Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 681.3

01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Оцінки лінійних перетворень випадкових функцій в стохастичній оптимізації

Матусов Юрій Петрович

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного моделювання економічних систем факультету менеджменту та маркетингу Національного технічного університету "Київський політехнічний інститут" Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Новицький Віктор Володимирович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу аналітичної механіки.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук, член-кор. НАН України, професор Гупал Анатолій Михайлович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу методів індуктивного моделювання та керування;

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Семенов Володимир Вікторович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри обчислювальної математики.

Захист відбудеться "10" вересня 2009 р. о 14.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, МСП, Київ, вул. Володимирська, 64, факультет кібернетики (проспект Академіка Глушкова, 2, корп.6, ауд. 24).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01601, МСП, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий "5" серпня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 П.М. Зінько.

Анотація

Матусов Ю.П. Оцінки лінійних перетворень випадкових функцій в стохастичній оптимізації. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.04 - системний аналіз і теорія оптимальних рішень. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Дисертація присвячена аналізу статистичних проблем, які виникають при оцінюваннях лінійних перетворень стаціонарних випадкових функцій в умовах використання стохастичного програмування, оптимізації та керування.

Досліджено окремий клас неопуклих задач з новими зв'язками в галузі статистичного аналізу, керуванні та оптимізації стохастичних систем.

Ці зв'язки в сукупності розв'язують важливу наукову проблему оптимального лінійного прогнозування та фільтрації випадкових функцій в сенсі застосування в задачах оптимізації і керування.

Обгрунтовані нові моделі квазіградієнтної оптимізації з елементами прогнозування, фільтрації та оцінок невідомого середнього, що дає альтернативний підхід оптимального керування стохастичними системами.

Розроблені альтернативні квазіградієнтні методи стохастичної оптимізації як для стаціонарних, так і для коінтеграційних змінних "ярової" цільової функції.

Ключові слова: системний аналіз, стаціонарна випадкова функція, екстраполяція, інтерполяція, фільтрація, оптимізація, градієнт, оптимальне прийняття рішень, квазідиференціал.

Аннотация

Матусов Ю.П. Оценки линейных преобразований случайных функций в стохастической оптимизации.- Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 - системный анализ и теория оптимальних решений. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,Киев,2009.

Диссертация посвящена изучению статистических проблем, возникающих при оценках линейных преобразований стационарных функций в условиях использования стохастического программирования, управления и оптимизации. Рассматриваются задачи стохастической оптимизации, которые имеют статистическую природу с неполной или с неизвестной информацией о целевой функции и об ее ограничениях. Причем, не нарушая обобщений, рассматриваются только задачи поиска минимума.

Оценка квазидифференциала, которая определяется в ходе испытаний над целевой функцией при получении дополнительной информации об "овраге", используется для указания направления движения на минимум.

Показано, что в случае гауссовских процессов, когда линейный прогноз является оптимальным, сочетание направления движения на минимум по оценке найденого квазидифференциала с прогнозированием шага движения на минимум обеспечивает удерживание алгоритма оптимизации в "овраге". Для негауссовских процессов, когда есть разница между оптимальным прогнозом и оптимальным линейным прогнозом, сочетание направления движения на минимум по оценке найденого квазидифференциала с прогнозированием шага движения на минимум также обеспечивает движение на минимум в "овраге" за конечное число шагов.

В процессе исследования определена возможность образования новых эффективных процедур стохастической оптимизации квазиградиентного направления. При этом подтверждены новые подходы в квазиградиентной стохастической оптимизации с элементами прогнозирования, фильтрации и оценками неизвестного среднего на сфере выборочных стационарных случайных функций в области прикладных моделей, которые допускают такой анализ. Доказано, что оценки значений производной по Ф.Кларку позволяют получать эффективные оценки неизвестного среднего, которое выбирается в качестве квазиградиента, указывающего направление на минимум и для негладкой невыпуклой оптимизации и задач управления, но только после прогнозирования "хорошего" начального приближения. Показана разработка альтернативных квазиградиентных процедур в методах стохастической оптимизации и улучшение известных методов, как для стационарных, так и для коинтегрированных переменных целевой функции.

Представлен анализ класса известных стохастических квазиградиентных методов оптимизации на основе проектирования квазиградиентов на подпространство переменных с экстраполяцией движения на екстремум, когда неизвестно положение екстремума, и в невыпуклой задаче оптимизации в ходе решения необходимо найти это положение.

Проанализированы квазиградиентные методы оптимизации на основе локализации екстремума в ограниченном сеткой подпространстве переменных с интерполяцией движения на екстремум, когда известно существование екстремума из других точек зрения, например, с физической точки зрения или с экономической. А в задаче оптимизации необходимо локализовать положение екстремума в меньшей сетке наблюдений.

Выполнен анализ класса стохастических квазиградиентных методов оптимизации на основе проектирования и локализации квазиградиентов с фильтрацией движения на экстремум в условиях шума. Причем в задаче оптимизации в ходе решения необходимо найти такое положение екстремума целевой функции без шума с требуемой точностью. Показана реализация математических моделей целевой функции с учетом случайных функций штрафа в условиях проведения испытаний, как со стационарными случайными переменными, так и с коинтегрированными переменными.

Показано, что теоретические проблемы оценок линейных преобразований случайных функций в задачах квазиградиентной оптимизации могут переводиться на компьютерные языки структурного описания управлений системами в реальном времени, что обеспечивает сходящиеся сценарные процессы имитационного моделирования систем. Сходимость рассматриваемых процедур подтверждается доказательством основных теорем, которые представлены в диссертационной работе.

Ключевые слова: системный анализ, стационарная случайная функция, экстраполяция, интерполяция, фильтрация, оптимизация, градиент, оптимальное принятие решений, квазидифференциал.

Abstract

Matusov Yu.P. Estimations of linear transformations of random functions in stochastic optimization. - Manuscript.

The thesis for gaining the candidate degree of physics-mathematical sciences in specialty 01.05.04 - system analysis and the theory of optimal decisions. - Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2009.

The thesis considered an analysis of statistical problems which appear in estimations of linear transformations of stationary random functions in conditions of use the stochastic programming, optimization and control.

Some class nonprominent tasks with new ties in the branch of statistic analysis, control and stochastic optimization of random system is investigated.

These ties by the way solve important science problem of an optimal linear prognosis and filtration of random functions as the application in tasks of optimization and control.

New models were building of quasi-gradient optimization with elements of prognoses, filtration and estimations of unknown mean which gave alternative in the achievement optimal controls of stochastic systems.

