Математичне моделювання в задачах аналізу та синтезу багаторефлекторних квазіоптичних антен та відкритих хвилеводів

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

НАЦIОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ НАУК УКРАїНИ

IНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ iм. А.М. ПIДГОРНОГО

УДК 517.968.519.6

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Математичне моделювання в задачах аналізу та синтезу багаторефлекторних квазіоптичних антен та відкритих хвилеводів

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Носич Андрій Олександрович

Харків - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразiна Міністерства освіти i науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук Гандель Юрій Володимирович професор кафедри математичної фізики та обчислювальної математики Харківського національного університету ім. В.Н. Каразiна.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук Куриляк Дозислав Богданович старший науковий співробітник, завідувач відділу Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Душкін Володимир Давидович, професор кафедри фундаментальних дисциплін Академії внутрішніх військ МВС України.

Захист відбудеться "29" жовтня 2009 р. о 14:00 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.180.01 в Інституті проблем машинобудування iм. А.М. Пiдгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Пiдгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм. Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий "22" вересня 2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор технічних наук О.О. Стрельнiкова.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Робота присвячена побудові двовимірних математичних моделей електромагнітних полів, що сформовані багаторефлекторними ідеально провідними (ІП) циліндричними антенами і відкритими хвилеводами, на основі сингулярних інтегральних рівнянь (СІР), розробці ефективної чисельної схеми аналізу рефлекторів та хвилеводів за допомогою методу дискретних особливостей (МДО), дослідженню електродинамічних характеристик побудованих математичних моделей та розвитку методу їх чисельної оптимізації й синтезу на базі МДО та методу градієнтного спуску (МГС). Раніше за допомогою МДО вивчалися лише моделі розсіювачів, що були співвідносні за розмірами з довжиною хвилі. Виникла необхідність поширити МДО на задачі розсіювання хвиль на структурах, які складаються із великої кількості криволінійних елементів - тонких металевих дзеркал або рефлекторів, великих відносно довжини хвиль.

Електромагнітне моделювання рефлекторів зазвичай проводиться оптичними і «квазіоптичними» методами, що використовують принципи геометричної та фізичної оптики, а також методами, що ґрунтуються на скінчено елементному і скінчено різницевому представленні відповідних рівнянь. Як важливі та корисні, ці методи не здатні охарактеризувати всі хвильові ефекти і можливі резонансні явища, особливо, якщо рефлекторів два або декілька, і вони розташовані близько один від одного. Скінченно-різницеві методи, додатково, вимагають величезних обчислювальних потужностей.

В дисертації розроблено, розширено і обґрунтовано підхід до побудови математичних моделей задач дифракції, що ґрунтуються на МДО - ефективному методі чисельного вирішення СІР, заснованого на рівняннях Максвелла для електромагнітних полів із точними граничними умовами і умовами випромінювання на нескінченності. Ключовим моментом тут є ефективна дискретна математична модель, яка реалізується за допомогою чисельного алгоритму, що швидко збігається та має контрольовану точність. Розроблений підхід використовується для точного аналізу рефлекторних антен і хвилеводів і їх оптимізації. Особливо актуальною є розробка математичних моделей багаторефлекторних систем, де кожне дзеркало має розміри в декілька десятків довжин хвилі - саме такі рефлектори звичайно звуться квазіоптичними.

Математичні моделі, побудовані в дисертації, частково зв'язані з результатами, отриманими раніше такими вченими як Ю.В. Гандель, I.К. Лiфанов, З.Т. Назарчук, Д.Б. Куриляк, С.М. Білоцерковський, Н.Н. Войтович, В.Д. Душкін, J.L. Tsalamengas, T. Magath, R. Sauleau, L. Felsen, A. Matsushima.

Зв'язок роботи із науковими планами, програмами, темами

Дисертація пов'язана з дослідженнями, що проводяться на кафедрі математичної фізики і обчислювальної математики механіко-математичного факультету Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за темою "Математичне моделювання фізичних процесів та чисельний експеримент" (№ ДР 01040U002366 від 22.03.2004). Вона також пов'язана з науковою роботою за проектом ”Gradient optimization applied to reflectors and filters”, що проводилася спільно з кафедрою високих частот технічного університету Гамбург-Харбург, м. Гамбург, Німеччина і компанією Panasonic Electronic Devices Europe GMBH, за проектами "Processing of light with micro-scale to nano-scale mirrors and lenses for the emerging optoelectronic applications" (#103E037) та “Innovative electromagnetic modeling of multielement quasioptical focusing systems for millimeter, sub-millimeter and terahertz ranges” (#106E209) спільно із відділом обчислювальної електродинаміки ІРЕ НАН України, м. Харків і кафедрою електротехніки і електроніки Університету Бількент, м. Анкара, Туреччина, а також за проектом “Electromagnetic modeling and simulation of lenses and resonators for emerging applications in photonic and THz systems” спільно із Університетом Рен-1, Франція.

