Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.956.4+517.955+517.982.4

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

КОРЕКТНА РОЗВ'ЯЗНІСТЬ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ ПСЕВДОДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ У ПРОСТОРАХ НЕСКІНЧЕННО ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ

Літовченко Владислав Антонович

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант - доктор фізико-математичних наук, професор Івасишен Степан Дмитрович, Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", професор кафедри математичної фізики.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, професор Житарашу Микола Васильович, Молдавський державний університет, завідувач кафедри математичного аналізу і диференціальних рівнянь;

- доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кочубей Анатолій Наумович, завідувач відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України;

- доктор фізико-математичних наук, професор Ільків Володимир Степанович, Національний університет "Львівська політехніка", професор кафедри обчислювальної математики і програмування.

Захист відбудеться "19" травня 2009 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України (01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розіслано "14" квітня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Анотації

Літовченко В.А. Коректна розв'язність задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних систем у просторах нескінченно диференційовних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут математики HAH України, Київ, 2009.

У дисертації означено нові класи параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем рівнянь із гладкими, що характеризуються опуклими вниз функціями, та точково-негладкими, з характерними властивостями для степеневих функцій, символами псевдодиференціювання, які доповнюють і розширюють класи рівномірно параболічних за Ейдельманом і за Шиловим систем рівнянь із частинними похідними, сингулярні системи першого порядку за часовою змінною з коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної.

Побудовано теорію коректної розв'язності задачі Коші для таких рівнянь і систем у просторах Гельфанда й Шилова, Гуревича, Городецького та їм подібних, а також у класах Жевре типу Рум'є. При цьому розвинено методику дослідження властивостей фундаментальних розв'язків і фундаментальних матриць розв'язків для параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем; у випадку гладких символів псевдодиференціювання розроблено схему описання всіх початкових даних задачі Коші, які забеспечують існування та єдиність її звичайного розв'язку та наявність у нього властивостей, характерних для фундаментального розв'язку цієї задачі; для рівномірно параболічних за Ейдельманом та за Шиловим з додатним родом систем розширено клас узагальнених початкових даних, з якими відповідна задача Коші має звичайний нескінченно диференційовний за просторовою змінною розв'язок.

Одержано ряд результатів, які стосуються теорії просторів основних і узагальнених функцій. Вони істотно використовуються при встановленні коректної розв'язності задачі Коші та формуванні середовища дослідження цієї задачі. Насамперед це розширення просторів Гуревича та побудова їх аналогів для періодичних функцій; критерії згортувачів і мультиплікаторів у просторах Гельфанда, Шилова й Гуревича та подібних до них; характеристики елементів у термінах перетворення Фур'є; множини згортувачів у класах нескінченно диференційовних 27г-періодичних функцій; уточнення топології простору Городецького та його узагальнення.

Досліджено питання про можливість зображення операції Поста узагальненого диференціювання у класичній формі дробового диференціювання; узагальнено оператор Бесселя дробового інтегро-диференціювання.

Ключові слова: диференціальні та псевдодиференціальні рівняння, і системи рівнянь, сингулярні псевдодиференціальні рівняння, {р;h}-параболіч-ність, задача Коші, фундаментальний розв'язок, коректна розв'язність, максимальні простори початкових даних, принцип локалізації, простори основних та узагальнених функцій, згортувач і мультиплікатор.

Литовченко В.А. Корректная разрешимость задачи Коши для параболических псевдодифференциальных систем в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики HAH Украины, Киев, 2009.

В диссертации определены новые классы параболических псевдодифференциальных уравнений и систем с гладкими, характеризирующимися выпуклыми книзу функциями, и точечно негладкими, с характерными свойствами для степенных функций, символами псевдодифференцирования, которые дополняют и расширяют классы параболических по Эйдельману и по Шилову систем с частными производными, и 2B-параболические сингулярные системы первого порядка по временной переменной с коэффициентами, независящими от пространственной переменной.

Построено теорию корректной разрешимости задачи Коши для таких уравнений и систем в пространствах Гельфанда и Шилова, Гуревича, Городецкого та им подобных, а также в классах Жевре типа Румье. При этом развивается методика исследования фундаментальных решений и фундаментальных матриц решений для параболических псевдодифференциальных уравнений и псевдодифференциальных систем. Предложены альтернативные методы оценивания производных таких решений в случае гладких символов псевдодифференцирования; решена проблема, связанная с оцениванием фундаментальной матрицы решений параболических псевдодифференциальных систем с однородными точечно-негладкими символами в случае, когда степень однородности главного матричного символа меньше единицы. В случае гладких символов псевдодифференцирования построено схему описания всех начальных данных задачи Коши, которые обеспечивают существование и единственность обычного ее решения и наличие у него свойств, характерных для фундаментального решения этой задачи. Для равномерно параболических по Эйдельману и Шилову с положительным родом систем расширен класс обобщенных начальных данных, с которыми соответствующая задача Коши имеет обычное бесконечно дифференцируемое по пространственной переменной решение.

Получен ряд результатов, касающихся теории пространств основных и обобщенных функций, которые существенно используются при установлении корректной разрешимости задачи Коши и формировании среды исследования этой задачи. Прежде всего это расширения пространств Гуревича путем дополнения их гладкими элементами, которые являются не обязательно целыми аналитическими функциями; изучение вопроса аналитичности и квазианалитичности элементов этих расширений, установление связи между ними в терминах преобразования Фурье. Построение аналогов пространств Гуревича периодических функций, которые являются обобщением известных классов Жевре типа Румье целых аналитических периодических функций; характеристика их элементов, а также элементов соответствующих топологически сопряженных пространств в терминах коэффициентов Фурье, описание множеств спёрты нагелей для этих классов. Установление критерия спёрты нагелей и мультипликаторов в пространствах Гельфанда и Шилова, Гуревича и им подобных. Уточнение топологии пространства Городецкого, порожденного свойствами фундаментального решения параболического уравнения с оператором Рисса дробного дифференцирования, и обобщение его на случай, когда преобразование Фурье его элементов являются негладкими функциями уже в произвольно фиксированной точке пространства Е", быстро убывающих на бесконечности.