The alternatively quasi-gradient methods of stochastic optimization as for stationary so for co-integrated variables of "ravined" purposeful function are elaborated.

Key words: system analysis, stationary random function, extrapolation, interpolation, filtration, optimization, gradient, optimal passing of decisions, quasi-differential.

1. Загальна характеристика роботи

Системний аналіз є одним із найважливіших напрямків науки, що вивчає проблеми прийняття оптимальних рішень в умовах неповної інформації. В задачах стохастичної оптимізації використовуються різні процедури, які ефективно спрощують розв'язання складних задач.

Вагомий внесок в цей напрямок зробили Л.А. Растригин, Х. Розенброк, Ф. Кларк, Р. Флетчер, М.Дж.Д. Пауел, Б.Н. Пшеничний, В.Ф. Демьянов, Л.В. Васильєв, Н.З. Шор, Ю.М. Єрмольєв, В.С. Мельник, А.М. Гупал, Б.Ш. Мордухович та ін.

В дисертації розв'язано задачу побудови оцінок лінійних перетворень стаціонарних випадкових функцій та їх застосування до оптимізації та прийняття рішень в умовах неповної інформації про досліджуваний об'єкт.

Це дало можливість ефективно проводити пошук напрямків, дислокації та кроків наближення до екстремуму в окремих задачах оптимізації та керування. Автором запропоновано ідею аналізу додаткової інформації про "яри" неопуклої цільової функції у ході прогнозування початкового наближення, овипуклення такої функції в околі "яра" та визначення її квазідиференціалів за Ф. Кларком. В роботі доведено, що це узагальнює розв'язки складних задач. Результати підтверджено на тестових і на практичних прикладах. В роботі розроблено також альтернативні методи неопуклого аналізу для детермінованої та стохастичної оптимізації.

Актуальність теми. Застосування оцінок лінійних перетворень випадкових функцій є актуальним, оскільки вони забезпечують спрощення розробок та ефективність методів оптимізації та керування.

Екстраполяція, інтерполяція, фільтрація випадкових функцій і оцінки середнього значень цільової функції в умовах дії шуму за різними типами спостережень імовірносних характеристик - виявляють багато можливостей як для побудови нових методів, так і для забезпечення ефективності роботи існуючих. Задачі знаходження оцінок лінійних перетворень випадкових функцій мають як самостійний теоретичний, так і значний прикладний інтерес при оптимізації складних систем. В Україні з подібними задачами зустрічаються в розробках проблем економіки, радіотехніки, статистичної оптики та радіофізики, в інноваційних виробництвах, океанографії та інших.

Це також задачі з теорії планування екстремальних експериментів, задачі на оптимізаційних моделях надвисокочастотної електроніки в умовах невизначеності, задачі на моделях економічної динаміки з дискретним та неперервним часом, - всі вони враховують випадкові фактори у вигляді моделей тих, чи інших стохастичних процесів та полів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках наукової програми, що ведеться на кафедрі математичного моделювання економічних систем (ММЕС) НТУУ "КПІ" і увійшла в склад наукової роботи ММЕС: "Теоретично-методологічні положення щодо визначення та оцінки індикаторів ринку праці в Україні; моделювання шляхів розвитку" (тема №2958ф, № держ. реєст. 0106U002066, м. Київ, 2006-2008 рр.).

Процедури квазіградієнтної стохастичної оптимізації дифузійного процесу зв'язаного кисню були розроблені автором і застосовані в моделі керування технологічним процесом вирощування монокремнія на Україні методом Чохральського. Вони опубліковані автором в [1] у формі практичних інженерних застосувань для вибору технологічних рішень (м. Київ, 2002 р). Процедури детермінованої оптимізації запропоновані дисертантом для розрахунків надвисокочастотних "сендвіч"-резонаторів та опубліковані в [2], [5], [6] у формі конструктивних узагальнень для вибору конструкцій параметричних підсилювачів (м. Київ, 1979-2006 рр.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є узагальнення і обґрунтування с точки зору системного аналізу оцінок лінійних перетворень випадкових функцій для використання в квазіградієнтній оптимізації на основі квазідиференціалів за Ф. Кларком при розв'язуванні задач негладкої неопуклої оптимізації та при спрощенні процедур побудови альтернативних методів стохастичної оптимізації.

Для досягнення мети були поставлені та виконані наступні завдання, які й склали наукове підґрунтя роботи:

- узагальнити існуючі підходи в детермінованій та стохастичній оптимізаціях, в сенсі використання лінійних оцінок перетворень випадкових функцій для задач прогнозування, фільтрації та утворення альтернативних процедур оптимізації як без шуму, так і забруднених шумом;

- знайти зв'язок між детермінованою та стохастичною задачами оптимізації і керування в складних системах при застосуванні квазідиференціалів Ф. Кларка на відповідних етапах оптимізації за умови використання додаткової інформації про "яри" неопуклої цільової функції;

- обгрунтувати збіжність процедур методів неопуклого аналізу стохастичної оптимізації у просторах змінних, в умовах стаціонарності та коінтеграційності значень випадкових функцій як із шумом, так і без нього;

- побудувати методи альтернативної квазіградієнтної оптимізації в умовах отримання додаткової інформації про "яри" цільової функції із застосуванням оцінок лінійних перетворень в екстраполяції та обгрунтувати їх на опуклих методах проектувань та на методах лінеаризації як базових, так і таких, що не потребують доведення існування екстремуму;

- застосувати аналогічний підхід в інтерполяції і обгрунтувати його для опуклих методів еліпсоїдів та відтинань доменів змінних як базових, так і таких, що при додаткових спостереженнях потребують доведення існування екстремуму;

- обґрунтувати методи альтернативної квазіградієнтної оптимізації в умовах отримання додаткової інформації про "яри" цільової функції із застосуванням фільтрації шуму і з функціями штрафів для опуклих методів проектувань, лінеаризації, еліпсоїдів та відтинань в умовах "забруднень" цих функцій "білим" шумом.

Об'єкт дослідження становлять збіжні альтернативні процедури стохастичної оптимізації квазіградієнтного напрямку в складних системах, де присутній блукаючий екстремум в умовах частково спостережуваних функцій.

Предметом дослідження є математичні моделі системного аналізу з використанням оцінок лінійних перетворень випадкових функцій для побудови альтернативних процедур квазіградієнтної оптимізації.

