Дослідження стійкості і стабілізація імпульсних динамічних систем випадкової структури із скінченною післядією

Размещено на http://www.allbest.ru/

Чернівецький національний університет імені

Юрія Федьковича

Мусурівський Віктор Іванович

УДК 517.929

ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ І СТАБІЛІЗАЦІЯ МОДЕЛЕЙ ІМПУЛЬСНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ВИПАДКОВОЇ СТРУКТУРИ ІЗ СКІНЧЕННОЮ ПІСЛЯДІЄЮ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЧЕРНІВЦІ - 2009

ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана на кафедрі математичної і прикладної статистики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Ясинський Володимир Кирилович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри математичної і прикладної статистики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Мазко Олексій Григорович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем.

кандидат фізико-математичних наук, доцент Джалладова Ірада Агаверді-кизи, Київський національний економічний університет імені В. Гетьмана, доцент кафедри вищої математики.

Захист відбудеться «25» вересня 2009 р. о 14⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої Вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: м. Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича за адресою: м. Чернівці, вул. Лесі Українки, 23.

Автореферат розісланий 17 серпня 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бігун Я.Й.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В сучасній математичній науці надзвичайно вагоме місце належить проблемі дослідження математичних моделей, які описують керовані динамічні системи. Створення якісної теорії динамічних систем, в свою чергу, неможливе без ґрунтовного дослідження стійкості розв'язків таких керованих систем. Якісна теорія стійкості стала надзвичайно дійовим інструментом при відповіді на питання стійкості чи нестійкості розв'язків досліджуваної системи, асимптотичної стійкості чи нестійкості та питання стійкості в цілому, чому присвячені монографії Ляпунова О.М., Четаєва М.Г., Красовського М.М., Коренівського Д.Г., Слюсарчука В.Ю., Хусаїнова Д.Я. та інші роботи. Вплив марковських збурень на стійкість імпульсних динамічних систем можна знайти в монографіях Королюка В.С., Скорохода А.В., Колмановського В.Б., Шайхета Л.Ю., Хасьмінського Р.З., Каца І.Я.

Можливість врахування в диференціальних рівняннях імпульсних збурень систематично викладена в монографії Самойленка А.М., Перестюка М.О., а також дана ситуація предметно вивчена для різницевих рівнянь у монографії Царькова Є.Ф., Свердана М.Л.. Основні роботи, що присвячені оптимальній стабілізації для детермінованих систем звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь із післядією, належать Лєтову А.М. й Красовскому М.М., Колмановському В.Б. й Носову В.Р., Кириченко М.Ф. та іншим вченим. Метод розв'язання задач оптимальної стабілізації ґрунтується на безпосередньому зв'язку між методом функціоналів Ляпунова_Красовського і методом динамічного програмування Беллмана, що стало основою теорії аналітичного конструювання регуляторів Красовського_Лєтова для детермінованих систем. Одночасно Красовським М.М. і Кацем І.Я. обґрунтований метод функцій Ляпунова дослідження стійкості стохастичних систем із марковськими параметрами. Вищезгадані напрямки досліджень дали можливість побудувати загальну теорію оптимального управління для стохастичних систем без післядії в роботах Красовського М.М., Лідського Ю.А. Принципово новим моментом стало запропоноване Кацем І.Я. припущення про розриви фазових траєкторій динамічних систем у випадкові моменти часу, у результаті яких здійснюються внутрішні зміни структури системи за законами марковських ланцюгів.

Неперервний аспект теорії оптимального управління--принцип максимуму для об'єктів, які описуються звичайними диференціальними рівняннями, ґрунтовно охарактеризований монографією Понтрягіна Л.С., Болтянського В.Г., Гамкрелідзе Р.В., Міщенко В.Ф., а також роботами Габасова Р., Кирилової Ф.М. . Для принципу максимуму було запропоновано багато цікавих застосувань в роботах Александрова А.Г., Раскіна Л.Г., Гаращенка Ф.Г.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до плану наукових досліджень кафедри математичної і прикладної статистики факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича в рамках науково-дослідних тем:

1. «Оптимальне керування диференціально-функціональними системами та інтегро-функціональними системами Іто_Скорохода»--номер державного реєстру 0103U002594.

2. «Cтійкість та стабілізація керованих стохастичних диференціально-функціональних систем з імпульсними марковськими збуреннями і параметрами»--номер державного реєстру 0107U001247.

Мета і завдання досліджень.

Розробка якісної теорії стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, стабілізація таких динамічних систем до режиму стійкості за ймовірністю в цілому під дією керування за мінімізацією критерію якості для перехідного процесу, використання математичної теорії оптимального управління та розробка програмного забезпечення для типових математичних моделей керованих динамічних систем.