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень є побудова та обґрунтування математичної моделі - системи сингулярних інтегральних рівнянь першого роду, до якої аналітичними методами зведено задачу аналізу розсіювання Е-поляризованої хвилі на двовимірних контурах довільної гладкої форми та будь-якої кількості, а також побудова дискретних математичних моделей для проведення чисельних експериментів зі знаходження та оптимізації електродинамічних характеристик багато-рефлекторних антенних систем та хвильоводів, що розглядаються. Для досягнення цієї мети в дисертації поставлено та розв'язано низку таких задач:

- розробка двовимірних математичних моделей декількох типів рефлекторних антен, які застосовуються в сучасній техніці, для випадку монохроматичної падаючої хвилі;

- проведення чисельних експериментів на базі розроблених дискретних моделей з обчислення найважливіших характеристик (діаграм спрямованості дальнього поля, амплітуди та фази поля у ближній зоні та коефіцієнтів спрямованості) розсіяного поля у присутності одного або декількох рефлекторів;

- розробка алгоритмів для чисельної оптимізації побудованих математичних моделей антенних систем за геометричними параметрами;

- побудова та обґрунтування дискретної математичної моделі синтезу контуру рефлектора для випадку Е-поляризації, що проводиться на базі комбінування МДО та МГС та за допомогою нового СІР для градієнта цільової функції, що є різницею між повним полем та полем, заданим на деякому контурі порівняння.

Об'єктом дослідження дисертації є випромінювання, передача, розсіювання і фокусування електромагнітних хвиль за допомогою одного або декількох тонких металевих рефлекторів (дзеркал).

Предметом дослідження є двовимірні математичні та дискретні моделі циліндричних багаторефлекторних антен і відкритих хвилеводів електромагнітних хвиль.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи математичної фізики, теорії інтегральних та диференціальних рівнянь, лінійної алгебри, обчислювальні методи, зокрема метод дискретних особливостей, та методи об'єктно-орієнтованого програмування.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Вперше розроблено математичні моделі багаторефлекторних квазіоптичних антен та хвилеводів із довільно розташованими дзеркалами за допомогою МДО, що дозволило проводити їх чисельний аналіз а також досліджувати їх електродинамічні характеристики.

2. Вперше отримані системи зв'язаних СІР моделей багаторефлекторних антен для випадку Е-поляризації падаючого поля, а також побудована відповідна дискретна модель задачі дифракції. Такий підхід дає можливість чисельно аналізувати математичні моделі антенних систем з кількістю рефлекторів до декількох десятків і розмірами до декількох сотень довжин хвиль, і це ще не є межею для розробленого методу.

3. МДО вперше застосований для чисельного моделювання квазіоптичних багаторефлекторних антен, еліптичних фокусуючих систем, рефлекторних променевих хвилеводів, а також антен у вигляді металево-пластинчатих лінз.

4. Завдяки побудованій ефективній дискретній математичній моделі задачі розсіювання отримана можливість обчислення таких важливих для практиці характеристик, як діаграми спрямованості (ДС) поля в далекій зоні, коефіцієнти спрямованості (КС), інтенсивності поля у вторинних фокусах та інші, а також визначення залежності характеристик від частоти та геометричних параметрів дзеркал і випромінювача.

5. Вперше розв'язано зворотну задачу чисельного синтезу профілю математичної моделі рефлектору по полю, заданому в його близькій зоні. Це стало можливим завдяки розробці комбінації ітеративного методу градієнтного спуску з МДО. Проведено чисельний експеримент щодо синтезу рефлекторного роздільника хвильового пучка на декілька променів.

6. Вперше при побудові математичних моделей багаторефлекторних пристроїв систематично застосовується математична модель комплексного джерела (КД) для опису спрямованого падаючого поля апертурного випромінювача.

Практичне значення отриманих результатів

У дисертації розроблені і апробовані ефективні математичні моделі задач аналізу і синтезу двовимірних ІП рефлекторів на основі СІР, МДО, і МГС. Ці моделі дозволяють з контрольованою точністю проводити електродинамічний аналіз рефлекторів довільних геометричних параметрів. Чисельний аналіз декількох математичних моделей, таких як, наприклад, антена Кассегрена, парабола-кут, хвилевід ізіз співфокусних еліптичних дзеркал, дозволив суттєво поглибити розуміння складних хвильових явищ, що супроводжують формування електромагнітних полів криволінійними рефлекторами. Математичні моделі таких антен і хвилеводів раніше ґрунтувалися на короткохвильових наближеннях і не дозволяли врахувати повною мірою всі хвильові ефекти, пов'язані зі взаємним впливом різних частинчастин одного рефлектора одна на іншу, чи впливом різних рефлекторів системи антен один на одного. математичний антена чисельний

