Дослідження багаточастотних коливань локально гамільтонових систем, близьких до інтегрованих

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

ДОСЛІДЖЕННЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ ЛОКАЛЬНО ГАМІЛЬТОНОВИХ СИСТЕМ, БЛИЗЬКИХ ДО ІНТЕГРОВНИХ

Ловейкін Юрій В'ячеславович

Київ - 2009

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

коізотропний інваріантний тор гамільтоновий

Актуальність теми. Біля 50-ти років тому А.М. Колмогоровим, В.І. Арнольдом та Ю. Мозером була заснована теорія квазіперіодичних рухів аналітичних та гладких динамічних систем, яку зараз називають КАМ-теорією. А.М. Колмогоров запропоновав ідею поєднання асимптотичних методів з послідовними замінами змінних ньютонівського типу, що відкрила широкі перспективи для одержання строгих результатів про збереження квазіперіодичних рухів при малих збуреннях гамільтоніанів інтегровних систем. В.І. Арнольд навів повне доведення теореми Колмогорова. Ю. Мозер для розв'язання задач, пов'язаних з проблемою малих знаменників, у класі скінченно диференційовних функцій запропонував метод згладжування.

Важливим результатом неформальної теорії збурень став метод штучних параметрів у поєднанні з методом прискореної збіжності, розроблений незалежно М.М. Боголюбовим та Ю. Мозером і розвинутий Ю.О. Митропольським та А.М. Самойленком. Ці методи знайшли ефективне застосування в роботах Є.I.Дінабурга, Я.Г. Сіная, Є.Д. Білоколоса, присвячених дослідженню стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом.

Вивчення маловимірних торів було розпочато В.К. Мельниковим та Ю. Мозером. Гіперболічний випадок був детально розглянутий в роботах Ю.Н. Бібікова, С.М. Граффа, Е. Цендера. Систематичне вивчення більш складних еліптичного та негіперболічного випадків розпочалося зі статей Л. Еліассона та Ю. Пошеля. З подальших відмітимо роботи Бібікова, Бюржейна, Брура, Севрюка, Рюссмана, Ксю, Йоу.

Значна кількість робіт була присвячена вдосконаленню техніки, що застосовується при доведенні КАМ-теорем, розвитку нових напрямків і підходів, серед яких варто відзначити результати Ю. Пошеля про вкладення ізотропних інваріантних торів в гладку в сенсі Вітні сім'ю, модифікований метод штучних параметрів Севрюка-Ермана, встановлення нових умов невиродженості гамільтонових систем Г. Рюссманом та А.Д. Брюно, прямі методи побудови інваріантних торів та квазіперіодичних розв'язків у вигляді збіжних степеневих рядів, дослідження поведінки траєкторій у щілинах між колмогоровськими торами, варіаційний метод Персіваля, з'ясування механізмів руйнування інваріантних торів та розвиток ренормалізованих методів, розповсюдження КАМ-теорії на нелінійні рівняння з частинними похідними, дослідження методами КАМ-теорії нескінченновимірних гамільтонових систем.

Вивчення некласичного випадку в КАМ-теорії, коли фазовий простір незбуреної гамільтонової системи розшаровується коізотропними інваріантними торами (розмірність таких торів перевищує половину розмірності фазового простору), було розпочато в роботах І.О. Парасюка. Виявилося, що ефекти виникнення коізотропних інваріантних торів можливі у випадку, коли 2-форма, що задає симплектичну структуру, не є глобально точною, а також у випадку багатозначного гамільтоніана, тобто локально гамільтонової системи. Інтерес до локально гамільтонових систем на симплектичних многовидах з неточною симплектичною структурою стимулював С.П. Новіков, що було мотивовано потребами фізики твердого тіла.

О.І. Богоявлєнський увів поняття широкої інтегровності, яка охоплює значний клас систем, який містить системи з лагранжевими, ізотропними та коізотропними торами як спеціальні випадки, і є основним припущенням для вихідної незбуреної системи.

І хоча в дослідженні некласичного випадку були досягнуті суттєві успіхи в роботах І.О. Парасюка і А.А. Кубічки, М. Ермана, Конга та Лі, все ж у теорії коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем існують незаповнені прогалини. Зокрема, до останнього часу без достатньої уваги залишались: 1) питання щодо наявності загальної КАМ-теореми про збурення інваріантних торів локально гамільтонових систем, близких до інтегровних або умовно інтегровних; 2) щодо можливості розповсюдження результатів про біфуркацію канторової множини інваріантних торів гамільтонових систем при деформації симплектичної структури на випадок локально гамільтонових збурень та послаблення умови еліптичності квазістаціонарних положень досліджуваної системи до умови невиродженості; 3) щодо можливості застосування методу центрального інваріантного многовиду (метод зведення) в теорії збурень умовно інтегровних локально гамільтонових систем з незвідними інваріантними торами.