Поставлена мета зумовлює розв'язання наступних задач:

- розробка якісної теорії асимптотичної стохастичної стійкості в цілому та асимптотичної p-стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

- розробка якісної теорії оптимальної стабілізації імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

- доведення достатніх умов оптимальності задачі управління динамічними системами із скінченною післядією;

- використання принципу максимуму Понтрягіна для управління математичною моделлю динамічної тралової системи та проектування програмних модулів для типових керованих динамічних систем.

Об'єкт дослідження:

- моделі імпульсних динамічних систем із скінченною післядією та марковськими збуреннями (параметрами);

- моделі детермінованих керованих динамічних систем;

- модель динамічної тралової системи.

Предмет дослідження:

- другий метод Ляпунова_Красовського для імпульсних динамічних систем із скінченною післядією та марковськими збуреннями в поєднанні із принципом динамічного програмування;

- неперервний принцип максимуму для детермінованих динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

- досліджено та теоретично обґрунтовано коректність класу математичних моделей випадкової структури із скінченною післядією;

- доведено теореми асимптотичної стохастичної стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

- одержано теореми асимптотичної p-стійкості імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

- доведено теореми стабілізації імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

- сформульовано необхідні умови існування та єдиності розв'язку задачі Майера оптимального управління динамічними системами.

- одержано достатні умови оптимального управління динамічними системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

- зроблено повне дослідження математичної моделі динамічної тралової системи, а саме:

· визначено умови стійкості в цілому динамічної зв'язки «траулер_трал», зроблено оцінку параметрів;

· розв'язано задачу швидкодіючого наведення трала на косяк риби;

· розв'язано задачу оптимального управління при мінімальних витратах енергетичних ресурсів;

- спроектовано програмний продукт, який реалізує оптимальне управління динамічною траловою системою.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати із стійкості в цілому, оптимальної стабілізації можуть бути використані для моделей імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, із теорії оптимального управління можуть бути використані для оптимального керування фізичними об'єктами та технічними системами--динамічними системами, що функціонують у зв'язці. Створені програмні модулі можна використати для програмного керування таких динамічних систем. Математична модель динамічної тралової системи--зв'язка «траулер_трал», може використовуватися як модельний приклад на заняттях із студентами у відповідних дисциплінах, які пов'язані із дослідженням операцій, для впровадження на підприємствах Міністерства водного господарства України.

Особистий внесок здобувача.

Науковому керівнику професору Ясинському В.К. [5]_[7], [10]_[12], [16] належать теоретична постановка задач, визначення методів та алгоритмічної схеми досліджень, обговорення результатів. Академіку Королюку В. С. [4], [6]_[7], [15] та доценту Юрченку І.В. [4] належать постановка задач, обговорення результатів. Академіку Альтшулю Б. А. [1]_[2] та доценту Марченко Юлії Іванівні [1]_[2] належать постановка задачі оптимального управління траулером, обговорення результатів. Доведення всіх результатів дисертації, що виносяться на захист, проведені автором самостійно.

Апробація результатів дисертації.

Матеріали дисертаційної роботи доповідалися на міжнародних наукових конференціях: «проблеми фінансово-економічного розвитку підприємництва та малого бізнесу» (м.Чернівці, БФЕІ, 17_19 квітня 2003 р.); «Комп'ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті» (м.Черкаси, ІСУЕП, 21_23 квітня 2003 р.); «Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології» (м.Чернівці, ЧФЮІ, 19_21 травня 2004 р.); «Системний аналіз та інформаційні технології SAIT-2007» (Національний технічний університет України «КПІ», 15_19 травня 2007 р.); «Комп'ютерні системи в автоматизації виробничих процесів» (Хмельницький національний університет, 17_19 травня 2007 р.); «Problems of decision making under uncertainties» (м.Чернівці, ЧНУ ім.. Ю.Федьковича, 21_25 травня 2007 р.); «Dynamical system modeling and stability investigation DSMSI-2007» (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 21_23 травня 2007 р.); «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (Одеський національний морський університет, 20_25 грудня 2007 р.); «Системний аналіз та інформаційні технології SAIT-2008» (Національний технічний університет України «КПІ», 20_24 травня 2008 р.); XII Міжнародна конференція ім. акад. М.Кравчука (Ін-т Математики НАН України, 15-17 травня 2008 р.); «Problems of decision making under uncertainties» (Рівненський національний університет, 12_17 травня 2008 р.).

