Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дослідження схем апроксимації диференціально-функціональних рівнянь

01.01.02 - диференціальні рівняння

Матвій ОЛЕКСАНДР ВАСИЛЬОВИЧ

Чернівці - 2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

ЧЕРЕВКО Ігор Михайлович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичного моделювання, декан факультету прикладної математики.

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

ПЕЛЮХ Григорій Петрович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

КОРОЛЬ Ігор Іванович,

Ужгородський національний університет,

доцент кафедри диференціальних рівнянь та

математичної фізики.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багаточисельні прикладні задачі нелінійної механіки, радіотехніки, екології, економіки, медицини та інших наук описуються диференціально-функціональними рівняннями (ДФР) та пов'язаними з ними класами диференціально-різницевих рівнянь (ДРР).

На даний час теорія ДФР та ДРР достатньо добре розроблена, загальноприйнятою стала класифікація таких рівнянь, знайдені природні постановки початкових і крайових задач.

Основи якісної теорії ДФР розроблені в працях відомих математиків А. Д. Мишкіса, Л. Е. Ельсгольца, М. М. Красовського, Р. Беллмана, Дж. Хейла, А. Халаная та ін. Важливі результати в окремих напрямках теорії ДФР одержані в працях Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, А. М. Шарковського, М. В. Азбелєва, В. П. Рубаника, В. І. Фодчука, Д. І. Мартинюка, В. Б. Колмановського, Г. П. Пелюха, В. Ю. Слюсарчука, Д. Я. Хусаїнова, Є. Ф. Царкова, В. К. Ясинського та ін.

Особливий інтерес представляють ДФР, близькі до рівнянь без відхилення аргумента, що дозволяє поширити на такі рівняння методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, зокрема асимптотичні методи М. М. Боголюбова, Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, методи усереднення та інтегральних многовидів.

Як відомо, ДФР та ДРР інтегруються в замкненій формі тільки в найпростіших випадках, тому значний інтерес представляє дослідження методів їх наближеного інтегрування. До такого роду задач належать методи наближення ДФР та ДРР звичайними динамічними системами.

Першими працями в цьому напрямі були праці М. М. Красовського, Ю. М. Рєпіна та А. Б. Куржанського при дослідженні задач керування у системах із запізненням. Побудова схем апроксимації ДРР запізнюючого й нейтрального типів за допомогою апроксимації Паде на скінченному інтервалі розглядалася в працях М. П. Опаріна, А. Ю. Оболенського та А. М. Чернецької. Відзначимо також праці Х. Т. Бенкса, Ф. Капеля, К. Куніша, Д. А. Барнса з апроксимації ДФР послідовністю звичайних диференціальних рівнянь, що базуються на результатах досліджень про апроксимацію інфінітезимального оператора півгрупи лінійних операторів. У працях І. М. Черевка, Л. А. Піддубної досліджено схеми апроксимації різних класів ДРР у просторах неперервних функцій і розглянуто їх застосування для наближеного знаходження неасимптотичних коренів квазіполіномів.

У даній роботі досліджено точність апроксимації векторного елемента запізнення у різних функціональних просторах, що дозволило обгрунтувати схеми апроксимації розв'язків початкових і крайових задач для систем ДФР та ДРР. Для лінійних стаціонарних систем із запізненням запропонована методика дослідження стійкості їх розв'язків.

Зв'язок із науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертаційної роботи розпочаті в рамках теми "Асимптотичні методи і апроксимаційні алгоритми дослідження диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь" (номер державної реєстрації 0102U004992), що виконувалася на кафедрі прикладної математики і механіки Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича, і були продовжені в рамках науково-дослідної роботи "Якісне дослідження та математичне моделювання процесів, що описуються диференціальними та диференціально-функціональними рівняннями"(номер державної реєстрації 0106U008365), що виконується на кафедрі математичного моделювання Чернівецького національного університету.

Мета і завдання дослідження. Метою досліджень даної роботи є розробка схем апроксимації систем диференціально-різницевих і диференціально-функціональних рівнянь послідовністю систем звичайних диференціальних рівнянь та їх застосування для дослідження стійкості лінійних автономних систем із запізненням.