Зазначена обставина свідчить про актуальність теми даної дисертаційної роботи, яка спрямована на розв'язання перелічених вище питань 1)-3).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика досліджень даної дисертаційної роботи пов'язана з науковими програмами Київського національного університету імені Тараса Шевченка і виконувалась в рамках наукових тем ''Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ'' (номер держреєстрації 0104U003264) і ''Якісні та аналітичні методи дослідження і моделювання нелінійних систем та фізико-механічних полів'' (номер держреєстрації 0106U005863).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розроблення теорії інваріантних торів та квазіперіодичних рухів збурених локально гамільтонових систем.

Об'єктом дослідження є інваріантні тори збурених локально гамільтонових системах.

Предметом дослідження є квазіперіодичні рухи на інваріантних торах локально гамільтонових систем.

Дослідження проводились за допомогою методу прискореної збіжності, модифікованого методу штучних параметрів Боголюбова-Мозера, запропонованого Севрюком та Ерманом, і за допомогою методу згладжування, запропонованого Ю. Мозером, а також з використанням асимптотичних методів симплектичних перетворень та методів теорії діофантових наближень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержані такі нові результати:

* cформульовано доведено загальну КАМ-теорему про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем, яка узагальнює попередні результати в теорії збурень коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем, і яку можна одночасно застосовувати для аналізу випадків як невиродженого, так і виродженого гамільтоніана незбуреної системи;

* розповсюджено раніше одержані результати про біфуркацію канторової множини коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем при деформації симплектичної структури на випадок локально гамільтонових систем;

* доведено КАМ-теорему про збурення локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних, яка узагальнює результати про збереження інваріантних торів локально гамільтонових систем і охоплює невирождений та вироджений випадки КАМ-теорії локально гамільтонових систем;

* розв'язано задачу про біфуркацію канторової множини інваріантних торів у випадку, коли векторне поле інтегровної системи збурюється локально гамільтоновим векторним полем і одночасно деформується симплектична структура, при виконанні загальної умови невиродженості квазістаціонарних точок досліджуваної системи;

* розв'язано задачу про збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегровних локально гамільтонових систем.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Результати одержані в дисертації мають, переважно, теоретичне значення. Вони можуть бути використані при дослідженні прикладних задач нелінійної механіки з метою пояснення процесів, що відбуваються в системах з багаточастотними коливаннями.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. За результатами дисертації опубліковано п'ять наукових статей [1-5], з них чотири у співавторстві з науковим керівником [1-4], в яких І.О. Парасюку належить постановка задач, пропозиції щодо методів дослідження і обговорення одержаних результатів.

Апробація результатів. Результати дисертації оприлюднювались на:

* Десятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (13-15 травня 2004 р., м. Київ);

* Конференції молодих учених зі сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (24-27 травня 2005 р., м. Львів);

* Міжнародній конференції, присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка ''Диференціальні рівняння та їх застосування'' (6-9 червня 2005 р., м. Київ);

* Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (18-20 травня 2006 р., м. Київ);

* Міжнародній науковій конференції ''Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування'' (18-23 вересня 2006 р., м. Ужгород);

* Міжнародній науковій конференції присвяченій 150-річчю від дня народження А.М. Ляпунова ''Lyapunov memorial conference'' (24-30 червня 2007 р., м. Харків);

* Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (24-28 вересня 2007 р., м. Дрогобич);

* наукових семінарах кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка та відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань Інституту математики НАН України.

Публікації. Результати досліджень, які включено до дисертації, опубліковано в одинадцяти працях, з них п'ять статей в фахових виданнях [1-5] та шість у матеріалах та тезах міжнародних наукових конференцій [6-11].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 136 найменувань. Повний обсяг роботи 153 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень.

Перший розділ даної роботи присвячено огляду літератури, пов'язаної з темою дисертації. В ньому також визначено наукові питання та проблеми, які мають важливе значення для розвитку досліджень з теорії збурень локально гамільтонових систем.

Другий розділ дисертації присвячений доведенню КАМ-теореми про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем із застосуванням модифікованого методу штучних параметрів Севрюка-Ермана, а також ілюстрації деяких застосувань цієї теореми.