Доповідалися на наукових семінарах: кафедри математичної і прикладної статистики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича--науковий керівник професор В.К.Ясинський (травень 2005 р., вересень 2006 р., листопад 2006 р., жовтень 2007 р.); кафедри моделювання складних систем факультету кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка--науковий керівник професор Д.Я.Хусаінов (вересень 2008 р., березень 2009 р.); відділу математичних методів дослідження операцій Інституту кібернетики НАН України імені В.М.Глушкова (січень 2008 р., лютий 2008 р.).

Публікації.

При виконанні дисертаційної роботи опубліковано двадцять одна робота:

· Дванадцять статей: ? сім робіт у фахових виданнях [1] _ [7] ;

§ п'ять робіт у наукових збірниках [8] _ [12] .

· Дев'ять тез доповідей на міжнародних конференціях [13] _ [21] .

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури із 93 назв та двох додатків, де приведено програмний продукт, і містить 176 сторінок.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, сформульовано мету, приведено основний зміст дисертаційної роботи за розділами із висвітленням найважливіших результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи зроблено огляд наукових публікацій із теорії стійкості та стабілізації динамічних систем, з математичної теорії оптимального управління.

У другому розділі для дослідження асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, асимптотичної p_стійкості в цілому динамічних систем із післядією з урахуванням марковських збурень використано апарат функціоналів Ляпунова_Красовського та поняття інфінітезимального оператора в силу системи. Нехай

--ймовірнісний базис; --феллерівський марковський процес із значеннями в метричному просторі з перехідною ймовірністю ; ,--феллерівський ланцюг Маркова зі значеннями в метричному просторі з перехідною ймовірністю на -ому кроці .

Нехай перехідний процес динамічної системи із скінченною післядією описується диференціально-функціональним рівнянням (ДФР)

. (1)

з імпульсними марковськими перемиканнями

, (2)

Де

,

і з початковою умовою

. (3)

Тут вектор

- відхилень дійсних значень координат регульованої m_вимірної величини від його незбуреного розв'язку

; , , ,

--простір Скорохода неперервних справа функцій, що мають лівосторонні границі. Величина

-r-вимірний керуючий вплив. Випадкова зміна структури динамічної системи викликається скалярним чисто розривним марковським процесом , що допускає розклад:

, (4)

,. (5)

Можна розглядати і простий марковський ланцюг із скінченним числом станів

і відомими параметрами

::

, . (6)

Припустимо, що вимірні за сукупністю змінних відображення, функціонали та , задовольняють за третім аргументом умові Ліпшіца :

, (7)

і умову

, (8)

рівномірно за аргументами ; ; , .

Означення 1. Випадковий процес

назвемо сильним розв'язком задачі Коші (1), (3) з імпульсним перемиканням (2), якщо погоджено з потоком -алгебр ; , задовольняє інтегральному рівнянню

(9)

для всіх

, , ,

при цьому

(10)

для всіх

і .

Задамо умовний закон розподілу початкового стану зміненої структури системи

, (10?)

де --умовна щільність заданого розподілу.

Єдине управління варто вибирати як мінімального значення функціоналу

, (11)

Означення 2. Управління , що задовольняє (11), назвемо оптимальним у розумінні оптимальної стабілізації сильного розв'язку (1)_(3).

Означення 3. Дискретний оператор Ляпунова на послідовності вимірних скалярних функцій , для ДФР (1) з імпульсним перемиканням (2) визначається співвідношенням

. (12)

Означення 4. Функціоналом Ляпунова-Красовского для системи випадкової структури (1), (2) назвемо послідовність невід'ємних функціоналів , якщо:

1) при всіх , ; , визначений вираз (12);

2) при

,

3) при

,

причому й неперервні й монотонні.

Доведено наступні твердження стійкості в цілому.

Теорема 1. Нехай: 1) ;

2) виконано умови Ліпшіца (7)_(8) ;

3) існують послідовності функціоналів Ляпунова-Красовского й , , такі, що в силу системи (1)_(3) . Тоді система випадкової структури (1)_(3) асимптотично стохастично стійка в цілому.

Теорема 2. Нехай виконані умови 1), 2) теореми 1, а в силу системи (1)_(3) для послідовності функціоналів Ляпунова-Красовского має місце нерівність для всіх , ; , , . Тоді імпульсна система (1)_(3) стійка за ймовірністю в цілому.

Теорема 3. Нехай виконані умови 1)_3) теореми 1, причому послідовність функціоналів Ляпунова_Красовского , , задовольняють нерівностям для деяких

, , (13)

при , й для всіх , ; , . Тоді імпульсна система (1)-(3) асимптотично -стійка в цілому.