Исследован вопрос о возможности представления операции Поста обобщенного дифференцирования в классической форме дробного дифференцирования; обобщен оператор Бесселя дробного интегро-дифференцирования и продолжен на пространства типа S'.

Полученные результаты о корректной разрешимости задачи Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений и псевдодифференциальных систем являются не только следствием распространения соответствующих результатов классической теории задачи Коши для параболических систем уравнений с частными производными, но и такими, которые определённым образом дополняют их. В частности, новым является результат об описании совокупности всех классических решений в рамках пространств Гельфанда и Шилова параболических по Петровскому, Эйдельману, Шилову и 2B-параболических сингулярных систем уравнений с частными производными, а также - результат о расширении совокупности обобщенных граничных значений бесконечно дифференцируемых по пространственной переменной обычных решений параболических по Петровскому, Эйдельману и Шилову с положительным родом систем.

Ключевые слова: дифференциальные и псевдодифференциальные уравнения и системы уравнений, {р;h}-параболичность, задача Коши, фундаментальное решение, корректная разрешимость, максимальные пространства начальных данных, принцип локализации, пространства основных и обобщенных функций, свёртыватель и мультипликатор.

V.A. Litovchenko. Correct solvability of Cauchy problem, for parabolic pseudo-differential systems in the spaces of infinitely derived functions. - Manuscript.

The Doctor of Science in Physics and Mathematics Dissertation, Speciality: 01.01.02 - Differential Equations. - Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. Kyiv, 2008.

New classes of parabolic pseudo-differential equations and systems with smooth symbols of pseudo-derivation characterized by convex functions and point-unsmooth ones with the properties, characteristic for power functions that complement and enlarge the classes of parabolic systems with partial derivatives (according to Eidelman and Shilov) and 2B-parabolic singular systems of the 1st order of time with the coefficients independent on a spatial variable have been determined.

The theory of correct solvability of Cauchy problem has been suggested for the above mentioned equations and systems in Gelfund, Shilov, Gurevich, Gorodetski and other similar spaces as well as in Jevrey classes of Rumier type. At the same time the technique of investigation of fundamental solution matrices for parabolic pseudo-differential equations and systems is being developed. For the case of smooth pseudo-derivation symbols the scheme of describing all the initial data of Cauchy problem has been made that ensure the existence and uniqueness of its common solution and its having the properties, characteristic of the fundamental solution of this problem. For equally parabolic positive type systems (according to Eidelman and Shilov) the class of generalized initial data has been extended, with which the corresponding Cauchy problem has a common solution, infinitely differentiated by a spatial variable. A number of results concerning the theory of spaces for basic and generalized functions have been obtained. They are sufficiently applied in the determination of correct solvability of Cauchy problem and formation of the investigation medium of this problem. First and foremost, these are extensions of Gurevich spaces and making their analogues for periodic functions; the criteria of convolutions and multipliers in Gelfund, Shilov, Gurevich spaces and those similar to them; the characteristics of the elements in terms of Fourier transform; the sets of convolutions in the classes of infinitely differentiated vectors of nonnegative self-conjugated operators with purely discrete spectrum; the topology amendment of Gorodetski space and its generalization. The problem of the potentialities of presenting Post operation of generalized derivation in classical form of fraction derivation has been studied; Bessel operator of fraction integration-derivation has been generalized and extended on the S"-type spaces.

Key words: Cauchy problem, correct solvability, pseudo-differential operator, class of pseudo-differential systems, parabolic on Petrovsky, parabolic on Shilov, 2b-parabolic, {p;h}-parabolic, singular system, convolution, multiplier, the generalized function.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Параболічні системи рівнянь із частинними похідними, диференціально-операторних та інших рівнянь широко використовуються при математичному моделюванні різноманітних природничих процесів.

Теорія параболічних рівнянь бере свій початок фактично з класичного рівняння теплопровідності, але найбільш чітких рис вона набула з виходом у 40-х роках минулого століття фундаментальних праць І.Г. Петровського, пов'язаних із описом та дослідженням досить широкого класу систем диференціальних рівнянь із частинними похідними (ДРЧП). Вагомий внесок у розвиток теорії задачі Коші (ЗК) для рівнянь і систем рівнянь із цього класу зробили І.Г. Петровський, А. Фрідман, С.Д. Ейдельман, Л.Н. Слободецький, С. Теклінд, В.О. Солонников, М.Л. Горбачук, С.Д. Івасишен, М.І. Матійчук, В.В. Городецький та ін. Ними було одержано ряд важливих результатів, пов'язаних з коректною розв'язністю ЗК у різних функціональних просторах, інтегральним зображенням розв'язку, створенням і вдосконаленням методів дослідження фундаментальної матриці розв'язків (ФМР); знаходженням класів коректності та єдиності, теоремами про існування граничних значень розв'язку з різних просторів, дослідженням якісних властивостей розв'язків тощо.

У 1955 р. Г.Є. Шилов істотно розширює клас Петровського систем першого порядку за часовою змінною t шлях доповнення його системами, в яких показник параболічності вже може й не збігатися з порядком системи. Дослідженням ЗК для параболічних за Шиловим систем займалися передусім Г.Є. Шилов, І.М. Гельфанд, відтак К.І. Бабенко, Б.Л. Гуревич, Г.М. Золотарьов, Я.І. Житомирський, С.Д. Ейдельман, С.Д. Івасишен, Ф.О. Порпер, В.В. Городецький та ін. Основним здобутком цих досліджень є класи єдиності та коректності ЗК для систем зі сталими коефіцієнтами, теореми про коректну розв'язність ЗК у класах обмежених функцій у випадку коефіцієнтів, залежних лише від просторової змінної, а також ЗК з узагальненими початковими даними типу ультрарозподілів Жевре; властивості локалізації й стабілізації розв'язків, теореми типу Ліувілля.

