Обмежені на всій осі розв’язки диференціальних рівнянь в банаховому просторі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

ОБМЕЖЕНІ НА ВСІЙ ОСІ РОЗВ'ЯЗКИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор, Бойчук Олександр Андрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Городній Михайло Федорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, декан механіко-математичного факультету;

доктор фізико-математичних наук, професор Теплінський Юрій Володимирович, Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “19” серпня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачі про існування обмежених розв'язків виникли при вивченні питання про існування періодичних розв'язків лінійних та нелінійних систем ще в класичних роботах О.М.Ляпунова та А.Пуанкаре. Дослідженню існування періодичних розв'язків різних класів функціонально-диференціальних рівнянь, імпульсних та різницевих рівнянь присвячена надзвичайно велика кількість робіт.

Задача про існування неперіодичних, обмежених на всій осі розв'язків лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь почала інтенсивно розвиватись після появи роботи А.Д.Майзеля, де використовувався метод Перрона. Розширення цих результатів на випадок нескінченновимірних систем було розроблено в монографії Х.Массери і Х.Шеффера. В цих роботах вперше вивчались питання про існування обмежених на всій осі розв'язків у зв'язку з властивостями експоненціальної дихотомії (е-дихотомії) у відповідної однорідної лінійної системи. Таку ж проблему було розглянуто для функціонально-диференціальних рівнянь. Слід зазначити, що подальше розвинення питань дихотомії на всій осі було пов'язане з фундаментальними роботами Ю.Л.Далецького та М.Г.Крейна, В.О.Плісса, А.М.Самойленка, В.Коппеля. В подальшому ці проблеми досліджувались в роботах Д.Хенрі, А.Г.Баскакова, В.Ю.Слюсарчука, Ю.В.Теплінського, М.Ф.Городнього, А.В.Чайковського, А.Я.Дороговцева, І.Д.Чуєшова для систем диференціальних та різницевих рівнянь в банахових просторах. В роботах Ю.О.Митропольського, А.М.Самойленка, В.Л.Кулика ці задачі досліджувались для систем звичайних диференціальних рівнянь та лінійних розширень динамічних систем на торі за допомогою знакозмінних функцій О.М.Ляпунова. В багатьох роботах для дослідження умов існування обмежених розв'язків диференціальних та різницевих рівнянь використовувалася спектральна теорія операторів. Серед них, зокрема, слід відзначити роботи Р.Сакера та Д.Селла. Для нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь ця теорія почала інтенсивно застосовуватись після появи відомої статті В.К.Мельникова. Цей напрямок досліджень в якісній теорії диференціальних рівнянь розвивали С.Шоу, Д.Хейл та Д.Мале-Паре, Д.Гукенхеймер та П.Холмс, Д.Груендлер.

Ще один поштовх для вивчення задачі про обмежені на всій осі розв'язки дала відома лема К.Палмера. Він довів еквівалентність між властивостями експоненціальної дихотомії на півосях і умовою нетеровості оператора диференціальної системи на просторі неперервно- диференційовних та обмежених вектор-функцій в . Далі, А.Бен-Артці та І.Хогберг встановили цей результат вже на просторі інтегровних з квадратом вектор-функцій. Слід також відмітити більш ранню роботу Р.Саккера, в якій було доведено цей результат в один бік. Для дослідження обмежених розв'язків звичайних неоднорідних систем диференціальних рівнянь, в припущенні е-дихотомії на півосях однорідної системи, продуктивним виявився апарат псевдообернених матриць (Е.Мур, Р.Пенроуз) та операторів, що часто використовувався в межах теорії матричних та операторних рівнянь. В роботах А.М.Самойленка, О.А.Бойчука та інших цей апарат було застосовано до вивчення крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, рівнянь з імпульсним впливом, рівнянь із запізненням тощо. Завдяки цим результатам та лемі К.Палмера стало можливим використання апарату псевдообернених матриць та операторів до задачі про обмежені на всій осі розв'язки лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь в банахових просторах за умови експоненціальної дихотомії на півосях у відповідного лінійного однорідного рівняння. Саме цим задачам і присвячена дисертація.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу звичайних диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України в рамках держбюджетної теми №0105U007978. Робота була частково підтримана грантом National Scholarship Program of the Slovak Republic.

