Лієво нільпотентні і характеристичні нільпотентні ідеали асоціативних кілець

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.544

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Лієво нільпотентні і характеристичні нільпотентні ідеали асоціативних кілець

01.01.06 -- алгебра і теорія чисел

Лучко Вікторія Сергіївна

Київ - 2009

 Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРАВЧУК Анатолій Петрович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри алгебри і математичної логіки

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ЗАБАВСЬКИЙ Богдан Володимирович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

професор кафедри алгебри і логіки

доктор фізико-математичних наук, професор

СЕМКО Микола Миколайович,

Національний університет державної

податкової служби України,

завідувач кафедри вищої математики

Захист відбудеться <<14 грудня>> 2009 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6,

механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий <<9 листопада>> 2009 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

АНОТАЦІЇ

Лучко В. С. Лієво нільпотентні і характеристичні нільпотентні ідеали асоціативних кілець. --- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 --- алгебра і теорія чисел. --- Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертація присвячена вивченню дії диференціювань на нільпотентні та лієво нільпотентні ідеали асоціативних алгебр і кілець. Як наслідок, отримано достатні умови характеристичності суми всіх нільпотентних ідеалів асоціативних кілець і алгебр. Досліджено вкладення односторонніх лієво нільпотентних ідеалів кілець в більші двосторонні ідеали з певними властивостями, отримані результати застосовано для вивчення кілець, які розкладаються в суму двох своїх лієво нільпотентних підкілець, досліджено суми асоціативних кілець з ненульовими ануляторами.

В дисертаційній роботі доведено, що для нільпотентного ідеалу індексу нільпотентності асоціативної алгебри над полем і диференціювання алгебри сума є нільпотентним ідеалом із індексу нільпотентності у випадках: а) , б) , де . Як наслідок доведено характеристичність суми всіх нільпотентних ідеалів асоціативної алгебри при умові, що або характеристика основного поля нульова, або вказана сума нільпотентна індексу меншого ніж характеристика основного поля. Досліджено дію диференціювань на нільпотентні ідеали асоціативних кілець, де отримано достатні умови нільпотентності ідеалу .

Вивчено вкладення односторонніх лієво нільпотентних ідеалів асоціативних кілець в двосторонні лієво розв'язні ідеали цих кілець. Доведено, що в сумі нільпотентного асоціативного кільця індексу нільпотентності і кільця з ненульовим анулятором останній міститься в деякому нільпотентному ідеалі індексу нільпотентності не більше ніж

Ключові слова: асоціативна алгебра, нільпотентний ідеал, диференціювання, характеристичний ідеал, сума кілець.

Лучко В. С. Лиево нильпотентные и характеристические нильпотентные идеалы ассоциативных колец. --- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 --- алгебра и теория чисел. --- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Диссертация посвящена изучению действия дифференцирований на нильпотентные и лиево нильпотентные идеалы ассоциативных алгебр и колец. Как следствие, получены достаточные условия характеристичности суммы всех нильпотентных идеалов ассоциативных алгебр и колец. Исследованы вложения односторонних лиево нильпотентных идеалов колец в большие двусторонние идеалы с определенными свойствами, полученные результаты применены для изучения колец, разложимых в сумму двух своих лиево нильпотентных подколец, исследованы суммы ассоциативных колец с ненулевыми аннуляторами.

В диссертационной работе доказано, что для нильпотентного идеала индекса нильпотентности над полем и дифференцирования алгебры сумма является нильпотентным идеалом из индекса нильпотентности в случаях: а) , б) , де . Как следствие, доказана характеристичность суммы всех нильпотентных идеалов ассоциативной алгебры при условии, что либо характеристика основного поля равна нулю, либо указанная сумма нильпотентная индекса нильпотентности меньшего чем характеристика основного поля. Исследовано действие дифференцирований на нильпотетные идеалы ассоциативных колец, получены достаточные условия нильпотентности идеалов вида в ассоциативных кольцах.

Изучены вложения односторонних лиево нильпотентных идеалов ассоциативных колец в двусторонние лиево разрешимые и лиево нильпотентные идеалы данных колец. Доказано, что в сумме нильпотентного ассоциативного кольца индекса нильпотентности и кольца с ненулевым аннулятором последний содержится в некотором нильпотентном идеале всего кольца индекса нильпотентности не выше чем

Ключевые слова: ассоциативная алгебра, нильпотентный идеал, дифференцирование, характеристический идеал, сумма колец. =10

Luchko V. S. Lie nilpotent and characteristic nilpotent ideals of associative rings. --- Manuscript.

Dissertation submitted in partial fulfillment of requirements for the degree of candidate of physical and mathematical sciences in speciality 01.01.06 --- algebra and number theory. --- Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2009.

The dissertation is devoted to the investigation of action of derivations on nilpotent and Lie nilpotent ideals of associative algebras and rings. Embeddings of one-sided Lie nilpotent ideals of associative rings in their two-sided Lie solvable ideals are also studied.