Об'єкт дослідження: системи диференціально-функціональних і диференціально-різницевих рівнянь запізнюючого та нейтрального типів.

Предмет дослідження: обгрунтування схем апроксимації систем диференціально-різницевих і диференціально-функціональних рівнянь у різних функціональних просторах, аналіз стійкості лінійних стаціонарних систем із запізненням.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати:

- встановлено точність апроксимації векторного елемента запізнення в різних функціональних просторах;

- обгрунтовано схему апроксимації початкових задач для систем диференціально-різницевих рівнянь запізнюючого й нейтрального типів;

- досліджена схема апроксимації крайової задачі для диференціального рівняння із запізненням;

- побудована схема апроксимації систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь запізнюючого типу;

- обгрунтовані алгоритми наближеного знаходження неасимптотичних коренів квазіполіномів для систем лінійних автономних диференціально-різницевих рівнянь із багатьма запізненнями;

- здійснено аналіз алгоритмів дослідження стійкості лінійних автономних систем із запізненням.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають в основному теоретичний характер. Вони є вагомим внеском у методику дослідження систем диференціально-різницевих і диференціально-функціональних рівнянь. Одержані результати можна також використати для подальшого дослідження якісних властивостей і наближеної побудови розв'язків диференціально-різницевих рівнянь, що описують прикладні процеси в механіці, теорії керування, екології, економіці.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, включені до дисертації, отримані автором особисто. Зазначимо внесок автора у спільних публікаціях: у праці [12] І. М. Черевку належить постановка задачі та визначення загальної схеми досліджень; С. А. Пернай належать результати п.5, а результати п.1, 2, 3 належать автору; у працях [4; 8] І. М. Черевку належить визначення загальної схеми досліджень; Л. В. Стельмащук та С. А. Пернай належить проведення чисельних експериментів на ЕОМ, а всі теоретичні результати належать автору; у спільних із науковим керівником працях [1-4; 5; 14; 7; 15] І. М. Черевку належить постановка задач, визначення схеми досліджень та обговорення одержаних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на: Міжнародній конференції "Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation" (Київ, 2003, 2007 р.р.); Міжнародній математичній конференції, присвяченій 125-й річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2004 р.); Міжнародній науковій конференції імені М. Кравчука (Київ, 2004 р.); Міжнародній науковій конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005 р.); Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Чернівці, 2006 р.); Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (Івано-Франківськ, 2008 р.); наукових семінарах факультету прикладної математики та кафедри математичного моделювання Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 15 працях, з них 2 - у наукових журналах, 5 - у збірниках наукових праць і 8 - у матеріалах міжнародних наукових конференцій. Серед публікацій 7 праць у наукових фахових виданнях із переліку №1, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел, який містить 87 найменувань та двох додатків. Повний обсяг роботи становить 138 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Черевку І. М. за постановку задач, конструктивні поради і цікаві ідеї.

ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел та двох додатків.

У вступі обгрунтовується актуальність теми дослідження, визначаються мета і завдання дослідження, подається короткий аналіз сучасного стану проблем, які вивчаються в дисертації, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення. Зазначено особистий внесок здобувача, де відбувалась апробація роботи та публікації автора.

У першому розділі подано огляд праць за тематикою дисертаційної роботи, наведено питання, які залишалися нерозв'язними. Тут здійснено детальний аналіз праць М. М. Красовського, Ю. М. Рєпіна, методика досліджень яких поширюється в дисертації на нові класи задач.

Перейдемо до викладення матеріалу другого розділу. У п.2.1 досліджується апроксимація послідовності з елементів запізнення, що послідовно між собою зв'язані: , , , , , де запізнення, , - вхідна функція. Вихідні функції , будуть визначені в момент часу , якщо задано початковий стан , .

Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь вигляду

(1)

з початковими умовами

(2)

Зв'язок між вихідними станами елемента запізнення , та функціями , встановлює наступна теорема.

Теорема 2.1. Нехай у системі лінійних диференціальних рівнянь (1)-(2), функція , диференційовна і похідна , задовольняє умову Ліпшица із сталою або є неперервною функцією. Тоді справджуються нерівності

(3)

або

(4)

Нехай функція , задовольняє умову Ліпшица із сталою або є тільки неперервною функцією. Тоді справджуються нерівності

(5)

або

(6)

Якщо функція , кусково-неперервна, тоді має місце нерівність

 (7)

Тут , -- монотонно зростаючі функції та .