Методи дослідження. В роботі для виконання поставленних завдань було використано методи: системного аналізу, квазідиференціального числення, стохастичного програмування, теорії випадкових процесів і полів, теорії керування в системах підтримки прийняття рішень, теорії неопуклої і негладкої оптимізації, послідовного аналізу, теорії екстраполяції, інтерполяції, фільтрації та імітаційного моделювання.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

* вперше запропоновано локальний аналіз початкових значень і поведінки "резонансних ярів" цільової функції в окремому класі негладких неопуклих задач оптимізації та керування і доведена збіжність процедур оптимізації у таких задачах;

* на основі додаткової інформації про "яри" цільової функції вперше визначено альтернативну процедуру пошуку екстремуму для збіжних квазіградієнтних методів як у детермінованій, так і у стохастичній оптимізації;

* вперше розв'язана задача об'єднання квазіградієнтної процедури оптимізації з прогнозуванням, екстраполяцією, інтерполяцією та фільтрацією в умовах індикаційних зациклювань на "яру" та відходу від "яра" для імітаційних процедур із стаціонарними та коінтеграційними змінними;

* розроблено і обгрунтовано нову (альтернативну) процедуру квазіградієнтної оптимізації неопуклої цільової функції шляхом овипуклення такої функції в околі "яру" і, таким чином, поширення дії відомих методів оптимізації (проектувань, лінеаризації, еліпсоїдів, відтинань) для розв'язання окремого класу негладких неопуклих задач з "резонансними ярами";

* доведена збіжність та вперше вказано на відмінності застосування процедур оптимізації і усереднення у квазіградієнтних методах проектування та відтинань, які утримуються в "яру" резонансної неопуклої цільової функції в умовах прогнозування та фільтрації цільової функції як без шуму, так і з шумом.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що їх можна ефективно застосовувати на сучасних енергоємних наукомістських підприємствах з неперервним циклом виробництва продукту для вирішення багатьох проблем управління складними технологіями із невизначеністю і в умовах неповної інформації про об'єкт.

Особистий внесок здобувача. Наукові положення, основні теоретичні та практичні результати, рекомендації, висновки, що наведені в дисертації та виносяться на захист, здобуті автором самостійно. Вони оприлюднені у фахових виданнях, доповідались на міжнародних та національних конференціях і симпозіумі [11]. У роботі [5], яка виконана спільно з Б.С. Черній, М.Є. Ільченком, автором особисто визначена математична модель детермінованої недиференційовної оптимізації конструкції резонатора на цільовій функції з "ярами". У роботі [1] автором особисто поставлена задача стохастичної оптимізації на моделі виробництва монокремнія методом Чохральського. В роботах [2-4], [6] здобувачем самостійно на основі оцінок лінійних перетворень випадкових функцій проведено аналіз альтернативних квазіградієнтних процедур оптимізації. У тезах конференцій [7-10] і на симпозіумі [11] автором особисто доповідались матеріали, які пояснюють застосування методів альтернативної квазіградієнтної оптимізації в умовах спостережень змінних.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації і результати дослідження обговорювалися на засіданнях наукових семінарів кафедри ММЕС НТУУ "КПІ", кафедри системного аналізу та теорії прийняття рішень (САТР) Київського національного університету імені Тараса Шевченка; доповідалися та отримали позитивні відгуки на таких конференціях: на "Міжнародній конференції пам'яті Б.В.Гнеденка" (м. Київ, 3.06-7.06, 2002 р.), на Міжнародній конференції "Проблеми сучасної економіки і інституціональна теорія" (м. Донецьк, 27.01-29.01, 2003 р.), на Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (м. Чернівці, 26.08-30.08, 2003 р.), на Всеукраїнської науково-практичної конференції "Економетрія: проблеми теорії і практики" (м. Хмельницький, 29.10.2003 р.), на ІІ Міжнародній конференції "Обчислювальна та прикладна математика", (м. Київ, 24.09-26.09, 2004 р.), на Міжнародній конференції "Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)", (м. Мінськ, Беларусь, 16.05-20.05, 2005 р.) на Міжнародній конференції "Сучасна стохастика: теорія і застосування", (м. Київ, 19-23 червня 2006 р.), на Міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІІ)", (Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 23-28 вересня 2007 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 11 робіт (8-одноосібні) загальним обсягом 58 стор. (з них авторські 53 стор.), 4 з них надруковано у фахових виданнях, затверджених ВАК України для даної спеціальності (з них авторські 38 стор.), 2 статті в інших виданнях, 5 тез доповідей на 4 наукових конференціях і 1 симпозіумі.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел зі 186 найменувань (21 стор.). Загальний обсяг дисертації становить 154 стор., з них 137 стор. основного тексту, вона містить 26 рисунків.

2. Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики дисертації, визначені мета і задачі дослідження, висвітлені основні результати роботи; наведено структуру і визначено особистий внесок здобувача в розробках.

У першому розділі вибрано напрямок досліджень, а також проведено огляд літератури. Показано різноманітні підходи до задач прогнозування, фільтрації, оцінок лінійних перетворень в детермінованій і стохастичній оптимізації та керуванні. На проблемах розв'язку негладких неопуклих задач оптимізації визначено альтернативні процедури у побудові квазіградієнтних методів стохастичної оптимізації.

У другому розділі на тестових та практичних прикладах розглянуто задачі оптимізації, керування, прогнозування та фільтрації. Показано зв'язок прогнозування і фільтрації з проведенням оптимізації.

Досліджено теоретичні положення щодо використання додаткової інформації про "яр" цільової функції в детермінованій та стохастичній неопуклій оптимізації на основі похідних Ф. Кларка та оцінок лінійних перетворень випадкових функцій. При оптимізації неопуклої цільової функції f(x) градієнтними методами замість розв'язку може виникати зациклювання процедури одночасно з коливанням значень функції.

Для успішної роботи градієнтних методів виявився ефективним підхід попереднього локального обстеження "ярової" функції, коли прогнозується наближення при зациклюванні, що дає можливість перетворити неопуклу задачу в локально опуклу. При цьому шукається краща точка x, в якій є додаткова інформація про "яр". Далі в цій точці x проводиться випробування над цільовою функцією у напрямку дотичного конуса за похідними Ф. Кларка, щоб знайти точку f(x) в "яру", яка визначається у перерізі годографа до радіального напрямку пошуку, - і це дозволяє утримуватись в "яру".