В підрозділі 2.1 сформульована і доведена КАМ-теорема для коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем. На симплектичному многовиді розглядається локально гамільтонова система, яка в певному сенсі є близькою до B-інтегровної локально гамільтонової системи, причому інваріантні підмноговиди останньої є коізотропними підмноговидами, дифеоморфними стандартному тору T. Тоді в околі кожного інваріантного тора існують координати типу ''дія-кут'', в яких: а) кожен інваріантний тор визначається рівнянням; б) дужка Пуассона, індукована симплектичною структурою , задається рівностями; в) 1-форма системи набирає вигляду . Тут , - матриці розміру і відповідно, , - деякі не залежні від вектори, - функція періодична з періодом по кожній змінній . Форма трактується як збурення форми, пов'язаної з лінеаризацією за змінними незбуреної В-інтегровної системи в околі її інваріантного тора. Необхідною умовою інваріантності торів локально гамільтонової системи з формою вигляду є умова ортогональності. Набір всіх параметрів, що від них залежить система, позначимо через .

Мета даного підрозділу полягає у обґрунтуванні результату: якщо вектор також задовольняє умову ортогональності, а функція h та її похідні за зміними y при y=0 досить малі, то існує канторова підмножина параметрів, на якій справджується твердження: поблизу тора y=const існує r-вимірний інваріантний тор локально гамільтонової системи, породженої 1-формою . При додаткових умовах невиродженої залежності досліджуваної системи від параметрів відносна міра зазначеної канторової множини прагне до 1, коли збурення прямує до 0. Також доводиться диференційовність (в сенсі Вітні) множини торів збуреної системи.

Згідно з основною ідеєю методу штучних параметрів замість 1-форми розглядаємо 1-форму загальнішого вигляду, залежну від параметрів, де , , . Множник присутній, щоб одночасно розглядати невироджений і вироджений випадки, а поправка має бути визначена так, щоб не залежала від , гладко залежала від параметрів і локально гамільтонова система з формою на певній підмножині параметрів мала інваріантний тор, близький до тора y=0.

Основним результатом другого розділу є теорема.

Теорема 2.1 Для додатних чисел, існують числа та такі, що для кожного і кожного справджується твердження: якщо функція дійсно-аналітична в області, де - обмежена множина, і задовольняє в ній нерівності



то існують відображення , з такими властивостями:

* для кожного такого, що локально гамільтонова система з 1-формою має інваріантний тор, заданий у фазовому просторі змінних рівнянням, причому відображення - дійсно-аналітичне і потік на цьому торі квазіперіодичний з вектором базисних частот

* для кожного знайдеться стала, яка залежить лише від та, така, що справджується нерівність, де - C-норма у відповідній області.

Для застосування теореми 2.1 до системи з 1-формою, у якій, потрібно із співвідношень виразити. За природних припущень це можна зробити при всіх досить малих, при цьому разом з та гладкою буде й функція, і вона мало відрізнятиметься від. Відтак підмножина параметрів, на якій система з формою має інваріантний тор, визначатиметься такими умовами.

Для оцінки відносної міри цієї канторової підмножини в просторі параметрів слід застосувати результати теорії діофантових наближень на підмноговидах евклідового простору.

В підрозділі 2.2 як приклад застосування теореми 1 розглянуто задачу про рух електрона по двовимірному тору під впливом електромагнітного поля. За припущення, що магнітне поле є ортогональним до тора і має сталу інтенсивність B, а електричне поле - дотичне до тора, рух електрона описується рівняннями Лагранжа на двовимірному торі з багатозначним лагранжіаном, де - маса електрона, - його заряд, - швидкість світла, - компоненти електричного поля, і - радіуси відповідно малого та великого кіл тороїдальної камери. Відповідна гамільтонова система є локально гамільтоновою системою на симплектичному многовиді, де з багатозначним гамільтоніаном, де - малий параметр.

За умови, що, гамільтоніан інтерпретується як мале збурення гамільтоніана. Відповідна йому незбурена локально гамільтонова система має однозначний перший інтеграл.

Для того щоб застосувати теорему 1 виконано низку додаткових перетворень збуреного гамільтоніана й одержано такий результат.

Теорема 2.2 Нехай - довільні числа. Тоді існують такі, що для будь-яких, які задовольняють умови існує таке B що і система з лагранжіаном L в Cr-околі тривимірного тора, який задається у фазовому просторі рівнянням має 3-вимірний інваріантний тор, усі рухи на якому квазіперіодичні з частотами.

