Параболічні та сідлові шарування та розподілення на тривимірних многовидах

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ІМЕНІ Б.І.ВЄРКІНА

01.01.04 - Геометрія і топологія

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Параболічні та сідлові шарування та розподілення на тривимірних многовидах

Круглов Володимир Володимирович

Харків - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України та у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України

Науковий керівник: доктор фiзико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

Борисенко Олександр Андрійович,

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри геометрії.

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, доцент

Пришляк Олександр Олегович,

Київський національний університет імені Т.Г. Шевченка, професор кафедри геометрії;

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

Львівський національний університет імені І.Франка,

декан механіко-математичного факультету

Захист відбудеться 11 січня 2010 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І.Вєркіна за адресою: 61103, м. Харків, просп. Леніна 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України за адресою: м. Харків, просп. Леніна 47.

Автореферат розісланий “4” грудня 2009р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Як об'єкт дослідження, контактні структури вперше виникли в роботах С.Лі наприкінці 19-го сторіччя. На цей же період припадають роботи Г.Дарбу по неголономній геометрії. З початку 20-го сторіччя в роботах А.Фосса, Д.М.Сінцова та інших авторів починається вивчення так званих неголономних поверхонь, тобто таке вивчення контактних розподілень, при якому узагальнювались би поняття звичайної теорії поверхонь в тривимірному просторі. Приблизно на цей самий час припадає активне вивчення неголономної механіки. В цьому зв'язку хотілося б відзначити теорему Рашевського-Чжоу, доведену П.К.Рашевським в 1938 році та незалежно учнем Каратеодорі - Чжоу в 1939 році.

Перші топологічні результати стосовно контактних структур з'явилися в середині 50-х років 20-го сторіччя, коли Грей довів теорему стабільності контактних структур відносно контактних гомотопій. Ця теорема є аналогом теореми Мозера о стабільності сімплектичних структур. В 70х роках були доведені теореми існування контактних структур на компактних тривимірних многовидах Р.Лютцом та Ж.Мартіне. Інтенсивне вивчення топологічних властивостей контактних структур було почато в 80ті роки з відкриття Д.Бенекіном екзотичних контактних структур на тривимірній сфері. Топологічна класифікація таких структур була отримана Я.Еліашбергом в 1989 році. В 1991 році Є.Жіру ввів у розгляд поняття опуклих поверхонь, тобто таких, що є трансверсальні потоку, що зберігає контактну структуру. Виявилось, що топологія контактної структури в деякому трубчастому околі цієї поверхні контролюється набором замкнених кривих. Цей результат дозволив класифікувати контактні структури на деяких замкнених тривимірних многовидах. В 1999 році Еліашберг і Тьорстон вказали на глибокий зв'язок між шаруваннями й контактними структурами на тривимірних многовидах у контексті теорії коншарувань. Подальші результати в цьому напрямку отримані К.Хондой, Є. Жиру та іншими авторами. В 2002 році Жиру довів, що існує взаємно однозначна відповідність між класами контактних структур на тривимірних многовидах і класами представлень у вигляді відкритої книги цих многовидів. Ця теорема встановлює глибокий зв'язок між контактною топологією й топологією тривимірних многовидів.

Актуальність теми. Незважаючи на величезну кількість публікацій по контактній топології, дуже мало відомо про зв'язок контактних структур з рімановою геометрією. Більш того, до геометрії контактних структур існує як мінімум три незалежні підходи (CR геометрія, субріманова геометрія, та контактні метричні простори). Практично нічого не відомо також про зв'язок метричних властивостей контактних структур з такими топологічними характеристиками контактної структури, як жорсткість або сімплектична наповнюваність.

У першій частині дисертаційної роботи вивчається кривина контактної структури на рімановому многовиді. У новаторській роботі С.С.Черна та Р.Гамільтона був уперше розглянутий клас метрик погоджених з контактною структурою та вирішений контактний аналог проблеми Ямабе. Надалі, багатьма авторами вивчалися ще більш спеціальні класи метрик, погоджених з контактною структурою.

