Класифікаційні задачі групового аналізу диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Груповий аналіз диференціальних рівнянь, започаткований як самостійна галузь теорії диференціальних рівнянь С. Лі, почав інтенсивно розвиватися з 60-х років ХХ століття. Більшість проблем групового аналізу допускає формулювання у вигляді задач класифікації певних об'єктів чи властивостей, асоційованих з диференціальними рівняннями, відносно заданої еквівалентності. Фактично такі задачі займають центральне місце у груповому аналізі і саме вони стимулюють розвиток його методів.

Дослідженню з симетрійної точки зору важливих класів диференціальних рівнянь, що виникають при моделюванні явищ і процесів у теоретичній та математичній фізиці, біології, фінансовій математиці та інших науках, присвячено багато робіт. Практика застосування симетрійних методів показує, що модельні рівняння часто мають нетривіальні симетрійні властивості. Групова класифікація дозволяє виділити з класу рівнянь ті, що допускають алгебру симетрії певної структури чи найвищої розмірності. У рамках єдиного інфінітезімального підходу існують два основні методи розв'язання задач групової класифікації, які тісно переплітаються між собою у застосуваннях. Перший метод бере свій початок з робіт Л.В. Овсяннікова і представників його школи. Він базується на прямому інтегруванні системи визначальних рівнянь на коефіцієнти операторів симетрії з точністю до перетворень еквівалентності. І хоч цей метод продовжують широко застосовувати, він дозволяє ефективно класифікувати лише прості класи диференціальних рівнянь з малою кількістю довільних елементів, що є або сталими, або функціями одного аргументу. Основним елементом другого -- алгебраїчного -- методу є вивчення можливої структури алгебр ліївської інваріантності. Вперше його було використано ще С. Лі для класифікації звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, а значно пізніше розвинуто і застосовано до рівнянь з частинними похідними, зокрема, у роботах П. Вінтерніца, Л. Ганьона, Р.З. Жданова, В.І. Лагна, Б.А. Магадєєва, А.М. Самойленка. Класи рівнянь, вивчених цим методом, хоч і мають просту структуру, але містять значні довільності у параметрах і відповідних групах еквівалентності. Відомі методи не дозволяли розв'язувати задачі групової класифікації у класах рівнянь складнішої структури, які також виникають у застосуваннях, наприклад, у класах так званих нелінійних рівнянь реакції-конвекції-дифузії зі змінними коефіцієнтами. Для забезпечення розв'язності і прийнятного формулювання класифікаційних результатів, необхідно було також модифікувати постановку задач класифікації у таких класах.

Для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними поряд з ліївською редукцією широко використовують і некласичний метод, запропонований Дж. Блуменом і Дж. Коулом. У різних версіях і термінах (метод некласичної, умовної або -умовної симетрії, прямий метод, метод редукції тощо) цей підхід розвинуто у роботах В.І. Фущича, І.М. Цифри, Є.М. Воробйова, Р.З. Жданова, В.І. Лагна, П. Олвера, П. Вінтерніца, П. Кларксона та багатьох інших авторів. Він дозволяє отримати точні розв'язки, які неможливо побудувати методом ліївської редукції. Задача пошуку некласичних симетрій і тим більше їх класифікації в класах диференціальних рівнянь технічно і теоретично є більш складною, ніж аналогічна задача для ліївських симетрій. Тому існує незначна кількість прикладів вичерпного опису некласичних симетрій у класах диференціальних рівнянь. Багато проблем теорії некласичних симетрій не є достатньо вивченими. На деякі питання, що виникають у цій теорії, лише недавно знайдено відповіді, більшість же таких питань і досі залишаються відкритими. Зокрема, тривалий час не було відомо, чи можна якимось чином поширити вже відомі «no-go» результати щодо операторів редукції еволюційних рівнянь на інші класи рівнянь. Для факторизації множини операторів редукції (що є важливим етапом у їх знаходженні) використовувався емпіричний підхід до розбиття цієї множини на підмножини, а це, як правило, приводило до істотного ускладнення всього подальшого розгляду. Більше того, існуюче означення некласичних симетрій є цілком коректним лише для спеціальних систем диференціальних рівнянь, включаючи окремі диференціальні рівняння.