Не порушуючи загальності, можна сформулювати детерміновану задачу мінімізації цільової функції F0(х) в умовах обмежень Fi(х) і наближення х0:

F0(х) min, x = (х1,х2,…хn)T n, (1)

Fi(х) 0, i=1,2,…, m, (2)

{x, х0}X, x0= (х10,х20,…хn0)T n, (3)

де вирази (1)- (3) існують і однозначно визначаються в компактному околі X допустимих значень хі для спрогнозованого наближення x0 і скінченних m i n.

Задача стохастичної оптимізації може бути записаною у вигляді:

F0(х)=M[f0(x,щ)]min, x=(х1,х2,…хn)n, щЩ, x=x(щ) (4)

Fi(х)=M[fi(x,щ)]0, i=1,2,…,m, (5)

{x, х0}X , x0= (х10,х20,…хn0)T n, (6)

х X : M[fi(x,щ)2] <?, i=0,1,2,…,m, (7)

де присутня залежність x(щ) від "стану природи" щ з імовірнісного простору (Щ,у, Р).

Задача керування стаціонарним випадковим об'єктом: з пам'яттю, r?0, m?0, або без пам'яті, m=0, r=0 , для наближення x0 має такий вигляд:

xk =ц(uk,…,uk-r,zk,…,zk-m,и), x0= (х10,х20,…хn0)T n,оk = о(и,zk,…,zk-m, ), L*=( и*, иk) min, (8)

xk =ц(uk, zk, и), оk = о(и, zk ), L*=( и*, иk) min, (9)

де оптимізація виконується, як підтримка екстремального показника якості L* за умов невизначеності, коли є слідкування за блукаючим екстремумом.

Наступні означення 1-3 є новими і визначають характер "яру" цільової функції F в оптимізаційній процедурі на множині G для підмножини GF.

Означення 1. Діаметром множини з відображенням GF n в напрямку sn називається значення dGF(s)=sup(g,s) - inf (g,s) = inf (g,s)(Q(g,s)-1), де Q(g,s)= sup(g,s)/ inf (g,s) - добротність множини G, inf (g,s)?0, при gGF.

Означення 2. Цільова функція F: n1 детермінованої оптимізації називається "яровою", якщо існує напрямок ("яр") sn в множині з відображенням GF n і добротність цієї множини в ортогональному до "яра" напрямку s дається виразом: Q(g,s)>>1, inf (g,s)?0, при gGF.

Означення 3. Цільова функція F: n 1 детермінованої оптимізації називається резонансною "яровою", якщо існує "яр" sn в множині з відображенням GF n із добротністю цієї множини в ортогональному до "яра" напрямку s у вигляді: Q(g,s)>103.

Для спрогнозованого наближення x0 квазідиференціал D (КВД) Ф. Кларка

D(F(x0))=[,] задається виразом:

(?F(x0)/?g) ? lim б-1[F(x0+бg) - F(x0)] = max(v, g) + min(w, g), (10)

б+0 v w

де напрямки v,w з множин субдиференціала та супердиференціала функції F(х0) дають вектор gD(F(x0)) - квазіградієнт за Ф. Кларком.

Застосування конструкції (10) на негладкій неопуклій функції не дає напрямків наближень до екстремуму, бо конус напрямків вироджується, а дотичний конус стає тривіальним. Але, якщо знайти за допомогою прогнозувань і лінійного перетворення краще наближення для "ярової" цільової функції, то в околі "яру" можна овипуклити задачу, і тоді виявляються вірними теореми 1,2, які узагальнюють відомі теореми В.Ф. Демьянова - Л.Н. Полякової.

Теорема 1. Для того, щоб квазідиференційовна на А функція F(x) набувала в точці х*А свого найменшого на А значення, необхідно, щоб

-. (11)

Теорема 2. Якщо функція F(x) квазідиференційовна в околі х*А і в точці х* існує функція h(x*) невироджена в x*: h(x*)=0, але замикання множини похідних ?h(x*)/?g<0 співпадає з конусом напрямків Г(х*) множини А в х*, то для того, щоб квазідиференційовна на А функція F(x) набувала в точці х*А свого найменшого на А значення, необхідно, щоб:

- , якщо h(x*)<0 і якщо h(x*) = 0, то

w , w': (+w) [-( ()+ w')] , (12)

де (А) - конічна оболонка множини А.

У стохастичному випадку для аналізу збіжності процедур розв'язку опуклих задач Ю.М. Єрмольєв за означенням 4 ввів таку послідовність.

Означення 4. Нехай підмножина GFn. Тоді послідовність випадкових векторів xs(щ), s=0,1,…, є відносно GF випадковою квазіфейєровською послідовністю, якщо для довільної точки yGF: M[||y-xs+1||2|х0,х1,…хs]?||y-xs||2+Ws, s=0,1,…, де випадкові величини Ws(щ)?0 задовольняють нерівності:<? при умові M[||x0||2]<?, і вимірні за у-підалгеброю Bs, яка тут і далі індукована серією наближень (х0,х1,…,хs) в даному імовірнісному просторі (Щ,у, Р), що утворений векторами xs(щ).

В умовах прогнозування неопуклої задачі краще розглядати випадкову послідовність, як стохастичний елемент у вимірному лінійному топологічному просторі. Отже, як у В.В.Булдигіна, введемо означення 5.

Означення 5. Якщо {S,U}-вимірний лінійний топологічний простір, а (S,d)-метричний простір з метрикою d і U - -алгебра його підмножин, і {Xn}-послідовність стохастичних елементів в {S,U}, що означені на імовірнісному просторі (Щ,у,Р), то послідовність {Xn} збігається майже ймовірно (м.й.) до випадкового елементу X, якщо знайдеться множина АЩ, Р(А)=1: щА: d(Xn(щ),X(щ))>0, якщо n>?. Отже {Xn} є м.й. фундаментальною і lim sup d(Xn(щ),Xm(щ))=0, n>?, m>n. Це дає можливість досліджувати збіжність процедур, розглядаючи замість стаціонарного процесу Х(t), tT із спектральним розкладом Х(t), процеси вигляду Хn(t), n?1 із обмеженою спектральною функцією f().

Альтернативна квазіградієнтна процедура оптимізації задається так:

стохастичний оптимізація лінійний квазіградієнтний

xs+1=x s - сs гs Fx(x s), s=0,1,… , (13)

де послідовність точок xs відповідає номеру крока s, x0 - прогнозоване початкове наближення, сs-значення кроку, гs-нормуючий множник проведеного лінійного перетворення (наприклад, зміни масштабу).