In the the first chapter we give a short review of the literature connected with the topics studied in the dissertation.

In the second chapter we collect basic definitions and important facts that are used in the subsequent chapters.

The third chapter is devoted to action of derivations on nilpotent and Lie nilpotent ideals of associative algebras and rings. We prove that for any derivation of an associative algebra over a field and a nilpotent ideal of the sum is nilpotent of nilpotency index , where is the nilpotency index of the ideal provided that: (a) , (b) , where . As a corollary we get that the sum of all nilpotent ideals of an associative algebra is a characteristic ideal if either , or and the sum is a nilpotent ideal of nilpotency index An analogous result is obtained for one-sided commutative ideals of associative algebras over fields of characteristic , namely the sum contains a nilpotent ideal of nilpotency index with commutative qoutient algebra

Similar results are obtained for actions of derivations on nilpotent ideals of associative rings under some restrictions on the additive groups of these rings. In particular, the sum of all nilpotent ideals of a ring is characteristic if the additive group of is torsion-free. This is an analogue of a result of G.Letzter about charactericity of the Levitzki radical (i.e. the sum of all locally nilpotent ideals).

The fourth chapter deals with embeddings of Lie nilpotent ideals of associative rings into two-sided Lie solvable ideals. We prove that if is a Lie nilpotent one-sided ideal of a ring then is contained in some Lie solvable ideal of of Lie derived length , where is the class of Lie nilpotency. If the ideal is contained in the -th member of the lower central series of the adjoint Lie ring and the class of Lie nilpotency of is less than then the ideal is contained in some nilpotent ideal of As an application of obtained results we prove that any ring decomposed into a sum of two its left (right) Lie nilpotent ideals and is a Lie solvable ring. Note that the restriction on summands and to be Lie nilpotent cannot be weakened to the condition of Lie solvability. Really, the full matrix ring over the field is the sum of two right ideals that are Lie solvable, but is not Lie solvable.

Sums of associative rings are studied in the last (fifth) chapter of the dissertation. In the first subsection, associative rings are studied that are sums of two subrings with nonzero annihilators. We proved that such a ring either possesses a nonzero nilpotent ideal or the above mentioned annihilators are separated by ideals of the ring (this is an improvement of some results of O.Kegel about sums of rings with nonzero annihilators). The second subsection is devoted to rings that are sums where is a nilpotent subring of nilpotency index and is a subrinng with nonzero annihilator We prove that this annihilator is contained in some nilpotent ideal of nilpotency class of the ring

Keywords: associative algebra, nilpotent ideal, derivation, characteristic ideal, sum of rings.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Дисертаційну роботу присвячено вивченню дії диференціювань на нільпотентні ідеали асоціативних алгебр і кілець, лієво нільпотентним одностороннім ідеалам таких кілець і їх вкладенням в двосторонні лієво розв'язні ідеали.

Дослідження диференціювань асоціативних кілець і асоціативних алгебр розпочалися майже одночасно з розвитком теорій цих алгебраїчних структур і зараз складають цілий напрям в теорії кілець. Значна частина постановок задач і ідей в цьому напрямі прийшли в теорію асоціативних кілець із теорії груп і теорії алгебр Лі. Однією із перших робіт по вивченню дії диференціювань алгебр Лі на нільпотентні ідеали була робота Б.ХартліHartley B. Locally nilpotent ideals of a Lie algebra// Proc. Cambridge Phil. Soc. -- 1967. -- 63. - P. 257-272. В цій роботі автор по аналогії з теорією груп розглядає суму всіх локально нільпотентних ідеалів алгебри Лі і доводить, що така сума є характеристичним ідеалом у випадку основного поля характеристики при умові, що вона є нільпотентним ідеалом. Якщо ж хоча б одна з цих умов не виконується, то не є в загальному випадку характеристичним ідеалом алгебри Ці результати Б.Хартлі ініціювали дослідження дії диференціювань на нільпотентні або узагальнено нільпотентні ідеали асоціативних алгебр і кілець. Г.Летцтер в роботі Letzter G. Derivations and nil ideals // Rend. del Circ. Matematico di Palermo. -- 1988. -- 37, no.2. -- P. 174-176. дослідила дію диференціювань на локально нільпотентні ідеали асоціативних кілець. Зокрема, нею було доведено, що радикал Левицького (найбільший локально нільпотентний ідеал) асоціативного кільця є його характеристичним ідеалом, якщо адитивна група кільця не має скруту. При доведенні цього результату використовувалися деякі підходи із роботи Д.Жордана Jordan D.A. Noetherian Ore extensions and Jacobson rings, J. London Math. Soc. -- 1975. -- II, Ser. 10. -- P.281-291. , який довів характеристичність суми всіх ніль-ідеалів асоціативного кільця. Зауважимо, що всі ці результати отримані при умові, що адитивна група кільця не має скруту (або у випадку асоціативних алгебр, основне поле має характеристику ). Залишався недослідженим важливий випадок кілець з адитивним скрутом та алгебр над полями позитивної характеристики. Вивченню дій диференціювань таких асоціативних кілець і алгебр на нільпотентні ідеали і присвячений розділ 3 дисертаційної роботи.