Специфіка означення параболічності як за Петровським, так і за Шиловим не передбачає індивідуальних характеристик параболічності системи окремо за кожною компонентою її просторової змінної:

система характеризується за сукупністю компонент у цілому, шляхом їх урівноваження. Таке абстрагування, з одного боку, позбавляє можливості одержати точні результати на рівні кожної, окремо взятої, компоненти, а з іншого - звужує клас систем з характерними властивостями для рівняння теплопровідності.

У зв'язку з цим у 1960 р. С.Д. Ейдельман пропонує ще одне узагальнення параболічності - так звану -параболічність, згідно з якою істотно розширюється клас Петровського. У системах з такою параболічністю диференціювання за різними компонентами просторової змінної мають, взагалі кажучи, різну вагу відносно диференціювання за змінною t. Детальне дослідження ЗК для цих систем та властивостей їх розв'язків проведено в працях С.Д. Ейдельмана, С.Д. Івасишена, М.І. Матійчука та ін.

Як у параболічності за Петровським, так і за Ейдельманом, для систем першого порядку за t порядок системи збігається з показником параболічності. Тому запропонована -параболічність не поширюється на всі параболічні за Шиловим системи. Отже, клас Шилова і клас Ейдельмана - це два різні класи параболічних систем, кожен з яких не спроможний повністю охопити інший.

З огляду на це природним видається бажання: 1) означити класс параболічних систем першого порядку щодо змінної t, який містив би кожен із зазначених класів таких систем; 2) поширити теорію коректної розв'язності ЗК на цей клас.

Сучасна теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО) спонукає до розширення класу параболічних систем ДРЧП першого порядку за t тими псевдодиференціальними системами (ПДС), в яких дійсні частини власних чисел матричних символів псевдодиференціювання є від'ємними й обмеженими в області задання, взагалі кажучи, необов'язково степеневими виразами. Зрозуміло, що ступінь гладкості символів псевдодиференціювання, їх поведінка в околі особливих точок істотно впливає на властивості розв'язку ЗК і, зрештою, на методику дослідження. Тому доречно попередньо провести класифікацію зазначеного розширення згідно з властивостями символів псевдодиференціювання, що призведе до появи нових класів параболічних псевдодиференціальних рівнянь (ПДР) і систем, а відтак і до потреби в створенні теорії ЗК для рівнянь і систем з цих класів.

Теорія ЗК та крайових задач для ПДР і ПДС останнім часом досить інтенсивно розвивається. Значних результатів тут передусім досягнуто М.С. Аграновичем, М.Й. Вишиком і Г.І. Ескіним (теорія еліптичних рівнянь у згортках у просторах Соболєва-Слободецького та її застосування до дослідження загальних мішаних задач у циліндричних областях для параболічних рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними), Ю.А. Дубинським (коректна розв'язність ЗК у просторах Соболєва та їх аналогах для ПДР з аналітичними символами в області ), Я.В. Радино й С.Р. Умаровим (теореми про розв'язність диференціально-операторних рівнянь у шкалі банахових просторів цілих експоненціального типу векторів оператора рівняння, які дозволяють установити розв'язність ЗК для ПДР і ПДС з аналітичними символами в ); М.Л. Горбачуком, А.В. Князюком, В.В. Городецьким та їх послідовниками (наслідки теорем про коректну розв'язність ЗК та граничні значення розв'язків абстрактних диференціально-операторних рівнянь); Б.Л. Гуревичем (класи єдиності ЗК для систем рівнянь у згортках, які, фактично, є ПДС з цілими аналітичними символами); японськими математиками M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi (клас на $\mathbb{R}^n$ символів псевдодиференціювання з характерними для степеневих функцій властивостями та теореми про коректну розв'язність ЗК для відповідних ПДР і ПДС з початковими даними в просторах Лебега) та ін.

При цьому мало уваги приділено не менш важливим питанням, пов'язаним з установленням коректної розв'язності ЗК у просторах Гельфанда й Шилова, Гуревича та їх аналогах для параболічних ПДР і ПДС з гладкими символами, а також з описом усіх класичних розв'язків таких рівнянь і систем у рамках зазначених просторів.

Щодо параболічних ПДР і ПДС з точково-негладкими символами, то з огляду на результати досліджень С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дріня, А.Н. Кочубея, М.В. Федорюка, W.R. Schneider, В.В. Городецького та їх послідовників, у теорії ЗК на сьогодні прослідковуються такі прогалини: 1) відсутня методика дослідження ФМР параболічних систем з порядком однорідності головного матричного символу псевдодиференціювання; 2) відкрите питання коректної розв'язності ЗК для ПДР () і ПДС () у випадку, коли початкові дані можуть бути узагальненими функціями; 3) дослідження якісних властивостей розв'язків таких рівнянь і систем.

Дисертаційна робота присвячена вирішенню порушених питань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідних робіт "Дослідження математичних моделей, які описуються диференціальними рівняннями з особливостями і виродженнями" (номер держреєстрації 0102U006596) та "Якісне дослідження та математичне моделювання процесів, що описуються диференціальними та диференціально-функціональними рівняннями" (номер держреєстрації 0106U008365), що виконувалася на кафедрі математичного моделювання Чернівецького національного університету, доцентом якої є автор.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розширення та узагальнення відомих класів параболічних за Петровським, Ейдельманом і Шиловим систем ДРЧП першого порядку за t з незалежними від просторової змінної коефіцієнтами, а також і -параболічних систем, та побудова теорії коректної розв'язності ЗК для рівнянь і систем з таких розширень у просторах нескінченно диференційовних функцій, елементи яких мають характерні для їх ФМР властивості.