Мета і задачі дослідження. Метою цієї роботи є знаходження умов існування обмежених на всій осі розв'язків лінійних неоднорідних, слабко збурених лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі та розробка алгоритмів побудови розв'язків таких задач.

Об'єкт дослідження. Основним об'єктом дослідження в роботі є диференціальні рівняння в банаховому просторі з обмеженим оператором, для яких характерна властивість експоненціальної дихотомії на дійсних півосях. Зокрема, це лінійні неоднорідні, слабко лінійні та нелінійні диференціальні рівняння в банаховому просторі, визначені на всій дійсній осі.

Предмет дослідження. У дисертаційній роботі предметом дослідження є: знаходження умов існування обмежених на всій дійсній осі розв'язків диференціальних рівнянь в банаховому просторі; застосування оцінок, що описують властивість експоненціальної дихотомії при обґрунтуванні обмеженості розв'язків та їх побудові; застосування теорії псевдообернених операторів для отримання необхідних і достатніх умов існування обмежених розв'язків диференціальних рівнянь та визначення кількості лінійно- незалежних розв'язків.

Методи досліджень. Застосовуючи теорію псевдообернених операторів, метод Вішика-Люстерніка, в дисертації розроблено схему дослідження задач про існування та побудову обмежених на всій осі розв'язків лінійного неоднорідного (розділ ІІ), слабко збуреного лінійного (розділ ІІІ) та нелінійного (розділ ІV) диференціальних рівнянь в банаховому просторі. Ці результати є розвиненнями добре відомих робіт в скінченно-вимірному випадку. Отримані результати проілюстровано на прикладах зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь, які мають і самостійний інтерес.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи наступні:

1. Отримано необхідні й достатні умови існування обмежених на всій осі розв'язків лінійного неоднорідного диференціального рівняння в банаховому просторі у випадку, коли однорідне рівняння є експоненціально-дихотомічним на обох півосях та .

2. Знайдено умови виникнення множини обмежених на всій осі розв'язків слабко збуреного лінійного диференціального рівняння в банаховому просторі за припущення, що породжуюча задача не має обмежених розв'язків. Отримано оцінку потужності множини лінійно незалежних обмежених на всій осі розв'язків.

3. Знайдено умови існування множини обмежених на всій дійсній осі розв'язків слабко збуреного лінійного диференціального рівняння в банаховому просторі за припущення, що породжуюча задача має обмежені розв'язки, а також зроблено оцінку потужності множини лінійно незалежних обмежених розв'язків.

4. Запропоновано алгоритми відшукання обмежених на всій осі розв'язків у вигляді степеневих рядів та частини рядів Лорана за степенями малого параметра зі скінченним числом від'ємних степенів, доведено абсолютну збіжність цих рядів при фіксованих

5. Отримано необхідні й достатні умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійного диференціального рівняння в банаховому просторі у випадку, коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми побудови таких розв'язків.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати, отримані в роботі, можуть бути використані при подальших дослідженнях в якісній та аналітичній теорії зліченних систем звичайних диференціальних, інтегро-диференціальних та диференціальних рівнянь з частинними похідними, абстрактних еволюційних рівнянь, а також при дослідженні задач теорії стійкості руху та теорії керування.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 3 самостійні та 4 спільні роботи. Результати дисертації, що виносяться на захист, одержані дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися та обговорювались:

на засіданні семінару «Київський семінар з функціонального аналізу» Інституту математики НАН України (2008 р.) (керівники - академік НАН України, професор Ю.М.Березанський; член-кореспондент НАН України, професор М.Л.Горбачук; член-кореспондент НАН України, професор Ю.С.Самойленко);

на засіданні семінару кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету імені В.Н.Каразіна (2009 р.) (керівник - член-кореспондент НАН України, професор І.Д.Чуєшов);

на засіданні семінару відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (2009 р.) (керівник - академік НАН України, професор А.М.Самойленко);

на Міжнародній науковій конференції: “International Conference on Differential and Difference Equations and Applications” (Rajecke Teplice, the Slovak Republic, 26.06.2006 - 30.06.2006);

на Міжнародній науковій конференції: “Dynamical System Modelling and Stability Investigation” (м. Київ, Київський Національний університет імені Тараса Шевченка, 22-25 травня 2007 р. );

на Міжнародній науковій конференції: “Eighth Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations” (Szeged, Hungary, June 25 - 28, 2007);

на Міжнародній науковій конференції: “Боголюбовские чтения, 2008. Дифференциальные уравнения, теория функций и их приложения” (Мелітополь, Україна, 16.06.2008 - 21.06.2008).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 7 робіт, із них три - в провідних фахових періодичних наукових журналах та 4 - у збірниках тез Міжнародних наукових конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку і списку цитованої літератури, що містить 155 назв. Обсяг роботи складає 123 сторінки машинописного тексту.

