Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

УДК 517.946

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Питання розв'язності та поведінки розв'яку задачі Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбцією в областях з некомпактними границями

01.01.02 - диференціальні рівняння

Логачова Ольга Михайлівна

Донецьк - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук Тедеєв Анатолій Федорович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, зав. відділом рівнянь математичної фізики

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Капустян Олексій Володимирович, Київський Національний Університет ім. Т. Шевченка, доцент кафедри диференціальних та інтегральних рівнянь

доктор фізико-математичних наук, професор Бородін Михайло Олексійович, Донецький Національний Університет, зав. кафедри математичної фізики

Захист відбудеться 24.02.2010 р. о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк , вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк , вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 19.01.2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Багато напрямків теорії нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними пов'язані з якісним дослідженням розв'язків крайових задач. Взагалі, розвиток математичної теорії нелінійних параболічних рівнянь, що вироджуються, починався з піонерських робіт О.А. Олейник, на протязі 1960-х років активно продовжувався у роботах М.І. Вішика, А.І. Вольперта та С.І. Худяєва, С.А. Калашникова, Д.Г. Аронсона (D.G. Aronson) та інших математиків. З того часу і до сьогодні інтерес до таких рівнянь тільки зростав у зв'язку з появою великої кількості застосувань.

Початок досліджень початково-крайових задач для лінійних дивергентних рівномірно параболічних рівнянь із вимірними коефіцієнтами в областях з некомпактними границями поклав А.К. Гущин Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка / А.К. Гущин // Тр. МИАН. - 1973. - T. CXXVI. - C. 5-45. у 1970-х роках. У широкому класі областей з некомпактними границями він отримав точні оцінки максимуму розв'язку початково-крайової задачі Неймана. А.К. Гущин, В.П. Михайлов та Ю.А. Михайлов розглядали області, що “не звужуються на нескінченності”, тобто такі області, із яких можна “викотити на нескінченність” кулю деякого фіксованого радіусу. Також для початково-крайової задачі Неймана А.К. Гущин та А.В. Лежнєв дослідили поведінку розв'язку в областях, що “звужуються на нескінченності”. Для останніх з'ясувалося, що для стабілізації до нуля максимуму розв'язку потрібно не тільки скінченність маси початкової функції (як у випадку областей, що “не звужуються на нескінченності”), а й скінченність моменту початкової функції. Було встановлено той факт, що стабілізація до нуля розв'язку тим швидше, чим область “ширше на нескінченності”. Що стосується задачі Коші-Діріхле, то із робіт Ф.Х. Мукминова випливає протилежна картина: чим область “вужче на нескінченності”, тим швидше відбувається стабілізація розв'язку. Третя мішана задача для лінійного параболічного рівняння другого порядку у випадку нециліндричних областей розглядалася у роботах В.І. Ушакова, отримані результати близькі к доведеним для задачі Неймана. Методи досліджень початково-крайових задач для лінійних параболічних рівнянь пов'язані з властивостями функції Гріна цих задач.

Починаючи з 1990-х років А.Ф. Тедеєв узагальнює отримані результати для лінійних рівнянь на нелінійні в областях з некомпактними границями. В основі дослідження якісних властивостей розв'язків задачі Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь в областях з некомпактними границями лежать нові мультиплікативні нерівності типа Ніренберга-Гальярдо (Nirenberg-Gagliardo), доведені А.Ф. Тедеєвим, і розвиток ітеративної техніки Мозера (Moser) та Де Джорджі (De Giorgi). Для рівняння неньютонівської фільтрації А.Ф. Тедеєвим було досліджено третю мішану задачу у нециліндричних областях, другу мішану задачу в областях, що “звужуються” та “не звужуються на нескінченності”. У співавторстві з Д. Андреуччі (D. Andreucci) у вузьких Andreucci D. Sharp estimates and finite speed of propagation for a Neumann problem in domains narrowing at infinity / D.