В дисертації проведено чисельний експеримент з ефективного синтезу моделей рефлекторних пристроїв типу роздільника хвильового пучка із застосуванням ефективної комбінації МГС та МДО. Розроблені алгоритми можуть бути використані для точного та швидкого проектування і оптимізації геометричних параметрів інших пристроїв, важливими компонентами яких є металеві рефлектори.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, що викладені в дисертації, належать авторові. У роботах, що написані у співавторстві, здобувачеві належать такі результати: у статтях [3,7-10,14,16,18-22], пов'язаних з розробкою чисельного методу будування математичних моделей рефлекторів, його внесок полягає у виведенні основних рівнянь, розробці програмного забезпечення і інтерпретації отриманих чисельних результатів; у роботах, пов'язаних з синтезом рефлекторів [4,12,13,15,17], його внесок полягає в виведенні основних рівнянь, розробці оптимізаційних алгоритмів, а також інтерпретації і обробці чисельних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на таких національних та міжнародних конференціях та симпозіумах:

· Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (МДОЗМФ-03, МДОЗМФ-05)

· International Conference on Infra-Red and Millimeter Waves (IRMMW-03)

· International Symposium on Antennas and Propagation (ISAP-04)

· Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET*04, MMET*06)

· IEEE International Microwave Symposium (IEEE IMS-05)

· European Microwave Conferences (EuMC-06, EuMC-07, EuMC-08)

· European Conferences on Antennas and Propagation (EuCAP-06, EuCAP-09)

· IEEE Antennas and Propagation Symposia (IEEE APS-07, APS-08)

· VII Харьковская конференция молодых ученых (YSC-RPME-07)

· Microwave Radar and Remote Sensing Symposium (MRRS-08)

Окрім того, вони доповідались здобувачем на наукових семінарах Північно-Східного українського наукового центру НАН України (керівник - проф. Ю.В. Гандель) та відділу обчислювальної електродинаміки Інституту радіофізики та електроніки НАН України (керівник - проф. А.О. Кириленко), у школі-семінарі "МДОЗМФ" в Орловському держ. університеті, м. Орел, Росія; на кафедрі вищої математики ХНУРЕ на науковому семінарі ім. М.А. Хіжняка "Современные проблемы электродинамики" (керівник - проф. О.Г. Нерух); на кафедрі электротехніки и электроніки Університету Бількент, Анкара, Турція (керівник - проф. A. Altintas), кафедрі техніки високих частот Технічного університету Гамбург-Харбург, м. Гамбург, Німеччина (керівник - проф. K. Schuenemann), технічному факультеті університету м. Кіль, Німеччина, кафедрі електротехніки, електроніки та телекомунікації Університету Чуо, Токіо, Японія (керівник - проф. K. Kobayashi), кафедрі прикладних наук Університету Ніхон, Токіо, Японія (керівник - проф. T. Yamasaki), кафедрі електротехніки та обчислювальної техніки Університету Кумамото, Кумамото, Японія (керівник - проф. Y. Okuno), кафедрі обчислювальної техніки Університету Гіфу, Гіфу, Японія (керівник - проф. K. Tanaka) і кафедрі комп`ютерних наук та телекомунікацій Університету Кюшу, Фукуока, Японія (керівник - проф. K. Yasumoto).

Публікації. Основні результати, викладені в дисертаційній роботі, опубліковані в 22 наукових працях, з них 5 статей у наукових журналах, та 17 - у збірниках праць наукових конференцій та симпозіумів.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи складає 137 сторінок тексту, містить 56 рисунків, список використаних джерел складається з 117 найменувань на 14 сторінках.

Основний змiст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, зазначено її зв'язок з науковими темами Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, де виконувалась робота, та інших організацій, співпраця з якими мала місце. Сформульовано мету i задачі дослідження. Вказуються об'єкт, предмет та методи дослідження, розкривається наукова новизна та практичне значення отриманих результатів. Наведена інформація про публікації та апробацію викладеного матеріалу, а також відзначено особистий внесок здобувача.

У першому розділі наведений огляд літератури за темою дисертації. Розглянуті існуючі математичні методи моделювання рефлекторних антен і відкритих хвилеводів та їх недоліки при застосуванні до задач дисертації. Розкриті фізичні основи принципу дії рефлекторних антен, що моделюються: дзеркальні багаторефлекторні антени, еліптичні фокусуючі системи, відкриті хвилеводи та металево-пластинчаті лінзи. Проведений історичний аналіз МДО і сфер його застосування в математичному моделюванні розсіювання електромагнітних хвиль. Розглядається ефективність МДО в задачах синтезу рефлекторів для випадку Е-поляризації.

У другому розділі побудована модель дзеркальної антени, що складається з циліндричного металевого рефлектора і апертурного випромінювача. Рефлектор моделюється перерізом нескінченно тонкого ІП циліндричного екрану L, що є паралельним осі z, випромінювач також є паралельним цій же осі та має переріз у вигляді прямолінійного відрізку.