З 50-х років минулого сторіччя Б.Рейнхартом був розвинений підхід до геометрії загальних розподілень. Зокрема, багато класичних понять теорії поверхонь, такі як середня й зовнішня кривини, переносяться на випадок контактних структур. У нещодавній роботі П.Массо була доведена жорсткість цілком геодезичних контактних структур. При цьому легко побудувати приклади контактних структур, які є цілком геодезичними щодо непогодженої метрики. У цьому зв'язку, представляється актуальним вивчення контактних структур на довільному рімановому многовиді та узагальнення теорем і понять, відомих для погоджених метрик.

Іншим фактором, що мотивує вивчення геометрії контактних структур у довільній рімановій метриці є тісний зв'язок між шаруваннями (для яких відома глибока геометрична теорія) і контактними структурами (Я.Еліашберг та У.Тьорстон). Зокрема, актуальним є побудова аналогічної теорії для контактних структур.

У другій частині дисертації вивчається зовнішня геометрія шарувань на тривимірних многовидах. В 1973 році Д.Салліван показав, що шарування на тривимірному многовиді є тугим тоді й тільки тоді, коли воно є мінімальним відносно деякої метрики. Разом із мінімальними шаруваннями вивчалися й інші класи шарувань із обмеженнями типу рівностей на другу фундаментальну форму: постійної середньої кривини (П.Вальчек), омбілічні (Є.Гі), цілком геодезичні (Є.Гі, І.Каріє). О.А.Борисенко запропонував вивчення класів шарувань із обмеженнями на знак зовнішньої кривини шарів: сідлових, параболічних і еліптичних. Питання існування таких шарувань на тривимірній сфері, а також на деяких інших многовидах було вирішено Д.В.Болотовим. Зокрема, виявилося, що рібовська компонента не є топологічною перешкодою до існування таких шарувань. Тому актуальним є питання існування таких шарувань на всіх замкнених тривимірних многовидах.

У заключній частині дисертаційної роботи вивчаються цілком геодезичні контактні структури на компактних многовидах за зразком тьорстонівських геометрій. В 1984 році І.Каріє класифікував усі одномірні ріманові шарування на компактних тривимірних многовидах. Відомо (Б.Рейнхарт), що всяке трансверсальне розподілення до такого шарування буде цілком геодезичним. Невідомо однак, які ріманові шарування із списку Каріє є трансверсальними до контактної структури. Тому важливим представляється вивчення прикладів цілком геодезичних контактних структур на тривимірних многовидах, зокрема на таких, що є фактор просторами тьорстонівських геометрій. Вивчення цілком геодезичних контактних структур і шарувань на однорідних многовидах представляє також незалежний інтерес, оскільки узагальнює відомі факти з теорії поверхонь на цих многовидах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що склали зміст дисертації, проведені у відповідності з тематичним планом ФТІНТ НАН України з відомчої тематики за темою: “Геометричні та топологічні властивості «в цілому» поверхонь та ріманових просторів з кривиною сталого та змінного знаку та їх застосування” (номер державної реєстрації 0107U000947) та тематичним планом Харківського національного університету ім. В.Н.Каразіна “Зовнішня геометрія багатовимірних підмноговидів” (номер державної реєстрації 0103U004232).

Мета і завдання дослідження. Мета дослідження полягає в визначенні топологічних властивостей контактних структур та шарувань на замкнених тривимірних многовидах, що мають обмеження на зовнішню або внутрішню геометрію.

Об'єкт дослідження. Контактні структури й шарування на замкнених орієнтовних тривимірних многовидах.

Предмет дослідження. Зовнішньо та внутрішньо геометричні властивості контактних структур і шарувань.

Методи дослідження: методи ріманової геометрії, теореми існування контактних структур і шарувань на тривимірних многовидах, відповідність між контактними структурами та представленнями у вигляді відкритої книги, техніка Бохнера.

Наукова новизна отриманих результатів.

* Доведено, що для будь-якої трансверсально орієнтовної контактної структури на замкненому тривимірному многовиді довільна строго від'ємна функція є функцією секційної (гаусової) кривини контактної структури відносно деякої метрики. Зокрема, усяка контактна структура постійну від'ємну кривину відносно деякої метрики.

* Доведено, що для того, щоб двовимірний розподіл був сідловим, достатньо, щоб існувала трасверсальна до нього контактна структура.

* Доведено, що на всякому замкненому орієнтованому тривимірному многовиді існує шарування, сідлове відносно деякої метрики.