При досягненні мети вирішувалися такі завдання:

- означення нових класів параболічних ПДР і ПДС за ступенем гладкості символів псевдодиференціювання та характеристикою поведінки їх в околі особливих точок;

- розвинення методики дослідження ФМР для параболічних систем як з гладкими, так і точково-негладкими символами псевдодиференціювання;

- встановлення коректної розв'язності ЗК для рівнянь і систем із означених класів у випадку, коли початкові дані є елементами широких класів функцій;

- розроблення схеми описання всіх початкових даних ЗК для таких рівнянь і систем, які забезпечують існування та єдиність звичайного її розв'язку та наявність у нього властивостей, характерних для їх фундаментальних розв'язків (ФР) чи ФМР;

- дослідження властивостей локалізації та стабілізації розв'язків ЗК для зазначених рівнянь і систем;

- розвинення теорії просторів основних і узагальнених функцій як природного середовища дослідження ЗК для рівнянь і систем з означених класів;

- дослідження умов, за яких можливе зображення в класичній формі дробового диференціювання результату реалізації деяких основних класичних підходів до означення дробового порядку похідної.

Об'єктом дослідження є ЗК для нових класів параболічних диференціальних і псевдодиференціальних рівнянь і систем рівнянь.

Предмет дослідження - ФР, ФМР, коректна розв'язність і властивості розв'язків для нових класів рівнянь і систем рівнянь, а також відповідні простори основних та узагальнених функцій, які є природним середовищем для вказаного дослідження ЗК.

Методами дослідження є вдосконалені й розвинені (в залежності від специфіки досліджуваних задач) методи теорії просторів основних і узагальнених функцій (зокрема K\{M_p\}-простори), розроблені І.М. Гельфандом, Г.Є. Шиловим і Б.Л. Гуревичем; методи досліджень М.Л. Горбачука і В.В. Городецького з теорії граничних значень розв'язків абстрактних диференціально-операторних рівнянь; класичні методи теорії ЗК для лінійних параболічних систем; метод А.Н. Кочубея дослідження параметрикса параболічних ПДР з однорідними символами; методи досліджень ФР і ФМР параболічних рівнянь і систем рівнянь, що грунтуються на використанні формули Фаа де Бруно диференціювання складеної функції.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані в дисертації результати є новими. Їх наукова новизна полягає в:

- означенні: а) класу -параболічних систем ДРЧП, який, окрім того, що розширює відомі класи параболічних систем, дозволяє вже єдиним поглядом охопити й параболічні за Ейдельманом та Шиловим системи рівнянь; б) нових класів параболічних ПДР і ПДС з опуклими вниз символами псевдодиференціювання різного ступеня гладкості в комплексному просторі, залежними лише від параметра t, які, зокрема, містять у собі -параболічні системи ДРЧП; в) класи параболічних періодичних ПДС; г) класи параболічних ПДР і ПДС з точково-негладкими символами псевдодиференціювання, які не залежать від просторового параметра і мають за просторовою змінною характерні для степеневих функцій властивості, причому у випадку рівнянь символи можуть степенево зростати як функції t, а у випадку систем -- бути негладкими вже в довільно фіксованій точці з $\mathbb{R}^n$;

- розвиненні методики дослідження ФМР для параболічних ПДС з гладкими та точково-негладкими символами псевдодиференціювання, зокрема: а) створенні методу дослідження ФР ЗК для параболічних ПДР з гладкими символами, який дозволяє одержати точні оцінки ФР у рамках просторів типу S та їм близьких, без використання засобів теорії функції комплексної змінної; б) одержанні рекурентної формули для похідних від матрицанта відповідних двоїстих відносно перетворення Фур'є систем, завдяки якій оцінювання похідних від матрицанта, а відтак і похідних від ФМР для параболічних ПДС як з гладкими, так і точково-негладкими на символами (не залежними від просторового параметра), зводяться до оцінювання лише матрицанта (тобто -- його похідної нульового порядку); в) поширенні методу А.Н. Кочубея дослідження ФР параболічного ПДР з однорідними символами на випадок ФМР параболічних ПДС з точково-негладкими символами псевдодиференціювання (без обмежень на порядок однорідності головного символу системи);

- коректної розв'язності ЗК для параболічних рівнянь і систем з означених класів у випадку, коли початкові дані можуть бути узагальненими функціями типу розподілів Жевре або мати скінченний порядок; дослідженні властивостей локалізації та стабілізації розв'язків;

- розширенні класу узагальнених початкових даних, з якими відповідна ЗК для рівномірно - параболічних систем з додатним векторним родом має єдиний звичайний нескінченно диференційовний за просторовою змінною розв'язок;

- створенні схеми описання всіх класичних розв'язків із зазначених класів рівнянь і систем (з гладкими символами), які мають характерні властивості гладкості та поведінку в околі нескінченно віддалених точок для їх ФР;

- розвиненні теорії просторів основних та узагальнених функцій як природного середовища дослідження ЗК для рівнянь і систем з означених класів, зокрема: а) розширенні просторів Гуревича шляхом доповнення їх гладкими елементами, які необов'язково є цілими аналітичними функціями, з'ясуванні питання аналітичності та квазіаналітичності їх елементів і встановленні зв'язку між цими розширеннями за допомогою перетворення Фур'є; б) побудові аналогів просторів Гуревича періодичних функцій та просторів, топологічно спряжених з ними, характеризуванні їх елементів у термінах коефіцієнтів Фур'є, а також описанні множин згортувачів у цих аналогах; в) одержанні критеріїв згортувача й мультиплікатора в просторах типу S та зазначених розширеннях просторів Гуревича; г) уточненні топології простору Городецького, породженого властивостями ФР одного параболічного ПДР з оператором Рісса, та узагальненні цього простору;

- узагальненні оператора Бесселя дробового інтегро-диференціювання та продовженні його на простори узагальнених функцій типу ультрарозподілів Жевре; зображенні операції узагальненого диференціювання Поста в класичній формі дробового диференціювання.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Результати та методика роботи можуть знайти застосування у подальшому розвитку загальної теорії параболічних систем рівнянь; у математичній фізиці при розв'язуванні задач теплофізики, при вивченні масообмінних і дифузійних процесів у фрактальних середовищах; у теорії основних та узагальнених функцій.