У пп.2.1.2 розглянуто апроксимацію послідовності векторних елементів запізнення для вхідної функції . При цьому точність апроксимації встановлена в теоремі 2.2.

У п.2.2 досліджено апроксимацію початкової задачі для системи диференціальних рівнянь із запізненням

(8)

де , ; - неперервна вектор-функція, визначена для , , ; , - деякі натуральні числа, , - задані дійсні числа, ; .

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь

(9)

(10)

де індекси однозначно визначаються нерівностями

(11)

Припустимо, що функція задовольняє умову Ліпшица

(12)

де .

Теорема 2.4. Нехай для системи (8) справджується нерівність (12). Тоді розв'язок задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь (9)-(10) апроксимує розв'язок початкової задачі для системи диференціально-різницевих рівнянь (8) при і .

У п.2.3 досліджується схема апроксимації початкової задачі для системи диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу

(13)

, , - неперервні на матричні функції; - неперервна вектор-функція, визначена для , , .

Будемо розглядати для норму , а для матриці задамо норму , що узгоджена із векторною нормою.

Припустимо, що для системи (13) виконуються умови:

1) , .

2) Функція задовольняє умову Ліпшица

Визначимо функції як розв'язки задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

(14)

(15)

де індекси однозначно визначаються нерівностями (11).

Будемо вважати, що система звичайних диференціальних рівнянь (14) апроксимує систему рівнянь нейтрального типу (13), якщо справджуються співвідношення

де - норма в просторі .

Теорема 2.5. Нехай для системи (13) справджуються умови 1), 2). Тоді розв'язок задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь (14)-(15) апроксимує розв'язок початкової задачі для системи диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу (13) при і .

У п.2.4 досліджується апроксимація нелінійного різницевого рівняння

(16)

з початковою умовою

(17)

де , , - запізнення; ; - неперервна функція, визначена для , , , - задана неперервна на функція.

При виконанні умови "склейки"

(18)

розв'язок задачі (16)-(17) буде неперервною функцією на . Якщо умова (18) не виконується, тоді розв'язок задачі (16)-(17) буде кусково-неперервною функцією, що має на скінченну кількість точок розриву, в яких існують ліві та праві границі.

Визначимо функції як розв'язки задачі Коші

(19)

(20)

Теорема 2.6. Нехай - розв'язок задачі Коші (19)-(20), а - розв'язок початкової задачі (16)-(17). Припустимо, що справджуються нерівності

Тоді мають місце співвідношення

(21)

Якщо справджується умова "склейки" (18), тоді

(22)

Функції , монотонно неспадні і .

Апроксимація векторних різницевих рівнянь системою звичайних диференціальних рівнянь досліджена в пп.2.4.2.

У п.2.5 розглядається система, що складається з диференціально-різницевого та різницевого рівнянь вигляду

(23)

(24)



з початковими умовами

(25)

Нехай виконується умова "склейки" :

При виконанні цих припущень розв'язок задачі (23)-(25) існує, єдиний і може бути знайдений методом кроків. Крім того, . Якщо умова "склейки" не виконується, то , а кусково-неперервна функція, що має скінченну кількість точок розриву, в яких існують односторонні границі.

Визначимо функції як розв'язки задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

(26)

(27)

(28)

де , , а індекси однозначно визначаються нерівностями (11).

Теорема 2.8. Нехай - розв'язок задачі Коші (26)-(28), а - розв'язок початкової задачі (23)-(25). Припустимо, що справджуються нерівності

Тоді мають місце співвідношення

(29)

Якщо ж виконується умова "склейки", тоді справджуються такі співвідношення :

(30)

Функції , монотонно неспадні і .

У п.2.6 схема апроксимації диференціально-різницевих рівнянь Красовського-Рєпіна поширюється на випадок початкової задачі для лінійного диференціально-функціонального рівняння

(31)

де - - неперервні матричні функції; - - матрична функція, компоненти якої неперервні за сукупністю змінних функції на , .

