Двосторонні методи дослідження крайових задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

двосторонні методи дослідження крайових задач

01.01.02 - диференціальні рівняння

питьовка оксана юріївна

Київ-2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики Ужгородського національного університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Маринець Василь Васильович

Ужгородський національний університет,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Бойчук Олександр Андрійович

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бігун Ярослав Йосипович

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

завідувач кафедри прикладної математики

Захист відбудеться “18“ травня 2009 року о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26 001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, просп. акад.. Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “ 16 “ квітня 2009 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Різні процеси та проблеми теорії автоматичного регулювання, телемеханіки та електротехніки, автоматики, біології, медицини, економіки, тощо описуються за допомогою диференціальних, інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь.

Оскільки більшість диференціальних рівнянь точно проінтегрувати неможливо, то актуальним постає питання знаходження їх наближеного розв'язку. У зв'язку з цим, наближені методи дослідження задач теорії диференціальних рівнянь, в тому числі конструктивні, складають важливий розділ сучасного прикладного аналізу. До конструктивних методів належить і двосторонній метод, ідею якого ще в 1919 році запропонував академік С.О.Чаплигін.

Незважаючи на багаточисельну кількість наукових публікацій, в яких узагальнюються ідеї С.О.Чаплигіна та його послідовників, у даній проблематиці існує ще багато нерозв'язаних проблем. Зокрема це стосується побудови нових модифікацій двостороннього методу і їх застосування до дослідження крайових задач з відхиляючим аргументом та задач, які містять параметри в крайових умовах.

У дисертаційній роботі побудовані нові конструктивні модифікації двостороннього методу для дослідження двоточкових та багатоточкових крайових зaдач та задач з параметрами в крайових умовах у випадку систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках наукової тематики кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики УжНУ і пов'язана з держбюджетною темою "Зображення скінчених груп над комутативними кільцями та їх застосування. Конструктивні методи дослідження задач теорії диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь", що виконувалася на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики УжНУ (номер державної реєстрації №650 ДР - 0107У001184).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка нових модифікацій двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових та багатоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом і задач з параметрами в крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку, а також дослідження деяких проблем їх якісної теорії (існування, єдиності та знакосталості їх розв'язків, тощо).

Об'єктом дослідження є двоточкові та багатоточкові крайові задачі для систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом та крайові задачі з параметрами у крайових умовах.

Предметом дослідження є питання існування, єдиності та якісної оцінки розв'язків крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом та крайових задач з параметрами у крайових умовах, знаходження їх наближеного розв'язку, а також встановлення достатніх умов збіжності побудованих двосторонніх наближень до точного розв'язку розглядуваної задачі.

Методика дослідження ґрунтується на ідеях двостороннього методу, запропонованого академіком С.О.Чаплигіним та на побудованих нових його модифікаціях.

Наукова новизна одержаних результатів.

Запропоновано нову конструктивну модифікацію двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом, доведено існування та єдиність їх розв'язку, встановлено достатні умови існування знакосталих розв'язків розглядуваних задач, вказано на один підхід прискорення збіжності двостороннього методу.

Розроблено метод побудови двосторонніх наближень до розв'язку багатоточкової крайової задачі Валле-Пуссена, доведено існування та єдиність її розв'язку, отримано достатню умову рівномірної та абсолютної збіжності побудованих послідовностей вектор-функцій до єдиного розв'язку досліджуваної задачі.

За допомогою побудованих модифікацій двостороннього методу дослід-жено задачі з параметрами у крайових умовах для випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Приведено один підхід прискорення збіжності побудованих двосторонніх методів, встановлено достатні умови рівномірної їх збіжності до єдиного розв'язку досліджуваних задач.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Отримані в дисертаційній роботі результати носять теоретичний і практичний характер, вони узагальнюють та доповнюють деякі попередні дослідження в якісній теорії крайових задач та теорії конструктивних методів. Запропоновані алгоритми можуть бути застосовані до розв'язання прикладних задач науки і техніки, математичними моделями яких є нелінійні крайові задачі.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації є новими і належать автору. З 13 публікацій, що відображають зміст дисертації, 8 написані у співавторстві. Науковому керівнику Маринцю В.В. належить постановка задачі, пропозиції щодо методів дослідження та обговорення одержаних результатів. У дисертацію включено та на захист виносяться лише результати, отримані автором самостійно.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