Підрозділ 2.3 присвячений дослідженню біфуркації коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях систем, інтегровних за Ліувіллем.

На симплектичному многовиді з симплектичною структурою розглядається інтегровна в сенсі Ліувілля система з гамільтоніаном. Ця система зазнає збурень вигляду, де - малий параметр, а 1-форма і 2-форма - замкнені, але не точні.

Деякий окіл N компактної спільної поверхні рівня перших інтегралів незбуреної системи розшаровується орбітами вільної симплектичної дії тора. Для кожного визначене векторне поле як генератор дії підгрупи на. Введемо кососиметричну білінійну форму. Можливі дві ситуації:

Припущення 2.1 Білінійна форма C вироджена: .

Припущення 2.2 Білінійна форма C невироджена, тобто .

На введено координати прямого добутку, типу ''дія-кут'', в яких гамільтоніан (багатозначний) збуреної системи і матриця дужки Пуассона відповідно набирають вигляду, і при цьому справджується

Припущення 2.3 Для деяких додатних чисел , функції та - дійсно-аналітичні в областях і відповідно.

Означення 2.1 Точку p назвемо невиродженою квазістаціонарною точкою еліптичного типу, якщо вона задовольняє рівність і при цьому оператор лінійної частини обмеження векторного поля на симплектичний листок максимальної розмірності, що проходить через точку, в точці має різні суто уявні власні числа.

Випадки виродженої та невиродженої білінійної форми розглядаються окремо.

Якщо білінійна форма C вироджена, тобто , позначимо через базис в і будемо вимагати, щоб справджувалось

Припущення 2.4 Існує таке, що для кожного.

Після введення координат, дужка Пуассона задається рівностями, де матрицю складено зі стовпців, матрицю - з, а - вектори, що доповнюють базис до базису всього простору.

Точка є невиродженою квазістаціонарною точкою, якщо виконується

Припущення 2.5 Вектор ортогональний до кожного вектора.

а також має місце рівність і матриця є невиродженою та має різні суто уявні власні числа, що є означенням 2.1 для точки, що відповідає точці.

Припущення 2.6 Існує невироджена квазістаціонарна точка еліптичного типу така, що вектор задовольняє умови відсутності резонансів до порядку включно де - деяке натуральне число.

В околі невироджені квазістаціонарні точки еліптичного типу утворюють вимірний многовид, який можна задати в координатах параметричними рівняннями (тут - деяка область в), з дійсно-аналітичною принаймні в околі функцією. При цьому матриця матиме різні суто уявні власні числа. Нехай - рівняння многовиду квазістаціонарних точок, записане у вихідних р-координатах.

Припущення 2.7 Система функцій, утворена компонентами вектор-функції і функціями, лінійно незалежна в їхній спільній області визначення.

Підсумковим результатом про біфуркацію канторової множини коізотропних інваріантних торів збуреної системи в околі тора, заданого в координатах рівнянням, у випадку виродженої білінійної форми С є

Теорема 2.3 Нехай виконуються припущення 2.1, 2.3-2.7. Тоді при відповідному виборі числа для довільного дійсного існує таке , що для кожного в околі квазістаціонарного многовиду існує відкрита множина, розшарована вимірними коізотропними торами занумерованими k+m параметрами. Область містить канторову підмножину таку, що для кожного набору параметрів в околі тора існує (m+n)-вимірний інваріантний тор збуреної системи, рухи на якому квазіперіодичні з раціонально незалежними частотами. Існують гладкі відображення та таке, що і базисні частоти квазіперіодичних рухів на торі збуреної системи задаються вектором. Також має місце рівність.

У випадку невиродженої білінійної форми C маємо. Якщо справджується

Припущення 2.8 Існує невироджена квазістаціонарна точка еліптичного типу така, що вектор частот з деякими, задовольняє діофантові умови, а вектор - умови відсутності резонансів до порядку l включно, де l - деяке натуральне число.

то існує поліноміальна заміна змінних, яка зводить матрицю дужок Пуассона {p,p} до вигляду, а функцію - до нормальної форми степеня, де однорідний поліном степеня від змінних.

Припущення 2.9 Матриця квадратичної форми не вироджена.