Andreucci, A.F. Tedeev // Advances in Differential Equations. - 2000. - V. 5. - P. 833-860. та широких Andreucci D. A Fujita type result for degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary / D. Andreucci, A.F. Tedeev // J. Math. Anal. Appl. - 1999. - V. 231. - P. 543-567. областях було розглянуто початково-крайову задачу Неймана для рівняння з подвійною нелінійністю у випадку повільної дифузії. Як відомо, для повільної дифузії характерна скінченна швидкість розповсюдження збурень, що суттєво вплинуло на хід доведення двосторонніх оцінок максимуму розв'язку. У випадку швидкої дифузії збурення розповсюджуються з нескінченною швидкістю, тому отримати оцінки максимуму розв'язку для цього випадку виявляється цікавим.

Питання розв'язності крайових та початково-крайових задач завжди було актуальним в теорії диференціальних рівнянь. Розглядаючи задачу Коші для параболічних рівнянь з абсорбцією, з початковою функцією - мірою Радона (наприклад дельта-функцією Дірака) виявилось, що наявність абсорбції суттєво впливає на розв'язність задачі. Х. Брезіс (H. Brezis) та А. Фрідман Brezis H. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial conditions / H. Brezis, A. Friedman // J. Math. Pures

Appl. - 1983. - 62. - P. 73-97. (A. Friedman) у 1983 році, досліджуючи задачу Коші для рівняння та початковою дельта- функцією Дірака, встановили критичний показник ( - розмірність простору) такий, що при існує розв'язок цієї задачі Коші, а при задача не має розв'язку. При цьому результат неіснування був отриманий із твердження про усунення особливості у початку координат. Аналогічні результати отримали Ш. Камін (S. Kamin) та Л.А. Пелетьє (L.A. Peletier) для рівняння пористого середовища з абсорбцією, А. Гміра (A. Gmira), Х. Чен (X. Chen), Я. Кі (Y. Qi) та М. Ванг (M. Wang) для рівняння неньютонівської фільтрації з абсорбцією. У цьому ж напрямку задача Коші для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та абсорбцією була досліджена Х.Ж. Фаном (H.J. Fan).

Певний інтерес у дослідників завжди викликали так звані сингулярні розв'язки, тобто такі розв'язки, котрі задовольняють умову при та необмежені при , по-іншому кажучи, розв'язки з ізольованою особливістю у початку координат. Таким чином, розглядаючи початково-крайові задачі для нелінійних параболічних рівнянь з абсорбцією та такими початковими умовами, що розв'язок має ізольовану особливість у початку координат, було встановлено, що при певного виду доданках, що задають абсорбцію, особливість в буде усунена. Дослідженнями у цьому напрямку займався І.І. Скрипнік для квазілінійних параболічних рівнянь загального вигляду з вимірними коефіцієнтами, А.Є. Шишков та В.А. Галактіонов для рівнянь високого порядку. А взагалі, дослідження, пов'язані з задачами з особливостями для еліптичних та параболічних рівнянь, беруть початок з робіт Д. Гілбарга (D. Gilbarg), Дж. Серріна (J. Serrin), Д.Г. Аронсона. Огляд основних результатів у напрямку розвитку теорії, пов'язаної з особливостями, можна знайти у монографії Л. Верона Veron L. Singularities of solutions of second order quasilinear equations / L. Veron. - Pitman Research Notes in Mathematics 353: Longman, 1996. - 377 P. (L. Veron).

В силу всього вищевикладеного розглянуті в дисертаційній роботі питання, пов'язані з існуванням і неіснуванням розв'язків задачі Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбцією в областях з некомпактними границями, є актуальними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України. Результати дисертації використано при виконанні державної теми “Задачі з вільними межами, нелінійні вироджені параболічні та еліптичні рівняння, проблеми існування та неіснування розв'язків, властивості сингулярних розв'язків” шифр III-3-04 (1.1.4.3), номер державної реєстрації № 0104U000860.

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження даної дисертації є квазілінійні параболічні рівняння.

Предмет дослідження - задача Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбцією в областях з некомпактними границями.

Мета дисертації - довести існування і неіснування розв'язку задачі Неймана в області, що “не звужується на нескінченності”, для параболічного рівняння, що вироджується, з абсорбцією наступного вигляду

, (1)

де

Іншими цілями дисертаційної роботи є отримати двосторонні оцінки максимуму розв'язку задачі Неймана у необмежених областях, що “звужуються на нескінченності ”, для рівняння

, (2)

де (швидка дифузія).

Для досягнення поставлених цілей у дисертації вирішено наступні задачі.