Взагалі вивченню дії диференціювань на ідеали асоціативних кілець присвячено ряд робіт Ч.Ланскі Lanski C. Left ideals and derivations in simiprime rings // J. of Algebra. -- 2004. -- 277, issue 2. -- P.658-667. , Д.Жордана, М.Брешара Bresar M. One-sided ideals and derivations of prime rings // Proc. Amer. Math. Soc. -- 1994. -- 122. -- P.979-983. та інших. Зокрема, Ч.Ланскі досліджував диференціювання напівпервинних кілець, такі що значення на деякому лівому ідеалі цього кільця є нільпотентними. Також багатьма авторами (М.Брешар, П.Гржешук та інші) розглядалися диференціювання асоціативних кілець, які є нільпотентними (як ендоморфізми адитивної групи кільця).

Наведені вище дані свідчать про актуальність тематики, пов'язаної з дією диференціювань на нільпотентні ідеали асоціативних кілець.

З цією тематикою тісно пов'язані дослідження односторонніх ідеалів асоціативних кілець і алгебр, перш за все подібними методами досліджень і застосуванями отриманих результатів для побудови ідеалів з певними властивостями в кільцях. Одними із перших почали вивчати односторонні ідеали асоціативних кілець з певними властивостями С.Джейн і С.Сінгх Jain S.K. Rings having one-sided ideals satisfying a polynomial identity // Archiv der Mathematik, Basel, Stuttgart. -- 1969. -- v. XX. -- P.17-23. в зв'язку з наступним питанням: якщо односторонній ідеал асоціативного кільця задовольняє деяку поліноміальну тотожність, то чи можна сказати, що все кільце також є кільцем з поліноміальною тотожністю. С.Джейн і С.Сінгх показали, що наявність в первинному кільці одностороннього ненульового комутативного ідеалу призводить до того, що все кільце буде комутативним. В загальному випадку відповідь на сформульване питання негативна, були побудовані приклади кілець без поліноміальної тотожності, які мають односторонні ненульові ідеали, що задовольняють деяку поліноміальну тотожність. В дисертаційній роботі досліджено односторонні лієво нільпотентні ідеали і доведено, що вони завжди містяться в деяких лієво розв'язних двосторонніх ідеалах всього кільця. Вивчено також випадки, коли односторонні лієво нільпотентні ідеали містяться в двосторонніх нільпотентних ідеалах. Це показує, що дослідження односторонніх ідеалів асоціативних кілець є актуальною задачею теорії кілець.

З розглянутими результатами тісно пов'язана факторизаційна тематика в терії асоціативних кілець і алгебр. Як застосування отриманих результатів про односторонні ідеали було доведено, що асоціативне кільце, яке є сумою двох своїх лівих (правих) лієво нільпотентних ідеалів є лієво розв'язним. Дослідження сум асоціативних кілець і алгебр складає вже цілий напрям в теорії кілець. Одними з перших тут були результати О.Кегеля Kegel O.H. Zur Nilpotenz gewisser assoziativer Ringe // Math. Ann. - 1962/1963. - Vol.149. - P.258-260. про суми нільпотентних і узагальнено нільпотентних кілець, а також результати І.Херстейна і Л.Смолла про РІ-кільця, які розкладаються в суму двох своїх ніль-підкілець. Відзначимо також роботи К.І.Бейдара і А.В. Міхалева Бейдар К.И., Михалев А.В. Обобщенные полиномиальные тождества и кольца, являющиеся сумами двух подколец// Алгебра и логика. -- 1995. -- № 1. -- C.3-11., О.Кегеля, А.Келарева, Ю.А.Бахтуріна і А.Джамбруно Bahturin Yu.A., Giambruno A. Identities of sums of commutative subalgebras // Rend. Circ. Mat. Palermo. -- 1994. -- 43, no.2. -- P.250-258. , А.П.Петравчука, М.Ферреро, Е.Пучіловського та інших.