Розглянемо задачу Коші

апроксимація квазіполіном лінійний неасимптотичний

(32)

(33)

Теорема 2.9. Якщо , , -- неперервні матричні функції при , , тоді для розв'язків початкової задачі (31) та розв'язків задачі Коші (32)-(33) справджуються співвідношення

У третьому розділі розглядається застосування досліджених схем апроксимації. У п.3.1 досліджується крайова задача із запізненням

(34)

(35)

Нехай - неперервна функцiя в областi , де - додатнi сталi, .

Введемо позначення:

Теорема 3.1. Нехай справджуються такі умови :

Тодi у класi функцiй iснує єдиний розв'язок крайової задачi (34)-(35).

Поставимо у відповідність крайовій задачі (34)-(35) крайову задачу для системи звичайних диференціальних рівнянь вигляду

(36)

(37)

(38)

(39)

Теорема 3.2. Нехай функція задовольняє умови теореми 3.1 та виконується нерівність

Тоді крайова задача (36)-(39) апроксимує крайову задачу (34)-(35) і мають місце співвідношення

де .

У п.3.2 розглядається лінійна система диференціальних рівнянь із багатьма запізненнями

(40)

де , - - сталі матриці; .

Квазіполіном для системи (40) має вигляд

(41)

Системі (40) за схемою п.2.2 ставимо у відповідність систему звичайних диференцiальних рiвнянь

(42)

Лема 3.1. Для характеристичного рівняння апроксимуючої системи (42) має місце співвідношення

(43)

Лема 3.2. Для фіксованих послідовність функцій

(44)

збігається при до квазіполінома (41).

Наведені твердження можна використати для наближеного знаходження неасимптотичних коренів квазіполінома (41). Згідно з рівністю (44), нулі функцій і збігаються, тому корені характеристичного многочлена (43) можна брати як наближені значення неасимптотичних коренів квазіполінома (41).

У пп.3.2.2 аналогічні дослідження здійснені для лінійної системи диференціальних рівнянь нейтрального типу

(45)

де , , -- сталі матриці розмірності .

У п.3.3 розглядається лінійна система із запізненням

(46)

і відповідна апроксимуюча система

(47)

де , , - сталі матриці розмірності , .

Теорема 3.5. Якщо нульовий розв'язок рівняння (46) експоненціально стійкий (нестійкий), тоді існує таке, що при нульовий розв'язок системи (47) експоненціально стійкий (нестійкий).

Якщо для всіх нульовий розв'язок системи (47) експоненціально стійкий (нестійкий), тоді й нульовий розв'язок рівняння (46) експоненціально стійкий (нестійкий).

Знаходження числа , для якого справджується теорема 3.5, зводиться до розв'язання деякої оптимізаційної задачі.

У п.3.4 проаналізовано алгоритми дослідження стійкості лінійних систем із запізненням. Наведена методика обчислення верхньої межі запізнення, при якій зберігається властивість стійкості.

Додаток містить опис програми, розробленої для автоматизації дослідження точності наближення початкових і крайових задач із запізненням.

У додатку наведено опис прикладної програми, в якій реалізовано алгоритми наближеного знаходження неасимптотичних коренів квазіполіномів та верхньої межі запізнення для якої ці корені знаходяться у лівій півплощині.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена розробці й обгрунтуванню схем апроксимації систем диференціально-різницевих і диференціально-функціональних рівнянь послідовністю систем звичайних диференціальних рівнянь та їх застосуванню для дослідження стійкості лінійних автономних систем із запізненням.

Основними результатами роботи є:

- дослідження точності апроксимації векторного елемента запізнення в різних функціональних просторах;

- побудова та обгрунтування схем апроксимації початкових задач для систем запізнюючого та нейтрального типів із багатьма відхиленнями аргумента;

- встановлення умов розв'язності крайової задачі із запізненням і дослідження її апроксимації системою звичайних диференціальних рівнянь;

- побудова та обгрунтування алгоритмів наближеного знаходження неасимптотичних коренів квазіполіномів систем лінійних диференціально-різницевих рівнянь;

- застосування схем апроксимації диференціально-різницевих рівнянь для дослідження стійкості лінійних автономних систем із запізненням.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Матвій О. В. Апроксимація системи диференціально-різницевих та різницевих рівнянь із багатьма запізненнями / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Наук. вісник Чернівецького ун-ту : зб. наук. праць. - Чернівці : Рута, 2002. - Вип. 150. Математика. - С. 50-54.