1. Отримано показник

для рівняння (2) такий, що при існує слабкий розв'язок початково-крайової задачі Неймана для рівняння (1) з початковою функцією - невід'ємною мірою Радона, а при і початковою функцією - дельта-функцією Дірака такого розв'язку не існує.

2. При встановлено, що для другої мішаної задачі для рівняння (1) з початковою функцією - дельта-функцією Дірака особливість в є усувною.

3. Досліджена поведінка розв'язку другої мішаної задачі для рівняння (2) у залежності від геометрії області, а саме отримані точні двосторонні оцінки максимуму розв'язку.

Методи дослідження. Одним із основних методів дослідження в даній дисертаційній роботі є метод енергетичних оцінок, який бере свій початок у Е. Де Джорджі і надалі був вдосконалений у роботах О.А. Ладиженської, В.А. Солоннікова, Н.Н. Уральцевої Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1967. - 736 С., Е. Ді Бенедетто (E. Di Benedetto), М. Херреро Di Benedetto E. Non-negative solutions of the evolution p-Laplacian equation. Initial traces and Cauchy problem when

/ E. Di Benedetto, M.A. Herrero // Arch. Rational Mech. Anal. - 1990. - V. 111. - P. 225-290. (M. Herrero), Д. Андреуччі, А.Ф. Тедеєва.

При дослідженні поведінки розв'язку задачі Неймана у залежності від геометрії області використовуються підходи, розвинені у роботах Д. Андреуччі, А.Ф. Тедеєва.

Результати про існування і неіснування розв'язку задачі Неймана отримані за допомогою розвитку метода, запропонованого Х.Ж. Фаном Fan H.J. Cauchy problem of some doubly degenerate parabolic equations with initial datum a measure / H.J. Fan // Acta

Math. Sinica, English Series. - 2004. - V. 20(4). - P. 663-682. для задачі Коші.

При доведенні, що особливість є усувною, використовуються методи різноманітних оцінок у виколотому околі початку координат. Ключовим моментом отримання інтегральних оцінок є вибір пробної функції типа логарифму спеціального вигляду. Методи отримання таких оцінок були розроблені І.І. Скрипніком Skrypnik I.I. Removability of isolated singularities of solutions of quasilinear parabolic equations with absorption / I.I. Skrypnik // Sb. Math. - 2005. - 196. - P. 1693-1713.. Також, при отриманні оцінки максимуму розв'язку у виколотому околі початку координат, застосовується метод Ж. Мозера (J. Moser).

Наукова новизна отриманих результатів. Встановлено умови існування і неіснування розв'язків початково-крайової задачі Неймана для параболічного рівняння, що вироджується, з абсорбцією в областях з некомпактними границями. Не зважаючи на те, що подібні умови характерні для відповідної задачі Коші, для задачі Неймана в областях з некомпактними границями був потрібний інший підхід дослідження, пов'язаний з геометрією області.

Отримано двосторонню оцінку максимуму розв'язку задачі Неймана для квазілінійного параболічного рівняння в областях, що “звужуються на нескінченності”, у випадку швидкої дифузії. Доведення цього результату потребує суттєво іншої техніки, ніж у випадку повільної дифузії.

Практичне значення отриманих результатів. Результати досліджень мають теоретичний характер. Отримані у роботі результати та застосовані методи можуть бути використані при вивченні прикладних проблем, що моделюються нелінійними параболічними задачами.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором самостійно і опубліковані у 8 роботах. Роботи [3], [5] написані у співавторстві з А.Ф. Тедеєвим. У даних роботах А.Ф. Тедеєву належать постановка задач і вибір методу дослідження, здобувачеві належать доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського, Донецьк, 2006 р.; міжнародній конференції “Nonlinear Partial Differential Equations”, Ялта, 2007 р.; міжнародній конференції “Second International Conference of Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii”, Донецьк, 2008 р.; спільному семінарі відділів нелінійного аналізу, рівнянь з частинними похідними та рівнянь математичної фізики ІПММ НАНУ (керівники д.ф.м.н., О.А. Ковалевський, д.ф.м.н., професор А.Є. Шишков, д.ф.м.н. А.Ф. Тедеєв), 2009 р.; семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету ім. Т. Шевченка (керівники акад. НАНУ А.М. Самойленко, акад. НАНУ М.О. Перестюк), 2009 р.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 8 роботах. З них 5 у наукових виданнях, які входять до переліку ВАК України, 3 у матеріалах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із списку позначень та умовних скорочень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновку і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації ? 106 сторінок. Список використаних джерел займає 11 сторінок та містить 88 найменувань.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета і задачі дослідження, вказано на зв'язок дисертації з науково-дослідною роботою відділу рівнянь математичної фізики Інституту прикладної математики і механіки НАН України, де вона була виконана, відзначена новизна основних результатів, їх практичне значення, а також апробація.