VI Міжнародному симпозіумі «Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій» (м. Ужгород, 24-27 травня 2005р.);

Міжнародній конференції, присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м.Київ, 6-9 червня 2005 р.);

Міжнародній конференції «Питання оптимізації обчислень (ПОО - ХХХІІ)», присвяченій пам'яті академіка В.С.Михалевича (Україна, Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 19-23 вересня 2005 р.);

Міжнародній конференції «Consructive methods for non-linear boundary value problems» (Угорщина, м. Шарошпатак, 7-10 червня 2006р.) ;

Міжнародній науковій конференції «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування» (м.Ужгород, 18-23 вересня 2006р.)

XII Міжнародній науково-практичній конференції «ХХІ століття: Наука. Технологія. Освіта.» (м. Мукачево, 31 травня-1 червня 2007р.);

Міжнародній науковій конференції «Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування» (м. Мелітополь, 16-21 червня 2008 р.);

засіданні наукового семінару кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ, 20 листопада 2008 р.);

засіданнях наукового семінару кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики Ужгородського національного університету (м. Ужгород, 2002 - 2008 рр.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано вісім статей, серед яких [1]-[4] у провідних фахових періодичних наукових журналах та п'ять праць [9]-[13] у збірниках тез Міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, загальних висновків і списку використаних літературних джерел, який нараховує 113 найменувань. Основний зміст роботи викладено на 120 сторінках, вона містить 7 таблиць та 8 графіків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету та задачі дослідження, висвітлено наукову новизну та практичну значущість одержаних результатів, наведено інформацію про апробацію роботи, вказано особистий внесок здобувача, коротко викладено зміст роботи за розділами.

У першому розділі проведено огляд літератури та аналіз суті проблем за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями.

Другий розділ присвячено дослідженню нового методу побудови двосторонніх наближень до розв'язку двоточкової крайової задачі у випадку системи квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом.

Так в підрозділах 2.1., 2.2. досліджується крайова задача

(1)

де - диференціальний оператор, породжений диференціальним виразом

(2)

і крайовими умовами

(3)

а - вектори-стовпці,

,,

, , , , -

операторні функції (матриці), неперервні при , причому на цьому відрізку, і - фіксовані лінійні оператори в дійсному просторі .

Відхилення - відомі неперервні функції на відрізку , які визначають початкові множини

Позначимо , і припустимо, що

(4)

причому задані вектори і задовольняють умови

(5)

Досліджується задача: в просторі вектор-функцій

знайти розв'язок системи диференціальних рівнянь (1), який задовольняє умови (3) - (5).

Вважається, що , - замкнута область, проекція якої на вісь Ох є відрізок , а однорідна крайова задача має тільки тривіальний розв'язок при .

Крайову задачу (1) - (5) можна подати в еквівалентній інтегральній формі

 (6)

де , , - функція ґріна оператора і при

(7)

Означення 2.1.1. Права частина (1) , якщо вона задовольняє наступні умови:

1. ;

2. існує така вектор-функція

, , що:

а)

б) для довільних з простору вектор-функцій , які задовольняють нерівності



виконується умова

(8)

c) вектор-функція задовольняє в області її визначення умову Ліпшіця з матрицею , тобто виконується умова

Тут і надалі і нерівність між векторами розуміємо покомпонентно.

Будуються послідовності вектор-функцій і згідно формул

(9)

де ,

,

- вектори,

а за нульове наближення та вибираємо довільні вектор-функції з простору , які в області задовольняють умови

(10)

Має місце наступна лема.

Лема 2.2.1. В просторі множина вектор-функцій нульового наближення , , які задовольняють умови (3), непорожня.

Нехай при

(11)

де

а , .

Тоді справедлива

Теорема 2.2.1. Нехай і в області існують вектор-функції нульового наближення , які задовольняють умови (10).

Тоді послідовності вектор-функцій і , побудовані згідно формул (9), при виконанні умов , та (11), збігаються абсолютно і рівномірно до єдиного розв'язку крайової задачі (1) - (5), причому в області справедливі нерівності

 (12)

Зауваження 2.2.1. Вектор-функції та не задовольняють усі крайові умови (3). Тому за -ше наближення приймаємо функцію , яка задовольняє всі крайові умови (3).