Новий підхід, запропонований у роботі, полягає в тому, що при зациклюваннях на "яру" цільової функції будується послідовність похідних Fx(xs), s=0, 1,…, які утворюють квазігрідієнти в (13). Саме такі послідовності будуються у відповідності до задачі прогнозування, що відповідає означенню 5. Послідовність формується у вигляді дискретного випадкового процесу, що розглядається, як адитивна суміш двох стаціонарних випадкових процесів: "корисного" процесу спостережень за похідними F*x(xs), якщо є утримання в "яру", і процесу похибок спостережень F*x(xs), тобто

Fx(xs)=C[F*x(xs)]+ F*x(xs), (14)

де C[F*x(xs)] - лінійне перетворення (проектування, розтяг, зміна масштабу) "корисного" процесу спостережень за похідними. Оскільки в алгоритмах практично з'ясовується точність змінних, то відома дисперсія змінних, що накладає обмеження на спектральну щільність процесу. Тому кожен з процесів F*x(xs) і F*x(xs) s=0, 1,…, поділяється на дві складові - теж випадкові процеси:

F*x(xs)= F*Ix(xs) + F*IIx(xs) (15)

F*x(xs) = F*Ix(xs) + F*IIx(xs), (16)

де складова з індексом I - випадковий процес із відомою спектральною щільністю, а складова з індексом II - випадковий процес з невідомою, але обмеженою спектральною щільністю. Припустимо, що процеси F*Ix(xs), F*IIx(xs), F*Ix(xs), F*IIx(xs) - взаємно некорельовані. Тоді, відповідно до означень 1-5, враховуючи послідовності (14)-(16) і використовуючи квазідиференціал (10) за Ф.Кларком, виявляються вірними теореми 3, 4, які узагальнюють відомі теореми Ю.М. Єрмольєва.

Теорема 3. Якщо для будь-якого числа L<? існує таке число СL<?, що для (13) виконуються співвідношення: ||Fx(xs)||?СL при ||xs||?L, s=0,1,… , гs>0, сs?0, гs||Fx(xs)||?const, =?,2<?, то знайдеться підпослідовність Fx(xsк) послідовності Fx(xs), така що limFx(xsк)=Fx(x*) і lim min Fx(xsк) = Fx(x*), k> ? для точки x*, "кращої" за xs, {x*,xs}Х в сенсі: F(x*)< F(xs) м.й.

Теорема 4. Якщо послідовність випадкових величин xs(щ) відносно множини G є квазіфейєровською, то: 1) для довільного yG послідовність ||y-xs(щ)|| збігається м.й. при кожному щ і є фундаментальною; 2) множина граничних точок {xs(щ)} не порожня майже для кожного щ; 3) якщо x'(щ),x''(щ)- деякі граничні точки послідовності xs(щ), неналежні множині G, то G - геометричне місце точок, рівновіддалених від x'(щ), x''(щ).

Наслідок 1. Якщо послідовність розмірності n {xs(щ)} відносно множини G є випадковою квазіфейєровською, то {xs(щ)} м.й. фундаментальна і має єдину граничну точку майже для кожного щ.

Наслідок 2. Якщо гранична точка x(щ) послідовності {xs(щ)} для деякого щ належить G, то x(щ) м.й. єдина гранична точка для даного щ.

Теореми 3,4 і наслідки 1,2 дають умови збіжності м.й. для послідовності випадкових величин до точок множини G: послідовність має бути квазіфейєровською відносно множини G і хоча б одна гранична точка цієї послідовності м.й. повинна належати G. Отже, прогнозна послідовність xs, що побудована за означенням 5, збігається м.й. до розв'язку для "кращої" точки x*Х* Х і без пропозиції щодо обмеження Х*. Тобто при умові, коли неопуклу задачу (1)-(9) можна локально овипуклити з лінійними оцінками перетворень випадкових функцій, що розглядаються у задачах екстраполяції, інтерполяції та фільтрації для стаціонарних та коінтеграційних змінних, - за теоремами 1-4 та наслідками 1,2 - будуються збіжні альтернативні квазіградієнтні процедури оптимізації.

У третьому розділі розроблено альтернативні стохастичні квазіградієнтні процедури оптимізації типу проектувань з екстраполяцією стаціонарних випадкових функцій як без шуму, так і з шумом. Застосовуючи зміни масштабу, побудовано лінійні оцінки таких перетворень: стаціонарних випадкових напрямків на екстремум, стаціонарних кроків руху за вибраним напрямком і стаціонарних випадкових обмежень у вигляді штрафних функцій. Ці оцінки забезпечують умови створення локально опуклої задачі на кроці s. Тоді послідовність x0,x1,…,xs,… будується без точних значень функцій Fi(х)=M[fi(x,щ)], i=0,1,2,…,m, та їхніх градієнтів gi(х). Замість значень Fi(х) і gі(х), i=0,1,2,…,m знаходяться випадкові величини оi(s) та випадкові вектори зi(s) - квазіградієнти в сенсі (10), - як статистичні зміщені оцінки значень Fi(хs) і gі(хs), відповідно, після проведення прогнозування:

F0(х)=M[f0(x,щ)] min, x=(х1,х2,…хn)n, щЩ, x=x(щ)

M[о0(s)¦x0,x1,…,xs]=F0(хs)+a0(s) min, (17)

Fi(х)=M[fi(x,щ)] 0, i=1,2,…,m, x=(х1,х2,…хn)n,щЩ, x=x(щ)

M[оi(s)¦x0,x1,…,xs]=Fi(хs)+ai(s) ) 0 (18)

M[зi(s)¦x0,x1,…,xs]= ai(s) gі(хs)+bi(s), i=0,1,2,…,m, x=(х1,х2,…хn)n,

gі(хs)?Fі(хs), (для квазіградієнта gі(хs)D(Fі(xs))), (19)

де ai(s) - випадкові величини, bi(s), i=0,1,2,…,m, - випадкові вектори, вимірні м.й. за у-підалгеброю Вs. Якщо вектори bi(s)=0, то беруть стохастичні субградієнти, а в гладкому випадку - стохастичні градієнти.

В дисертації показано, що значення хs, gі(хs), ai(s), bi(s) - прогнозуються з канонічного представлення функцій авторегресії-ковзного середнього (для послідовності: g(n)R=(n-m)b(m), c2(m)<?, M[|g(n)|2]=1 ,c2(m)=1, де b(m)-послідовність випадкових некорельованих величин спостережувань перетворення А з одиничною дисперсією і з скінченною кількістю n випробувань; c(n)- власний вектор оператора K=A2, n - власне значення оператора A: 12?22?…, n=0,1,2,… . Відомо, що розв'язок задачі лінійної екстраполяції в цьому випадку буде такий:

Вg*=(j)g*(j), maxg(n)Gming(n)GD(g,g)=D(g*,g*)=12, де

ming(n)GD(g,g)=М[(j)(g(j)-g(j))]2=(p)c(q)K(p,q), а

g*(n)=(n-m)b(m), g*(n)=(n-m)b(m).