Зміст роботи

У вступі аналізується стан наукової проблеми, обґрунтовується актуальність вибраної тематики, формулюються мета і задачі дослідження, наводиться зміст одержаних результатів.

Перший параграф першого розділу присвячено огляду літературних джерел за темою дисертаційної роботи та аналізу основних напрямків досліджень. Зокрема, зроблено огляд робіт з теорії еволюційних рівнянь та теорії експоненціальної дихотомії.

В другому та третьому параграфі першого розділу містяться основні відомості з теорії псевдообернених операторів та деякі факти з теорії існування обмежених на всій осі розв'язків у лінійних, слабко збурених лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі. В подальшому наведені результати в першому розділі використовуються при отриманні результатів дисертації.

У другому розділі отримано необхідні й достатні умови існування обмежених розв'язків у лінійного неоднорідного рівняння в банаховому просторі

(1)

для випадку, коли відповідне однорідне рівняння

(2)

є експоненціально дихотомічним на півосях й з проекторами P та Q відповідно. Тут оператор-функція A(t), що діє з банахового простору B в себе, - сильно неперервна та обмежена за нормою: ; вектор-функція ; - банахів простір неперервних й обмежених на R вектор-функцій. Основний результат сформульовано в такому твердженні.

Теорема 2.1. Нехай однорідне рівняння (2) допускає експоненціальну дихотомію на півосях та з проекторами P та Q відповідно. Якщо оператор

D = P - (E - Q) : B B, (3)

- узагальнено-оборотний, то:

1) для того, щоб існували обмежені на всій дійсній вісі розв'язки рівняння (1) необхідно й достатньо, щоб вектор-функція задовольняла умову

(4)

2) при виконанні умови (4) обмежені на всій вісі розв'язки рівняння (1) мають вигляд:

- еволюційний оператор рівняння (2).

Подальший аналіз оператора D, визначеного за формулою (3), дозволив уточнити результати теореми 2.1. А саме, якщо розглядати рівняння (1) в за припущення, що відповідне однорідне рівняння (2) є експоненціально-дихотомічним на обох півосях, то оператор може бути лише нетеровим. Якщо розглядати це ж рівняння в банаховому просторі за тих самих припущень, то маємо значно більше варіантів. В цьому випадку оператор L може бути: або нормально-розв'язним, або d-нормальним, або n- нормальним чи нетеровим (з нульовим або ж ненульовим скінченним індексом). диференціальний рівняння простір оператор

У третьому розділі отримано достатні умови існування хоча б одного обмеженого на всій осі R розв'язку в банаховому просторі B слабко збуреного диференціального рівняння

(5)

для випадку, коли відповідне однорідне рівняння (2) є експоненціально-дихотомічним на обох півосях та . Ця задача була розв'язана завдяки певним властивостям оператора, який будується з використанням збурюючого оператора

В результаті ми отримали таке твердження.

Лема 3.1. Нехай однорідне рівняння (2) допускає експоненціальну дихотомію на півосях та з проекторами P та Q відповідно й оператор

D = P - (E - Q) : B B

має узагальнено - обернений. Припустимо, що виконано наступні умови: - узагальнено-оборотний ; 2) .

Тоді:

а) якщо для незбурене рівняння (2) не має обмежених на всій дійсній вісі розв'язків, то рівняння (5) має принаймні один обмежений на всій дійсній вісі розв'язок, який може бути представлений у вигляді частини ряду Лорана за степенями малого параметра :

абсолютно збіжного для достатньо малого фіксованого ;

б) якщо для рівняння (2) має обмежені розв'язки, то рівняння (5) має принаймні один обмежений розв'язок на всій дійсній вісі, який може бути представлений у вигляді ряду за степенями малого параметра :

абсолютно збіжного для достатньо малого фіксованого .