У першому розділі наводиться огляд літератури за темою дисертації. У наступних розділах викладено основні результати роботи.

Введемо позначення, що будуть використовуватися.

- N-вимірна міра області ,

,,

- простір раз неперервно-диференційованих в області функцій,

- простір функцій, що належать до та мають компактний носій, що вкладається до ,

- Банахів простір функцій, вимірних в та сумовних за Лебегом з показником , з нормою

нейман задача параболічний абсорбція



і

- простір неперервних відображень з у Банахів простір з нормою

- простір функцій, що належать простору для довільної обмеженої підобласті .

У другому розділі розглядається наступна друга мішана задача:

, , (3)

, , (4)

, , (5)

де - необмежена область в , , , - некомпактна достатньо гладка границя , - зовнішня одинична нормаль до , .

Вважаємо, що

Опишемо клас областей, де розглядається задача (3)-(5). Визначимо функцію

для усіх та . Вважаємо, що область непорожня.

Нехай таке, що для усіх виконано нерівність

(6)

для усіх де - дві задані неспадаючі невід'ємні функції такі, що для . Також нехай

(7)

для усіх , та деякої константи ,

не спадає для ,

. (8)

Зауваження 1. Умова (7) є умовою типа регулярності області, перша компонента в оцінці з'являється в силу класичної ізопериметричної нерівності в обмежених областях з ліпшицевою границею, а друга компонента, , має сенс площі . З умови (6) випливає, що .

Означення 1. Будемо говорити, що необмежена область , належить до класу , якщо її границя локально неперервна за Ліпшицем та виконуються умови (6)-(8).

Клас описує області, що “звужуються на нескінченності”. Типовим представником класу є наступна область

Для такої області Очевидно, що і для усіх маємо

Означення 2. Будемо говорити, що є розв'язком задачі (3)-(5), якщо таке, що

і виконана інтегральна тотожність

для усіх таких, що поза кулею та .

Визначимо наступну функцію для

для вважаючи .

Основний результат другого розділу дисертації містить у собі наступна

Теорема 1. Нехай , . Тоді задача (3)-(5) має глобальний розв'язок, визначений для усіх , що задовольняє оцінку

(9)

для усіх , де . визначається, як найбільший розв'язок рівняння

, (10)

або , якщо час є достатньо малим для розв'язності (10).

Також для достатньо великих значень має місце двостороння оцінка

Всюди через будемо позначати додатні константи, які залежать тільки від відомих параметрів задачі.

Зауваження 2. Перша компонента у функції максимуму оцінки (9) є найбільшою при , а при достатньо великих найбільша - третя компонента. Очевидно, із (10), що функція є оберненою до функції .

У підрозділі 2.1 викладаються допоміжні твердження, які є необхідними для доведення теореми 1.

У підрозділі 2.2 доведено локальну оцінку максимуму розв'язку задачі (3)-(5), а саме

де

У підрозділі 2.3 доведено локальну оцінку -норми розв'язку задачі (3)-(5) для

У підрозділі 2.4 отримано наступну оцінку моменту розв'язку задачі (3)-(5) для



Об'єднуючи оцінки підрозділів 2.2 - 2.4, у підрозділі 2.5 доводиться теорема 1.

У третьому розділі дисертації отримано результати стосовно існування та неіснування слабкого розв'язку наступної задачі:

, , (11)

, , (12)

, , (13)

де - необмежена область в , , , - некомпактна достатньо гладка границя , - зовнішня одинична нормаль до , . - невід'ємна скінченна міра Радона. Відносно коефіцієнтів вважаємо, що

Відносно області припускаємо, що вона задовольняє умовам ізопериметричного типу. Для точного визначення геометрії області вводимо функцію

Нехай - додатна неперервна функція, така, що не спадає для усіх (14)

Означення 3. Нехай - необмежена область з неперервною за Ліпшицем границею , . Будемо говорити, що належить до класу , якщо для усіх де для виконується (14).