Теорема 4. Нехай виконані всі умови теореми 1 і існує таке число , що , . Тоді імпульсна система (1)_(3) експоненціально -стійка в цілому.

Припустимо, що імпульсна система має вигляд

, (14)

, (15)

Означення 5. Назвемо імпульсну систему

, (16)

, (17)

системою першого наближення для (14)_(15).

Визначимо C-інфінітезимальний оператор рівністю

, .

Введемо інфінітезимальний оператор у силу (16) за третім аргументом

,

Введемо різницевий оператор, що пов'язаний з імпульсною дією (15)

.

Доведено теореми стійкості за першим наближенням для СДР (17) .

Теорема 5. Нехай: 1)

;

2) виконано умови на коефіцієнти системи (16)_(17) про існування розв'язку;

3) марковський процес стохастично неперервний;

4) існує такий невід'ємний функціонал , що

;

;

, ,

, , , , ,

тоді імпульсна система (16)_(17) стійка за ймовірністю в цілому.

Теорема 6. Нехай: I) здійсненно умови теореми 5;

II) існує число , що при всіх , , , дискретний недодатний оператор

.

Тоді імпульсна незбурена система (16)_(17) асимптотично стійка в цілому.

Теорема 7. Нехай: 1) для імпульсної незбуреної системи (16)_(17) існує функціонал Ляпунова такий, що

, ,

,

, ,, , , ;

2)

;

3) збурення й задовольняють рівномірно за умову Ліпшіца типу (8₁)

,

де -досить мале додатне число. Тоді збурена імпульсна система (14)_(15) експоненціально -стійка в цілому.

У третьому розділі визначені достатні умови оптимальної стабілізації імпульсних динамічних систем із післядією з урахуванням марковських збурень, використовуючи другий метод Ляпунова в поєднанні із принципом динамічного програмування.

Доведено основне твердження про оптимальну стабілізацію.

Теорема 8. Нехай для імпульсної динамічної системи із скінченною післядією (1)_(3) за умови стрибка (10?) :

1) існує додатно визначений функціонал за такий, що послідовність функціоналів

стабілізація динамічний система марковський

,

є функціоналами Ляпунова, і задана послідовність r-вимірних функцій_управлінь

, , , , , ,

причому , вимірні за всіма аргументами;

2) послідовність в області

, , , ,

допускає нескінченно малу верхню та нескінченно велику нижню межі;

3) послідовність функціоналів , за , за критерієм (13) є додатно визначеною для , ;

4) послідовність слабких інфінітезимальних операторів у силу системи (1) для , , що обчислені при

,

задовольняє умові

,

5) величина досягає мінімуму при

,

тобто

.

Тоді управління , , здійснює стабілізацію розв'язку задачі Коші (1), (3) з імпульсним збуренням (2) до асимптотичної стійкості за ймовірністю, причому виконується рівність

.

Якщо на ймовірнісному базисі задана керована лінійна стохастична система, що описується імпульсними диференціально-різницевими рівняннями із скінченною післядією для

, (18)

з імпульсними марковськими перемиканнями

, (19)

, ,

та з початковими умовами

; , . (20)

Нехай умова стрибка фазового вектора в момент зміни структури системи за рахунок переходу

в

є лінійною

, (21)

Де

_незалежні випадкові величини, , , _ _ матриці. Якість перехідного процесу оцінюється квадратичним функціоналом

, (22)

де , _ симетричні матриці розмірності й .

Оптимальний функціонал Ляпунова_Красовского шукається у вигляді

,

де , , додатно визначені симетричні матриці .

Нехай описує марковський ланцюг із скінченним числом станів , і , ,--феллерівський ланцюг Маркова із значеннями в метричному просторі із перехідною ймовірністю на k_ому кроці , уведемо позначення

, ,

, , .

Знайдено оптимальне управління при

,

Перемиканнях

,

: . (23)

Одержано систему матричних квадратних рівнянь для визначення шуканих матриць , , де, , , відповідає напіввідрізку :

. (24)

Теорема 9. Нехай система матричних квадратних рівнянь (24) має розв'язки, які є додатно визначеними матрицями порядку

, ,…, , , ,…, , , .

Тоді управління (23) надає розв'язок задачі про оптимальну стабілізацію системи ДРР (18)-(19) з умовами стрибка (20) і критерієм оптимальності (22), причому

, відповідають напіввідрізкам .

Якщо відкинути імпульсні перемикання (2), то матимемо твердження.