Теорема 2.2.2. Нехай у крайовій задачі (1) вектор-функція і в області існує така вектор-функція , яка задовольняє умови (3) - (5), що

Тоді розв'язок задачі (1) - (5) в області при виконанні умови задовольняють нерівності

Наслідок 2.2.1. Якщо права частина (1) задовольняє умовам теорми 2.2.2. і , то для того, щоб розв'язок крайової задачі при задовольняв нерівності , достатньо виконання умов .

Зауваження 2.2.2. Якщо в області вектор-функція і , то для побудови двосторонніх наближень до розв'язку крайової задачі (1) - (5) достатньо побудувати одну послідовність вектор-функцій згідно закону

де за нульове наближення вибирається вектор-функція , яка задовольняє умови

Таким чином, при побудові двосторонніх наближень до шуканого розв'язку задачі (1), кількість операцій скорочується у два рази.

У підрозділі 2.3 розглянуто один підхід до прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу.

Нехай в області вектор-функція і .

Тоді послідовність вектор-функцій побудовано згідно закону

(13)

де , , ; ,

- матриці з довільними сталими невід'ємними елементами, які задовольняють умови

 (14)

За нульове наближення вибирається довільна вектор-функція з простору , яка в області задовольняє умови

(15)

Нехай

(16)

де

Показано, що якщо на кожному кроці ітераційного процесу (13) - (16) елементи матриць вибирати таким чином, щоб виконувались умови

(17)

то в справедливі нерівності

(18)

Має місце наступне твердження

Теорема 2.3.1. Нехай вектор-функція і , а . В області існує вектор-функція нульового наближення , яка задовольняє умови (15).

Тоді послідовність вектор-функцій , побудована згідно закону (13), (14), (17), при виконанні умов (16) та , де , збігається абсолютно і рівномірно до єдиного розв'язку крайової задачі (1) - (5), причому в області справедливими є нерівності

(19)

У третьому розділі проводиться дослідження чотириточкової крайової задачі Валле-Пуссена у випадку системи диференціальних рівнянь четвертого порядку із відхиляючим аргументом.

Зокрема у підрозділі 3.1 розглядається задача: в просторі вектор-функцій знайти розв'язок системи диференціальних рівнянь

(20)

який задовольняє умови

 (21)

де ,

, , , - вектори.

Відхилення , - відомі неперервні функції на відрізку , які визначають початкові множини

Нехай та

(22)

де - відомі з простору та відповідно вектор-функції, які задовольняють умови

Вважаємо, що , - замкнута область, проекція якої на вісь є відрізок . Оскільки відповідна однорідна крайова задача має тільки тривіальний розв'язок при , то існує єдина функція Гріна , за допомогою якої задачу (20) - (21) можна подати у вигляді:

 (23)

де ,

,

і при

(24)

Означення 3.1.1. Права частина задачі (20) , де - простір вектор-функцій, які задовольняють наступні умови:

1. ;

2. існує така вектор-функція , що

а)

б) для довільних з простору вектор-функцій , які задовольняють нерівності

виконується умова

c) вектор-функція задовольняє в області її визначення умову Ліпшіця з матрицею , тобто для всяких вектор-функцій виконується умова



У підрозділі 3.2. згідно закону

(25)

побудовано послідовності вектор-функцій та . За нульове наближення та вибираються довільні вектор-функції із простору , які задовольняють умови (21), (22) і

(26)

(27)

Означення 3.2.1. Вектор-функції , які задовольняють умови (21), (22), (26), називаємо вектор-функціями порівняння задачі
(20) - (21).

Лема 3.2.1. У просторі вектор-функцій множина вектор-функцій порівняння задачі (20) - (21), які задовольняють умови (27), непорожня.

Нехай при виконуються нерівності

(28)

де

Доведена наступна теорема.

Теорема 3.2.1. Нехай і в області існують вектор-функції порівняння задачі (20) - (21) та , які задовольняють умови (27).

Тоді послідовності вектор-функцій та , побудовані згідно закону (25), при виконанні умов (28) та , , збігаються абсолютно і рівномірно до єдиного розв'язку задачі (20) - (21), причому в області справедливими є нерівності

(29)

У четвертому розділі за допомогою побудованих модифікацій двостороннього методу досліджується задача з параметрами у лінійних крайових умовах для системи диференціальних рівнянь другого порядку.