Досліджується дифракція на вказаному рефлекторі монохроматичної Е- поляризованої хвилі. Повне поле у присутності рефлектора описується сумою

U_повн = U + U₀,

де U - шукане розсіяне поле, а U₀ - відоме падаюче поле.

Для функції поза рефлектором має виконуватися рівняння Гельмгольця

,

де - хвильове число, с - швидкість світла, і - довжина хвилі. В разі Е-поляризації на контурі рефлектора L має виконуватися гранична умова Діріхле. Крім того, U має задовольняти умові випромінювання Зоммерфельда і умові Майкснера на ребрах, тобто на краях L. Ці умову гарантують єдинність розв'язку сформульованої задачі розсіювання. Поставлена задача зводиться до інтегрального рівняння (ІР) першого роду щодо невідомої функції електричного струму j на L

Після параметризації контуру L за допомогою рівнянь

де , а також з урахуванням умови Майкснера для функції j(t) та заміни

де v(t) - нова гладка шукана функція), отримуємо таке ІР з логарифмічним ядром для v(t):

Для рівняння доведена можливість диференціювання під знаком інтеграла. Використовуючи властивості введених інтегральних операторів, доведено еквівалентність рівняння СІР з ядром Коші і додатковою умовою.

Далі вводиться інтерполяційний поліном функції K(t,t₀) ступеня n-1 по змінній t і ступеня n-2 по t₀, функція з вузлами в нулях поліномів Чебишева I роду , та точками коллокації в нулях поліномів Чебишева II роду , при цьому . Також вводиться інтерполяційний ступеня n-1 функції M(t), при цьому . Задача отримання наближеного значення функції v(t) зводиться до находження полінома v_n(t) ступеня n-1, що задовольняє СІР з додатковою умовою:

Для дискретизації СІР з додатковою умовою (4) побудовані дискретні математичні моделі у вигляді систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) на основі квадратурних формул інтерполяційного типу для невласних і сингулярних інтегралів.

Розв'язуючи цю СЛАР, отримаємо наближення до функції v(t) у вигляді інтерполяційного полінома v_n(t) з вузлами в нулях поліномів Чебишева I роду .

У цьому розділі також виведені СІР загального вигляду для математичних моделей багаторефлекторних антен. В разі системи з m рефлекторів, що, наприклад, створює квазіоптичну лінію передачі пучка хвиль, мають місце системи СІР задачі дифракції на m контурах . В цьому випадку повне поле має вигляд

,

де U_q - поле, розсіяне q-м рефлектором.

В разі Е-поляризації граничні умови задачі розсіювання хвиль на m рефлекторах приводять до m зв'язаних ІР з логарифмічними ядрами

Використовуючи результати, отримані для одного контуру, будується дискретна математична модель задачі розсіювання для довільної кількості контурів в вигляді системи СІР з додатковими умовами. Дискретизація цієї системи проводиться аналогічно однорефлекторному випадку та приводить до блочної СЛАР з блоків, де кожен з діагональних блоків має той же вигляд, як (5) та розмір , а - порядок дискретизації кожного рівняння системи СІР.

У розділі також детально розглянута математична модель падаючого поля - так званого комплексного джерела. Напруженість його електричного поля здається функцією , яка строго задовольняє рівняння Гельмгольця і має 2 точки розгалуження, . З'єднуючий їх розріз довжини 2b розглядається як модель апертури рупорного випромінювача, причому параметри 2b, (x₀,y₀) характеризують ширину, кут орієнтації та положення центра апертури рупора, що моделюється полем КД. Це поле має направлений характер як в близькій зоні, так і в далекій зоні, де воно неперервним чином переходить в циліндричну хвилю, що уходить. Показано, що параметр kb відповідає за спрямованість падаючого поля.

В кінці розділу приведені одержані чисельно графіки максимальної похибки квадратурних формул і середньоквадратичної похибки розрахунку ДС як функції порядку дискретизації n для параболічних дзеркал з різними апертурами. Результати моделювання рефлекторних антен за допомогою МДО порівнюються з результатами моделювання таких самих антен іншими методами, дослідженими іншими авторами, що доводить їх достовірність.

У третьому розділі, приведені результати чисельних експериментів, що були отримані за допомогою розробленого програмного забезпечення (ПЗ) у середовищі Mathworks MATLAB, з побудови математичних моделей багаторефлекторних систем антен, еліптичних фокусуючих систем, відкритих променевих хвильоводів та металево-пластинчатих лінз для випадку Е-поляризованої падаючої хвилі, а також їх чисельна оптимізація за геометричними параметрами. Розглянуті наступні моделі антен:

1. Параболічне дзеркало. Побудована та обґрунтована математична модель простішої дзеркальної антени у вигляді одиночного довільно розташованого фрагменту перерізу параболічного циліндра, опромінюваного КД з геометричного фокусу параболи. Контур рефлектора, заданий як (p - фокальний параметр, фокусна відстань f = p/2).