Якщо узяти до уваги, що K(p,q) =(m+p)a(m+q), то 2i,j=(m+1) a2(m)<? .

Після прогнозування наближення хs, коли знаходяться випадкові функції ai(s) та bi(s) і неопуклу задачу можна локально овипуклити в околі "яру", усереднена оцінка наближення xs+1 має вигляд:

xs+1= xs- бsсsRбs(D(Fі(xs)))дs, дs=gі(хs)/||gі(хs)||. (20)

Параметри бs,сs,дs- обираються з умов збіжності процедури оптимізації, згідно теорем 3, 4: сs?0,дs?0,sсs=? м.й.,sдs<? м.й.,[сs2+дs2]<?, де сsRбs(D(Fі(xs))) - прогнозний напрямок руху на мінімум, бsдs - прогнозний крок руху на мінімум, gі(хs)-квазіградієнт за Ф. Кларком в сенсі (10).

Метод проекції стохастичних квазіградієнтів.

Розв'язок (17)-(19) будується, як і у відомому опуклому методі проекції стохастичних градієнтів, що відповідає співвідношенню: xs+1=рX(xs?бsсsзi(s)), s=0,1,…, i=0,1,2,…,m, але на відміну від класичного підходу, де є проектування субградієнта зi(s) на опуклу множину X, застосовується рX(*)-оператор проектування квазіградієнта зi(s) на квазідиференційовну множину X овипукленої задачі. Тоді зi(s)=Rбs(D(Fі(xs))) - стохастичний квазіградієнт в сенсі (10), бs-нормуючий множник кроку оптимізації сs. Проекція рX(y)X, xX, визначається аналогічно методу проекції стохастичних градієнтів: ¦x?рX(y)¦2¦x?y¦2 і реалізація операції проектування рX(*) зв'язана з мінімізацією квадратичної функції в допустимій області X. Якщо (Щ,у,Р) - ймовірнісний простір, то визначається послідовність випадкових точок xs(щ), s=0,1,…, щЩ, і випадковий вектор-квазіградієнт зi(s)=(зi1,…, зin)(s), що має умовне математичне сподівання вигляду: M[зi(s)¦x0,x1,…,xs]=ci(s)gі(хs)+bi(s), x=(х1,х2,…хn) X n, де X-обмежена множина, s=0,1,…, i=0,1,2,…,m, ci(s) - невід'ємна випадкова величина, gі(хs), bi(s), i=0,1,2,…,m, - випадкові вектори, які прогнозуються від попередніх спостережень процесу пошуку (x0,x1,…,xs), - це й дає альтернативну можливість знайти xs+1 з (20).

Стохастичний метод лінеаризації.

Розв'язок (17)-(19) в цьому випадку передбачає, що існує апроксимація шуканих складних функцій простими, тому в альтернативному методі лінеаризації операція проектування замінюється мінімізацією, в допустимій області X овипукленої задачі, лінійної функції, утвореної квазіградієнтом (10): (D(F0(хs)),(x-x0)), на відміну від класичного підходу з мінімізацією лінійної функції, утвореної субдиференціалом: (?F0x(хs),(?x)). Процедура методу аналогічна до відомого, тобто якщо функція F0(х) має похідні, Х -- опукла замкнена множина і якщо градієнт F0x(х) існує, то метод лінеаризації полягає у тому, що для спрогнозованого початкового наближення х0 і для наближення після s-ої ітерації хs, розв'язується підзадача мінімізації лінійної функції вигляду: (F0x(хs),(x-x0)), за наявності обмежень xX.

Якщо s-- розв'язок цієї задачі, то нове наближення знаходиться рекурентно з формули адаптації: хs+1=хs+сs(s-хs), s=0,1,…, де сs[0,1]. X?опукла замкнена множина, а сs[0,1], тому xs+1X. Коли відомі значення функції F0(х), крок сs обирається таким, щоб в напрямку руху s-хs функція спадала з умови мінімізації: F0(хs+1)=(хs+сs(s-хs)). Якщо невідома локалізація мінімуму, то у випадкову частину задачі вводиться фільтрація з екстраполяцію. Тоді функції ai(s)=ai(s)*+дs* (дs*- шум), а bi(s) в (17)-(19) вже отримуються в результаті розв'язків задач фільтрації з прогнозом. При цьому дія шуму аналогічна адитивній дії деякої невизначеності рухів на мінімум.

Метод проекції стохастичних квазіградієнтів в умовах шуму.

Альтернативний метод проекції стохастичних квазіградієнтів в умовах адитивного шуму hs визначається іншим квазіградієнтним проектуванням: xs+1=рX(xs?бsсs(зi(s)+hs), де s=0,1,…,- ітерації, i=0,1,2,…,m, рX(*)-оператор проектування стохастичного квазіградієнта в сенсі (10) зi(s)=Rбs(D(Fі(xs))) на квазідиференційовну множину X, сs- крок ітерації, бs- нормуючий множник.

Практично послідовності xs(щ) обмежені, бо мають зрізані закони розподілу, а шум вважається "білим". На відміну від відомого методу обирається проекція вектора зi(s)=(зi1,зi2,…,зin) квазіградієнта за лінійною оцінкою. Якщо зі(хs)=, де ej-орт j-ї вісі координат змінних, а ¦bi(s)¦Сі?s, i=0,1,2,…,m, Cі-сталі, ?s-точність s-го кроку, то вказаний метод перетворюється в метод стохастичної апроксимації із шумом, окремим випадком якої є лінеаризація з шумом. На рис.3.? цільова функція f(x) з шумом і з трендом f1(x), а на рис.4. ? типовий графік поведінки цільової функції zt(t,щ) з шумом, сформованої з оцінкою значень f0(x,щ).

Оскільки для шуму М[hs]=0, то: (s+1)=(s)-(f0(xs,иs)?(s)). Отже, для усереднення(s) не потрібно тримати в пам'яті усю послідовність F0(хs). Достатньо використовувати послідовність f0(xs,иs) і розв'язувати задачу фільтрації з екстраполяцією. В роботі доведені відповідні теореми, аналогічні теоремам 3, 4, про збіжність пошуку. Щоб мати можливість "проскакувати" локальні екстремуми, в метод вводиться відома процедура "важкої кульки".