Наведемо приклад області із класу :

де

Введемо поняття слабкого розв'язку задачі (11)-(13).

Означення 4. Будемо говорити, що є слабким розв'язком задачі (11)-(13), якщо , для будь-якого

Результати щодо існування і неіснування слабкого розв'язку задачі (11)-(13) містяться у двох наступних теоремах.

Теорема 2. Нехай - невід'ємна скінченна міра Радона. Якщо та , тоді існує слабкий розв'язок задачі (11)-(13).

Теорема 3. Нехай . Якщо або тоді задачі (11)-(13) не має розв'язку.

У підрозділі 3.1 доводиться існування слабкого розв'язку задачі (11)-(13) - теорема 2. Початково-крайова задача Неймана (11)-(13) наближується апроксимаційними задачами Діріхле-Неймана. Отримуючи ряд апріорних оцінок, здійснюється граничний перехід у інтегральній тотожності. Апріорні оцінки доводяться за допомогою методу локальних енергетичних оцінок, а також шляхом застосування мультиплікативних нерівностей, пов'язаних з геометрією області .

У підрозділі 3.2 доводиться теорема 3. Результат неіснування розв'язку задачі (11)-(13) з початковою функцією отримується із доведення того, що

При доведенні теореми 2 сам факт існування було доведено схематично, тому у підрозділі 3.3 наведено приклад, на якому демонструється техніка доведення існування розв'язку. Розглянуто випадок області з нульовим загостренням. А саме, доведено існування розв'язку початково-крайової задачі Неймана в :

де

Очевидно, що область не належить до класу , тому що не задовольняє умові конуса, бо їй належить нульовий кут. Доведення існування задачи було здійснено завдяки теоремам вкладання, отриманим В.Г. Мазьєю спеціально для таких областей , показник Соболєва тут залежить від параметра .

Із того, що стверджується у теоремах 2 та 3 випливає, що випадок самого критичного показника абсорбції не розглянуто. Це сталося внаслідок неможливості застосування методів, задіяних у третьому розділі дисертації, до цього випадку.

Тому у четвертому розділі дисертації розглядається початково-крайова задача Неймана:

, , (15)

, , (16)

, , (17)

з показником абсорбції

Вважаємо, що ; якщо , то . Область належить до класу , який визначено у третьому розділі.

Визначимо поняття особливого розв'язку задачі (15)-(17).

Означення 5. Будемо говорити, що є особливим розв'язком задачі (15)-(17) з особливістю у точці , якщо ,

;

і має місце інтегральна тотожність

 (18)

з , де із такого простору, як ; та зникає в околі початку координат. Функція така, що носій supp міститься у циліндрі

Означення 6. Нехай - особливий розв'язок задачі (15)-(17) з особливістю у точці . Будемо казати, що особливість у точці є усувною, якщо інтегральна тотожність (18) виконується для функції , supp міститься у циліндрі .У функцію входять: така, як у означенні 5 і функція .

Результат про усувні особливості розв'язку задачі (15)-(17) міститься у наступній теоремі.

Теорема 4. Нехай ; - особливий розв'язок задачі (15)-(17) з особливістю у точці . Тоді має усувну особливість у початку координат.

У підрозділі 4.1 методом Мозера встановлено поточкову оцінку розв'язку задачі (15)-(17) в околі точки , а саме

,

де

.

У підрозділі 4.2 за допомогою наведеної поточкової оцінки доводиться ряд інтегральних оцінок, що дозволяють оцінити градієнт розв'язку. Ключовим моментом при отриманні інтегральних оцінок є вибір пробної функції типа логарифму. Випишемо явний вигляд цієї функції:

,

- фіксована константа, така, що

де визначені рівністю

У підрозділі 4.3, використовуючи отримані у підрозділі 4.2 оцінки, доводиться обмеженість розв'язку в околі початку координат, що гарантує наступну рівність

Якщо виконується така рівність, то із робіт І.І. Скрипніка випливає усунення особливості у точці , тобто твердження теореми 4.