Більш детальний аналіз дозволив оцінити потужність множини лінійно незалежних обмежених на R розв'язків рівняння (5) та довести таке твердження.

Теорема 3.1. Нехай однорідне рівняння (2) допускає експоненціальну дихотомію на півосях та з проекторами P та Q відповідно, а оператор

D = P - (E - Q) : B B

має узагальнено-обернений. Припустимо, що виконано наступні умови:

- узагальнено-оборотний ; 2) .

Тоді:

а) якщо для незбурене рівняння (2) не має обмежених на всій дійсній вісі розв'язків, то:

а1) однорідне рівняння (2) має -параметричну множину лінійно незалежних обмежених розв'язків вигляду

а2) неоднорідне рівняння (5) має -параметричну множину лінійно незалежних обмежених розв'язків у вигляді частини ряду Лорана

абсолютно збіжного для достатньо малого фіксованого параметру ;

b) якщо для незбурене рівняння (2) має обмежені розв'язки, то:

b1) однорідне рівняння (2) має -параметричну множину лінійно незалежних обмежених розв'язків у вигляді ряду

b2) неоднорідне рівняння (5) має -параметричну множину лінійно незалежних обмежених розв'язків у вигляді ряду

абсолютно збіжного для достатньо малого фіксованого параметру ;

-параметрична множина лінійно незалежних обмежених розв'язків рівняння (5) визначається розмірністю підпростору

Четвертий розділ дисертації присвячено отриманню необхідних і достатніх умов існування обмежених на всій осі розв'язків слабко збуреного нелінійного диференціального рівняння в банаховому просторі за умови, що відповідне однорідне рівняння (2) є експоненціально-дихотомічним на півосях та породжуюче рівняння (1) має обмежені розв'язки.

Для слабко нелінійного рівняння

(6)

знайдено необхідну та достатню умови існування обмежених на R розв'язків , які при перетворюються в один з породжуючих розв'язків

(7)

рівняння (1).

Для отримання необхідної умови на оператор-функцію накладалися наступні обмеження:

де q та - достатньо малі константи.

У підрозділі 4.2 отримано необхідну умову існування обмеженого розв'язку рівняння (6).

Теорема 4.1. Нехай однорідне рівняння (2) є експоненціально-дихотомічним на півосях й з проекторами P та Q відповідно, а нелінійне рівняння (6) має обмежений розв'язок , який при перетворюється в один з породжуючих розв'язків (7) рівняння (1) з константою . Тоді ця константа задовольняє операторне рівняння

(8)

яке названо в дисертаційній роботі «рівнянням для породжуючих констант».

У випадку періодичної крайової задачі в скінченновимірному просторі векторні константи c мають фізичний зміст - це амплітуди коливань породжуючого розв'язку. Тому в класичній періодичній задачі рівняння (8) має назву «рівняння для породжуючих амплітуд».

Для отримання достатньої умови існування обмежених розв'язків рівняння (6) на оператор функцію накладалася додаткова вимога сильної диференційовності в околі породжуючого розв'язку: . В цьому випадку проблема може бути розв'язана за допомогою оператора

де (похідна розуміється в сенсі Фреше). Основний результат сформульовано у наступному твердженні.

Теорема 4.2. Нехай однорідне рівняння (2) є експоненціально-дихотомічним на півосях й з проекторами P та Q відповідно, а рівняння (1) має обмежені розв'язки у вигляді (7).

Припустимо, що оператор задовольняє умови :

- узагальнено-оборотний ; 2).

Тоді, для будь-якого елемента , який задовольняє рівняння для породжуючих констант (8), існує принаймні один обмежений розв'язок рівняння (6). Цей розв'язок можна знайти за допомогою збіжного ітераційного процесу:

Встановлено зв'язок між необхідною й достатньою умовою і сформульовано в такому твердженні.

Наслідок 4.1. Нехай функціонал має похідну Фреше для кожного елемента банахового простору В, який задовольняє рівняння для породжуючих констант (8). Тоді, якщо має обернений оператор, то рівняння (6) має єдиний обмежений розв'язок для кожного .