* Доведено, що на всякому замкненому орієнтованому тривимірному многовиді існує шарування, параболічне відносно деякої метрики.

* Показано, що всяка трансверсально орієнтовна контактна структура на замкненому тривимірному многовиді є параболічною. Показано, що всі контактні структури з рівним нулю класом Ейлера є сильно сідловими.

* Наведені приклади цілком геодезичних контактних структур на компактних многовидах за зразком тьорстонівських геометрій. Доведене неіснування таких контактних структур у випадку, коли многовид є фактором Sol, S2xS1, H3, H2xR, або R3.

Практичне значення отриманих результатів. Робота носить теоретичний характер. Результати, що отримані в дисертації, можуть бути використані надалі при вивченні зв'язку геометрії контактних структур і шарувань із топологією, вивченні контактних структур з адаптованою метрикою, теорії просторів Карно-Каратеодорі та інших областях геометричної топології, теорії шарувань і геометричного аналізу. Також результати можуть бути використані при читанні спеціальних курсів по контактній топології й теорії шарувань.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати дисертаційної роботи виконані автором самостійно. В роботі [1], виконаній у співавторстві, здобувачу належать усі результати за винятком глави, що стосується многовидів за зразком S2xS1.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися на міжнародній конференції “Геометрія “в цілому”, топологія та їх застосування”, присвяченої 90-річчю з дня народження О.В.Погорєлова (Харків, Україна, 2009), на міжнародній конференції Second Workshop on Nonlinearity and Geometry, ''Darboux Days'' (Бедлево, Польща, 2008), на міжнародній конференції ''Conference-school on Calculus and Geometry dedicated to the 75 anniversary of Prof. Yu. Reshetnyak'' (Новосибірськ, Росія, 2004), на міжнародному семінарі “Геометрия «в целом»”, присвяченому 85-річчю з дня народження О.В. Погорєлова (Харків, Україна, 2004), на 5-й міжнародній конференції з геометрії та топології (Черкаси, Україна, 2003).

Крім того, результати дисертації доповідалися на семінарах кафедри геометрії Харківського національного університету, відділу геометрії Фізико-технічного інституту низьких температур, Інституту Математики НАН України, кафедри геометрії і топології Львівського національного університету ім. І.Франка.

Публікації Основні результати дисертації опубліковані в 8 наукових працях, з них 4 статті [1-4] - у фахових журналах, що входять до переліку ВАК, та 4 тез [5-8] - у збірниках тез доповідей на міжнародних конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що налічує 77 найменувань і займає 6 сторінок. Повний об'єм дисертації становить 102 сторінки. Робота містить 12 ілюстрацій, з яких жодна не займає окремої сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, дається огляд існуючого стану проблеми, формулюються мета, задача, об'єкт, предмет і методи дослідження, розкривається зв'язок з науковими планами та темами, характеризується наукова новизна результатів, їхнє практичне значення, описується особистий вклад здобувача, дається інформація про апробацію результатів дисертації та публікації по темі роботи.

У першому розділі повідомляються основні необхідні відомості, що стосуються теорії вузлів та сцеплень в , комбінаторних представлень замкнених тривимірних многовидів, а також теорії розподілень, контактних структур і шарувань на тривимірних многовидах.

У другому розділі викладаються результати, що стосуються кривини контактної структури на замкненому тривимірному многовиді.

В дисертації всі многовиди, розподілення, шарування та контактні структури вважаються -гладкими.

Введемо деякі необхідні означення. Розглянемо ріманов многовид з метрикою та асоційованою зв'язністю Леві-Чевіта .

Нехай - деякий двовимірний розподіл на . Визначимо другу фундаментальну форму відносно одиничної нормалі наступним чином

для всіх локальних перетинів і в .

Використовуючи метрику в дотичному розшаруванні, визначимо наступний лінійний оператор :

Цей оператор є аналогом оператора Вейнгартена. Оскільки являється симетричним, він має два дійсних власних значення і . Ці функції називаються функціями головних кривин двовимірного розподілення. Функцією середньої кривини двовимірного розподілення називається слід другої фундаментальної форми. Якщо і - деякий ортонормований базіс, то може бути записана як

Функція

називається зовнішньою кривиною розподілення .