Поряд з дослідженням симетрій, важливим є використання симетрійних методів для класифікації законів збереження диференціальних рівнянь. Закони збереження мають низку застосувань, а саме, для контролю чисельних похибок, як показник можливої інтегровності, у теорії асимптотичної інтегровності та для опису нелокальних перетворень симетрії чи еквівалентності. Ідея використання законів збереження для ітеративної побудови потенціальних структур над диференціальними рівняннями, а також поняття псевдопотенціалів і загальних накриттів виникли у роботах Х.Д. Уолквіста і Ф.Б. Естебрука. Ця ідея створила підґрунтя для введення понять потенціальної симетрії і потенціального закону збереження. Незважаючи на низку цікавих результатів щодо потенціальних симетрій і законів збереження конкретних класів диференціальних рівнянь, отриманих у роботах С. Анко, Дж. Блумена, Е. Пуччі, Дж. Сакоманді та інших, питанням теоретичного обґрунтування достатньої уваги не приділяли. Серед таких питань -- вибір відношення еквівалентності для класифікації, застосовність методу характеристик для знаходження законів збереження потенціальних систем, критерій еквівалентності потенціальних законів збереження локальним тощо.

Початок розвитку теорії груп та алгебр Лі нерозривно пов'язаний з груповим аналізом диференціальних рівнянь і, зокрема, задачами групової класифікації. Теорія Галуа розв'язання алгебраїчних рівнянь надихнула С. Лі на ідею створення універсальної теорії інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. Для реалізації цієї ідеї ним було запропоновано теорію неперервних груп точкових перетворень, а невдовзі, після класифікації неперервних груп перетворень на площині, виконано групову класифікацію звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. Взаємопроникаючий зв'язок деяких розділів теорії алгебр Лі з груповим аналізом диференціальних рівнянь продовжує інтенсивно поглиблюватися через розвиток алгебраїчних методів у груповому аналізі і застосування його методів до алгебр Лі. До таких розділів можна віднести теорії інваріантів (узагальнених операторів Казіміра), реалізацій і контракцій алгебр Лі. Опис реалізацій алгебр Лі у різних класах векторних полів принципово важливий для розв'язання задач групової класифікації. Граничні переходи (контракції) між алгебрами Лі з'являються при дослідженні зображень, інваріантів, спеціальних функцій і диференціальних рівнянь. Найбільш відомим прикладом контракцій алгебр Лі у фізиці є сингулярний перехід від алгебри Пуанкаре до алгебри Галілея. Він надає симетрійне обґрунтування граничного переходу від релятивістської до класичної механіки за умови, що швидкість світла прямує до нескінченності. Поліноміальні базиси інваріантів напівпростих і неоднорідних алгебр Лі знайдено у роботах І.М. Гельфанда, А.М. Пєрєломова, М. Чайчіана та інших. Настільки ж повних результатів щодо інваріантів розв'язних алгебр Лі у літературі немає. Для побудови таких інваріантів використовують, як правило, інфінітезимальний метод, в рамках якого необхідно інтегрувати громіздкі перевизначені системи квазілінійних рівнянь першого порядку, що можна зробити лише для деяких простих класів алгебр Лі.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є вдосконалення існуючих і розробка нових методів групового аналізу диференціальних рівнянь та суміжних галузей теорії алгебр Лі, а також застосування цих методів у різних класифікаційних задачах. Основну увагу приділено задачам групової класифікації, що не розв'язуються класичними методами, та узагальненню постановок класифікаційних задач. Об'єктом дослідження є загальні класи диференціальних рівнянь, нелінійні рівняння Шрьодінгера, еволюційні рівняння та їх спеціальні типи, узагальнені рівняння Гамільтона-Якобі, нелінійні хвильові рівняння та алгебри Лі. Предметом дослідження є групова класифікація, допустимі перетворення, потенціальні симетрії, оператори редукції, закони збереження і точні розв'язки зазначених вище рівнянь, а також узагальнені оператори Казіміра, реалізації і контракції алгебр Лі.