Підсумковим результатом про біфуркацію канторової множини коізотропних інваріантних торів збуреної системи в околі тора, заданого в координатах рівнянням, у випадку невиродженої білінійної форми C є

Теорема 2.4 Нехай виконуються припущення 2.2, 2.3, 2.8, 2.9. Тоді для кожного, де досить мале, в околі інваріантного тора незбуреної системи, який відповідає квазістаціонарній точці p, існує відкрита множина, розшарована (m+n)-вимірними коізотропними торами m-параметричної сім'ї з областю зміни параметрів. Область містить канторову множину таку, що для кожного в околі тора існує інваріантний тор збуреної системи, який несе на собі квазіперіодичні рухи з m+n раціонально незалежними частотами. Існує таке гладке відображення, що і вектор базисних частот квазіперіодичних рухів на торі має вигляд. Відносна міра множини інваріантних торів збуреної системи в множині близька до 1, а саме, При цьому множина в границі, коли перетворюється в тор.

Третій розділ присвячений доведенню КАМ-теореми про збурення локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних; узагальненню результатів про біфуркацію канторової множини інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях системи, інтегровної за Ліувіллем, і одночасній деформації симплектичної структури. Також вивчається збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегровної локально гамільтонової системи. Умовна інтегровність системи означає, що її інваріантні тори, які несуть на собі квазіперіодичні рухи, розшаровують не відкриту область фазового простору, а лише деяких підмноговид.

В підрозділі 3.1 сформульована і доведена КАМ-теорема для інваріантних торів локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних. На симплектичному многовиді розглядається локально гамільтонова система, яка в певному сенсі є близькою до умовно інтегровної локально гамільтонової системи, і інваріантні тори останньої є підмноговидами, дифеоморфними стандартному тору. Припускається, що в околі кожного інваріантного тора існують координати, в яких: а) кожен інваріантний тор визначається рівнянням; б) дужка Пуассона задається рівностями; в) гамільтоніан збуреної системи набирає вигляду. Тут та - сталі (не залежні від) матриці розміру відповідно - сталі вектори, квадратична щодо форма зі сталою невиродженою матрицею - функція, періодична з періодом по кожній змінній . Доданки трактуються як збурення гамільтоніана. Необхідною умовою інваріантності торів локально гамільтонової системи з гамільтоніаном вигляду є така сама як і в підрозділі 2.1 умова ортогональності. Через позначено набір всіх параметрів системи.

Метою даного підрозділу є обгрунтування такого результату: якщо вектор також задовольняє умову ортогональності, а функція та її похідні по та при є досить малими, то існує канторова підмножина параметрів, на якій справджується твердження: поблизу тора існує r-вимірний інваріантний тор локально гамільтонової системи, породженої гамільтоніаном H. При виконанні додаткових умовах невиродженої залежності досліджуваної системи від параметрів відносна міра зазначеної підмножини параметрів прямує до 1, коли збурення прямує до нуля. Крім цього доводиться диференційовність (в сенсі Вітні) множини торів збуреної системи.

Згідно з ідеєю методу штучних параметрів розглядається гамільтоніан більш загального вигляду, що залежить від параметрів, матриця така, що . Множник дозволяє одночасно розглядати невироджений і вироджений випадки, а D треба визначити так, щоб вони не залежали від, гладко залежали від параметрів і система з гамільтоніаном H на певній підмножині параметрів мала інваріантний тор, близький до тора.

Основним результатом підрозділу 3.1 є

Теорема 3.1 Для додатних чисел C, a, b, за умови, що, існують числа такі, що для кожного і кожного справджується твердження: якщо функція h є дійсно-аналітичною в області обмежена множина, і задовольняє в ній нерівності то існують відображення, з такими властивостями:

* для кожного такого, що локально гамільтонова система з гамільтоніаном має інваріантний тор, заданий у фазовому просторі змінних рівняннями, причому відображення є дійсно-аналітичними, і потік на цьому торі квазіперіодичний з вектором базисних частот;

* для кожного p знайдеться стала c, яка залежить лише від p та, така, що має місце нерівність де норма у відповідній області.

Для застосування теореми 3.1 до системи з гамільтоніаном H, в якій, потрібно із співвідношень виразити , де власні числа матриці IП. Таким чином, підмножина параметрів, на якій система з гамільтоніаном H має інваріантний тор, визначатиметься умовами.

Для оцінки відносної міри цієї канторової підмножини у просторі параметрів слід застосовувати результати теорії діофантових наближень на підмноговидах евклідового простору.