Основний внесок здобувача. Результати дисертації одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, що включені до дисертації, доповідались на: міжнародній математичній конференції "Еругинские чтения-VI" (Гомель, 1999 р.); "Международной математической школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В. Ефимова" (Ростов-на-Дону, 2000 г.); міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (Київ, 2001 р.); IX-XIІ міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 2002 р., 2004 р., 2006 р., 2008 р.); міжнародній науковій конференції, присвяченій 110-й річниці С. Банаха (Львів, 2002 р.); міжнародній математичній конференції, присвяченій 125-річчю від дня народження Г. Гана (Чернівці, 2004 р.); міжнародних математичних конференціях імені В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р., 2007 р.); міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005 р.); міжнародній конференції "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2005 р.); науковому семінарі факультету прикладної математики Чернівецького національного університету (Чернівці, 2007 р.); математичному семінарі Інституту прикладних проблем механіки і математики НАН України (Львів, 2007~р.); Київському міському семінарі з функціонального аналізу (Київ, 2007 р.); Львському міському семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 2008 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 38 працях, з них 18 - у наукових журналах, 7 - у збірниках наукових праць і 13 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 23 праці в наукових фахових виданнях з переліку № 1 ВАК України від 09.06.1999 р.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, переліку умовних позначень і скорочень, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел, який містить 214 найменувань. ЇЇ повний обсяг становить 296 с.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, ставляться мета і завдання дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковими темами, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення й апробація.

У першому розділі зроблено огляд праць, присвячених теорії ЗК для параболічних із частинними похідними, псевдодиференціальних та диференціально-операторних рівнянь і систем рівнянь, які мають пряме відношення до результатів дисертаційної роботи, є близькими за змістом та методами досліджень.

Другий розділ має допоміжний характер. У ньому розвивається теорія просторів основних і узагальнених функцій, які слугують у подальшому середовищем дослідження ЗК.

Підрозділ 2.1 є рефератом основних результатів теорії просторів І.М. Гельфанда і Г.Є. Шилова, Б.Л. Гуревича та класів Жевре періодичних функцій. З'ясовано, що сукупність усіх елементів відповідних топологічно спряжених просторів збігаються з множинами згортувачів у цих класах періодичних функцій.

У підрозділі 2.2 побудовано аналоги просторів типу Гуревича на випадок періодиних функцій. Охарактеризовано їх елементи та елементи відповідних топологічно спряжених просторів у термінах коефіцієнтів Фур'є; описано згортувачі.

Нехай сукупність усіх нескінченно диференційовних на -періодичних функцій , які допускають аналітичне продовження на весь і такі, що

, ,

де с > 0, > 0 - сталі, залежні лише від .

Далі, нехай - відповідний топологічно спряжений. Рядом Фур'є узагальненої -періодичної функції називається ряд . Він збігається до у просторі .

Охарактеризовано елементи цих просторів у термінах їх коефіцієнтів Фур'є.

Правильна така

Теорема 1 (критерій згортувача). Для того щоб формальний тригонометричний ряд був згортувачем у просторі , необхідно й достатньо, щоб .

У підрозділі 2.3 здійснено розширення просторів Гуревича шляхом доповнення їх гладкими елементами, які необов'язково є цілими аналітичними функціями; досліджено їх властивості, зокрема, охарактеризовано їх елементи при дійсних значення аргументу, з'ясовано властивості простіших операцій, установлено зв'язок між цими просторами у термінах перетворення Фур'є.

Дослідження операцій диференціювання, згортки та зсуву в просторах і топологічно спряжених з ними, проведено в підрозділі 2.4.

У підрозділі 2.5 узагальнено простір Городецького та уточнено його топологію, згідно з якою цей простір є не лише досконалим зліченно-нормованим, але й таким, що в ньому вже щільним є простір фінітних нескінченно диференційовних функцій на дійсному евклідовому просторі.

Третій підрозділ є також допоміжним. Він містить елементи теорії ПДО, дослідження ЗК для рівнянь і систем з якими здійснюються в подальшому. Новим тут є: 1) побудова оператора Бесселя дробового порядку з додатним параметром та досліджені його властивості; 2) зображення оператора Поста узагальненого диференціювання в класичній формі дробового диференціювання; 3) поширення псевдо диференціювання Поста на елементи розширень просторів Гуревича.

У четвертому розділі розвивається теорія ЗК для параболічних ДРЧП і ПДР з символами, незалежними від просторового параметра, зокрема, встановлено коректну розв'язність цієї задачі в просторах нескінченно диференційовних функцій, які мають характерні властивості ФР, та досліджено властивості стабілізації й локалізації розв'язку.

Допоміжні твердження, які істотно використовуються у подальшому при дослідженні ФР ЗК, доведено в підрозділі 4.1.

У підрозділі 4.2 означено параболічність, яка поєднує параболічності за Ейдельманом і за Шиловим; проведено дослідження ЗК з широким класом початкових даних для рівнянь із такою параболічністю у випадку, коли їх коефіцієнти не залежать від просторової змінної; запропоновано альтернативний метод дослідження ФР ЗК; сформульовано й доведено критерій мультиплікатора в просторах типу S та встановлено коректну розв'язність ЗК у цих просторах; з'ясовано питання локалізації розв'язку ЗК; наведено приклади.