2. Фокусування пучка фрагментами еліпса. Побудована математична модель еліптичного фокусуючого дзеркала у вигляді фрагмента перерізу еліптичного циліндра. Рефлектор задається як , де a₁ - велика, і a₂ - мала напіввісь. Джерело знаходиться в першому фокусі F₁ еліпса. Відображений пучок фокусується в другому фокусі F₂ напівеліптичного рефлектора.

3. Антена Кассегрена. Розглядається побудова математичної моделі класичної двохрефлекторної антени Кассегрена, що використовує в своїй конструкції фрагменти перерізів гіперболічного та параболічного циліндрів. У несиметричному випадку, поряду із збільшенням компактності системи, субрефлектор на затьмарює вихідне випромінювання, як в разі симетричної антени, що покращує її КС. Проведено розрахунки антен з рефлекторами розміром до 100.

4. Антена «парабола-кут». Розглядається переріз антени «парабола-кут», складеної із параболічного циліндра та кутового рефлектора. Ця антена призначена для азимутального рівномірного покриття з горизонтальним або злегка нахиленим головним пелюстком ДС. Джерело випромінювання знаходиться у фокусі параболічного субрефлектора, а вершина кутового головного рефлектора обрізана та містить в собі КД, причому цей рефлектор має внутрішній кут 90⁰ для забезпечення горизонтально направленого головного пучка.

5. Хвилевід з еліптичних рефлекторів. Розглянуто систему, що складається зі скінченного числа ідентичних дзеркал - фрагментів перерізу співфокусних еліптичних циліндрів. Джерело, що моделюється полем КД, знаходиться в першому фокусі першого рефлектора і освітлює його середину.

6. Металево-пластинчаті лінзові антени (МПЛА). Побудовано математичну модель МПЛА, що складається з великої кількості плоских паралельних металевих пластин. Завдяки підбору положення пластин та їх довжин і відстані поміж ними фазовий фронт на виході з лінзи може бути скоригований, і падаючий пучок хвиль первинного випромінювача може бути сфокусований в близькій зоні або на нескінченності.

У четвертому розділі проведено чисельний експеримент синтезу двовимірного рефлекторного роздільника хвильового пучка на декілька променів на базі МДО та МГС для випадку Е-поляризації. Завдяки своїй гнучкості і швидкості МДО є перспективною основою побудови оптимізаційної платформи для синтезу двовимірних рефлекторів. Враховуючи це, розглядається МГС для побудови математичної моделі синтезу контуру одиночного рефлектора заданим розсіяним полем на заданому контурі порівняння.

Задача синтезу формулюється таким чином: за відомим падаючим полем U₀ та заданим полем на контурі порівняння S₂, потрібно визначити гладкий відкритий контур рефлектора S₁ (тобто його параметризацію , ), для якого розсіяне поле U мінімально відрізняється від заданого розсіяного поля .

Головною метою будування математичної моделі задачі синтезу є знаходження чисельного значення конкретного цільового функціоналу (позначимо його як ), та компонент його градієнта. Треба знайти такі функції щоб функціонал був мінімальним. У термінах -норми цільовий функціонал має вигляд скалярного добутку з чебишевською вагою

:

де (t₂) - залишкова функція (нев'язка) на S₂, тобто різниця між розсіяним полем, отриманим в ході оптимізації, і полем, заданим на контурі порівняння S₂:

Використовуючи визначення спряженого оператора та вирази (8) та (9), аналітично отримані компоненти градієнту цільового функціоналу. Усі ядра допоміжних ІУ, що входять в вираз цього градієнту або мають особливість ядра типу Коші та ефективно дискретизуються за допомогою квадратурних формул інтерполяційного МДО, або є гладкими. Таким чином, отримані чисельні значення компонент градієнта цільового функціоналу у вузлах інтерполяції - нулів поліномів Чебишева I роду. Цільовий функціонал далі мінімізується вбудованим в MATLAB ітеративним методом Ньютона, який, в ході пошуку оптимального результату, знаходить локальний розв'язок поставленої задачі синтезу.

На базі математичної моделі задачі чисельного синтезу рефлекторів було розроблено відповідне програмне забезпечення. Для підтвердження ефективності комбінованого алгоритму МДО-МГС було проведено декілька чисельних експериментів із синтезу квазіоптичних однорефлекторних роздільників (симетричних та несиметричних) падаючого хвильового пучка на декілька променів або плям. В процесі чисельного синтезу було знайдено таку конфігурацію математичної моделі рефлектора, що розділяє падаюче поле на пучків, що створюють плям на контурі порівняння. Порівняння амплітуд бажаного і кінцевого полів на S₂ показує точність, з якою виконано задачу на синтез після 6 ітерацій. Близьке поле синтезованого контуру демонструє складну картину інтерференції, що забезпечує фокусування пучка на п'ятьох підінтервалах А-Е.