При виконанні цих умов і для оператора умови 1) та 2) теореми 4.2 завжди виконуються і в цьому випадку рівняння (6) має єдиний обмежений розв'язок для кожного Таким чином, маємо, що умова оборотності буде необхідною й достатньою умовою існування єдиного обмеженого розв'язку рівняння (6). В скінченновимірному випадку умова оборотності оператора еквівалентна умові простоти кореня рівняння для породжуючих констант.

Висновки

В дисертаційній роботі знайдено необхідні й достатні умови існування обмежених на всій дійсній осі розв'язків лінійних, слабко збурених лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі за умов, коли відповідне однорідне диференціальне рівняння є експоненціально-дихотомічним на півосях й .

1. Отримано умови, за яких породжуючий оператор диференціального рівняння буде нормально-розв'язним оператором.

2. Отримано умови існування обмежених на всій дійсній осі розв'язків лінійного диференціального рівняння в банаховому просторі у випадку, коли породжуюче однорідне рівняння є експоненціально-дихотомічним на обох півосях й .

3. Встановлено додаткові властивості розв'язності й отримано оцінку потужності множини обмежених лінійно незалежних розв'язків лінійного диференціального рівняння в банаховому просторі для випадку, коли оператор є нормально-розв'язним, d- нормальним, n-нормальним, нетеровим або фредгольмовим .

4. Знайдено достатню умову існування хоча б одного обмеженого на всій осі розв'язку слабко збуреного лінійного диференціального рівняння в банаховому просторі.

5. Доведено, що кількість лінійно незалежних обмежених на всій дійсній осі розв'язків збуреного лінійного диференціального рівняння залежить від розмірності відповідного оператора і у загальному випадку може бути нескінченною.

6. Отримано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійного диференціального рівняння в банаховому просторі; знайдено зв'язок між необхідною та достатньою умовами розв'язності.

7. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми відшукання обмежених на всій осі R розв'язків слабко нелінійного диференціального рівняння.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Бойчук А. А. Ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / А. А. Бойчук, А. А. Покутний // Нелінійні коливання. - 2006. - Т.9, №1. - С.3 - 14.

2. Boichuk A. Bounded solutions of linear perturbed differential equations in a Banach space. / A. Boichuk, A. Pokutnyi // Tatra Mountains Mathematical Publications. - 2007. - V.38. - P.29 - 40.

3. Бойчук О. А. Обмежені розв'язки слабко нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі / О. А. Бойчук, О. O. Покутний // Нелінійні коливання. - 2008. - T.11, №2. - С.151 - 159.

4. Pokutnyi A. Bounded solutions of linear weakly perturbed differential equations in Banach space / A. Pokutnyi // International conference on differential and difference equations and applications (CDDEA), 26.06.2006 - 30.06.2006 : thesis of reports. Zilina, Slovak Republic, 2006. - P.40.

5. Pokutnyi A. Bounded solutions of weakly nonlinear differential equations in Banach space / A. Pokutnyi // “Dynamical System Modelling and Stability Investigation - Modelling & Stability” : International conference, 22.05.2007 - 25.05.2007 : Thesis of conference report. - Kyiv, Ukraine, 2007. - P.154.

6. Boichuk A.-parametric family solutions of linear weakly perturbed differential equations in Banach space bounded on the entire real axis / A. Boichuk, A. Pokutnyi // Eighth Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations : International Conference, 25.06.2007 - 28.06.2007, Szeged, Hungary, 2007.

7. Pokutnyi A. A family of bounded solutions of weakly nonlinear differential equations in Banach space / A. Pokutnyi // Bogolyubov readings; International scientific conference, differential equations, theory of functions and their applications; on occasion of the 70^th birthday of academician A.M.Samoilenko, 16.06.2008. - 21.06.2008, Melitopol, Ukaraine, 2008.

Анотації

Покутний О.О. Обмежені на всій осі розв'язки диференціальних рівнянь в банаховому просторі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

Дисертаційна робота присвячена знаходженню умови існування обмежених на всій осі R = розв'язків лінійних неоднорідних, слабко збурених лінійних та нелінійних диференціальних рівнянь у банаховому просторі, лінійна частина яких є обмеженою оператор-функцією.