У підрозділі 4.1. проводиться дослідження крайової задачі

(30)

де - диференціальний оператор, породжений диференціальним виразом та крайовими умовами

(31)

,

, , , , - вектори-стовпці, , , , - матриці, - задані сталі, - шукані параметри, - символ Кронекера.

Вектор-функція визначена і неперервна в замкнутій області із значеннями в ,

Під розв'язком крайової задачі (30) розуміємо пару векторів , де - вектор-стовпець, , - задані сталі, , вектор-фун-кція належить просторові , є розв'язком рівняння

(32)

і разом із шуканим вектором задовольняє крайові умови (31).

Означення 4.1.1. Права частина задачі (30) , тобто вона задовольняє наступні умови:

1. ;

2. існує така вектор-функція , , що

а) ;

б) для довільних з простору вектор-функцій , які задовольняють умови

виконується нерівність

;

с) вектор-функція задовольняє в області її визначення умову Ліпшіця з матрицею , тобто для всяких вектор-функцій , які належать області , виконується умова

Розглядається випадок, коли матриця є невироджена, а елементи векторів та відмінні від нуля. Тоді інтегрування крайової задачі (30), (31) зводиться до розв'язання рівнянь

, (33)

(34)

де - вектор,

- матриці,

,

,

, - вектор,

,

, ,

 - матриці, .

Надалі використовуються позначення

(35)

де (36)

Не зменшуючи загальності міркувань, вважаємо, що , , .

У наступних підрозділах досліджується задача (30), (31) при різних нерозділених крайових умовах.

Так у підрозділі 4.2. розглядаються умови

(37)

де - нульова матриця.

Очевидно, що , а отже,

(38)

Послідовності вектор-функцій та будуємо згідно формул

 (39)

- довільні невід'ємні з простору функції для всіх і , а нульове наближення в просторі вектор-функцій вибираємо таким чином, щоб при виконувались нерівності

(40)

Нехай

(41)

Справедливі теореми.

Теорема 4.2.1. Нехай права частина рівняння (32) і в області існують вектор-функції нульового наближення , які задовольняють умови (40).

Якщо то послідовності вектор-функцій , , побудовані згідно закону (39) - (41) та

(42)

при виконанні умови збігаються абсолютно і рівномірно в області до єдиного в просторі розв'язку рівняння (33) і мають місце нерівності

(43)

а збіжність методу (39) - (42) не повільніша збіжності методу Пікара.

Теорема 4.2.2. Нехай і виконуються умови (37), а - -ве двостороннє наближення до розв'язку рівняння (33), яке визначається згідно (39) - (42) і задовольняє нерівності (43).

Тоді при виконанні умови двосторонні наближення до шуканого параметру визначаються згідно формул

(44)

і при задовольняють нерівності

(45)

У цьому ж підрозділі досліджується задача при виконанні умов

(46)

У підрозділі 4.3. приведено одну швидкозбіжну модифікацію двостороннього методу наближеного інтегрування задачі (30) - (32), коли

 (47)

Тоді очевидно, що і , .

Побудуємо послідовності вектор-функцій та згідно закону

(48)

де - матриці, визначені в підрозділі 4.2.; , - матриці з довільними сталими невід'ємними елементами, які задовольняють умови

(49)

(50)

Очевидно, що функції та задовольняють умови (38).

В просторі вектор-функції нульового наближення вибираємо таким чином, щоб при і , виконувались нерівності (40).

Доведено, що якщо на кожному кроці ітерації (48) - (50), (41) елементи матриць та вибирати таким чином, щоб в області виконувались умови

 (51)

то при для довільного справедливі нерівності (43).

Оскільки , при , то двосторонні наближення до шуканого параметру визначаємо згідно закону

(52)

і при справедливими є нерівності (45).

Теорема 4.2.3. Нехай права частина рівняння (32) , виконуються умови (47) і , де , , а в області існують вектор-функції нульового наближення , які задовольняють нерівності (40).

Тоді -вим наближенням до розв'язку задачі (30) - (32) є пара , де , , а вектор-функції та є двосторонніми наближеннями до єдиного розв'язку рівняння (33), які визначаються згідно (48) - (50), (41), (51) і задовольняють нерівності (43); - -ве двостороннє наближення до шуканого параметру , яке визначається згідно (52) і задовольняє нерівності (45).