Зауважимо, що результати О.Кегеля узагальнювалися в різних напрямах багатьма авторами. О.Фукшанскі побудувала приклади асоціативних кілець, які є сумою двох своїх локально нільпотентних підкілець і при цьому містять вільну некомутативну підалгебру рангу 2. Далі, А.Келарев детально вивчив різні ослаблення на підкільця і в сумі . Одним з прикладів таких ослаблень є умова того, що анулятори підкілець-доданків ненульові. Взагалі кажучи, ці анулятори можуть не лежати в нільпотентному ідеалі всього кільця. Але як доведено в останньому розділі дисертаційної роботи при умові, що один з доданків нільпотентний, анулятор іншого доданку буде лежати в деякому нільпотентному ідеалі всього кільця і при цьому отримано оцінку індексу нільпотентності знайденого ідеалу. Таким чином, можна зробити висновок, що тематика дисертаційної роботи є актуальною.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційну роботу виконано в рамках держбюджетної дослідницької теми 06БФ038 "Розробка алгебраїчних і геометричних методів дослідження з використанням комбінаторних та категорних підходів", що виконується на кафедрі алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета i завдання дослідження.

Метою дослідження є опис дії диференціювань на нільпотентні та лієво нільпотентні ідеали асоціативних алгебр і кілець, дослідження вкладення таких односторонніх ідеалів в більші двосторонні з певними властивостями, вивчення сум кілець, близьких до нільпотентних.

Об'єктом дослідження є асоціативні алгебри над довільними полями та асоціативні кільця з дією на них зовнішніх диференціювань.

Предмет дослідження - асоціативні алгебри та кільця, які містять нільпотентні ідеали та односторонні лієво нільпотентні ідеали, а також суми асоціативних кілець з ненульовими ануляторами.

Методи дослідження. Основними методами, що використовуються у дослідженні є методи теoрії асоціативних алгебр та методи теорії кілець, які пов'язані з сумами кілець, близьких до нільпотентних.

Наукова новизна одержаних результатів.

У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, основними із яких є такі:

* доведено, що для нільпотентного ідеалу індексу нільпотентності асоціативної алгебри над полем і диференціювання із ідеал нільпотентний у випадках а) б) , де ;

* доведено характеристичність суми всіх нільпотентних ідеалів асоціативної алгебри при умові, що або характеристика основного поля нульова, або вказана сума нільпотентна індексу меншого ніж характеристика основного поля;

* доведено, що для диференціювання асоціативного кільця з нільпотентним ідеалом індексу нільпотентності ідеал нільпотентний у випадках, коли або без адитивного скруту, або адитивно періодичне і , де ;

* вивчено вкладення односторонніх лієво нільпотентних ідеалів асоціативних кілець в двосторонні лієво розв'язні ідеали, вказано оцінки для ступеня лієвої розв'язності таких ідеалів;

* досліджено односторонні лієво нільпотентні ідеали асоціативного кільця , які лежать в -тому члені нижнього центрального ряду приєднаної алгебри Лі ;

* доведено, що в сумі нільпотентного асоціативного кільця індексу нільпотентності і кільця з ненульовим анулятором останній міститься в деякому нільпотентному ідеалі індексу нільпотеності не більше ніж

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в теорії алгебр Лі, теорії кілець та асоціативних алгебр та суміжних розділах математики, зокрема пов'язаних з комплексними структурами на многовидах.

Особистий внесок здобувача.

Усі результати, що ввійшли в дисертаційну роботу, одержані самостійно, або за особистою участю автора. А саме: основні теореми , , , , дисертаційної роботи отримано автором самостійно. Теореми , i отримано спільно з С.В.Білун при рівному й нероздільному внеску співавторів.

Апробація результатів дисертації.

Результати дисертаційної роботи доповідалися

* на Міжнародній алгебраїчній конференції з теорії радикалів ICOR-2006 (Київ, липень-серпень 2006 р.);

* на Шостій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам'янець-Подільський, липень 2007 р.);

* на Сьомій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Харків, липень 2009 р.).

Публікації.

Основні результати дисертації викладено в наукових статтях, опублікованих в журналах, що входять до переліку наукових фахових видань ВАК України, та у тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях. Список публікацій наведено в кінці автореферату.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи -- ?? сторінок, з них список використаних джерел займає місце з ?? по ?? сторінку і містить найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основна частина роботи складається із п'яти розділів. На початку кожного розділу подається короткий зміст підрозділів даного розділу.

У першому розділі наводиться огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, що проводилися здобувачем.

У розділі наведено означення основних понять, що використовуються у роботі, а також сформульовано важливі для подальшого викладу добре відомі результати.

Нагадаємо, що асоціативне кільце називається локально нільпотентним, якщо довільна скінченна підмножина із породжує нільпотентне підкільце.

Кільце називається первинним, якщо добуток будь-яких його двох ненульових ідеалів є знову ненульовим ідеалом.

Кільце називається напівпервинним, якщо -- підпрямий добуток первинних алгебр.

Ідеал алгебри називається первинним, якщо - первинна алгебра. Ідеал алгебри напівпервинним, якщо - напівпервинна алгебра.