1. Теоретичні основи симетрійного аналізу у класах систем диференціальних рівнянь

Проаналізовано поняття і об'єкти, асоційовані з груповою класифікацією диференціальних рівнянь (класи диференціальних рівнянь і їх властивості, різні типи груп еквівалентності і симетрії тощо). Класичне формулювання проблеми групової класифікації подано у строгий спосіб і вказано низку можливостей для його модифікацій і узагальнень. Нові поняття, пов'язані з класами диференціальних рівнянь, природно виникають при такому розгляді, зокрема як аналоги відповідних понять для окремих систем диференціальних рівнянь. Так, подібність систем розширено до подібності класів систем і відображень між класами, породжених точковими (або контактними) перетвореннями, а поняття групи умовної симетрії мотивувало введення поняття групи умовної еквівалентності. Існуючі поняття звичайної і узагальненої груп еквівалентності доповнено новими поняттями розширеної та узагальненої розширених груп еквівалентності, які відіграють важливу роль при груповій класифікації у складних класах диференціальних рівнянь.

Розглянемо клас систем : , параметризований Тут -- набір всіх похідних від невідомих функцій по незалежним змінним порядку не вище , -- набір фіксованих функцій від і . Символ позначає набір параметричних функцій (довільних елементів) , що пробігає множину роз'язків системи . Цю систему складають диференціальні рівняння на функції , де і виступають у якості незалежних змінних, -- множина всіх частинних похідних від порядку не вище . Іноді множину додатково обмежують умовою з деякою окремою диференціальною функцією . Для назвемо множину точкових перетворень з системи у систему множиною допустимих перетворень з в і позначимо її через , а назвемо множиною допустимих перетворень у класі . Будь-який елемент зі звичайної групи еквівалентності класу є точковим перетворенням у просторі змінних , яке проектовне на простір змінних для будь-якого так, що проекція є продовженням -го порядку перетворення , і для кожного з : і . Позначимо максимальні групи точкових і ліївських симетрій системи відповідно як і .

Означення 1. Розширена група еквівалентності класу складається з перетворень, кожне з яких зображено парою , де -- взаємно-однозначне неперервне разом з оберненим відображення на множині довільних елементів як функцій від , а -- точкове перетворення змінних , що належить для будь-якого з . Тут і надалі неперервність за функціональним аргументом розуміється відносно рівномірної збіжності усіх похідних на кожному компакті з області визначення.

Означення 2. Розширену узагальнену групу еквівалентності класу складають перетворення, кожне з яких зображено набором . Тут визначається, як вище, а -- сім'я точкових перетворень змінних , неперервно параметризована , причому для кожного з .

Нехай -- підклас класу , виокремлений додатковою системою рівнянь і нерівності на довільні елементи . (Або рівняння, або нерівність можуть виконуватись тотожно.) Тут -- множина розв'язків об'єднаної системи , , . Об'єднана система має бути сумісною для того, щоб підклас був непорожнім.

Означення 3. Групу еквівалентності підкласу називають умовною групою еквівалентності всього класу за умови , . Умовну групу еквівалентності називають нетривіальною, якщо вона не є (з точністю до тривіальних перетворень еквівалентності) власною підгрупою групи , і називають максимальною, якщо вона є нетривіальною умовною групою еквівалентності для будь-якого підкласу класу , що власно містить підклас .

Означення 4. Класи і подібні, якщо , , , і існує точкове перетворення , проектовне на простір змінних для кожного : , причому є продовженням -го порядку перетворення , та для будь-якого . Якщо тотожне по і , то клас є точковою репараметризацією класу .