Висновки

Складні електродинамічні системи, що використовуються в науці й техніці, потребують математичних моделей та ефективних чисельних алгоритмів для їх розрахунку та оптимізації. Існуючі на сьогодні інженерні методи для аналізу багаторефлекторних антен та відкритих хвилеводів, якими зазвичай є оптичні і "квазіоптичні" методи, що використовують принципи геометричної та фізичної оптики, а також методи, що ґрунтуються на скінченно-елементному і скінченно-різницевому поданні відповідних рівнянь, не здатні охарактеризувати всі хвильові ефекти і можливі резонансні явища, особливо, якщо рефлекторів два або декілька і вони розташовані близько один від одного.

Нові математичні моделі багаторефлекторних антен на базі інтегральних рівнянь, що розроблені в дисертації, побудовані з використанням аналітичних методів та чисельно аналізуються за допомогою методів дискретних особливостей, які забезпечують збіжність обчислень при порівняно невеликих витратах комп'ютерного часу. Такий пiдхiд дозволяє проводити швидкий аналіз електродинамічних характеристик багаторефлекторних антенних та хвилеводних систем з необхідною точністю.

Основні наукові i практичні результати, одержані автором, полягають у такому:

1. У дисертаційній роботі вперше побудовано математичну модель багаторефлекторної системи антен. Відповідну двовимірну крайову задачу для рівняння Гельмгольця для випадку Е-поляризації зведено до системи зв'язаних одновимірних СІР першого роду. Чисельний аналіз цих інтегральних рівнянь здійснено на базі ефективної дискретної математичної моделі, яка розроблена в дисертації на основі методів дискретних особливостей.

2. МДО вперше застосований для дискретизації та чисельного моделювання квазіоптичних багаторефлекторних систем антен, еліптичних фокусуючих систем, рефлекторних променевих хвилеводів, а також антен у вигляді металево-пластинчатих лінз.

3. Дискретна модель задачі дифракції хвиль, що базується на СІР та МДО вперше розроблена таким чином, що дала можливість чисельно аналізувати математичні моделі системи з кількістю рефлекторів або пластин до декількох десятків і розмірами до 100 довжин хвиль. Це потребує затрати машинного часу на рівні секунд або хвилин, та з принципіальної точки зору не є межею для розроблених алгоритмів.

4. Вперше побудовано математичну модель на базі нового СІР та проведено чисельний експеримент із синтезу рефлекторного роздільника хвильового пучка на декілька променів за допомогою розробленої в роботі ефективної комбінації МДО та МГС.

5. Доведено, що систематично застосована в дисертації математична модель спрямованого падаючого поля випромінювача у вигляді «комплексного джерела» є цілком адекватною для вивчення близького полю та його фокусування.

6. Вперше чисельно досліджено збіжність вказаного методу при розрахунку дифракції хвиль на квазіоптичному рефлекторі. На чисельному експерименті продемонстровані переваги алгоритму, побудованого за допомогою МДО, порівняно із класичними методами розрахунку квазіоптичних рефлекторів.

7. Розроблено програмне забезпечення, яке дозволило провести чисельний аналіз математичних моделей, побудованих у дисертаційній роботі. Зокрема, проведено чисельний аналіз декількох типів багаторефлекторних систем антен та виконано їх чисельну оптимізацію за геометричними параметрами.

Список опублiкованих праць за темою дисертації

1. Носич А.А. МДО в двумерных моделях зеркальных антенн / А. А. Носич // Радіофізика і радіоастрономія. - Харків, 2004. - Т. 9, № 3. - С. 284-292.

2. Носич A.A. МДО в двумерных задачах моделирования квазиоптических антенн / А. А. Носич // Вісник Харківського національного університету : Зб. наук. праць. - Харків, 2005. - № 661, - С. 201-208. - (Серія Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 4).

3. Nosich A.A. Numerical analysis of quasioptical multi-reflector antennas in 2-D with the method of discrete singularities / A. A. Nosich, Y. V. Gandel // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2007. - Vol. 57, no 2. - P. 399-406.

4. Nosich A.A. Numerical analysis and synthesis of 2-D quasioptical reflectors and beam waveguides based on an integral-equation approach with Nystrom's discretization / A. A. Nosich, Y. V. Gandel, T. Magath, A. Altintas // Journal of Optical Society of America A. - 2007. - Vol. 24, No. 9. - P. 2831-2836.

5. Носич A.A. Дискретная модель открытой квазиоптической волноведущей системы на базе программного обеспечения МДО / А. А. Носич // Вісник Харківського національного університету : Зб. наук. праць. - Харків, 2007. - № 780, - С. 163-173. - (Серія Математичне моделювання. Інформаційні технології. Автоматизовані системи управління; вип. 8).