2. Матвій О. В. Про апроксимацію систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Наук. вісник Чернівецького ун-ту : зб. наук. праць. - Чернівці : Рута, 2006.- Вип. 314 - 315. Математика. - С. 125-128.

3. Черевко І. М. Про наближення систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу системами звичайних диференціальних рівнянь / І. М. Черевко, О. В. Матвій // Нелінійні коливання. - 2007. - Т. 10, № 3. - С. 328-335.

4. Черевко І. М. Про апроксимацію системи різницевих рівнянь / І. М. Черевко, О. В. Матвій, Л. В. Стельмащук // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту : зб. наук. праць. - Чернiвцi : Рута, 2007. - Вип. 349. Математика. -
С. 88-94.

5. Матвій О. В. Апроксимація нелінійних диференціально-різницевих та різницевих рівнянь із запізненням / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation : International conference. - К., 2003. - С. 81.

6. Матвій О. В. Апроксимація лінійних диференціально-функціональних рівнянь / О. В. Матвій // Диференціальні рівняння та їх застосування : міжнар. наук. конф. : тези доповідей. - К., 2005. - С. 69.

7. Матвій О. В. Апроксимація елемента запізнення в / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Диференціальні рівняння та їх застосування : міжнар. конф. (11-14 жовтня 2006 р., Чернівці) : тези доповідей. - Чернівці : Рута, 2006. - С. 103.

8. Матвій О. В. Апроксимація систем диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / О. В. Матвій, С. А. Пернай, І. М. Черевко // IV Всеукраїнська наукова конференція : нелінійні проблеми аналізу : тези доповідей. - Івано-Франківськ : Плай, 2008 - С. 64.

9. Матвій О. В. Апроксимація крайових задач із запізненням системами звичайних диференціальних рівнянь / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Вісник Київського університету. Серія : Фіз.-мат. науки. - 2003. - № 3. - С. 129-137.

10. Матвій О. В. Апроксимація крайових задач із запізненням системами звичайних диференціальних рівнянь / О. В. Матвій // VI Боголюбовські читання : міжнар. наук. конф. : тези доповідей. - Київ, 2003. - С. 143.

11. Черевко І. М. Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість / І. М. Черевко, О. В. Матвій // Нелінійні коливання. - 2004. - Т. 7, № 2. - С. 208-216.

12. Матвій О. В. Про стійкість лінійних систем із запізненням / О. В. Матвій, С. А. Пернай, І. М. Черевко // Наук. вісник Чернівецького ун-ту : зб. наук. праць. - Чернівці : Рута, 2008. - Вип. 421. Математика. - С. 66-70.

13. Матвій О. В. Про апроксимацію та стійкість диференціальних рівнянь / О. В. Матвій // Міжнародна конференція, присвячена 125-й річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004 р., Чернівці) : тези доп. - С. 116.

14. Матвій О. В. Про апроксимацію квазіполіномів систем диференціальних рівнянь із запізненням / О. В. Матвій, І. М. Черевко // Х Міжнар. наук. конф. ім. М. Кравчука : матеріали. - К., 2004. - С. 175.

15. Черевко І. М. Апроксимація неасимптотичних коренів квазіполіномів для систем нейтрального типу / І. М. Черевко, О. В. Матвій // Dynamical systems modelling and stability investigation : International Conference. - K., 2007. - С. 68

АНОТАЦІЯ

Матвій О.В. Дослідження схем апроксимації диференціально-функціональних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2009.

Дисертаційна робота присвячена розробці та обґрунтуванню схем апроксимації диференціально-різницевих і диференціально-функціональних рівнянь послідовністю систем звичайних диференціальних рівнянь та їх застосуванню для дослідження стійкості лінійних автономних систем із запізненням.