В залежності від знака зовнішньої та середньої кривини, природно виникають наступні класи двовимірних розподілень на тривимірних многовидах:

1. цілком геодезичні, якщо існує така ріманова метрика на , що .

2. мінімальні, якщо існує така ріманова метрика на , що

3. параболічні, якщо існує така ріманова метрика на , що .

4. сильно сідлові (або гіперболічні), якщо існує така ріманова метрика на , що .

5. еліптичні, якщо існує така ріманова метрика на , що .

6. постійної середньої кривини, якщо існує така ріманова метрика на , що .

7. омбілічні, якщо існує така ріманова метрика на , що .

Розглянемо функцію , яка точці на многовиді співставляє секційну кривину по площині . Ця функція називається секційною кривиною розподілення . Розглянемо також функцію гаусової кривини. Вона визначається наступною формулою

Розтягненням метрики уздовж нормального поля на додатну функцію назвемо наступну ріманову метрику:

В підрозділі вивчається зміна секційної, гаусової та зовнішньої кривин розподілення при розтягненні уздовж нормального поля. Були отримані наступні результати:

Лема 2.1 Секційна кривина розподілення відносно метрики може бути порахована за допомогою наступної формули:

Лема 2.2 Зовнішня кривина відносно метрики може бути порахована за допомогою наступної формули:

Лема 2.3 Гаусова кривина відносно метрики може бути порахована за допомогою наступної формули

Розглянемо тепер питання існування для контактної структури метрики, відносно якої її секційна (гаусова) кривина являється заданою функцією на многовиді. В цьому напрямку були отримані наступні результати:

Теорема 2.1 Нехай -- трансверсально орієнтовна контактна структура на замкненому орієнтовному тривимірному многовиді . Кожна гладка, строго негативна функція реалізується як секційна кривина контактної структури відносно деякої ріманової метрики.

Наслідок 2.1 Для кожної трансверсально орієнтовної контактної структури на замкненому орієнтовному тривимірному многовиді, знайдеться така метрика, що секційна кривизна відносно цієї метрики дорівнює .

Твердження теореми можна істотно посилити, якщо зажадати виконання додаткових топологічних обмежень на контактну структуру.

Теорема 2.2 Нехай -- трансверсально орієнтовна контактна структура на з рівним нулю класом Ейлера. Тоді для кожної гладкої функції , знайдеться така метрика на , що є секційною кривизною .

Аналогічні результати є вірними і для гаусовоі кривини контактної структури.

Теорема 2.3 Нехай -- трансверсально орієнтовна контактна структура на замкненому орієнтовному тривимірному многовиді . Кожна гладка, строго негативна функція може бути реалізована як Гаусова кривизна для деякого вибору метрики на .

Наслідок 2.2 Для кожної трансверсально орієнтовної контактної структури на знайдеться така ріманова метрика, що .

Неважко показати, що для того щоб розподіл був сильно сідловим у деякій метриці необхідно, щоб клас Ейлера цього розподілу рівнявся нулю по модулю два. У дисертації знайдені достатні умови гіперболічності двовимірного розподілення.

Лема 2.4 Розглянемо деяке оснащення на компактному тривимірному многовиді . Припустимо, що розподіл породжений полями і є контактною структурою. Тоді на знайдеться така метрика, що зовнішня кривина розподілу, породженого векторними полями і є строго негативною функцією.

У випадку, якщо розподіл є, контактною структурою з рівним нулю класом Ейлера, легко будується контактна структура, що є трансверсальною даній. Зокрема, можна одержати наступне

Наслідок 2.3 Припустимо, що - трансверсально орієнтовна контактна структура з рівним нулю класом Ейлера на компактному тривимірному многовиді . Тоді на ньому знайдеться така ріманова метрика, що відносно цієї метрики зовнішня кривина є строго негативною функцією.

Результати цієї леми використовуються також у третьому розділі для доведення існування сильно сідлових шарувань на тривимірних многовидах.

В третьому розділі вивчаються шарування та контактні структури на тривимірних многовидах із обмеженнями на зовнішню кривину.

Використовуючи результати леми, а також результат Д.Хардорпа про існування тотальних шарувань на тривимірних многовидах, була доведена наступна теорема.