Для довільного ідеалу алгебри рівносильними є такі умови:

1) - первинний ідеал;

2) Для будь-яких двох ідеалів i кільця із включення випливає, що або , або

Якщо -- деяка підмножина кільця , то через позначатимемо двосторонній анулятор підмножини в , тобто

Значна частина дисертаційної роботи присвячена вивченню лієво нільпотентних ідеалів асоціативних алгебр і кілець. Нагадаємо поняття приєднаної алгебри Лі до даної асоціативної алгебри.

Нехай асоціативна алгебра над полем На векторному просторі введемо бінарну операцію , де множення в правій частині є множенням в асоціативній алгебрі . Відносно цієї операції (а також операцій додавання в і множення на скаляри із ) векторний простір є алгеброю Лі, яка часто позначається або Ця алгебра Лі називається приєднаною алгеброю до асоціативної алгебри .

Нагадаємо також деякі поняття з теорії алгебр Лі, які використовуються при дослідженні лієвої структури асоціативних алгебр.

Нижнім центральним рядом алгебри Лі називається ряд ідеалів де , тобто , , і т. д.

Похідним рядом алгебри Лі називається ряд ідеалів

де , тобто , і т. д. Замість часто використовується (перша похідна), а замість пишуть (друга похідна).

Алгебра Лі називається нільпотентною, якщо її нижній центральний ряд закінчується нулем, тобто існує таке число , що . Найменше таке , що називається класом нільпотентності (ступенем нільпотентності) алгебри Лі і позначається через

Алгебра Лі називається розв'язною, якщо її похідний ряд закінчується нулем, тобто існує таке число , що . Найменше таке , що називається ступенем розв'язності алгебри Лі і позначається через

Аналогічно для асоціативного кільця через або позначимо приєднане кільце Лі асоціативного кільця Через позначається клас нільпотентності приєднаного кільця Лі для , називається класом лієвої нільпотентності асоціативного кільця Аналогічно означає ступінь розв'язності кільця Лі і називається ступенем лієвої розв'язності кільця

Нагадаємо, що диференціюванням асоціативної алгебри над полем називається -лінійне відображення таке, що для довільних елементів . Кожний елемент визначає внутрішнє диференціювання де . Ідеал алгебри називається характеристичним (або стабільним), якщо для довільного диференціювання алгебри . Через позначається множина всіх диференціювань асоціативної алгебри Відносно операцій додавання, множення на елементи із поля і послідовного виконання множина диференціювань утворює алгебру Лі. Аналогічно визначається диференціювання довільного асоціативного кільця , такі диференціювання утворюють кільце Лі

У розділі вивчається дія зовнішніх диференціювань на нільпотентні і лієво нільпотентні ідеали асоціативних алгебр і кілець. В першому підрозділі даного розділу доведено, що для нільпотентного ідеалу асоціативної алгебри над полем ідеал нільпотентний, якщо або індекс нільпотентності ідеалу менший ніж у випадку позитивної характеритики основного поля. Зокрема, сума усіх нільпотентних ідеалів алгебри є характеристичним ідеалом якщо або індекс нільпотентності у випадку додатної характеристики поля .

В другому підрозділі вивчається поведінка нільпотентних ідеалів асоціативних кілець під дією (зовнішніх) диференціювань. Зокрема, доведено, що для нільпотентного ідеалу індексу нільпотентності асоціативного кільця і диференціювання ідеал нільпотентний класу нільпотентності , якщо в фактор-кільці немає елементів адитивного порядку .

В наступній лемі вказано дію степенів диференціювання на степені ідеала асоціативної алгебри.

Лема Нехай -- асоціативна алгебра над довільним полем, -- ідеал із і . Тоді для довільних натуральних чисел таких, що справедливе включення .

Наступна теорема є основним результатом першого підрозділу розділу 3 дисертаційної роботи.

Теорема Нехай -- асоціативна алгебра над полем , -- нільпотентний ідеал із індексу нільпотентності і . Тоді -- нільпотентний ідеал із індексу нільпотентності в наступних випадках:

Із цієї теореми легко отримати наступний результат, який представляє самостійний інтерес.

Наслідок Нехай -- асоціативна алгебра над полем і -- сума всіх нільпотентних ідеалів алгебри . Тоді є характеристичним ідеалом алгебри (тобто для довільного диференціювання алгебри ) в наступних випадках:

1) ;

2) -- нільпотентний ідеал індексу нільпотентності меншого ніж , де .

Наступний приклад показує, що обмеження на індекс нільпотентності у випадку позитивної характеристики поля є суттєвим. Цей приклад є аналогом для асоціативних алгебр відомого прикладу модулярної алгебри Лі, розв'язний радикал якої не є характеристичним ідеалом Джекобсон Н. Алгебры Ли // М., Мир. 1964. - 355 с.

Приклад Нехай -- проста асоціативна алгебра над полем характеристики , -- циклічна група порядку і -- групова алгебра групи . Тоді тензорний добуток асоціативних алгебр (над полем ) буде ненільпотентною алгеброю, оскільки містить підалгебру , яка є простою. Далі, алгебра містить нільпотентний ідеал такий, що для деякого маємо , тобто -- ненільпотентний ідеал із .

