4.3 і умова

де . Тоді справедливі твердження:

1) система рівнянь (16) має сім'ю неперервно диференційовних обмежених при розв'язків де -- довільні сталі що задовольняють умову

2) система рівнянь (16) має сім'ю неперервно диференційовних обмежених при розв'язків де -- довільні сталі що задовольняють умову .

У підрозділі 4.2 розглядається система нелінійних диференціально-функціональних рівнянь вигляду

(17)

у випадку, коли ; -- дійсна стала - матриця, власні числа якої задовольняють умову Re, ; вектор-функція є неперервною за всіма змінними і -періодичною за ; , . Зокрема, виконуючи в (17) перетворення (13), отримаємо систему рівнянь

(18)

де визначається за допомогою співвідношення (15). Для системи рівнянь (18) доведено таку теорему.

Теорема 4.7. Нехай виконуються умови:

власні значення , , матриці такі, що має місце (12), тобто при всіх

всі компоненти вектор-функції є неперервними за всіма змінними -періодичними за функціями і

де , , ,

Тоді при достатньо малому існує єдиний неперервний -періодичний розв'язок системи рівнянь (18).

Враховуючи теорему 4.7 і співвідношення (13), знаходимо, що вектор-функція є єдиним неперервним -періодичним розв'язком системи рівнянь (17).

Виконуючи в системі рівнянь (17) взаємно-однозначну заміну змінних

(19)

де -- -періодичний розв'язок цієї системи рівнянь, дослідження системи рівнянь (17) зводиться до дослідження системи рівнянь вигляду

(20)

де вектор-функція

є неперервною за всіма змінними, і задовольняє умову Ліпшица

де , , , .

Для системи рівнянь (20) доведено таку теорему.

Теорема 4.8. Нехай виконуються умови теореми і умова

де . Тоді при достатньо малому справедливі твердження:

1) система рівнянь (20) має сім'ю неперервно диференційовних обмежених при розв'язків де , -- довільні сталі які задовольняють умову ;

2) система рівнянь (20) має сім'ю неперервно диференційовних обмежених при розв'язків де , -- довільні сталі які задовольняють умову .

Таким чином, безпосередньо із (19) і теорем 4.7, 4.8 випливає, що система рівнянь (17) має сім'ю неперервно диференційовних розв'язків , що залежать від довільних сталих, які прямують до -періодичного розв'язку при і сім'ю неперервно диференційовних розв'язків , що залежать від довільних сталих, які прямують до -періодичного розв'язку при .

Висновки

Дисертація присвячена дослідженню систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом. Основні її результати, що виносяться на захист, полягають в наступному:

- встановлено умови, за яких дослідження системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь зводиться до дослідження системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь;

- отримано достатні умови існування неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь;

- досліджено структуру множини неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійно перетвореним аргументом;

- досліджено асимптотичні властивості неперервно диференційовних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь;

- встановлено достатні умови існування і єдиності неперервних періодичних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та досліджено їх властивості.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Самойленко А.М. Про розв'язки на півосі системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом / А.М. Самойленко, Н.Л. Денисенко // Укр. мат. журн. - 2007. - Т. 59, № 4. - С. 501-513.

2. Денисенко Н.Л. Про неперервно диференційовні на R⁺ розв'язки систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. - 2007. - Т. 10, № 3. - С. 322-327.

3. Денисенко Н.Л. Про існування неперервних на R⁺ розв'язків систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь / Н.Л. Денисенко // Доповіді Національної академії наук України. - 2008. - № 7. - С. 10-14.

4. Денисенко Н.Л. Асимптотичні властивості неперервних розв'язків систем диференціально-функціональних рівнянь з лінійними перетвореннями аргументу / Н.Л. Денисенко // Наукові вісті Націон. техн. ун-ту України КПІ. - 2008. - № 3. - С. 135-141.

5. Денисенко Н.Л. Періодичні розв'язки систем диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. - 2009. - Т. 12, № 2. - С. 168-179.

6. Денисенко Н.Л. Існування неперервно-диференційовних розв'язків систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь з багатьма відхиленнями аргументу / Н.Л. Денисенко // Міжн. наук. конф. Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування, 18-23 вересня 2006 р., Ужгород : Тези доп. конф. - Ужгород, 2006. - С. 32-33.

7. Денисенко Н.Л. Побудова неперервно-диференційовних при розв'язків систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом / Н.Л. Денисенко // Міжн. наук. конф. Диференціальні рівняння та їх застосування, 11-14 жовтня 2006 р., Чернівці: Тези доп. конф. - Чернівці, 2006. - С. 38.

8. Денисенко Н.Л. Про неперервно-диференційовні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь / Н.Л. Денисенко // Міжн. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, 24-28 вересня 2007 р., Дрогобич: Тези доп. конф. - Дрогобич, 2007. - С. 87.

9. Денисенко Н.Л. Про асимптотичні властивості розв'язків систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійними перетвореннями аргументу / Н.Л. Денисенко // XII міжн. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 р., Київ : Матеріали конф., Т. 1. - Київ, 2008. - С. 131.

10. Денисенко Н.Л. Про -періодичні розв'язки системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійними перетвореннями аргументу / Н.Л. Денисенко // Міжунівер. наук. конф. з математики та фізики для студентів та молодих вчених, 21-22 травня 2009 р., Київ : Тези доп. конф. - Київ, 2009. - С. 19.

11. Денисенко Н.Л. Про періодичні розв'язки системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь із лінійними відхиленнями аргументу / Н.Л. Денисенко // Міжн. конф. до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди, 8-13 червня 2009 р., Чернівці: Тези доп. конф. - Чернівці, 2009. - С. 38-39.

Размещено на Allbest.ru

...