Теорема 2.5 На кожному замкненому орієнтовному тривимірному многовиді існує шарування, сильно сідлове відносно деякої ріманової метрики.

Інша частина третього розділу присвячена питанню існування шарувань з рівною нулю зовнішньою кривиною (тобто параболічних). Була доведена наступна теорема.

Теорема 2.6 На кожному замкненому ориентовному тривимірному многовиді існує шарування, параболічне відносно деякої ріманової метрики.

Щоб довести це твердження на кожному замкненому орієнтовному тривимірному многовиді явно будується параболічне шарування. Нагадаємо конструкцію трансверсально орієнтовного шарування на довільному замкненому тривимірному многовиді.

Метод, що використовується звичайно в цій побудові складається у вклеюванні Рібовської компоненти уздовж замкнутої трансверсалі.

Розглянемо наступну -гладку функцію на відрізку :

1. Функція строго монотонно зростає на .

2.

3.

На повному торі із циліндричними координатами задамо наступну 1-форму:

По теоремі Фробениуса умова интегровності розподілення, що задано ядром форми , можна записати в такий спосіб:

Таким чином форма визначає шарування на . Отримане шарування і називається шаруванням Ріба (або Рібовською компонентою).

Розглянемо повний тор , та нехай , де деяка гладка функція на сегменті , що задовольняє наступним умовам:

1. строго монотонно зростає на сегменті

2. строго монотонно убуває на сегменті

3. і

Ця форма визначає деяке шарування на . Позначимо його через .Очевидно, що шарування має єдиний компактний шар . Усередині шарування є шаруванням Ріба.

Ми знаємо, що тривимірна сфера може бути представлена у вигляді об'єднання двох повних торів, що склеєні по дифеоморфізму межових торів. Задамо усередині кожного із цих повних торів шарування . Оскільки відображення склейки переводить межовий шар Рібовської компоненти в межовий шар іншої Рібовської компоненти, то на існує шарування, що є об'єднанням двох Рібовських компонент. Це шарування ми також позначимо .

Нехай тепер -деяке сцеплення в . Можна довести, що воно ізотопно замиканню деякої коси. Цю косу можна далі так проізотопувати, що вона буде всюди трансверсальна шаруванню дисками . Оскільки шарування може бути наближено шаруванням дисками в малому околі кривої , то ми можемо вважати, що трансверсально шарам . Виріжемо маленький трубчастий окіл і вклеїмо замість нього повний тор, всередині якого задано шарування . Ми одержимо нове шарування на , що називається турбуларізацією шарування уздовж сцеплення .

Нарешті, для того щоб одержати шарування на , виріжемо трубчастий окіл сцеплення до торічного шару в і вклеїмо кожну компоненту зв'язності назад по диффеоморфізму меж. Можна перевірити, що оскільки межею цих околів є шари, то шарування коректно визначене на . Оскільки кожен замкнутий тривимірний многовид може бути отриманий таким чином, то кожен замкнутий орієнтовний тривимірний многовид допускає деяке шарування.

Доведення існування параболічного шарування на всякому замкненому орієнтовному многовиді повторює кроки вищенаведеної побудови. Виявляється, що Рібовська компонента не є топологічною перешкодою до параболічності, що дозволяє побудувати параболічне шарування усередині Рібовської компоненти, а також параболічну турбуларизацію уздовж тривіального -компонентного сцеплення.

Для того, щоб побудувати параболічну турбуларизацію уздовж довільного сцеплення в , це шарування вивчається в околі транспозицій (у представленні сцеплення у вигляді замикання відповідної коси). У підрозділі доведено наступний результат.

Лема 2.5 Для кожного топологічного типу вузла , знайдеться таке параболічне шарування на , що є турбуларизацією уздовж параболічного шарування Ріба на .

Для того, щоб побудувати тепер параболічне шарування на довільному замкненому тривимірному многовиді, достатньо вирізати із сфери повний тор з турбуларизованим шаруванням і вклеїти його назад по деякому дифеоморфізму межи, зберігаючи при цьому параболічність шарів. Для цього необхідно побудувати параболічне шарування в трубчастому околі торічного шару із заданою метрикою на межі. Для цього в дисертації доводиться наступний результат

Лема 2.6 Нехай -- компактна паралелізуєма поверхня (можливо із межею). Нехай і -- дві метрики на , що збігаються в деякому околі межи. Розглянемо шарування многовида поверхнями . На існує така метрика , що

1. У деякому трубчастому околі шару , , для всіх .