Застосуємо одержані результати до дії диференціювань на односторонні комутативні ідеали асоціативних алгебр. Зауважимо, що односторонній комутативний ідеал асоціативної алгебри в загальному випадку може не міститися в більшому двосторонньому комутативному ідеалі. Але з точністю до двосторонніх нільпотентних ідеалів деяке ослаблене твердження можна все таки довести, шо показує наступна теорема.

Теорема Нехай -- асоціативна алгебра над полем характеристики і -- комутативний правий (лівий) ідеал, . Тоді -- правий (лівий) ідеал із і при цьому підалгебра містить нільпотентний ідеал індексу нільпотентності з комутативної фактор-алгебри .

В другому підрозділі даного розділу вивчається поведінка нільпотентних ідеалів асоціативних кілець під дією (зовнішніх) диференціювань. Зокрема, доведено, що для нільпотентного ідеалу індексу нільпотентності асоціативного кільця і диференціювання ідеал нільпотентний, якщо в фактор-кільці немає елементів адитивного порядку .

Наступне твердження є аналогом відповідного результату з теорії абелевих груп і часто використовується при вивченні кілець з мішаною адитивною групою.

Лема Множина всіх адитивно періодичних елементів асоціативного кільця утворює двосторонній ідеал кільця . Фактор-кільце не має скруту.

Позначимо через множину всіх простих дільників адитивних порядків ненульових елементів із кільця . Тоді, використовуючи добре відомі факти з теорії абелевих груп отримаємо наступне твердження.

Лема Нехай - асоціативне кільце, - періодична частина . Тоді - пряма сума характеристичних ідеалів кільця , де - силовська - підгрупа адитивної групи . Для довільного ідеалу кільця , який лежить в маємо , де - характеристичний ідеал кільця .

Наступна лема є ключовою при доведенні основного результату цього підрозділу.

Лема Нехай - асоціативне кільце, - ідеал із і . Тоді для довільним чином вибраних елементів із ідеалу має місце співвідношення

Наступне твердження є основним результатом другого підрозділу розділу 3.

Теорема Нехай -- асоціативне кільце, -- нільпотентний ідеал індексу нільпотентності із і . Тоді ідеал нільпотентний індексу нільпотентності в наступних випадках:

1) Кільце без адитивного скруту;

2) Кільце адитивно періодичне і , де .

Із цієї теореми можна отримати такий наслідок, який представляє самостійний інтерес.

Наслідок Нехай -- асоціативне кільце без скруту і -- сума всіх нільпотентних ідеалів кільця . Тоді -- характеристичний ідеал кільця .(Очевидно, -- локально нільпотентний ідеал кільця ).

Зауважимо, що зовсім іншими методами Г.ЛетцтерLetzter G. Derivations and nil ideals// Rend. del Circ. Matem. di Palermo. -- 1988. -- 37, no.2. -- P.174-176. довела, що сума всіх локально нільпотентних ідеалів кільця (радикал Левицького кільця ) є характеристичним ідеалом при умові, що адитивна група кільця не має скруту.

В розділі 4 вивчаються односторонні лієво нільпотентні ідеали асоціативних кілець з точки зору їх вкладення в двосторонні ідеали з певними властивостями. Зауважимо, що таке вкладення завжди виконується для дуо-кілець (в яких кожен односторонній ідеал буде двостороннім) і яким присвячено велику кількість робіт, див. наприклад, роботи Х.Брунгса, А.ЛараджіA.Laradji On duo rings, pure semisimplicity and finite representation type// Communications in Algebra. -- 1997. -- 25. -- P.3947-3952. та інших. Часто достатньо обмежитися лише максимальними підкільцями і тоді розглядають квазі-дуо-кільця (в яких кожен односторонній максимальний ідеал є двостороннім), які також інтенсивно вивчаються, див. роботи Т.Лама і А.ДугасаLam T.Y., Dugas A.S. Quasi-duo rings and stable range descent// Journal of Pure and Applied Algebra. -- 2005. -- 195 (3)-- P.243-259., Е.Пучиловського, Г.Маркса, Б.В.ЗабавськогоЗабавський Б.В. Про РР-квазідуокільця елементарних дільників // Алгебра і топологія: Збірник наукових праць, Львів. -- 1993. -- С.40-49. та інших. нільпотентний анулятор алгебра

Добре відомо, що кожен односторонній нільпотентний ідеал асоціативного кільця міститься в нільпотентному двосторонньому ідеалі цього кільця. Аналогічне твердження вже не має місця для лієво нільпотентних односторонніх ідеалів. Але і в цьому випадку можна показати (і це зроблено в даному розділі), що при деяких обмеженнях на односторонні лієво нільпотентні ідеали мають місце аналогічні твердження.

