Решение систем уравнений
Правила решения систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Крамера. Порядок разложения вектора. Формирование уравнения медианы. Вычисление косинуса внутреннего угла треугольника. Расчет угла между ребрами пирамиды и площади грани.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.08.2015 |
| Размер файла | 1,1 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Решить систему линейных алгебраических уравнений двумя способами:
а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера
Решение. а) методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу:
Преобразуем расширенную матрицу
Получим систему уравнений
Откуда последовательно (обратным ходом Гаусса) получим
б) по формулам Крамера
Находим главный определитель системы
Следовательно система имеет одно единственное решение
Находим вспомогательные определители:
По формулам Крамера:
Проверка:
ОТВЕТ:
2. Разложить вектор по векторам
Решение. Вектора.,, образуют базис, так как определитель
Следовательно, вектор можно разложить по базисным векторам, то есть представить в виде где - коэффициенты, которые надо найти.Таким образом, имеем равенство
В координатной форме это равенство примет вид:
Следовательно, нужно решить полученную систему, используем метод Гаусса.
Получим систему
Отсюда получим .
Ответ:
3. Даны вершины треугольника А(19;3), В(-5;- 4), С(-9;-1)
Требуется: 1) составить уравнение медианы, проведённой из вершины В, и вычислить её длину; 2) составить уравнение высоты, проведённой из вершины А, и вычислить её длину; 3) найти косинус внутреннего угла В треугольника АВС.
Решение: 1) По формулам определения координат середины отрезка найдём координаты точки М, лежащей на середине стороны АС:
Получим , то есть М(5;1)
Составим уравнение медианы ВМ как прямой, проходящей через две точки.
Получим
- уравнение медианы ВМ.
Длину медианы найдём, используя формулу расстояния между точками
2) Уравнение высоты AD составим как уравнение прямой, проходящей через данную точку А перпендикулярно прямой ВС:
,
Здесь угловой коэффициент k найдём из условия перпендикулярности прямых AD и ВС.
Составим уравнение стороны ВС:
Отсюда угловой коэффициент прямой ВС . Из условия перпендикулярности двух прямых , то есть
Получим - уравнение высоты AD.
Длину высоты AD найдём используя формулу расстояния от точки А до прямой ВС:
Тогда длина высоты AD определяется так:
Сделаем чертёж
.
BC: , BM: , AD:
AD=20; BM=
3) величину угла B найдём по формуле
, ,
Ответ: 1) и ; 2) и 20; 3)
4. Даны вершины пирамиды А1 А2 А3 А4
А1 (0;-6;3), А2 (3;3;-3), А3 (-3;-5;2), А4 (-1;-4;0).
Найти: 1) угол между рёбрами А1А3 и А1А4;2) длину высоты проведённой из вершины А4; 3) Площадь грани А1А3 А4.
алгебраический уравнение медиана пирамида
Решение: 1) Составим уравнения ребер А1А3 и А1А4, используя уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве
Получим уравнения А1А3: или
А1А4: или
Применим формулу для нахождения угла между двумя прямыми в пространстве:
где
Получим ;
2) Длину высоты проведённой из вершины А4, найдём по формуле расстояния от точки А4 до плоскости А1 А2 А3
Для этого сначала составим уравнение плоскости А1 А2 А3, используя уравнение плоскости, проходящей через три точки
Получим
Преобразуем уравнение разложив определитель по элементам первой строки:
или
- получили общее уравнение плоскости А1 А2 А3
Расстояние от точки А4 до А1 А2 А3 найдём по формуле
Здесь A=-9, B=3, C=30, D=108
Получим
3) Площадь грани А1А3 А4.найдём по формуле
В пункте 2)
Тогда
Получим
Ответ: 1); 2) ; 3)
5. Найти следующие пределы
а)
б)
в)
г)
Решение: a) Применяя основные теоремы о пределах, находим.
б) При нахождении этого предела непосредственная подстановка предельного значения аргумента х=1 даёт неопределённость . Для раскрытия этой неопределённости разложим числитель и знаменаткль дроби на линейные множители по формуле - корни квадратного трёхчлена. После преобразования сократим дробь на общий множитель , далее применим теоремы о пределах
в) При нахождении этого предела имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на входящую в неё наивысшую степень переменной x (в данном случае на x3), потом применим теоремы о пределах:
г) При нахождении этого предела используем первый замечательный придел
Отсюда
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Изучение формул Крамера и Гаусса для решения систем уравнений. Использование метода обратной матрицы. Составление уравнения медианы и высоты треугольника. Нахождение пределов выражений и производных заданных функций. Определение экстремумов функции.
контрольная работа [59,1 K], добавлен 15.01.2014Сущность и содержание метода Крамера как способа решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Содержание основных правил Крамера, сферы и особенности их практического применения в математике.
презентация [987,7 K], добавлен 22.11.2014Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Изучение основ линейных алгебраических уравнений. Нахождение решения систем данных уравнений методом Гаусса с выбором ведущего элемента в строке, в столбце и в матрице. Выведение исходной матрицы. Основные правила применения метода факторизации.
лабораторная работа [489,3 K], добавлен 28.10.2014Нахождение длины сторон и площади треугольника, координат центра тяжести пирамиды, центра масс тетраэдра. Составление уравнений геометрического места точек, высоты, медианы, биссектрисы внутреннего угла, окружности. Построение системы линейных неравенств.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 13.12.2012Расчет произведения заданных матриц. Решение системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Координаты вектора в базисе. Определение ранга заданной матрицы. Система с базисом методом Жордана-Гаусса.
контрольная работа [88,2 K], добавлен 19.01.2014Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
реферат [66,4 K], добавлен 14.08.2009Вычисление определителя с использованием правила треугольника и метода разложения по элементам ряда. Решение системы уравнений тремя способами: методом Гаусса, методом Кремера и матричным методом. Составление уравнения прямой и плоскости по формуле.
контрольная работа [194,5 K], добавлен 16.02.2015Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
лекция [24,2 K], добавлен 14.12.2010Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
контрольная работа [239,4 K], добавлен 19.06.2009Решение задач систем линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений, методы Гаусса и Кремера. Нахождение длины и координат вектора и исчисление его скалярного произведения. Уравнение прямой и определение координат точек неравенства; пределы.
контрольная работа [220,9 K], добавлен 06.01.2011Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Способы решения системы уравнений с двумя переменными. Прямая как график линейного уравнения. Использование способов подстановки и сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
реферат [532,7 K], добавлен 10.11.2009Алгоритм решения задач по теме "Матрицы". Исследование на совместность системы линейных алгебраических уравнений, пример их решения по правилу Крамера. Определение величины угла при вершине в треугольнике, длины вектора. Исследование сходимости рядов.
контрольная работа [241,6 K], добавлен 19.03.2011Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Нахождение проекции точки на прямую, проходящую через заданные точки. Изучение формул Крамера для решения систем линейных уравнений. Определение точки пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Исследование и решение матричной системы методом Гаусса.
контрольная работа [98,6 K], добавлен 19.04.2015Задачи вычислительной линейной алгебры. Математическое моделирование разнообразных процессов. Решение систем линейных алгебраических уравнений большой размерности. Метод обратной матрицы и метод Гаусса. Критерии совместности и определенности системы.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 21.10.2011