В підрозділі 3.2 розглядається біфуркація інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях систем, інтегровних за Ліувіллем, і одночасній деформації симплектичної структури. Тут, на відміну від підрозділу 2.3, розглядається загальна ситуація, коли в околі квазістайіонарного положення оператор лінійної частини обмеження векторного поля на симплектичний листок має не лише суто уявні, а будь-які різні ненульові власні числа.

На симплектичному многовиді розглядається інтегровна в сенсі Ліувілля система з гамільтоніаном. Ця система зазнає збурення вигляду, де 1-форма і 2-форма є замкнені, але не точні.

Як і в підрозділі 2.3 окіл N компактної спільної поверхні рівня перших інтегралів незбуреної системи розшаровується орбітами вільної симплектичної дії тора. Векторне поле визначене як генератор дії підгрупи на N і введено кососиметричну білінійну форму.

Розглядаються два випадки:

Припущення 3.1 Білінійна форма C вироджена.

Припущення 3.2 Білінійна форма C невироджена, тобто.

Ввівши на N координати прямого добутку типу ''дія-кут'', в яких гамільтоніан збуреної системи і матриця дужки Пуассона відповідно набирають вигляду, де сталий вектор, малий параметр, одинична матриця розміру, C - кососиметрична матриця форми в координатах q, вимагаємо, щоб виконувалось

Припущення 3.3 Для деяких додатних чисел функції та - дійсно-аналітичні в областях відповідно.

Точка p називається квазістаціонарною, якщо виконується.

Якщо білінійна форма C вироджена, позначимо через базис в і вимагаємо справдження

Припущення 3.4 Існує таке що для кожного.

Після введення координат дужка Пуассона задається рівностями, де матрицю складено зі стовпців, матрицю A, матрицю B вектори, що доповнюють базис до базису всього простору.

Точка, що відповідає точці p, буде невиродженою квазістаціонарною точкою, якщо виконується, а також, матриця має різні суто уявні власні числа, а матриця має різні ненульові власні числа.

Припущення 3.5 Існує невироджена квазістаціонарна точка p така, що вектор та вектор задовольняють умови відсутності резонансів до порядку l.

В околі невироджені квазістаціонарні точки утворюють k-вимірний многовид, який можна задати параметричними рівняннями з дійсно-аналітичними принаймні в околі v функціями. При цьому матриці матимуть відповідно різні суто уявні власні числа, та різні ненульові власні числа. Нехай рівняння многовиду квазістаціонарних точок, записане у вихідних p-координатах.

Припущення 3.6 Система n+m+2k функцій, утворена компонентами вектор-функції і функціями, лінійно незалежна в їхній спільній області визначення.

Результатом про біфуркацію канторової множини інваріантних торів збуреної системи в околі тора, заданого в координатах (p,q) рівнянням у випадку виродженої матриці дужки Пуассона змінних ''дії'' є

Теорема 3.2 Нехай виконуються припущення 3.1, 3.3-3.6. Тоді при відповідному виборі числа для довільного дійсного існує таке, що для кожного в околі квазістаціонарного многовиду існує відкрита множина розшарована (m+n)-вимірними торами, які занумеровані k+m параметрами. Область містить канторову підмножину таку, що для кожного набору параметрів в околі тора незбуреної системи існує (m+n)-вимірний інваріантний тор збуреної гамільтонової системи, який несе на собі квазіперіодичні рухи з m+n раціонально незалежними частотами. Існують гладкі відображення такі, що вектор базисних частот квазіперіодичних рухів на торі має вигляд.

Якщо білінійна форма C невироджена, то маємо. Точка p буде невиродженою квазістаціонарною точкою, якщо вона задовольняє рівність і при цьому матриця має різні суто уявні власні числа, та ненульові різні власні числа.

Припущення 3.7 Існує невироджена квазістаціонарна точка p така, що вектор частот з деякими задовольняє діофантові умови, а вектори та умови відсутності резонансів до порядку l включно.

Якщо припущення 3.7 справджується, то існує поліноміальна заміна змінних, яка зводить матрицю дужок Пуассона {p,p} до вигляду, а функцію до нормальної форми степеня l одержується підстановкою замість - .

Основним результатом про біфуркацію канторової множини інваріантних торів збуреної системи в околі тора, заданого в координатах (p,q) рівнянням, у випадку невиродженої матриці дужок Пуассона є

Теорема 3.3 Нехай виконуються припущення 3.2, 3.3, 3.7. Тоді для кожного , де - досить мале, в околі інваріантного тора незбуреної системи, який відповідає квазістаціонарній точці p, існує відкрита множина, розшарована (m+n)-вимірними торами m-параметричної сім'ї з областю зміни параметрів. Область містить канторову множину таку, що для кожного в околі тора існує інваріантний тор збуреної системи, який несе на собі квазіперіодичні рухи з m+n раціонально незалежними частотами. Існує таке гладке відображення і вектор базисних частот квазіперіодичних рухів на торі має вигляд.