Наступна лема використовується при доведенні основних результатів даного розділу, особливо при проведенні індукції за класом лієвої нільпотентності односторонніх ідеалів. Лема Нехай -- односторонній ідеал асоціативного кільця і -- центр підкільця . Тоді в існує ідеал такий, що і

Наступна теорема, в якій розглядаються вкладення односторонніх лієво нільпотентних ідеалів в двосторонні лієво розв'язні ідеали, є основним результатом підрозділу Теорема Нехай -- асоціативне кільце і -- односторонній ідеал кільця . Якщо -- лієво нільпотентне підкільце, то міститься в деякому лієво розв'язному двосторонньому ідеалі кільця , такому, що , де -- ступінь лієвої нільпотентності підкільця .

Як застосування отриманого результату відзначимо наступне твердження, яке представляє самостійний інтерес в зв'язку з відомою проблемою О.Кегеля про розв'язність суми двох нільпотентних алгебр Лі. Наслідок Якщо асоціативне кільце є сумою своїх правих (лівих) ідеалів і і підкільця і лієво нільпотентні, то кільце лієво розв'язне.

Зауважимо, що до цього часу невідомо, чи буде лієво розв'язним асоціативне кільце, яке є сумою двох своїх лієво нільпотентних підкілець, лише відомо, що відповідь позитивна у випадку, коли хоча б один з доданків комутативнийПетравчук А.П. О лиевой разрешимости суммы коммутативного и лиево нильпотентного ассоциативных колец // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. -- 1999. -- № 1. -- С.78-81.

В наведеному наслідку не можна замінити умову лієвої нільпотентності односторонніх ідеалів на умову лієвої розв'язності. Дійсно, повне матричне кільце над полем є сумою двох своїх правих лієво розв'язних ідеалів вигляду але не є, очевидно, лієво розв'язним.

Другий підрозділ четвертого розділу присвячений одностороннім лієво нільпотентним ідеалам, які містяться в деяких членах нижнього центрального ряду приєднаного кільця Лі. Для кільця через позначається двосторонній ідеал кільця , породжений -м членом нижнього центрального ряду кільця Лі Лема Нехай -- асоціативне кільце, -- лієво нільпотентне підкільце із , лієва ступінь нільпотентності якого не перевищує числа . Якщо -- підкільце із таке, що виконуються співідношення і , то має місце рівність .

Лема Нехай -- асоціативне кільце, -- ідеал кільця . Тоді

1) Якщо -- нільпотентний ідеал підкільця , то лежить в деякому нільпотентному ідеалі кільця і ;

2) Якщо ( або ), то -- міститься в деякому нільпотентному ідеалі кільця , який міститься в .

Для асоціативного кільця з приєднананим кільцем Лі позначимо через -й член нижнього центрального ряду кільця Лі . Тоді, як неважко переконатися, сума вигляду

-- двосторонній ідеал (асоціативного) кільця . Зокрема, при отримаємо комутаторний ідеал -- двосторонній ідеал кільця , породжений всіма комутаторами вигляду

Наступна теорема є основним результатом даного підрозділу і вказує достатні умови, коли односторонній лієво нільпотентний ідеал міститься в деякому двосторонньому нільпотентному ідеалі всього кільця.

Теорема Нехай -- асоціативне кільце і -- односторонній лієво нільпотентний ідеал кільця . Якщо і ступінь лієвої нільпотентності менша ніж , то міститься в деякому нільпотентному ідеалі із .

Наступні твердження, які є безпосередніми наслідками цієї теореми представляють самостійний інтерес. Зокрема, друге твердження показує, що напівпервинне кільце без центру не має ненульових односторонніх лієво нільпотентних ідеалів. Наслідок Нехай асоціативне кільце, для якого виконується умова . Якщо -- односторонній лієво нільпотентний ідеал із , то він міститься в двосторонньому нільпотентному ідеалі із .

Наслідок Нехай -- напівпервинне асоціативне кільце. Тоді всі лієво нільпотентні односторонні ідеали кільця містяться в центрі кільця і мають тривіальний перетин з ідеалом .

В пятому розділі дисертаціної роботи вивчаються асоціативні кільця, які розкладаються в суму двох своїх підкілець з певним умовами, близькими до нільпотентності. В підрозділі 5.1 досліджуються асоціативні кільця, які розкладаються в суму двох своїх підкілець з нетривіальними ануляторами. Наступне твердження гарантує наявність нільпотентних ідеалів в кільці з ненульовими ануляторами. Лема 5.1.13 Нехай - асоціативне кільце, яке розкладається в суму своїх підкілець і , позначимо

Тоді в кільці існує такий нільпотентний ідеал , що і Наступна теорема є основним результатом підрозділу 5.1 і показує, що в кільці, яке є сумою двох підкілець з ненульовими ануляторами за своїми властивостями схоже на суму двох нільпотентних підкілець.