Основний результат цього підрозділу такий.

Теорема 2. Нехай початкова функція є елементом топологічно спряженого простору з тим простором типу S, у який потрапляє ФР ЗК, тоді ця ЗК є коректно розв'язною, причому її розв'язок - нескінченно диференційовна за просторовою змінною функція. Вказаний розв'язок буде елементом простору, у якому міститься ФР, тоді і тільки тоді, коли початкова функція є згортувачем у цьому просторі.

При доведенні цього твердження істотно використовується критерій мультиплікатора (згортувача) у просторах типу S, який вперше сформульований у дисертаційній роботі.

Підрозділ 4.3 присвячено побудові теорії ЗК в розширеннях просторів Гуревича для параболічних ПДР з гладкими символами.

У його першому й другому пунктах означено клас параболічних ПДР з опуклими вниз нескінченно диференційовними стосовно просторової змінної символами, які можуть залежати лише від часового параметра; досліджено властивості ФР ЗК у випадку, коли початкові дані можуть бути узагальненими функціями типу ультрарозподілів Жевре; описано мультиплікатори у просторах типу W.

Розглядається параболічне рівняння

(1)

Досліджені властивості ФР рівняння (1) дозволили розглянути ЗК для цього рівняння з початковою умовою

 (2)

і встановити коректну розв'язність цієї задачі.

Теорема 3. Якщо початкова функція є згортувачем у просторі (тобто у тому просторі основних функцій, елементом якого є ФР ЗК), то відповідна ЗК (1), (2) є коректно розв'язною, причому її розв'язок, як функція просторової змінної, є елементом Ф.

При деяких додаткових припущеннях на поведінку знизу дійсної частини символу псевдо диференціювання рівняння (1) доведено, що умови теореми 3 є не лише достатними для коректної розв'язності відповідної ЗК, але й необхідними.

У пунктах 4.3.4 й 4.3.5 досліджується питання сильної стабілізації розв'язку ЗК (1), (2) та принципу локалізації цього розв'язку. При цьому розроблено загальну схему встановлення цього принципу та реалізовано її на конкретних прикладах.

Теорія ЗК для параболічних ПДР з точково-негладкими символами й необмеженими за часом коефіцієнтами (які можуть мати степеневий ріст на нескінченності) розвивається в підрозділі 4.4. Тут наведено умови на ріст коефіцієнтів рівняння

(3)

з ПДО, побудованими за однорідними виміру , точково-негладкими символами, які разом з коефіцієнтами рівняння забезпечують виконання рівномірної умови параболічності. З'ясовано, що граничними значеннями розв'язку рівняння (3) при можуть бути елементи простору (уточненого простору Городецького узагальнених функцій), де - найменше число з , тому початкову умову для (3) задано у сенсі слабкої збіжності у цьому просторі.

Теорема 4. Якщо початкова функція є згортувачем у просторі , то відповідна ЗК для (3) є коректно розв'язною, причому її розв'язок, як функція просторової змінної, є елементом цього простору.

Також тут досліджено властивості локалізації й стабілізації розв'язку цієї задачі.

Розділ 5 присвячено встановленню коректної розв'язності ЗК для параболічних ПДС у просторах нескінченно диференційовних функцій, елементи яких мають характерні властивості ФМР цих систем.

У підрозділі 5.1 на обмеженому часовому проміжку вивчається ЗК для рівномірно - параболічних систем ДРЧП першого порядку за часовою змінною, з коефіцієнтами, які можуть залежати лише від t. Класичними засобами теорії матрицантів досліджено властивості ФМР і матриць, обернених до них; встановлено коректну розв'язність ЗК з початковими даними - ультра розподілами класів Жевре, тобто доведено аналог теореми 2; наведено приклади. При цьому для систем з додатним векторним родом розширено клас узагальнених початкових даних, з якими відповідна ЗК має єдиний звичайний нескінченно диференційовний за просторовою змінною розв'язок. Це розширення здійснюється в рамках просторів, топологічно спряжених з просторами, які вивчаються в підрозділі 2.4.

У підрозділі 5.2 за допомогою опуклих униз функцій означено класи сингулярних ПДС параболічного типу з цілими аналітичними символами (у яких за окремими компонентами просторової змінної можуть діяти ПДО, породжені диференціальним оператором Бесселя). Для таких систем досліджено властивості ФМР і встановлено коректну розв'язність ЗК у відповідних просторах Гуревича.

Теорію ЗК для параболічних ПДС з опуклими вниз нескінченно диференційованими на дійсному евклідовому просторі символами побудовано в підрозділі 5.3. Тут фактично переносяться одержані у підрозділі 4.3 результати на векторний аналог параболічного рівняння (1), але для дещо вужчого класу (на відміну від скалярного випадку, у цьому підрозділі йдеться про системи, які є параболічними лише у розумінні Ейдельмана). Наведено приклади.

У підрозділі 5.4 досліджено ЗК для одного класу ПДС з точково-негладкими символами псевдодиференціювання у випадку, коли початкові дані можуть бути узагаль неними функціями скінченного порядку; розвинено методику дослідження ФМР таких систем, зокрема, розвиваючи ідею А.Н. Кочубея, розв'язано проблему, пов'язану із оцінюванням ФМР для параболічних систем з однорідними точково-негладкими символами псевдодиференціювання, а також установлено принцип локального посилення збіжності розв'язку ЗК при наближенні t до 0. Основною відмінністю тут від досліджень, проведених для скалярних рівнянь у підрозділі 4.4, є те, що: 1) точка негладкості не обов'язково збігається з початком координат; 2) символи псевдодиференціювання можуть залежати вже від часового параметра, але при цьому є обмеженими за t.