Отримано умови існування обмежених на всій осі R розв'язків лінійного неоднорідного рівняння в банаховому просторі у випадку, коли однорідне рівняння є експоненціально- дихотомічним на півосях. Отримано умови, коли породжуючий оператор диференціального рівняння може бути нормально-розв'язним. Використовуючи теорію псевдообернених операторів, обмежені розв'язки рівняння представлено за допомогою узагальненого оператора Гріна.

Для лінійних слабко збурених диференціальних рівнянь знайдено достатню умову існування множини обмежених на R розв'язків у двох випадках: коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки; коли породжуюче рівняння не має обмежених розв'язків. Запропоновано спосіб відшукання обмежених на всій осі розв'язків у вигляді частини ряду Лорана за степенями . Отримано оцінку потужності множини обмежених розв'язків.

Отримано умови існування обмежених на R розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь у випадку, коли породжуюче рівняння має обмежені розв'язки. Запропоновано збіжні ітераційні алгоритми побудови обмежених на всій осі розв'язків слабко нелінійних диференціальних рівнянь в банаховому просторі.

Покутний А.А. Ограниченные на всей оси решения дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Диссертационная работа посвящена исследованию условий существования и построению ограниченных на всей действительной оси решений линейных, слабо возмущенных линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, линейная часть которых есть ограниченная оператор-функция.

Во вступлении анализируется состояние научной проблемы, обосновывается актуальность выбранной тематики. Первый раздел посвящен обзору литературы по диссертационной теме, приведены необходимые сведения из теории псевдообратных операторов и ограниченных решений в банаховом пространстве, которые используются при получении основных результатов диссертации.

Во втором разделе диссертационной работы получены необходимые и достаточные условия существования ограниченных на всей оси R решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве в случае, когда соответствующее однородное уравнение допускает экспоненциальную дихотомию на полуосях и . Оператор, соответствующий однородному дифференциальному уравнению, является нормально-разрешимым. Соответствующие ограниченные решения представлены при помощи обобщенного оператора Грина. Изучены дополнительные свойства условий разрешимости и ограниченных на всей оси R решений в случае, когда оператор, соответствующий однородному дифференциальному уравнению, является n-нормальным, d-нормальным, нетеровым или фредгольмовым. Основные результаты проиллюстрированы на простейших счетных системах дифференциальных уравнений.

Для слабо линейного дифференциального уравнения в третьем разделе получены достаточные условия существования хотя бы одного ограниченного на всей действительной оси решения в двух случаях: когда порождающее уравнение имеет ограниченные решения и когда порождающее уравнение не имеет ограниченных решений. Эти решения найдены в виде части ряда Лорана или степенного ряда по степеням , абсолютно сходящегося при фиксированных значениях малого параметра . Получена оценка мощности линейно независимых ограниченных на R решений для таких уравнений.

В четвертом разделе получены необходимые и достаточные условия существования ограниченных на всей действительной оси решений слабо нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве для случая, когда соответствующее порождающее уравнение имеет ограниченные решения. Предложены сходящиеся итерационные алгоритмы построения таких решений. Установлена взаимосвязь между необходимыми и достаточными условиями.

Pokutnyi A.A. Solutions of differential equations in Banach space bounded on the whole line R. - Manuscript.

The thesis for obtaining the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences on the speciality 01.01.02 - Differential Equations. Institute of mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to obtaining conditions for existence of solutions bounded on the whole axis R of linear nonhomogeneous, weakly perturbed linear and nonlinear differential equations in Banach space with bounded linear part .

Conditions for existence of solutions bounded on the whole axis R are obtained for a linear nonhomogeneous differential equation under the assumption that the corresponding homogeneous equation has an exponential dichotomy on both semiaxes and . Bounded solutions of equations can be found using the theory of pseudo-inverse operators by means of generalized Green's operator.

Sufficient condition for existence of set of bounded solutions of weakly perturbed linear differential equation was obtained for the case when generating equation has or has no bounded solutions. A method for finding bounded on R solutions in the form of Laurent series by power was proposed. The cardinality of the set of bounded solutions was estimated.

Conditions for existence of bounded solutions of weakly nonlinear differential equations were found for under the assumption that generating equation has bounded solutions. Converging iterative algorithms for finding bounded on the whole axis solutions of weakly nonlinear differential equations in Banach spaces were proposed.

Размещено на Allbest.ru

...