У четвертому розділі розроблено альтернативні стохастичні квазіградієнтні методи оптимізації типу вкладень на основі теорії інтерполяції стаціонарних випадкових функцій як без шуму, так і з шумом.

Постановка задачі оптимізації в цілому відповідає (17)-(19), але вводиться додаткова умова: зi(s)D(Fі*(x*s)), оскільки сітка спостережень x*s оцінки цільової функції Fі* при інтерполяції вносить обмеження на послідовність наближень x0,x1,…,xs,… і на квазіградієнт зi(s) в сенсі (10).

При цьому в умовах кроків руху для стаціонарного випадкового процесу о(t) із заданою спектральною щільністю f(л)={fkj(л)}k=1,…,nj=1,…,n, оцінювання похибки інтерполяції рахується в середньоквадратичному для проекції о^k(t) значень оk(t), tTk на лінійне замикання H(Т) відомих величин оk(t), tTk, k=1,…,n. Це відповідає побудові квазіфейєровських послідовностей g(n) при додаткових спостережуваннях. Доводяться теореми, аналогічні теоремам 3, 4 про збіжність процедури. І для оператора Rв(оs) ростягу простору визначається i-ий напрямок руху: xi(s+1)=xi(s)-sсsВsRв(оs),i=1,…,m; s=0,…,n:¦As(хsх)¦nсs, де хs=хs(VФs) - центр стохастичного еліпсоїду Фs, який інтерполюється за стаціонарним випадковим процесом о(t) із заданою спектральною щільністю f(л). Усереднена оцінка наближення xs+1 відповідає обмеженню: gі(хs)А, а сsRбs(D(Fі(xs))) - напрямок руху на мінімум в межах сітки спостережень А, бsgі(хs)/||gі(хs)|| - крок руху на мінімум в умовах інтервального обмеження А. Випадкові функції ai(s) та bi(s) в (17)-(19) отримуються в результаті розв'язків задач інтерполяції. Спочатку інтерполюється напрямок руху на мінімум, а потім прогнозується крок руху бsgі(хs)/||gі(хs)||=бsдs. Оцінками лінійних перетворень обмежується об'єм локалізації мінімуму для визначення нового інтервалу локалізації.

Метод стохастичних еліпсоїдів.

Якщо доведено з інших джерел існування мінімуму: {0}D(F(x*)), то цільова функція буде обмежена з мінімумом в точці x*, розташованому в кулі S(х*,R) радіуса R із центром в х*: x*S(х*,R), або ¦х-х*¦R. Домен з x* розміщується у внутрішній частині кулі S і випробування з F(x) виконуються у сферичному околі спостережень початкової сітки наближень.

Альтернативний ітеративний алгоритм стохастичного методу еліпсоїдів починається, як і відомий детермінований метод еліпсоїдів, але із прогнозованого початкового наближення х0n.

Після овипуклення цільової функції субградієнт g0=g0(х0)?F(х0) нормується у вигляді: о0=g0/¦g0¦ і перший крок алгоритму проводиться за формулою: х1=х0-б0с0В0о0, де б0>0 -деякий кроковий множник, який при одиничній матриці В0 співпадає з ітерацією звичайного субградієнтного методу з б0-ростягом простору. В результаті обчислень після s=1,2,… кроків процедури отримані значення: хsX n і матриці Вs розмірності n n, сs> 0, то запишемо s+1-крок:

1. Обчислювальне значення субградієнта gs=gs(хs)?F(хs) нормується і прогнозується напрямок руху (якщо gs(хs)=0, то хs - шукана точка):

оs= Вs*gs(хs)/¦Вs*gs(хs)¦.

2. Записується s+1-точка: хs+1=хs-бsсsВsоs, причому Вs+1=ВsRв(оs) для оператора Rв(оs) ростягу простору із сталим коефіцієнтом в. В напрямку оs наступний крок буде таким:

сs+1=сsr(n), де r(n-1)=.

Послідовність точок {хs}, s=0,1,…,N, яка генерується вказаним алгоритмом, задовольняє нерівності:

¦As(хsх*)¦ сsn, а As=Вs1, s=0,1,…,N,

де N - велике число, за якого алгоритм збігається із заданою точністю е до шуканого розв'язку х*, коли вираз: gN(х*)=0, або визначається так:¦gN(х*)¦= е>0.

Множина точок х відповідає еліпсоїду Фs, об'єм якого дорівнює виразу:

V(Фs)=

і зменшується за геометричною прогресію із знаменником qk (V0-об'єм одиничної k вимірної кулі. Величина V(Фs) на рис.5-об'єм еліпсоїда 2, в якому локалізується точка мінімуму, як центр еліпсоїду). У стохастичному випадку локалізації мінімуму еліпсоїд 2 змінюється на деформований еліпсоїд 1.

Стохастичний метод відтинань.

Маючи оцінки дотичних до ліній рівня, розглядається альтернативний лінійний стохастичний метод відтинань за квазіградієнтами в сенсі (10).

Після прогнозування початкового наближення розв'язується підзадача мінімізації (або максимізації) цільової функції в допустимій області змінних і в допустимій області розташування дотичних, які обмежують область, що відкидається. Застосування методу аналогічно, як і при лінеаризації.

В стохастичному методі відтинань може ставитись як задача чистої фільтрації, так і задача фільтрації з інтерполяцію.

Метод стохастичних еліпсоїдів в умовах шуму.

У стохастичному випадку із шумом процес локалізації мінімуму показано, зокрема, на рис.6 деформованим еліпсоїдом, який (коли шум відфільтровано) розглядається як стохастична адитивна сукупність деякої кількості недеформованих еліпсоїдів із випадковими центрами, які інтерполюються. Для усереднених значень центра еліпсоїда хs при відфільтрованому шумові, ітеративний алгоритм повторює алгоритм цього ж методу без шуму.

Висновки

В роботі отримано узагальнення побудови оцінок лінійних перетворень випадкових функцій в стохастичній оптимізації при залученні додаткової інформації про так звані "резонансні яри" неопуклої цільової функції у статистичних задачах системного аналізу, зокрема у оптимізації та керуванні.

В результаті проведених досліджень у дисертаційній роботі отримано нові (альтернативні) процедури квазідиференціального аналізу, прогнозування, фільтрації та стохастичної оптимізації складних систем. В сукупності ці результати розв'язують важливу, як з теоретичної, так і з практичної точок зору, проблему оптимальної лінійної екстраполяції, інтерполяції та фільтрації випадкових функцій в сенсі їхнього застосування до окремого класу неопуклих негладких задач оптимізації і керування.