Теорема Нехай асоціативне кільце, яке розкладається в суму своїх підкілець і з ненульовими ануляторами

Тоді або в кільці міститься ненульовий нільпотентний ідеал, або в існують ідеали і такі, що і при цьому

Один із результатів О.Кегеля стверджує, що в кільці з локально нільпотентним підкільцем анулятор міститься в радикалі Левицького кільця В наступній теоремі, яка є основним результатом підрозділу 5.2 показано, що при умові нільпотентності анулятор лежить в деякому нільпотентному ідеалі із для якого вказано оцінку нільпотентності, в залежності від індексу нільпотетності підкільця

Теорема Нехай - асоціативне кільце, яке розкладається в суму своїх підкілець і Якщо кільце нільпотентне індексу нільпотентності то анулятор міститься в деякому нільпотентному ідеалі кільця , індекс нільпотентності якого не перевищує Наведений в підрозділах 5.1 і 5.2 підхід до вивчення сум асоціативних кілець вигляду з умовами, близькими до нільпотентності дозволяє розглядати і більш широкі класи кілець, наприклад, з односторонніми ненульовими ануляторами підкілець і Зауважимо також, що отримана в теоремі оцінка індексу нільпотентності ідеалу, який містить анулятор є грубою і тому було б цікаво знайти більш точну оцінку.

ВИСНОВКИ

У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, які повязані з дією диференціювань на нільпотентні та лієво нільпотентні ідеали асоціативних алгебр і кілець, з вкладенням таких односторонніх ідеалів кілець в більші двосторонні з певними властивостями, вивченням сум кілець, з ненульовими ануляторами

Основними науковими результатами є наступні:

* доведено, що для нільпотентного ідеалу індексу нільпотентності асоціативної алгебри над полем і диференціювання алгебри сума є нільпотентним ідеалом із індексу нільпотентності у випадках: а) , б) , де ;

* доведено характеристичність суми всіх нільпотентних ідеалів асоціативної алгебри при умові, що або характеристика основного поля нульова, або вказана сума нільпотентна індексу меншого ніж характеристика основного поля;

* доведено, що для диференціювання асоціативного кільця з нільпотентним ідеалом індексу нільпотентності ідеал нільпотентний у випадках, коли або без адитивного скруту, або адитивно періодичне і , де ;

* вивчено вкладення односторонніх лієво нільпотентних ідеалів асоціативних кілець в двосторонні лієво розв'язні ідеали цих кілець, вказано оцінки для ступеня лієвої розв'язності таких ідеалів в залежності від класу лієвої нільпотентності односторонніх ідеалів;

* досліджено односторонні лієво нільпотентні ідеали асоціативного кільця , які лежать в -тому члені нижнього центрального ряду приєднаної алгебри Лі ;

* доведено, що в сумі нільпотентного асоціативного кільця індексу нільпотентності і кільця з ненульовим анулятором останній міститься в деякому нільпотентному ідеалі індексу нільпотентності не більше ніж

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Петравчуку Анатолію Петровичу за постановку розглянутих у дисертаційній роботі питань, постійну увагу і підтримку в роботі.

 ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лучко В.С. Про суму двох асоціативних кілець з ненульовими ануляторами / С. Білун, В. Лучко, А. Петравчук // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: Математика. Механіка. 17-18. -- 2007. -- С. 77- 80.

2. Luchko V.S. On one-sided Lie nilpotent ideals of associative rings / Luchko V.S., Petravchuk A.P. // Algebra and Discrete Mathematics. -- 2007. -- no.4. -- P.102-107.

3. Лучко В.С. Про дію диференціювань /Лучко В.С.// Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: Фіз. Мат. - 2009. -- № 1. -- С.77-80.

4. Лучко В.С. О действии дифференцирований на нильпотентные идеалы ассоциативных алгебр/ Лучко В.С.// Український матем. журн. -- 2009. -- т.61, №7. -- C.1000-1004.

5. Luchko V.S. On sums of two associative rings with nonzero annohilators/ S.V.Bilun, V.S.Luchko, A.P.Petravchuk// Abstracts of Talks of International Conference on Radicals in Ukraine. -- Kiev: Kiev Univ. 2006. -- P.19-20.

6. Luchko V.S. On one-sided Lie nilpotent ideals of associative rings / V.S. Luchko // Abstracts of Talks 6-th International Algebraic Conference in Ukraine (July 1 - 7, 2007). -- Kamyantets-Podilsky, 2007. -- P. 127-128.

7. Luchko V.S. On action of derivations on nilpotent ideals of associative algebras / V.S. Luchko // Abstracts of Talks of 7-th International Algebraic Conference in Ukraine (August 18 - 23, 2009), Kharkov. -- 2009. -- P.89.

Размещено на Allbest.ru

...