6. Носич А.А. МДО в задаче дифракции направленной Е-поляризованной волны на идеально проводящем фрагменте параболического цилиндра / А. А. Носич // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики : труды XI международного симпозиума. - Харьков, Херсон, 2003. - С. 193-196.

7. Nosich A.A. Integral-equation analysis of quasioptical reflector beamguide / A. A. Nosich, Y. V. Gandel // International Conference on Infrared and Millimeter Waves (IRMMW-03). - Otsu, 2003. - P. 459-460.

8. Nosich A.A. Method of discrete singularities in accurate 2-D modeling of quasioptical reflector antennas / A. A. Nosich, Y. V. Gandel // International Symposium on Antennas and Propagation (ISAP-04). - Sendai, 2004. - Vol. 1. - P. 233-236.

9. Nosich А.А. MDS analysis of electrically large PACO dual-reflector antenna in 2-D / A. A. Nosich // International Conference on Mathematical Methods in EM Theory (MMET*04). - Dnipropetrovsk, 2004. - P. 412-414.

10. Nosich A.A. MDS in the accurate modeling of a reflector beam waveguide / A. A. Nosich, Y. V. Gandel // International Microwave Symposium (IMS-05). - Long Beach, 2005. - Section WEPA-9.

11. Носич А.А. МДО в двумерных математических моделях зеркальных квазиоптических антенн / А. А. Носич // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики : труды XIII международного симпозиума. - Харьков, Херсон, 2005. - С. 67.

12. Nosich A.A. Numerical gradient integral-equation technique in 2-D shaped reflector synthesis / A. A. Nosich, T. Magath // International Conference on Mathematical Methods in EM Theory (MMET*06). - Kharkiv, 2006. - P. 598.

13. Nosich A.A. Semi-analytical diffraction synthesis of cylindrical Reflector beam splitters / A. A. Nosich, T. Magath // European Microwave Conference (EuMC-06). - Manchester, 2006. - P. 683-686.

14. Nosich A.A. Accurate 2-D design of parabola-cone antenna of quasioptical size / A. A. Nosich, Y. V. Gandel // European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP-2006). - Nice, 2006. - Session SP-626.

15. Nosich A.A. Numerical diffraction synthesis of 2-D quasioptical power splitter / A. A. Nosich, Y. V. Gandel, T. Magath, A. Altintas // 2008 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (IEEE APS 2007). - Honolulu, 2007. - P. 3956-3959.

16. Nosich A.A. Role of edge illumination in the mm-range elliptic reflector beam waveguide performance / A. A. Nosich, Y. V. Gandel // European Microwave Conference (EuMC-07). - Munich, 2007. - P. 376-379.

17. Носич А.A. Применение метода дискретных особенностей к численному синтезу двумерного квазиоптического разделителя луча / А. A. Носич, Ю. В. Гандель, T. Mагат // VII Харківська конференція молодих вчених : матеріали конф. - Харків, 2007. - C. 145.

18. Nosich A.A. Collimation and focusing of wave beams with metal-plate lens antennas analyzed using nystrom-type MDS algorithm / A. A. Nosich, Y. V. Gandel, R. Sauleau, A. Matsushima // 2008 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (IEEE APS 2008). - San Diego, 2008. - Session 237.10.

19. Nosich A.A. Comparison of two configurations of a four-reflector beam-waveguide for a large space communication facility / A. A. Nosich, R. Sauleau, Y. V. Gandel // 2008 Microwaves, Radar and Remote Sensing Symposium (MRRS'08). - Kiev, 2008. - Р. 26-29.

20. Nosich A.A. Full-wave consistent MDS-based simulation of a beam-waveguide circuit fragment for a deep space communication or radio astronomy antenna / A. A. Nosich, R. Sauleau, Y. V. Gandel // European Microwave Conference (EuMC-08). - Amsterdam, 2008. - P. 523-526.

21. Nosich A.A. Accurate modeling and optimization of metallic-plate waveguide lenses / A. A. Nosich, A. Matsushima, R. Sauleau, Y. V. Gandel // European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP-09). - Berlin, 2009. - P. 2167-2170.

22. Khaikin V.B. Simulation and optimization technique for a multi-mirror mm-wave reflector radio telescope with a focal plane array / V. B. Khaikin, M. K. Lebedev, A. A. Nosich // European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP-09). - Berlin, 2009. - P. 495-499.

Анотацiя

Носич А.О. Математичне моделювання в задачах аналізу та синтезу багаторефлекторних квазіоптичних антен та відкритих хвилеводів - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Пiдгорного НАН України, Харків, 2009.