Зауваження 3. Методи отримання апріорних оцінок розв'язку в околі початку координат, що були використані при доведенні теореми 4, розроблені у роботах І.І. Скрипніка. Методи дослідження задачі Неймана, пов'язані з геометрією областей з некомпактними границями, розроблені у роботах А.Ф.Тедеєва і Д.Андреуччі.

Висновки

У дисертаційній роботі розглянуто початково-крайові задачі Наймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбуючим членом й без такого в областях з некомпактними границями.

У розділі 2 встановлено точні двосторонні оцінки максимуму розв'язку другої мішаної задачі для квазілінійного параболічного рівняння в областях з нескінченними границями, що “звужуються на нескінченності”, розглянуто випадок швидкої дифузії. Чисельною характеристикою, що забезпечує такі оцінки, виступила величина, за допомогою якої описується геометрія необмеженої області, де розглядається задача. Отриманий результат узагальнює результати А.К. Гущина, А.В. Лежнєва, В.І. Ушакова для лінійних рівнянь та А.Ф. Тедеєва для квазілінійних рівнянь у вузьких та широких областях у випадку повільної дифузії.

У розділі 3 у широкому класі необмежених областей досліджено задачу Неймана для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю та абсорбцією. Отримано умови існування та неіснування слабкого розв'язку задачі у термінах критичного показника абсорбції, однак випадок самого критичного показника дослідити не вдалося. Отримані умови в точності співпадають з аналогічними для задачі Коші, отримані Х.Ж. Фаном.

У розділі 4 вивчено задачу Неймана для параболічного рівняння з подвійною нелінійністю і абсорбцією, де показник абсорбуючого доданку - критичний. Методами, які відрізняються від використовуваних у розділі 3, встановлено факт усунення особливості у початку координат.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай медленной диффузии / О.М. Болдовская // Труды ИПММ. - 2008. - Т. 16, № 1. - С. 33-54.

2. Болдовская О.М. Устранение особенностей решений задачи Неймана для вырождающихся параболических уравнений с абсорбцией / О.М. Болдовская // Нелин. гр. задачи. - 2008. - Т. 18. - C. 1-19.

3. Болдовская О.М. Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // УMB. - 2009. - Т. 6, № 1. - C. 16-38.

4. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская // Вісник ДонНУ, Серія A: Природничі науки. - 2009. - вип. 1. - С. 52-59.

5. Болдовская О.М. Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях, сужающихся на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Доповіді НАН України. - 2009. - № 6. - С. 14-20.

6. Болдовская О.М. Оценки максимума решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений в областях с бесконечными границами, сужающимися на бесконечности. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская, А.Ф. Тедеев // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченої 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. - Донецьк, ДонНУ, 2006. - С. 18-19.

7. Boldovskaya O.M. Existence and nonexistence results for the degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary / O.M Boldovskaya // Book of abstracts. International conference "Nonlinear partial differential equations". - Yalta, September10-15, 2007. - P. 15.

8. Болдовская О.М. Существование и несуществование слабого решения задачи Неймана для вырождающихся квазилинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. Случай быстрой диффузии / О.М. Болдовская // Book of abstracts. Second International conference of young mathematicians on differential equations and applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii. - Donetsk, November 11-14, 2008. - С. 44-45.

Анотація

Логачова О.М. Питання розв'язності та поведінки розв'язку задачі Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь з абсорбцією в областях з некомпактними границями - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2009 р.

У дисертації вивчається задача Неймана для квазілінійних параболічних рівнянь, що вироджуються, в областях з некомпактною границею.

У випадку областей, що “звужуються на нескінченності”, для параболічних рівнянь із подвійною нелінійністю у головній частині досліджено поведінку розв'язку другої мішаної задачі у залежності від геометрії області, а саме отримані точні двосторонні оцінки - норми розв'язку задачі.

У широкому класі необмежених областей розглянуто початково-крайову задачу Неймана для квазілінійного параболічного рівняння з абсорбцією та початковою функцією - мірою. Доведено існування (для початкової функції - міри Радона) та неіснування (для початкової - дельта-функції Дірака) слабкого розв'язку задачі у залежності від показника абсорбції. У випадку критичного показника абсорбції результат о неіснуванні отримується із твердження про усунення особливості розв'язку.