2. У деякому трубчастому околі шару , , для всіх .

3. є параболічним шаруванням на щодо метрики .

4. Найдеться такий окіл межі , що для всіх

кривина тривимірний многовид шарування параболічний

Це завершує доведення теореми.

В третьому розділі також вивчаються параболічні контактні структури на замкнених тривимірних многовидах. В дисертації доведена наступна

Теорема 2.7 Кожна трасверсально орієнтовна контактна структура на замкненому тривимірному многовиді є параболічною відносно деякої метрики на многовиді.

В четвертому розділі вивчаються цілком геодезичні контактні структури на компактних фактормноговидах Тьорстонівських геометрій.

Використовуючи інтегральну формулу Бохнера ми доводимо наступний результат.

Пропозиція 2.1 Нехай - компактний орієнтовний многовид, що має від'ємну кривин Річі. Тоді на ньому не існує цілком геодезичних контактних структур.

Наслідок 2.4 На компактних фактормноговидах просторів , , і не існує цілком геодезичних контактних структур.

На кожному компактному многовиді за зразком однієї з тьорстонівьских геометрій Nil, і цілком геодезичні контактні структури будуються конструктивно.

Теорема 2.8 На всякому компактному многовиді за зразком Nil, і існують цілком геодезичні контактні структури.

Найбільші труднощі представляє доведення того, що на компактних многовидах за зразком геометрії не існує цілком геодезичних контактних структур.

Пропозиція 2.2 На компактних фактормноговидах не існує цілком геодезичних контактних структур.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчені питання, що пов'язані з геометрією двовимірних розподілень. Розглянуті питання, пов'язані із зовнішньо та внутрішньо геометричними характеристиками контактних структур і шарувань на замкнених тривимірних многовидах, зокрема існування контактних структур і шарувань із обмеженнями на зовнішню кривину, питання уніформізації контактних структур на замкнених многовидах а також питання існування цілком геодезичних контактних структур на деяких замкнених однорідних тривимірних многовидах. У процесі вивчення цієї тематики були отримані наступні нові результати:

1. Отримані формули, що описують зміну секційної, зовнішньої й Гаусової кривин контактної структури при деформації метрики уздовж нормального векторного поля(Леми 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3).

2. Наведені достатні умови гіперболічності двовимірного розподілу на тривимірному многовиді (Лема 2.2.4).

3. Доведено, що довільна строго від'ємна функція реалізується секційною та Гаусовою кривиною контактної структури на замкненому тривимірному многовиді (Теорема 2.3.1, Наслідок 2.3.2).

4. Доведено, що довільна функція реалізується секційною кривиною контактної структури у випадку, якщо її клас Ейлера дорівнює нулю (Теорема 2.3.2).

5. Доведене існування сильно сідлових і параболічних шарувань на всякому замкненому тривимірному многовиді (Теорема 3.2.1).

6. Показано, що всяка трансверсально орієнтовна контактна структура на замкненому тривимірному многовиді є параболічною (Теорема 3.8.1). Показано, що всі контактні структури з рівним нулю класом Ейлера є сильно сідловими (Наслідок 2.2.1).

7. Показано, що компактні фактормноговиди просторів , , , , не допускають цілком геодезичних контактних структур (Наслідок 4.3.1, Теорема 4.7.1). Наведено приклади цілком геодезичних контактних структур на всіх компактних многовидах за зразком , , .

Результат пункту 5) повністю вирішує питання існування шарувань на тривимірних многовидах із обмеженнями на знак другої фундаментальної форми. Результати, що доведені в пункті 7) можна вважати аналогами відповідних класичних результатів у теорії шарувань на тривимірних многовидах.

ПУБЛІКАЦІЇ

Болотов Д.В., Круглов В.В. Вполне геодезические контактные структуры на Терстоновских многообразиях // Вестник ХНУ, “Математика, прикладная математика”. -2004. -Т.1(645) -С.142-153

Круглов В.В. О кривизне контактных структур и слоений // Доповіді Національної Академії Наук України. -2008. -Т.7 -С.15-19

Krouglov V. The curvature of contact structures on 3-manifolds // Algebraic and Geometric Topology. -2008. -V.8. -P.1567-1579

Krouglov V. Parabolic foliations on 3-manifolds // Математическая физика, Анализ, Геометрия. -2009. -V.5(2) -P.170-191.