У процесі роботи над дисертацією автором отримані такі наукові і практичні результати, які виносяться на захист:

вперше запропоновано локальний аналіз початкових значень і поведінки "резонансних ярів" цільової функції в окремому класі негладких неопуклих задач оптимізації та керування і доведена збіжність процедур оптимізації у таких задачах. Це дає можливість ефективного використання інформації на початку оптимізації;

на основі додаткової інформації про "яри" цільової функції (глибини залягання, нелінійності прямування, крутизни схилів, біфуркації траекторії) вперше визначено альтернативну процедуру пошуку екстремуму у збіжних квазіградієнтних методах як у детермінованій, так і у стохастичній оптимізації. Це підтверджено на тестових "ярових" функціях Розенброка і на окремих практичних прикладах, описаних в [1], [2], [5];

вперше розв'язана задача об'єднання квазіградієнтної процедури оптимізації з прогнозуванням (екстраполяцією, інтерполяцією) та фільтрацією в умовах індикаційних зациклювань на "яру" та відходу від "яра" імітаційних процедур із стаціонарними та коінтеграційними змінними. При зациклюванні звичайного градієнтного методу проводиться альтернативна процедура оптимізації, яка дозволяє знайти "кращу" точку для продовження пошуку екстремуму і утримання на "яру" цільової функції;

розроблено і обгрунтовано доведенням відповідних теорем нову (альтернативну) процедуру квазіградієнтної оптимізації неопуклої цільової функції шляхом овипуклення такої функції в околі "яру" і, таким чином, поширення дії відомих методів оптимізації (проектувань, лінеаризації, еліпсоїдів, відтинань) на окремий клас негладких неопуклих задач з "резонансними ярами";

доведена збіжність альтернативних процедур оптимізації та усереднення у квазіградієнтних методах проектування та відтинань, які утримуються в "яру" резонансної неопуклої цільової функції в умовах чистого прогнозування (без шуму) та фільтрації цільової функції (із шумом).

Список опублікованих праць автора за темою дисертації

1. Матусов Ю.П. Стохастична градієнтна оптимізація на деяких випадкових функціях з обмеженнями. / Матусов Ю.П. - // Київ. Нац. Універ. ім. Тараса Шевченка "Вісник", сер. "Математика. Механіка". - 2002.. - вип. 7-8. - 143 с. - вип.8. - с. 89-94. : іл., - Бібліогр.: с. 94. - 500 пр. - ISSN 1814-1163.

2. Матусов Ю.П. Застосування квазідиференціального аналізу до детермінованих та стохастичних задач оптимізації. / Матусов Ю.П. [зб. пр. Ін-ту матем. НАН України, "Пробл. Аналіт. механіки"/ Відп. ред.: В.В. Новицький. - т. 3. - №1. - 2006. - 283 с. - с. 139-152.: іл., - Бібліогр.: с. 152. - 300 пр. - ISSN 1815-2910.

3. Матусов Ю.П. Про збіжність квазіградієнтних стохастичних методів оптимізації. / Матусов Ю.П. [зб. пр. Ін-ту матем. НАН України, "Пробл. динаміки та стійкості багатовим. систем" / Відп. ред.: І.О. Луковський. - т. 4.- №2. - 2007. - 336 с. - с. 181-188: - Бібліогр.: с.188. - 300 пр. - ISSN 1815-2910. (в пер.).

4. Матусов Ю.П. Застосування похідної Ф. Кларка у квазідиференціальних методах стохастичної оптимізації. / Матусов Ю.П. // Наукові вісті НТУУ "КПІ". - №3(59). - 2008.- 163 с. - с.33-42.: іл 4., - Бібліогр.: с. 41, 42. - 200 пр. - ISSN 1810-0546.

5. Черний Б.С. Теория термокомпенсированных составных диэлектрических СВЧ-резонаторов. / Черний Б.С., Ильченко М.Е., Матусов Ю.П, // Академия наук СССР. - "Радиотехника и электроника". - т. XXIV. - №2. - М.: 1979. - 256с.- с. 242-247: илл. 2 - Библиогр.: с. 247. - 300 экз.

6. Матусов Ю.П. Про стохастичну квазіградієнтну оптимізацію і екстраполяцію кроків деяких випадкових функцій в інституціональних задачах. / Матусов Ю.П. - // "Наук. праці Дон. Нац. Техн. Універ.", сер. "Економічна". - 2003. - вип. 56. - Донецьк: ДонНТУ. - 256 с. - с. 211-217: іл. 3, - Бібліогр. 12: с. 216, 217. - 300 пр. - ISSN 1680-0044: Міжн. конф. - "Пробл. Совр. экон. и институциональная теория". - ДонНТУ. - Донецьк. - 27-28 січня 2003.

7. Матусов Ю.П. Про задачі інтерполяції деяких випадкових функцій і побудову стохастичного методу еліпсоїдів. / Матусов Ю. П. - // Міжн. наук. конф. "Шості Боголюбовські читання", Чернівці, 26-30 серпня 2003, тези доп., К., 2003, с. 146.

8. Матусов Ю.П. Про задачу оцінки фільтрації невідомого середнього деяких випадкових функцій в умовах стохастичної квазіградієнтної оптимізації. / Матусов Ю.П. // Журнал обчислювальної та прикладної математики, 2004, №2(91), 145 с, (с. 114).

9. Матусов Ю.П. О задаче стохастической квазиградиентной оптимизации в условиях коинтегрированности переменных. / Матусов Ю.П, Чепель М.Ю, Ма Пин. // Межд. конф."Проблемы управления и приложения (техн., произв., экон.)", Минск, Беларусь, 16-20 мая 2005, тез. докл., Минск, 2005.

10. Матусов Ю.П. Стратегії запізнення в сценаріях моделі розподіленої ринкової економіки / Матусов Ю.П., Заборовець М.О. // Міжнародна конференція "Сучасна стохастика: теорія і застосування", Київ, 19-23 червня 2006, тези доп, К., 2006.

11. Матусов Ю.П. До питань застосування похідної Кларка у квазідиференціальних методах стохастичної оптимізації. / Матусов Ю.П. // Міжнародний симпозіум "Питання оптимізації обчислень (ПОО-ХХХІІІ)", Крим, Велика Ялта, смт. Кацивелі, 23-28 вересня 2007, тези доп, К., 2007. - с. 194, 195.

Размещено на Allbest.ru

...