Задача (30) - (32) досліджується і при виконанні умов

(53)

(54)

(55)

У кінці кожного розділу приведено приклади ілюстративного характеру та зроблено висновки.

Користуючись нагодою, автор дисертації висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Василю Васильовичу Маринцю за постановку розглянутих в дисертації наукових проблем, постійну увагу, цінні поради та підтримку в роботі.

висновки

Отримані в дисертаційній роботі наукові результати в теорії крайових задач доповнюють раніше відомі.

Провідною ідеєю дисертаційної роботи є розробка конструктивних модифікацій двостороннього методу, за допомогою яких проводиться дослідження двоточкових та багатоточкових крайових задач, а також задач з параметрами у крайових умовах.

Отримані такі основні результати.

Запропоновано нову модифікацію методу побудови двосторонніх наближень до розв'язку двоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. Встановлено достатні умови існування та знакосталості їх розв'язків, вказано на один підхід прискорення збіжності побудованого двостороннього методу.

В порівнянні з раніше відомими результатами, в даному напрямку значно розширено клас двоточкових крайових задач, до яких може бути застосована розроблена модифікація двостороннього методу.

Побудовано двосторонній метод дослідження та наближеного інтегрування багатоточкової крайової задачі Валле-Пуссена, отримано достатню умову існування та єдиності її розв'язку, доведено теорему про диференціальні нерівності і дано практичний метод побудови вектор-функцій нульового наближення.

Для дослідження і наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу, вказано на один підхід прискорення їх збіжності.

Встановлено достатні умови існування та єдиності розв'язку досліджуваних задач при різних крайових умовах, доведено теореми про диференціальні нерівності.

Теоретичні викладки апробовано на модельних задачах.

Результати виконаних досліджень можна використовувати для розв'язання конкретних прикладних задач, математичними моделями яких служать нелінійні крайові задачі.

список опублікованих праць

Маринець, В. В. Про один підхід дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю Питьовка // Нелінійні коливання. - 2008. - Т. 11, № 3. - С. 348-364.

Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами в крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2006. - Вип. 12-13. - С. 92-98.

Питьовка, О. Ю. Про один підхід прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу [Текст] / О. Ю. Питьовка // Наук. Віс-ник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2008. - Вип. 16. - С. 135-145.

Pytovka, O. A modified two-sided approximation method for a four-point Vallee-Poussin type problem [Text] / O. Pytovka // Miskolc Mathematical Notes - 2008 - Vol. 9, № 2. - P. 137-146.

Маринець, В. В. Про один підхід дослідження двоточкових крайових задач [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2002. - Вип. 7. - С. 69-75.

Маринець, В. В. Двосторонній метод наближеного інтегрування крайових задач з параметром [Текст] / В. В. Маринець, Т. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2004. - Вип. 9. - С. 32-44.

Маринець, В. В. Про одну задачу з параметром в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. - 2005. - Вип. 10-11. - С. 70-76.

Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод наближеного інтегрування крайових задач з параметрами в крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // Науковий вісник Мукачівського технологічного інституту. - 2006. - № 2. - С. 23-31.

Маринець, В. В. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. наук. конф. «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування», (18-23 вересня 2006 р., Ужгород) : Тез. доп. - Ін-т математики НАН України, 2006. - С. 68-69.

Маринець, В. В. Прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування», (16-21 червня 2008р., Мелітополь) : Тез. доп. - Мелітополь, 2008. - С. 78-79.

Маринець, В. В. Про одну задачу з параметрами в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Праці міжнар. конф. «Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІ)», присвяченої пам'яті академіка В.С.Михалевича, (19-23 вересня 2005 р., смт.Кацивелі Крим) - К., Інститут імені В. М. Глушкова НАН України, 2005. - С. 139.

Маринець, В. В. Про одну задачу з параметром в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. конф., присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, (6-9 червня 2005 р.) : Тез. доп. - К., 2005. - С. 67.

Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // ХІІ Міжнар. науково-практ. конф. «ХХІ століття: Наука. Технологія. Освіта.», (31 травня-1 червня 2007 р., Мукачево) : Тез. доп. - Мукачево, 2007. - С. 389-390.