Krоuglov V. The curvature of contact structures on three-manifolds // Конференция Геометрия «в целом», топология и их приложения (посвященная 90-летию А.В.Погорелова), 22-27 июня, 2009г. -Харьков; -2009. -С.57.

Krouglov V. Parabolic and saddle foliations on 3-manifolds // Second Workshop on Nonlinearity and Geometry, “Darboux Days”, 13-19 апреля 2008г. -Бедлево; Польша. -2008. -С.20

Krouglov V. Totally geodesic distributions on homogeneous 3-manifolds // Международная школа-конференция по анализу и геометрии посвященная 75-летию академика РАН Ю.Г.Решетняка, 23 августа-2 сентября 2004г. -Новосибирск; Россия. -2004. -С.151-152

Болотов Д.В., Круглов В.В. Вполне геодезические распределения на замкнутых локально-однородных 3-многообразиях // Международная конференция геометрия «в целом», 8-13 сентября 2003г. -Черкассы. -2003. -С.17-18

АНОТАЦІЯ

Круглов В.В. Параболічні і сідлові шарування та розподілення на тривимірних многовидах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія. Фізико- технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна, Харків, 2009.

Дисертація присвячена вивченню зовнішньо і внутрішньо геометричних властивостей двовимірних розподілень на замкнених тривимірних многовидах.

Вивчалося питання існування метрики щодо якої секційна (гаусова) кривини контактної структури будуть заданими гладкими функціями на многовиді. Отримано формули, що описують зміну секційної, гаусової та зовнішньої кривин при деформації метрики уздовж поля нормалей. Доведено, що всяка гладка строго негативна функція може бути реалізована в якості секційної (гаусової) кривин контактної структури.

У дисертації доведено, що для того, щоб двовимірне розподілення було сильно сідловим достатньо, щоб існувала трансверсальна до нього контактна структура. Зокрема, доведено, що всяка контактна структура з рівним нулю класом Ейлера є сильно сідловою.

Розглянуто також питання існування сильно сідлових та параболічних шарувань на тривимірних многовидах. Доведено, що на кожному замкненому орієнтовному тривимірному многовиді існують як сильно сідлові так і параболічні шарування. Показано, що всяка трансверсально орієнтовна контактна структура на замкненому тривимірному многовиді є параболічною.

В дисертації вивчаються також цілком геодезичні контактні структури на замкнутих многовидах за зразком тьорстонівських геометрий (з фіксованою рімановою метрикою). Було доведено, що на многовидах за зразком , , , та не існує цілком геодезичних контактних структур. У випадку, коли многовид є фактором одного із просторів , або були побудовані приклади цілком геодезичних контактних структур на компактних факторах цих многовидів.

Ключові слова: контактна структура, шарування, розподілення, параболічні розподілення, сідлові розподілення, цілком геодезична контактна структура.

АННОТАЦИЯ

Круглов В.В. Параболические и седловые слоения и распределения на трехмерных многообразиях. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина, Харьков, 2009.

Диссертация посвящена изучению внешне и внутренне геометрических свойств двумерных распределений на замкнутых трехмерных многообразиях.

Несмотря на большое число публикаций по топологии контактных структур на трехмерных многообразиях, очень мало известно о связи топологии контактных структур с римановой геометрией, особенно с такими важными характеристиками контактных структур как жесткость и симплектическая наполняемость. Используя подход Б.Рейнхарта, в диссертации вводятся понятия второй фундаментальной формы распределения, внешней и гауссовой кривизн, которые являются прямыми аналогами соответствующих понятий в теории поверхностей и рассматриваются классы двумерных распределений которые обладают ограничениями на эти кривизны.