У роботі встановлено точність апроксимації векторних послідовно з'єднаних елементів із запізненням у залежності від гладкості вхідної функції, побудовано й обґрунтовано схему апроксимації початкових задач для систем диференціально-різницевих рівнянь запізнюючого й нейтрального типів і лінійних диференціально-функціональних рівнянь. Встановлено умови розв'язності крайових задач із запізненням і досліджено їх апроксимацію системами звичайних диференціальних рівнянь.

На основі розроблених схем апроксимації побудовані й обґрунтовані алгоритми наближеного знаходження неасимптотичних коренів квазіполіномів систем лінійних диференціально-різницевих рівнянь із багатьма запізненнями. Здійснено аналіз алгоритмів дослідження стійкості лінійних автономних систем із запізненням і запропонована методика знаходження верхньої межі запізнення, для якої зберігається властивість стійкості.

Ключові слова: диференціально-різницеве рівняння, запізнення, початкова задача, крайова задача, квазіполіном, апроксимація, стійкість.

Matviy O.V. Investigation of approximation schemes of functional differential equations. - Manuscript.

Thesis for a competition of Ph.D. degree of ph.-math. sciences by speciality 01.01.02- differential equations. - Yurii Fed'kovych Chernivtsi National University, Chernivtsi, 2009.

The thesis is devoted to development and validation of approximation schemes for differential-difference and functional differential equations with the help of a sequence of systems of ordinary differential equations and their application for investigation of the stability of linear autonomous systems with delay.

In the thesis the accuracy of approximation of concatenated vector elements with delay depending on the smoothness of the input function is established. The scheme of the approximation of initial problems is constructed and proved for systems of differential-difference equations of the delayed and neutral types and linear functional differential equations. Conditions of the solvability of boundary value problems with delay are proved and their approximation is investigated with the help of systems of ordinary differential equations.

Algorithms of approximated finding of non-asymptotic roots of quasi-polynomials for systems of linear differential-difference equations with many delays are constructed and proved with the help of above mentioned approximation schemes. Algorithms of the investigation of the stability of linear autonomous systems with delay are analyzed. A method of finding the upper limit of the delay (for which the stability property is satisfied) is offered.

Key words: differential-difference equations, delay, initial problem, boundary value problem, quasi-polynomial, approximation, stability.

Матвий А.В. Исследование схем аппроксимации дифференциально-функциональных уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2009.

Диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию схем аппроксимации дифференциально-разностных и дифференциально-функциональных уравнений последовательностью систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближенная замена дифференциально-разностных уравнений системами обыкновенных дифференциальных уравнений изучалась Н. Н. Красовским и Ю. М. Репиным в пространствах гладких функций. В работе исследовано точность аппроксимации последовательно связанных векторных элементов запаздывания для непрерывных и кусочно-непрерывных входных функций. Построены и обоснованы схемы аппроксимации начальной задачи для систем дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа и систем нейтрального типа по Д. Хейлу. Схема аппроксимации Красовского-Репина также распространена в работе для приближения начальной задачи для систем разностных уравнений с многими отклонениями, систем разностных и дифференциально-разностных уравнений, линейных дифференциально-функциональных уравнений.

В работе получены коэффициентные условия разрешимости краевых задач с запаздыванием, исследованы схемы приближения их решений решениями краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные схемы аппроксимации используются для построения алгоритмов приближенного вычисления неасимтотических корней квазиполиномов систем линейных дифференциально-разностных уравнений.

Исследована возможность приближения систем с запаздыванием системами обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечном интервале. Установлена эквивалентность устойчивости системы с запаздыванием и аппроксимирующей системы при достаточно большой ее размерности. Для линейных систем с запаздыванием указан конструктивный алгоритм вычисления размерности аппроксимирующей системы, для которой эта эквивалентность имеет место. Предложена методика вычисления для линейных систем с запаздыванием верхнего предела запаздывания, для которого сохраняется свойство устойчивости.

Построенные и обоснованные схемы аппроксимации начальных и краевых задач для дифференциально-разностных уравнений могут быть использованы при изучении прикладных задач механики, теории управления, экологии, экономики, при исследовании качественных свойств и построении решений дифференциально-разностных уравнений.

Ключевые слова: дифференциально-разностное уравнение, запаздывание, начальная задача, краевая задача, квазиполином, аппроксимация, устойчивость.

Размещено на Allbest.ru

...