В підрозділі 3.3 розглядається збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегровних локально гамільтонових систем. Метою є показати, що якщо відповідна лінеаризована в околі підмноговиду, на якому вихідна система інтегровна, система має властивість гіперболічності, то система, одержана внаслідок малих локально гамільтонових збурень вихідної умовно інтегровної системи, має інваріантний многовид (центральний многовид), і на ньому існує канторова підмножина інваріантних торів збуреної системи, які несуть на собі квазіперіодичні рухи.

На гладкому симплектичному многовиді розглядається локально гамільтонова система з гамільтоніаном, який, взагалі кажучи, є багатозначним. Припускається, що ця система є умовно інтегровною і інваріантні підмноговиди останньої є дифеоморфними стандартному тору.

В околі многовиду (на якому задана система інтегровна) існують координати s+r=2n, в яких дужка Пуассона, породжена симплектичною структурою, задається рівностями, де х та I - матриці розмірів відповідно, матриці х та I кососиметричні і матриця I невироджена. Припускаємо, що координати такі, що гамільтоніан H набирає вигляду і при цьому виконується

Припущення 3.8 а) ; б) , тобто H не залежить від при z=0; в) вектор задовольняє рівність.

з якого випливає, що дана локально гамільтонова система є інтегровною на многовиді z=0 і інваріантні підмноговиди інтегровної системи дифеоморфні стадартному тору.

Нехай система з гамільтоніаном H зазнає збурення вигляду, де - малий параметр, а збурення H в координатах подається у вигляді. При цьому вимагається виконання припущень:

Припущення 3.9 а) функція H є дійсно-аналітичною за всіма змінними в області і є періодичною по кожній змінній з періодом; б) Функція H є дійсно-аналітичною за всіма змінними в області і є періодичною по кожній змінній; в) вектор задовольняє рівність.

Припущення 3.10 Система у варіаціях, яка відповідає інваріантному многовиду z=0 при має грубу функцію Гріна.

Основним результатом даного підрозділу є

Теорема 3.6 Нехай виконуються припущення 3.8-3.10. Тоді для деяких та достатно малого числа і для всіх в околі інваріантного многовиду z=0 незбуреної системи з гамільтоніаном H існує інваріантний многовид збуреної системи (центральний многовид), який задається в просторі змінних рівнянням, причому функція є, взагалі кажучи, скінченно диференційовною за змінними. На цьому центральному многовиді система, індукована вихідною збуреною системою, є локально гамільтоновою, і існує канторова підмножина така, що кожному значенню з цієї канторової підмножини можна поставити у відповідність інваріантний тор, заданий рівнянням, де функція F є досить гладкою за змінними, і потік на цьому торі є квазіперіодичним з вектором базисних частот, який належить деякому околу вектора.

ВИСНОВКИ

В даній дисертаційній роботі розглянуто задачі про дослідження багаточастотних коливань локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних.

В роботі доведено теорему про існування квазіперіодичних рухів на коізотропних інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до інтегровних в узагальненому сенсі. Ця теорема охоплює як невироджені, так і вироджені випадки, і дозволяє уніфікувати аналіз різних ситуацій, що виникають в теорії збурень коізотропних інваріантних торів.

Показано, що інваріантні тори збуреної локально гамільтонової системи утворюють гладку в сенсі Вітні сім'ю. На відміну від глобально гамільтонового випадку для існування інваріантних торів як незбуреної, так і збуреної систем, необхідно накладати умову ортогональності на 1-форму (багатозначний гамільтоніан) як незбуреної, так і збуреної системи.

Доведена теорема дозволила встановити існування 3-вимірних коізотропних інваріантних торів у чотиривимірному фазовому просторі лагранжевої системи, яка описує рух електрона на двовимірному торі під впливом електромагнітного поля. О.І. Богоявленський показав, що фазовий простір зазначеної системи розшаровується тривимірними інваріантними торами лише в граничному випадку, одержаному після спрямування до нуля відношення меншого до більшого радіусів тороїдальної камери. Проблему існування інваріантних торів, коли зазначене відношення радіусів досить мале, але не нульове, зведено до виродженого випадку КАМ-теорії в його коізотропному і локально гамільтоновому варіанті.