В диссертации изучается вопрос существования метрики относительно которой секционная (гауссова) кривизны контактной структуры были бы заданной гладкой функции на многообразии. Для этого рассматривается деформация метрики вдоль нормального векторного поля. Получены формулы, описывающие изменение секционной, гауссовой и внешней кривизны при такой деформации. Доказано, что всякая гладкая строго отрицательная функция может быть реализована в качестве секционной и гауссовой кривизн контактной структуры. Для контактных структур с равным нулю классом Эйлера доказано, что всякая гладкая функция является функцией секционной кривизны контактной структуры относительно некоторой римановой метрики. В частности, для всякой контактной структуры на замкнутом трехмерном многообразии найдется такая метрика, относительно которой секционная кривизна контактной структуры является постоянной отрицательной функцией на многообразии. Этот результат решает вопрос Дж.Этнира об униформизации контактных структур на трехмерных многообразиях. Результаты, полученные в этой главе можно считать контактными аналогами теоремы А.Кандела в теории солений а также теорем униформизации кривизн (скалярной, Риччи) на трехмерных многообразиях.

В диссертации доказано, что для того, чтобы двумерное распределение являлось сильно седловым достаточно, чтобы существовала трансверсальная к распределению контактная структура. В частности, показано, что всякая контактная структура с равным нулю классом Эйлера является сильно седловой.

Вопрос существования слоений с ограничениями на знак внешней кривизны был впервые рассмотрен Д.В. Болотовым. Им было показано, что в полнотории найдется такая риманова метрика, относительно которой все слои Рибовской компоненты являются седловыми (параболическими поверхностями). В частности, Рибовская компонента не является топологическим препятствием к гиперболичности и параболичности слоения. Были также известны отдельные примеры седловых и параболических слоений на многих трехмерных многообразиях. В диссертации рассмотрен вопрос существования сильно седловых и параболических слоений на всех трехмерных многообразиях. Доказано, что на каждом замкнутом ориентируемом многообразии существуют как сильно седловые так и параболические слоения. Показано, что всякая трансверсально ориентируемая контактная структура на замкнутом трехмерном многообразии является параболической. Эти теоремы полностью решают вопрос существования слоений на трехмерных многообразиях с ограничением на знак внешней кривизны слоев. Показано также, что слоение слоями расслоения над окружностью является параболическим относительно некоторой метрики.

В диссертации изучались также вполне геодезические контактные структуры на замкнутых многообразиях по образцу терстоновских геометрий (с фиксированной римановой метрикой). Используя интегральную формулу Бохнера для распределений, было доказано, что на многообразиях по образцу , , , не существует вполне геодезических контактных структур. В случае, когда многообразие является фактором , или были построены примеры вполне геодезических контактных структур на этих многообразиях. Исследуя характеристические слоения на вполне геодезических сфере и торе на было показано, что на компактных факторах не существует вполне геодезических контактных структур. Эти результаты являются контактнымы аналогами известных результатов в теории поверхностей на терстоновских многообразиях.

Ключевые слова: контактная структура, слоение, сильно седловое распределение, параболические распределение, вполне геодезическая контактная структура.

ABSTRACT

Krouglov V.V Parabolic and strong saddle foliations and distributions on three-manifolds. -Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.04 - geometry and topology. B. Verkin Institute for the Low Temperature Physics and Engineering, Kharkiv, 2009.

This thesis is devoted to the study of intrinsic and extrinsic curvature properties of contact structures, foliations and general plane distributions on three-manifolds.

The question of prescription of the sectional (Gaussian) curvature for a contact structure on a closed orientable three-manifold was considered. It was shown that any smooth strictly negative function on a manifold may be realized as a sectional (Gaussian) curvature of a contact structure. Imposing the additional topological restriction on the Euler class of a contact structure, it was shown that any smooth function is realized as a sectional curvature of the distribution. A sufficient condition for a distribution on a three-manifold to be strong saddle was also obtained.

It was shown that any closed orientable three-manifold admits a strong saddle and parabolic foliation. It was shown that all contact structures on closed orientable three-manifolds are parabolic with respect to some metric. It was shown that a contact structure is strong saddle if its Euler class vanishes.

Totally geodesic contact structures on compact factors of Thurston geometries (with a homogenous metric) were considered. It was shown that manifolds modelled on , , , , do not admit totally geodesic contact structures. For the manifolds modelled on , and totally geodesic contact structure on every closed factor were constructed.

Keywords: contact structure, foliation, strong saddle distribution, parabolic distribution, totally geodesic contact structure.

Размещено на Allbest.ru

...