Теорема 10. Нехай система матричних квадратних рівнянь

,

має розв'язки, які задані додатно визначеними матрицями

, , … , ; , , … , .

Тоді управління

(25)

надає розв'язок задачі про оптимальну стабілізацію системи ДРР (18) із початковими умовами

; , (26)

з умовою стрибка (21) і критерієм оптимальності

,

Причому

.

Теорема 11. Нехай коефіцієнти , , системи ДРР (18) неперервні в області , і задані початкові умови (26), тоді оптимальний функціонал Ляпунова

визначається із наступного нелінійного інтегрального рівняння

,

а оптимальне управління при цьому має вигляд (25) .

Можливість алгоритмічного розв'язання задачі про оптимальну стабілізацію лінійних систем ДР (18),(20) при розкривається введенням малого параметра.

У четвертому розділі сформульована загальна постановка задачі оптимального управління для динамічних систем неперервного виду, зроблена класифікація задач оптимального управління, акцентовано увагу на необхідність використання універсального методу розв'язування--принципу максимуму Понтрягіна, сформульовано його для задачі Майера.

Нехай рух керованого об'єкта можна описати наступним диференціальним рівнянням

, (27)

де f(x,u,t)--деяка n-вимірна вектор-функція, визначена для будь-яких значень змінних x,u,t, неперервна за аргументами x,u, і разом з функцією кусково_неперервна за t, , , . (28)

Задаються крайові умови:

(29)

Необхідно при допомозі функції u(t) так скерувати рух системи, щоб перевести її із стану x₀ до стану x₁, мінімізуючи функціонал J(u), зокрема для задачі Майєра

. (30)

Постановка задачі. Необхідно знайти керування u(t) і траєкторію x(t), які задовольняють умовам (27)_(29) і надають мінімум функціоналу (30).

Сформулюємо принцип максимуму даної задачі.

Теорема 12. Для того, щоби керування u(t) і відповідна йому траєкторія x(t) були оптимальними, необхідно, щоб існувала ненульова, неперервна вектор_функція

ш(t)={ ш₀(t), ш₁(t), ш₂(t),…, ш_n(t)},

яка відповідає за u(t) і x(t) системі Гамільтона:

i=0,1,…,n, де

і при цьому виконувалися умови:

1. функція Гамільтона як функція аргументу u досягає максимуму в точці

u= u(t),

тобто

при t [t₀,t₁];

2. функція недодатня.

В підрозділі 4.4 одержано достатні умови оптимального управління динамічними системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Нехай на ймовірнісному базисі задана система диференціально-функціональних рівнянь із скінченною післядією

, (35)

з початковими умовами

, (36)

Де

, , ,

--простору кусково-неперервних функцій , , з нормою

;

Функціонал

: , ;

--керування

є функціоналом за другим аргументом, вимірним відносно борелевської _алгебри у просторі . Випадкова зміна структури динамічної системи (35) викликається шляхом введенння в функціонал скалярного чисто розривного марковського процесу , який допускає розклад (4), (5). Поряд розглянуто простий марковський ланцюг із скінченним числом станів і відомих параметрів

:

при розкладі (6).

Нехай --деяка функція на відрізку [] така, що функція

для і фіксованому . Розглянемо функціонал

, :

, . (37)

Через _позначено клас функціоналів , яким відповідна функція (37) .

Інфінітезимальним оператором в точці назвемо вираз

.

Лема 1. Нехай: 1) ; 2) -- інфінітезимальний оператор в силу системи ДФР (35) , визначений при з початковою умовою

.

Тоді для має місце рівність

.

Задача оптимального керування полягає в тому, що із множини допустимих керувань треба вибрати керування , що мінімізує функціонал

,

де , , --розв'язок задачі (35)-(36) на керуванні .

Лема 2. Нехай: 1) ; 2) , , виконується рівність

,

з крайовою умовою , --інфінітезимальний оператор в силу системи ДФР (35). Тоді функціонал можна вибрати у вигляді

,

де --розв'язок задачі (35)-(36) при з початковою умовою .

Теорема 13. (достатні умови оптимальності) Нехай:

1) існує функціонал ;

2) керування , яке задовольняє , умовам

,

, (38)

,

де --інфінітезимальний оператор в силу (35), --функція на така, що , . Тоді керування є оптимальним для критерію якості , причому , , маємо

.

Зауваження. Умову (38) записують у вигляді рівняння Беллмана

.

В підрозділі 4.5 зроблено постановку задачі оптимального управління динамічною траловою системою. Для математичного опису промислового рибальського траулера, припускаємо: нехай морське рибальське судно--траулер для лову риби використовує трал, який розглянуто з механічної точки зору: точка А-траулер, центр маси судна, точка D_трал, центр маси трала; точка А зв'язана із точкою D стержнем, тобто трал зчеплений із траулером стержнем.