Аналогічний варіант виродженого випадку КАМ-теорії має місце і при дослідженні околу квазістаціонарного положення локально гамільтонової системи, одержаної внаслідок одночасної деформації симплектичної структури і збуренні локально гамільтоновим векторним полем системи, інтегровної за Ліувіллем. Вивчено випадки, коли внаслідок такого деформування змінні дії p, асоційовані з незбуреною системою, перестають комутувати, так, що їхня матриця дужки Пуассона має вигляд {p,p}=mC і в першому випадку матриця C вироджена, а в другому - невироджена. Встановлено, що при зміщенні параметра збурення від нульового значення від тора T незбуреної системи, який відповідає квазістаціонарному положенню еліптичного типу, відгалужується канторова множина коізотропних інваріантних торів. Ця множина майже повністю (в сенсі міри Лебега) заповнює деяку відкриту область, розташовану в околі тора. У випадку виродженої матриці C квазістаціонарні положення утворюють многовид розмірності k>0. У випадку ж невиродженої матриці C квазістаціонарні положення ізольовані.

Слід відзначити, що для глобально гамільтонових систем (b=0) за умови невиродженості матриці C описаний ефект виникнення канторової множини коізотропних інваріантних торів принципово неможливий.

В останньому розділі доведено теорему про існування квазіперіодичних рухів на інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних. Ця теорема охоплює як вироджені випадки, так і невироджені випадки і дозволяє уніфікувати аналіз ситуацій, які виникають в теорії збурень інваріантних торів.

За допомогою цієї теореми досліджено задачу про збурення цілком інтегровної гамільтонової системи локально гамільтоновим векторним полем при одночасній деформації симплектичної структури. Така деформація породжує ненульову матрицю дужок Пуассона змінних дії. Результати про біфуркацію інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях розповсюджено на випадок, нееліптичного квазістаціонарного положення.

В останньому підрозділі розглянута задача про збурення умовно інтегровних локально гамільтонових систем. Показано, що за певних умов на незбурену умовно інтегровну систему при малих збуреннях одержана збурена система має інваріантний (центральний) многовид. На цьому інваріантному многовиді система, індукована вихідною збуреною системою, також є локально гамільтоновою. Ця індукована система має інваріантні тори, які несуть на собі квазіперіодичні рухи, що вдалося встановити методами КАМ-теорії з використанням з методу згладжування, запропонованого Ю. Мозером, у поєднанні з методом штучних параметрів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Ловейкін Ю.В. Загальна КАМ-теорема для коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Вісн. Київ. ун-ту. Математика. Механіка. - 2004. - Вип. 11. - С. 53-58.

2. Ловейкін Ю.В. Теорема про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем та її застосування / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Нелінійні коливання. - 2005. - Т. 8, № 4. - С. 490-515.

3. Ловейкін Ю.В. Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Нелінійні коливання. - 2006. - Т. 9, № 2. - С. 221-232.

4. Ловейкін Ю.В. Інваріантні тори локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Укр. Мат. Журн. - 2007. - Т. 59, № 1. - С. 71-98.

5. Ловейкін Ю.В. Збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегровних локально гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В. // Математичний вісник НТШ. - 2007. - Т. 4. - С. 177-192.

6. Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. Про одне узагальнення КАМ-теореми для коізотропних інваріантних торів гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - К.: Задруга. - 2004. - С. 162.

7. Ловейкін Ю.В. Про існування квазіперіодичних траєкторій локально гамільтонових систем / Ловейкін Ю.В. // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача. - Львів. - 2005. - С. 296-297.

8. Ловейкін Ю.В. Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях систем, інтегровних за Ліувіллем / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка ''Диференціальні рівняння та їх застосування''. - Київ. - 2005. - С. 60.

9. Ловейкін Ю.В. Про біфуркацію коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - К.: Задруга. - 2006. - С. 182.

10. Ловейкін Ю.В. Про біфуркацію коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем у нееліптичному випадку / Ловейкін Ю.В., Парасюк І.О. // Математична наукова конференція ''Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування''. - К.: Вид-во Інституту математики НАН України. - 2006. - С. 62-63.

11. Ловейкін Ю.В. Про збурення інваріантних торів умовно інтегровних локально гамільтонових систем на центральних многовидах / Ловейкін Ю.В. // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. - Львів. - 2007. - С. 168.

Размещено на Allbest.ru

...