Досліджуються математичні моделі двовимірних задач дифракції монохроматичних Е-поляризованих хвиль на багаторефлекторних квазіоптичних циліндричних системах антен. Рефлектори вважаються нескінченно-тонкими, гладкими та ідеально провідними. Падаюче поле моделюється полем комплексного джерела. Задача зводиться до системи сингулярних інтегральних рівнянь. Для отримання дискретної математичної моделі використовуються квадратурні формули інтерполяційного типа методу дискретних особливостей (МДО). Досліджені реальні багаторефлекторні антени і відкриті хвилеводи. Розроблено новий метод дифракційного синтезу квазіоптичних двовимірних рефлекторів в разі E-поляризації. Метод є комбінацією методу градієнтного спуску (МГС) для оптимізації і МДО для аналізу розсіювачів. Цільова функція є відхиленням поля від заданої функції на певному відкритому контурі. Виведено інтегральне рівняння для градієнта цільової функції, яке розв'язується за допомогою МДО. Ефективність синтезу з МДО-МГС демонструється на прикладі побудови математичних моделей однорефлекторних роздільників хвилевого пучка.

Ключові слова: математичне моделювання, сингулярні інтегральні рівняння, чисельний метод дискретних особливостей, розсіювання і дифракція, рефлекторні антени, синтез рефлекторних антен.

Аннотация

Носич А.А. Математическое моделирование в задачах анализа и синтеза многорефлекторных квазиоптических антенн и открытых волноводов - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2009.

Диссертация посвящена разработке методов и средств математического анализа и синтеза двухмерных моделей цилиндрических многорефлекторных антенн и открытых рефлекторных волноводов. Рассматривался случай Е-поляризованной монохроматической падающей волны. В качестве основного метода численного анализа рефлекторных антенн (РА) используется специальный метод дискретных особенностей (МДО), который основан на сведении интегрального уравнения задачи рассеяния к сингулярному интегральному уравнению (СИУ) первого рода с дополнительным условием. Далее дискретизация СИУ с использование квадратурных формул интерполяционного типа с узлами в нулях полиномов Чебышева I рода. Точки коллокации выбираются в нулях полиномов Чебышева II рода. Такой подход распространяется на случай многорефлекторных задач и позволяет проводить численный анализ различных систем РА, состоящих из произвольного числа гладких разомкнутых цилиндрических поверхностей.

Выполнено множество численных экспериментов по построению двумерных математических моделей различных конфигураций РА, применяемых в ряде приложений. Для рассмотренных конфигураций многоэлементных РА в качестве анализа эффективности антенн построены графики диаграмм рассеяния, определены наилучшие коэффициенты направленности, построены ближние поля и распределения фазы плоской волны. В качестве источника волн был использован т.н. комплексный источник, моделирующий направленное поле первичного облучателя.

Значительное внимание в диссертации уделено численному синтезу двумерных квазиоптических однорефлекторных антенн при помощи метода градиентного спуска. В этом случае поиск оптимальной формы контура рефлектора происходит в ближней зоне по заданному полю на заданном контуре сравнения, находящемся в зоне интенсивного излучения антенны. Рассматривался случай Е-поляризации. Показано, что это ИУ для градиента целевого функционала обладает такими же свойствами, что и ИУ задачи рассеяния, и, поэтому, эффективно проводится его дискретизация с использованием МДО.

Был проведен ряд успешных численных экспериментов по синтезу разных типов делителей падающего пучка на несколько лучей. Следует отметить высокую скорость численного синтеза одиночного рефлектора и малое количество итераций для получения локального решения, что достигается благодаря использованию МДО.

Ключевые слова: математическое моделирование, сингулярные интегральные уравнения, численный метод дискретных особенностей, рассеивание и дифракция, рефлекторные антенны, синтез рефлекторных антенн.

Abstract

A.A. Nosich, Mathematical Modeling in the Analysis and Synthesis of Multi-Reflector Quasioptical Antennas and Open Beam Waveguides - Manuscript.

Thesis for obtaining the scientific degree of the Candidate in Physico-Mathematical Sciences in the specialization 01.05.02 - Mathematical Modelling and Computational Methods. - A.M. Pidgorny Institute for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine, Kharkiv, 2009.

The mathematical models of the 2-D E-polarized wave scattering by quasioptical multi-reflector cylindrical antenna systems are studied. Reflectors are assumed smooth, zero-thickness and perfectly electrically conducting. The incident field is taken as the complex-source-point field. The problem is reduced to the coupled singular integral equations (SIE) for the surface currents. The discrete model is built using the quadrature formulas of interpolation type of the Method of Discrete Singularities (MDS). Various real-life multi-reflector antennas and beam waveguides are analyzed. Besides, a new method of diffraction synthesis of shaped quasioptical reflectors is developed in the E-polarization case. It combines the numerical gradient (NG) optimization with MDS analysis. The target function is the deviation of the total field from the function given at a certain open contour. A SIE for the gradient of the target function is derived and effectively solved with MDS. The performance of the combined MDS-NG technique is tested on the quasioptical beam splitter synthesis.

Keywords: mathematical modelling, singular integral equations, numerical method of discrete singularities, scattering and diffraction, reflector antennas, reflector synthesis.

Размещено на Allbest.ru

...