Нехай точка А--траулер рухається прямолінійно із швидкістю u(t). Заданий фізичний об'єкт являє собою математичну модель--динамічну тралову систему і рівняння її руху--рівняння Лагранжа другого роду, у розумних припущеннях матимуть наступний вигляд:

(39)

Введемо заміну , покладемо . Після лінеаризації в околі стаціонарної точки , враховуючи істотно мале значення , матимемо:

(40)

Для (40) розв'язано:

І) Задачу оптимальної швидкодії із крайовими умовами:

та де t₀ = 0. (41)

На управління накладено наступні обмеження: 1 ? u ? 3,5 (42)

Необхідно мінімізувати функціонал

J=Т-t₀

за умовами (41)-(42). Знайдено управління

та траєкторію

де та мають відповідні вирази. Під дією знайденого управління здійснюється швидкодіюче наведення трала на косяк риби.

ІІ) Задача оптимальних витрат енергетичних ресурсів із крайовими умовами

Та

де t₀ = 0, Т = 2. На управління накладене обмеження (42), необхідно мінімізувати функціонал:

J =.

Знайдено оптимальні траєкторію та управління. Результат: під дією управлінь при мінімальних витратах енергетичних ресурсів здійснюється управління траулером як лінійним об'єктом.

Зроблено дослідження стійкості тралової системи:

1) При допомозі другого методу Ляпунова отримано умови стійкості в цілому.

2) Оцінено параметр із матричного рівняння Ляпунова .

Висновки про необхідність та актуальність проектування комп'ютерної (програмної) системи оптимального управління (КСОУ) динамічною траловою системою. Описано структуру КСОУ динамічної тралової системи. Зроблено висновок про необхідність проектування двох варіантів КСОУ на основі: I) Visual Basic for Applications; II) Visual Studio C++. Охарактеризована структура спроектованої комп'ютерної системи оптимального управління, вказані вірогідні елементи Головного меню КСОУ тралової системи. Зроблено порівняльну характеристика програмних модулів КСОУ на: ? Visual Basic for Applications, і ? Visual Studio C++.

КСОУ може бути використана:

· для подібних динамічних систем--фізичних об'єктів та технічних систем, зокрема, для тих, які перебувають в динамічній зв'язці елементів;

· для впровадження на підприємствах Міністерства водного господарства України.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі отримано умови стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, стабілізації таких динамічних систем до режиму стійкості за ймовірністю в цілому під дією керування за мінімізацією критерію якості для перехідного процесу, спроектовано та розроблено програмне забезпечення для математичних моделей керованих динамічних систем, досліджено математичну модель динамічної зв'язки «траулер_трал».

Конкретними науковими результатами проведеного дослідження є:

1. доведено теореми асимптотичної стохастичної стійкості в цілому та асимптотичної p-стійкості імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

2. доведено основні теореми стабілізації моделей імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

3. отримано достатні умови задачі оптимального управління імпульсними динамічниими системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень;

4. зроблено повне дослідження математичної моделі динамічної тралової системи;

5. спроектовано КСОУ--програмний продукт оптимального управління динамічною траловою системою.

Результати дисертації із теорії стійкості, оптимальної стабілізації можуть бути використані для імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, із теорії оптимального управління можуть бути використані для оптимального керування фізичними об'єктами та технічними системами. Створені програмні модулі можна використати для програмного керування таких динамічних систем. Математична модель динамічної тралової системи може використовуватися як модельний приклад на заняттях із студентами у відповідних дисциплінах, які пов'язані із дослідженням операцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мусуривский В. И. О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть І / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. -- 2006. -- №3. -- С. 57-64.

2. Мусуривский В.И. О математических основах функционирования компьютерной системы оптимального управления траулером. Часть ІІ / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. -- 2006. -- №4. -- С. 72-81.

3. Мусуривский В.И. Сравнительная характеристика программных модулей КСОУ некоторыми управляемыми объектами. / В.И. Мусуривский // Проблемы управления и информатики. -- 2007. -- №4. -- С. 82-91.

4. Королюк В.С. Устойчивость динамических систем с последействием с учетом марковских возмущений / В.С. Королюк , В.И. Мусуривский, И.В. Юрченко // Кибернетика и системный анализ. -- 2007. -- № 6. -- C.71_83.

5. Ясинський В.К. Структура КСОУ динамічної тралової системи / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Вісник Хмельницького національного університету. Сер.Технічні науки -- 2007. -- №2. -- т.2. -- С. 54_61.