анотація

диференціальний інтегрування квазілінійний двоточковий

Питьовка О.Ю. Двосторонні методи дослідження крайових задач. - Рукопис. Дисертація на здобуття ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02. - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Робота присвячена розробці нових конструктивних модифікацій двостороннього методу дослідження двоточкових, багатоточкових крайових задач та задач з параметрами в крайових умовах у випадку систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Запропоновано нову конструктивну модифікацію двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових та багатоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. Встановлено достатні умови існування та єдиності їх розв'язків, доведено теореми про диференціальні нерівності.

У роботі також побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу для дослідження та наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку, вказано на один підхід прискорення їх збіжності.

Ключові слова: двосторонній альтернуючий метод, двосторонній монотонний метод, двоточкова крайова задача, задача Валле-Пуссена, крайова задача з параметрами, диференціальні нерівності, система квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом.

аннотация

Питёвка О.Ю. Двусторонние методы исследования краевых задач. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02. - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009.

Разные процессы и проблемы теории автоматического регулирования, телемеханики, электротехники, автоматики, теоретической кибернетики, биологии, медицины, экономики можно описать с помощью дифференциальных, интегральных та интегро-дифференциальных уравнений.

Поскольку большинство из них точно проинтегрировать невозможно, то актуальным становится вопрос о нахождении их приближенного решения. В связи с этим приближенные методы исследования задач теории дифференциальных уравнений, в том числе и конструктивные, составляют важный раздел современного прикладного анализа. К конструктивным методам принадлежит и двусторонний метод, идею которого предложил академик С.А. Чаплыгин еще в 1919 году.

Несмотря на большое количество работ, в которых обобщаются идеи С.А.Чаплыгина и его последователей, в данном направлении существует еще много нерешенных проблем. Важным вопросом является построение новых модификаций двустороннего метода, с помощью которых проводится исследование краевых задач с отклоняющимся аргументом и задач с параметрами в краевых условиях для систем квазилинейных дифференциальных уравнений.

Результаты, полученные в диссертационной работе, дополняют совокупность конструктивных методов исследования этого класса задач.

В работе рассматривается новая модификация построения двусторонних приближений к решению двухточечной краевой задачи на случай систем квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Установлены достаточные условия существования и единственности их решений, доказаны теоремы о дифференциальных неравенствах.

Также разработан метод построения двусторонних приближений к решению многоточечной краевой задачи Валле-Пуссена, доказано существование и единственность ее решения, получены условия абсолютной и равномерной сходимости построенных последовательностей вектор-функций к единственному решению исследуемой задачи.

Для исследования и приближенного интегрирования задач с параметрами в неразделенных двухточечных краевых условиях на случай системы квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка построены и обоснованы новые модификации монотонного двустороннего метода, указано на один подход ускорения их сходимости. Установлены достаточные условия существования и единственности их решений при разных краевых условиях.

Теоретические разработки проиллюстрировано на примерах.

Результаты проведенных исследований могут быть использованы для решения конкретных прикладных задач, математическими моделями которых являются нелинейные краевые задачи.

Ключевые слова: двусторонний альтернирующий метод, двусторонний монотонный метод, двухточечная краевая задача, задача Валле-Пуссена, краевая задача с параметрами, дифференциальные неравенства, система квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

abstract

Pytovka O. Two-sided method investigation of the boundary-value problems -Manuskript. The thesis for obtaining the Candidate's of Physical and Mathematical Sciences degree by specialty 01.01.02 - Differential Equations. Kyiv Taras Shevchenko National University, Kyiv, 2009.

This work is devoted to elaboration of new structural modifications of the two-sided method of investigation of the two-point and multipoint boundary-value problems as well as problems with parameters in boundary conditions in the case of systems of nonlinear differential equations. New modification of the method of construction of two-sided approximations to solution of two-sided boundary-value problems and multi-point boundary-value problem of the de la Vallee-Poussin type in the case of systems of quasilinear differential equations with the argument deviation is proposed in the work. Sufficient conditions of existence and identity of their solutions are established.

New modifications of the two-sided monotonic method for investigation and approximate integration of problems with parameters in undivided two-sided boundary conditions in the case of systems of quasilinear second-order differential equations are constructed and proved. An approach to acceleration of their convergence is presented.

Key words: two-sided alternative method, two-sided monotonic method, two-point boundary-value problem, problem of de la Vallee-Poussin's type, boundary-value problem with parameters, differential equations, system of quasilinear differential equations with the argument deviation.

Размещено на Allbest.ru

...