У підрозділі 5.5 вивчається періодична ЗК для ПДС із символами, залежними лише від параметра t; встановлюється її коректна розв'язність у класах Жевре та їх узагальненнях, при цьому описуються максимальні класи початкових даних, з якими ЗК коректно розв'язна та формулюються необхідні й достатні умови існування граничного значення розв'язку системи у вужчих класах початкових даних; наводяться приклади.

У першому пункті цього підрозділу досліджується періодична -параболічна ЗК. Тут середовищем дослідження є векторні аналоги класів Жевре типу Рум'є.

Корокто охарактеризуємо постановку задачі.

Означується клас символів псевдодиференціювання таких, що:

1) ,

де с - не залежить від t;

2)

(тут с(.) - нескінченно мала величина в нулі, яка може залежати лише від t).

У просторі означено оператор

де

(тут а - символ, для якого виконуються умови 1),2)).

Для системи рівнянь

де - матричний аналог ПДО вимагається виконання рівномірної умови параболіності

де - власні числа матриці , а - фіксований вектор з додатними компонентами, які не перевищують відповідні компоненти вектора .

Початкова умова формулюється у сенсі слабкої збіжності в .

У пункті 5.5.2 досліджується періодичний аналог ЗК для ПДС з класу, розглянутого в підрозділі 5.3. Тут середовищем дослідження ЗК слугують уже векторні аналоги просторів і .

Висновки

У дисертації означено нові класи параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем рівнянь першого порядку за і, що містять у собі класи систем ДРЧП з незалежними від просторової змінної коефіцієнтами, параболічних за Петровським і за Ейдельманом (в які може входити оператор Бесселя), а також за Шиловим.

Для рівнянь і систем з цих класів установлено коректну розв'язність у просторах нескінченно диференційовних функцій ЗК, початкові дані якої належать до широких (здебільшого максимальних) класів узагальнених функцій та досліджено властивості локалізації і стабілізації розв'язків.

Зокрема:

-- розвинено методику дослідження ФР ЗК, при цьому запропоновано альтернативні методи оцінювання похідних від таких розв'язків для рівнянь і систем з опуклими нескінченно диференційовними на R" символами псев-додиференціювання, які не потребують використання засобів теорії функції комплексної змінної; розв'язано проблему, пов'язану з оцінюванням ФМР параболічних ПДС з однорідними точково-негладкими символами псевдодифе-ренціювання;

-- у випадку гладких символів псевдодиференціювання розроблено схему описання максимальних класів початкових даних, з якими ЗК не лише коректно розв'язна, але й така, що її розв'язок має характерні для ФР чи ФМР властивості гладкості та поведінку на нескінченності;

-- розширено сукупність узагальнених граничних значень класичних розв'язків u(t,.) є С°°(R'), t є (0;П], рівномірно {р;h}-параболічних систем ДРЧП з додатним векторним родом і коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної.

Крім цього, розвинено теорію просторів Гельфанда й Шилова, Гуревича, Городецького та класів Жевре, як природного середовища дослідження ЗК для рівнянь і систем рівнянь із означених класів. А саме:

розширено простори Гуревича шляхом доповнення їх гладкими елементами, які необов'язково є цілими аналітичними функціями, та з'ясовано питання аналітичності й квазіаналітичності елементів цих просторів; встановлено зв'язок між ними в термінах перетворення Фур'є;

побудовано аналоги просторів Гуревича періодичних функцій, які є узагальненням класів Жевре типу Рум'є цілих аналітичних періодичних функцій; охарактеризовано їх елементи та елементи відповідних топологічно спряжених просторів у термінах коефіцієнтів Фур'є, описано також множини згортувачів для цих класів;

установлено критерії згортувача та мультиплікатора в просторах типу S і зазначених розширеннях просторів Гуревича;

уточнено топологію простору Городецького, породженого властивостями ФР параболічного рівняння з оператором Picea дробового диференціювання, та узагальнено цей простір на випадок, коли перетворення Фур'є його елементів є негладкими функціями вже в довільно фіксованій точці простору R", які швидко спадають на нескінченності.

Також досліджено питання про можливість зображення операції Поста узагальненого диференціювання у класичній формі дробового диференціювання; узагальнено оператор Бесселя дробового інтегро-диференціювання й продовжено його на простори типу S'.

Вищевказані результати про коректну розв'язність ЗК для параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем є не лише наслідком поширення відповідних результатів класичної теорії ЗК для параболічних систем ДРЧП, але й такими, що певною мірою доповнюють їх. Зокрема, цілком новим є результат про опис усіх класичних розв'язків у рамках просторів типу S параболічних у розумінні Петровського, Ейдельмана, Шилова та Матійчука параболічних сингулярних систем ДРЧП (з коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної), які мають характерні для їх ФМР властивості; також - результат про розширення сукупності узагальнених граничних значень нескінченно диференційовних за просторовою змінною звичайних розв'язків параболічних за Петровським, Ейдельманом та Шиловим з додатним родом систем. рівняння матриця параболічний псевдодиференціальний

Результати проведених у дисертації досліджень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватися у подальшому розвитку теорії параболічних систем, математичній фізиці та теорії узагальнених функцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Литовченко В.А. Задача Коши для параболических по Шилову уравнений / В.А. Литовченко // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 4. - С. 809-821.

2. Литовченко В.А. Задача Коши для одного класса параболических псевдодифференциальных систем с негладкими символами / В.А. Литовченко // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 375-394.

3. Литовченко В.А. Задача Коши для {JJ; h }-параболических уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от времени / В.А. Литовченко // Мат. заметки. - 2005. - Т. 77, № 3. - С. 395-411.