6. Королюк В.С Стабилизация импульсных динамических систем с конечным последействием при наличии марковских параметров. Часть І / В.С. Королюк , В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. -- 2008. -- №1. -- С. 16_35.

7. Королюк В.С. Стабилизация импульсных динамических систем с конечным последействием при наличии марковских параметров. Часть ІІ / В.С. Королюк , В.И. Мусуривский, В.К. Ясинский // Проблемы управления и информатики. -- 2008. -- №3. -- С. 5-20.

8. Мусурівський В.І. Про дослідження деяких керованих процесів і створення Програмних систем керування / В.І. Мусурівський // Науковий вісник Чернівецького торговельно-економічного інституту КНТЕУ. -- 2003. -- Вип.4. -- С. 437-444.

9. Мусурівський В.І. Про програмні засоби розв'язання нелінійних систем для задачі оптимального управління траулером / В.І. Мусурівський // Науковий вісник Буковинського державного фінансово-економічного інституту. -- 2003. -- Вип.4. -- С. 335-338.

10. Ясинський В.К. Про оцінку стійкості динамічної тралової системи / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании'2007».--Одеса: Одеський національний морський університет. Сер.Математика--2007.--т.5.--С.52-57.

11. Ясинський В.К. Про метод розв'язання задачі оптимального управління для задачі Майєра / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць «Крайові задачі диференціальних рівнянь».--Чернівці: ЧНУ.--2008.--т.16.--С.314_324.

12. Ясинський В.К. Достатні умови оптимальності задачі керування динамічними системами із скінченною післядією / В.К. Ясинський, Л.І. Ясинська, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць «Крайові задачі диференціальних рівнянь».--Чернівці: ЧНУ--2008.--т.16.--С.324-330.

13. Мусурівський В.І. Про створення системи прийняття рішень для задачі оптимального управління траулером / В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць V Всеукраїнської науково-практичної конференції «Комп'ютерне моделювання та інформаційні технології в науці, економіці та освіті».--Черкаси: ІСУЕП.--2003.--С. 101_103.

14. Мусурівський В.І. Про математичні основи функціонування комп'ютерної системи оптимального управління деякими керованими об'єктами / В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної науково-практичної конференції «Інтелектуальні системи прийняття рішень та інформаційні технології».--Чернівці: ЧФЮІ.--2004.--С. 81-82.

15. Королюк В.С. Дослідження стійкості динамічних систем із післядією із урахуванням марковських збурень / В.С. Королюк, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «PDMU_2007».--Чернівці: ЧНУ ім.Федьковича.--2007.--С. 227.

16. Ясинський В.К. Про оцінку стійкості динаміки тралової системи / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «DSMSI-2007».--Київ: КНУ--2007.--С. 258.

17. Мусурівський В.І. Аналітична оцінка програмних складових КСОУ тралової системи / В.І. Мусурівський, Ю.В. Мусурівська // Збірник наукових праць IX Міжнародної науково-технічної конференції «SAIT-2007».-- Київ: НТУУ«КПІ».--2007.--С. 195.

18. Королюк В.С. Стійкість за першим наближенням імпульсних динамічних систем із скінченною післядією при наявності марковських параметрів / В.С. Королюк, В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць Міжнародної конференції «PDMU_2008»-- Рівне: РНУ.--2008.--С. 139_141.

19. Ясинська Л.І. Принцип Беллмана керування динамічними системами із скінченною післядією / Л.І. Ясинська, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць XII Міжнародної конференції ім. акад. М.Кравчука -- Київ: НТУУ «КПІ». -- 2008.--С. 148.

20. Ясинський В.К. Стабілізація динамічних систем із скінченною післядією з марковськими збуреннями / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць XII Міжнародної конференції ім. акад. М.Кравчука-- Київ: НТУУ «КПІ». -- 2008.--С. 153.

21. Ясинський В.К. Про умови асимптотичної стійкості динамічних систем / В.К. Ясинський, В.І. Мусурівський // Збірник наукових праць X Міжнародної науково-технічної конференції «SAIT-2008» -- Київ: НТУУ «КПІ». -- 2008.--С. 159.

АННОТАЦІЯ

Мусурівський В.І. Дослідження стійкості і стабілізація імпульсних динамічних систем випадкової структури із скінченною післядією.--Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.05.02-- математичне моделювання та обчислювальні методи --Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2009.