Ключові слова: початково-крайова задача Неймана, двічі нелінійні параболічні рівняння, що вироджуються, абсорбція, міра, ізольована особливість, некомпактна границя.

Аннотация

Логачёва О.М. Вопросы разрешимости и поведения решения задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений с абсорбцией в областях с некомпактными границами - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2009 г.

В диссертации изучается задача Неймана для квазилинейных параболических вырождающихся уравнений в областях с некомпактной границей.

В случае областей, “сужающихся на бесконечности”, исследована зависимость поведения при больших значениях времени решения второй смешанной задачи для параболического уравнения с двойной нелинейностью в главной части от неограниченной по пространственным переменным области, в которой рассматривается задача. Выделяется геометрическая характеристика области (она зависит от входящих в уравнение параметров), определяющая (в выделенном классе областей) поведение решения при . С помощью новых интегральных оценок “момента” решения и некоторых локальных оценок устанавливаются отличающиеся постоянными множителями оценки сверху и снизу нормы решения в Исследован случай быстрой диффузии. Для медленной диффузии Д.Андреуччи и А.Ф. Тедеевым были получены аналогичные оценки, однако, в нашем случае потребовался совершенно другой подход исследования, так как для случая быстрой диффузии не характерна конечная скорость распространения носителя.

В широком классе неограниченных областей (“не сужающихся на бесконечности”) рассмотрена начально-краевая задача Неймана для квазилинейного параболического уравнения с абсорбцией и начальной функцией - мерой. Доказано существование (для начальной функции - меры Радона) и несуществование (для начальной - дельта-функции Дирака) слабого решения задачи в зависимости от показателя абсорбирующего слагаемого. Выявлен так называемый критический показатель, который и позволяет провести такой анализ, он совпадает с соответствующим для задачи Коши, так как область, в которой поставлена задача, имеет достаточно гладкую границу. В случае критического показателя результат о несуществовании решения получается из утверждения об устранимости особенности в начале координат. Подобные результаты о существовании и несуществовании были получены для задачи Коши Х.Ж. Фаном, а для задачи Неймана, по-видимому, установлены впервые.

При исследовании вышеуказанных задач используются различные модификации классических методов. Так, для получения локальных энергетических оценок применяется метод Э. Де Джорджи, усовершенствованный в работах О.А. Ладыженской, В.А. Солонникова, Н.Н. Уральцевой, Э. Ди Бенедетто, М. Херреро, Д.Андреуччи, А.Ф. Тедеева. Основным инструментом при исследовании поведения решения в областях с некомпактными границами служат мультипликативные неравенства, связанные с геометрией области, разработанные А.Ф. Тедеевым. Для доказательства устранимости особенности ключевым моментом при получении интегральных оценок является выбор пробной функции типа логарифма специального вида, предложенный И.И. Скрыпником.

Ключевые слова: начально-краевая задача Неймана, вырождающиеся параболические уравнения с двойной нелинейностью, абсорбция, мера, изолированная особенность, некомпактная граница.

Annotation

Logacheva O.M. Questions of the solvability and the behavior of a solution to the Neumann problem for quasilinear parabolic equations with an absorption in domains with a noncompact boundary - Manuscript.

Thesis for a candidate degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 - differential equations. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2009.

The thesis is devoted to the study of the Neumann problem for quasilinear degenerate parabolic equations in domains with a noncompact boundary.

The behavior of the solution of the second mixed problem for doubly nonlinear parabolic equations in dependence on the geometry of the domain is considered in the case of domains, narrowing at the infinity. Namely, sharp bilateral bounds of the - norm of the solution to this problem are obtained.

The initial-boundary value Neumann problem for the quasilinear parabolic equation with absorption and a measure as initial data is considered in a wide class of unbounded domains.

The existence (for Radon measure as initial data) and the non-existence (when initial datum is the Dirac measure centered at the origin) of a weak solution of the problem in dependence on the absorption's exponent are proved. The nonexistence result is obtained from the statement of the removability of an isolated singularity of the solution in the case of the critical exponent of the absorption.

Keywords: Initial-boundary Neumann problem, doubly nonlinear degenerate parabolic equation, absorption, measure, isolated singularity, noncompact boundary.

Размещено на Allbest.ru

...