4. Литовченко В.А. Задача Коши для параболических систем с операторами свертки в периодических пространствах / В.А. Литовченко // Мат. заметки. - 2007. - Т. 82, № 6. - С. 850 872.

5. Литовченко В.А. Задача Коши для одного класса эволюционных систем параболического типа с неограниченными коэффициентами / В.А. Литовченко / / Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 6. - С. 812-830.

6. Litovchenko V. Cauchy problem for equations with fractional differentiation Bessel operator in the space of temperate distributions / V. Litovchenko // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. - Vilnius, 2003. - V. 8, № 1. - P. 61-75.

7. Літовченко В.А. Коректна розв'язність однієї задачі Коші / В.А. Лі-товченко // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 8. - С. 1007-1070.

8. Літовченко В.А. Цілковита розв'язність задачі Коші у просторах типу S для рівнянь, параболічних за Петровським / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 11. - С. 1407 1479.

9. Літовченко В.А. Коректна розв'язність задачі Коші для рівняння з псевдодиференціальним оператором Бесселя / В.А. Літовченко // Доп. HAH України. - 2003. ^№2.^ С. 21 25.

10. Літовченко В.А. Коректна розв'язність задачі Коші для одного рівняння інтегрального вигляду / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2004. -Т. 56, № 2. - С. 185 197.

11. Літовченко В.А. Задача Коші з оператором Picсa дробового диференціювання / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. 2005. - Т. 57, № 12. - С. 1653-1667.

12. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами диференціювання / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2006. - Т. 58, № 9. - С. 1211 1233.

13. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних

рівнянь з гладкими символами / В.А. Літовченко // Укр. мат. вісник. - 2006.- Т. З, № 1. - С. 19 51.

14. Літовченко В.А. Задача Коші для сингулярних пседодиференціальних систем параболічного типу / Владислав А. Літовченко // Укр. мат. вісник. -2007. - Т. 4, № 1. - С. 21 55.

15. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем у просторах періодичних функцій / В.А. Літовченко // Укр. мат. вісник. - 2007. - Т. 4, № 3. - С. 394 420.

16. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами / В.А. Літовченко // Нелінійні коливання. -2006. - Т. 9, № 4. - С. 502 524.

17. Літовченко В.А. Повна розв'язність задачі Коші для одного псевдо-диференціального рівняння у просторах типу 8 В.А. Літовченко // Мат. студії. - Львів, 2002. - Т. 17, № 2. - С. 189 198.

18. Літовченко В.А. Псевдостійкість тривіального розв'язку задачі Коші з оператором дробового диференціювання Бесселя / В.А. Літовченко // Вісник Київського ун-ту. Серія фіз.-мат. наук. - 1999. - Вип. 2. - С. 77 81.

19. Литовченко В.А. Корректная разрешимость задачи Коши для одного псевдоинтегродифференциального уравнения интегрального вида в пространствах типа S / В.А. Литовченко // Нелинейные граничные задачи. -Донецк, 2003. - Вып. 13. - С. 105-113.

20. Літовченко В.А. Зображення узагальненого диференціювання за Е. Постом у класичній формі дробового диференціювання / В.А. Літовченко // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: зб. наук, праць. Вип. 76. Математика.- Чернівці : Рута, 2000. - С. 54 58.

21. Літовченко В.А. Бесселеве дробове інтегродиференціювання з додатним параметром / В.А. Літовченко // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: зб. наук, праць. Вип. 134. Математика. - Чернівці : Рута, 2002. - С. 65 70.

22. Літовченко В.А. Властивість псевдостійкості тривіального розв'язку узагальненої задачі Коші з псевдодиференціальними операторами / В.А. Літовченко // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: зб. наук, праць. Вип. 46. Математика. - Чернівці : Рута, 1999. - С. 76 79.

23. Литовченко В.А. Псевдодифференциальные уравнения в пространствах обобщенных периодических функций / Влад. А. Литовченко // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: зб. наук, праць. - К. : Ін-т математики НАН України. - 1999. - Вип. 4. - С. 122 126.

24. Літовченко В.А. Про узагальнене Бесселеве дробове диференціювання у просторі 5" та коректну розв'язність однієї узагальненої задачі Коші / Влад. А. Літовченко // Інтегральні перетворення та їх застосування: зб. наук, праць. - К. : Ін-т математики НАН України. - 1996. - С. 118 123.

25. Литовченко В.А. Полная разрешимость задачи Коши в пространствах типа 8 для ІІ-параболических уравнений / В.А. Литовченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - Москва, 2003. - Т. 8, № 5. - С. 4^7.

26. Litovchenko V.A. Corect solvability of the Cauchy problem for {p, h }-parabolic equations / V.A. Litovchenko // Book of abstracts Internatioal Conference "Nonlinear partial Differential Equations"(Alushta) - Donetsk. - 2005. - P. 61.

27. Литовченко В.А. О граничных значениях гладких решений некоторых псевдодифференциальных уравнений / В.А. Литовченко // Еругинские чтения - VI : между нар. матем. конф., 20-21 мая 1999 г. : тезисы докл. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 1999. - Ч. 1. - С. 154.

28. Литовченко В.А. Одна теорема об обобщенном дифференцировании по Э. Посту / В.А. Литовченко // Междунар. матем. школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова, 5-11 сент. 2000 г. : тезисы докл. - Ростов-на-Дону, 2000. - С. 129 130.

29. Літовченко В.А. Згортувачі у просторах типу S / В.А. Літовченко // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: міжнар. конф., 27-29 серпня 2001р. : тези доп. - Київ, 2001. -С. 97.

30. Літовченко В.А. Задача Коші для параболічних за Шиловим рівнянь у класах узагальнених функцій повільного зростання / В.А. Літовченко //Матеріали ІХ-ої міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука, 16-19 травня 2002 p., Київ. - К. : НТУУ "КПГ, 2002. - С. 121.

...