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню актуальних проблем розробки якісної теорії стійкості в цілому імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень, стабілізації таких динамічних систем до режиму стійкості за ймовірністю в цілому під дією керування за мінімізацією критерію якості перехідного процесу, використанню теорії оптимального управління для математичних моделей керованих динамічних систем, дослідженню математичної моделі динамічної тралової системи, проектуванню програмного забезпечення для такої моделі.

Доведено теореми асимптотичної стійкості в цілому та асимптотичної p-стійкості, оптимальної стабілізації імпульсних динамічних систем із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень. Сформульовано необхідні умови існування та єдиності розв'язку задачі оптимального управління динамічними системами, отримано достатні умови оптимального управління імпульсними динамічними системами із скінченною післядією з урахуванням марковських збурень.

Ключові слова: система диференціальних рівнянь, система функціонально-диференціальних рівнянь, система диференціально-різницевих рівнянь, асимптотична стійкість в цілому, p-стійкість, оптимальна стабілізація, оптимальне управління, динамічна система, імпульсна динамічна система, динамічна тралова система, скінченна післядія, марковські збурення.

АННОТАЦИЯ

Мусуривский В.И. Исследование устойчивости и стабилизация импульсных динамических систем случайной структуры с конечным последействием.--Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. -- Черновицкий национальный университет имени Юрия Федьковича, Черновцы, 2009.

Диссертационная работа посвящена решению актуальных проблем разработки качественной теории устойчивости в целом импульсных динамических систем с конечным последействием с учетом марковских возмущений, стабилизации таких динамических систем к режиму устойчивости по вероятности в целом под действием управления при минимизации критерия качества переходного процесса, использованию математической теории оптимального управления, исследованию математической модели динамической траловой системы, проектированию для неё программного обеспечения.

Доказаны теоремы асимптотической устойчивости и p-устойчивости в целом импульсных динамических систем с конечным последействием с учетом марковских возмущений, используя аппарат функционалов Ляпунова_Красовского и понятие инфинитезимального оператора в силу системы.

Доказана основная теорема оптимальной стабилизации импульсных динамических систем с конечным последействием с учетом марковских возмущений. Следствия из теоремы позволяют разрешать проблему оптимальной стабилизации, сделав переход к решению сложных нелинейных систем в частных производных для определения неизвестных функционалов Ляпунова_Красовского.

Вследствие, получены теоремы оптимальной стабилизации линейных динамических систем с конечным последействием с учетом марковских возмущений, для которых, в частности, использован метод малого параметра

Сформулированы необходимые условия существования и единственности решения задачи оптимального управления динамическими системами--принцип максимума для задачи Майера.

Получены достаточные условия существования решения задачи оптимального управления импульсными динамическими системами с конечным последействием с учетом марковских возмущений.

Сделана постановка задачи и проведено полное исследование динамической траловой системы: решены задачи управления: быстродейственного наведения трала на косяк рыбы и оптимального использования энергетических ресурсов при помощи принципа максимума; получены условия устойчивости такой системы и оценка параметров.

Спроектированы программные коды, позволяющие создать программную систему управления динамической связкой «траулер-трал».

Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, система функционально-дифференциальных уравнений, система дифференциально-разностных уравнений, асимптотическая устойчивость в целом, p_устойчивость, оптимальная стабилизация, оптимальное управление, динамическая система, импульсная динамическая система, динамическая траловая система, конечное последействие, марковские возмущения.

Annotation

Musurivky V.I. Stability and stabilization of impulse dynamical systems odd structures with finite aftereffect.--Manuscript.

Thesis for the Degree of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics in speciality 01.05.02 -- mathematical modelling and numerical methods.-- Fedkovych National university of Chernivtsi , Chernivtsi, 2009.

The thesis considers actual problems of design of qualitative theory of stability and stabilization impulse dynamical systems with finite aftereffect adjusted for Markov's disturbance. Thesis deals with stabilization of such dynamical systems to the stability in whole under the control with minimization of the transitional process; usage of the theory of optimal control for mathematical models of controllable dynamical systems, investigation of dynamical trawling system and design of software for this model.

Thesis proves the theorem of asymptotic stability in whole and asymptotic p-stability, optimal stability of impulse dynamical systems with finite aftereffect adjusted for Markov's disturbance. Essential conditions for existence and unity of solution of the problem of optimal control of dynamic systems and sufficient conditions of optimal control of dynamic system with finite Markov's disturbance are given.

Key words: system of differential equations, system of functionally-differential equations, system of differential-difference equations, asymptotic stability in whole, p_stability, dynamical systems, impulse dynamical systems, dynamical trawling systems, finite aftereffect, Markoff disturbance.

Размещено на Allbest.ru

...