Означення 5. Клас назвемо точковим образом класу , якщо , , , і існує сім'я точкових перетворень , неперервно параметризована , що задовольняє таку умову: для кожного існує і, навпаки, для кожного існує такі, що .

Виокремлено спеціальні класи систем диференціальних рівнянь, які названо нормалізованими. Додатково введено поняття сильної нормалізованості і напівнормалізованості.

Означення 6. Клас назвемо нормалізованим (відносно точкових перетворень), якщо і ; сильно нормалізованим, якщо він нормалізований і ; напівнормалізованим, якщо , .

Іншими словами, клас є нормалізованим, якщо будь-яке допустиме перетворення в цьому класі індуковано перетворенням з групи еквівалентності , і є сильно нормалізованим, якщо додатково породжено елементами з , . Множину допустимих перетворень напівнормалізованого класу породжено перетвореннями з групи еквівалентності цілого класу і перетвореннями з груп ліївської симетрії рівнянь цього класу. Кожне з понять нормалізованості можна узагальнити, розглядаючи його відносно узагальнень групи еквівалентності. У залежності від типу групи еквівалентності (звичайна, узагальнена, розширена, узагальнена розширена) кажуть про нормалізованість у відповідному сенсі.

Твердження 7. Якщо клас нормалізований/напівнормалізо ва ний (у звичайному або узагальненому сенсі) і підклас замкнутий під дією групи (або ), то підклас нормалізований/ напів нормалізований у тому ж сенсі.

Означення 8. Нормалізований підклас класу назвемо максимальним, якщо ніякий нормалізований підклас класу не містить власно підклас .

Запропоновані поняття нормалізованості використано для обґрунтування застосування алгебраїчних методів до розв'язання задач групової класифікації. Показано, що саме нормалізованість класу систем диференціальних рівнянь, для якого виконується групова класифікація, а не значна довільність у його параметрах чи інша характеристика гарантує ефективність алгебраїчних методів. Також можна стверджувати, що результат так званої часткової групової класифікації співпадає з результатом повної за умови, що класифікований клас є нормалізованим. Доведено, що ієрархії нормалізованих підкласів природно виникають при груповій класифікації у нормалізованих класах.

Твердження 9. Нехай клас нормалізований і , , -- локальні групи точкових перетворень у просторі змінних , причому . За цих умов тоді і тільки тоді, коли .

Твердження 10. Дві системи з напівнормалізованого класу точково перетворюються одна в іншу тоді і тільки тоді, коли вони еквівалентні відносно групи еквівалентності цього класу.

Наслідок 11. У напівнормалізованому класі класифікації з точністю до еквівалентності, індукованої дією групи еквівалентності, і з точністю до загальної точкової еквівалентності співпадають.

Твердження 12. Нормалізований клас є напівнормалізованим.

Твердження 13. Нехай клас нормалізований і припустимо, що підмножина множини визначає підклас , інваріантний відносно дії групи . Тоді підклас нормалізований (у тому ж самому сенсі), а -- підгрупа групи , що породжує і, якщо нормалізований у звичайному сенсі, співпадає з з точністю до калібрувальних перетворень еквівалентності в .

Зауважимо, що при зроблених припущеннях підклас має аналогічні властивості.

Для класу і локальної (зв'язаної) групи точкових перетворень змінних такої, що для деякого , розглянемо такі підмножини множини :

Наслідок 14. Нехай клас нормалізований. Тоді і -- його нормалізовані підкласи. є підгрупою груп і та породжує і .

Твердження 15. Підклас інваріантний відносно , де , .

Твердження 16. Якщо клас нормалізований у звичайному сенсі, то клас має таку ж властивість. Множину породжено групою , проекція якої на -- нормалізатор у .

Поставлено проблему про класифікацію допустимих перетворень у класах систем диференціальних рівнянь та запропоновано розв'язувати її через класифікацію максимальних груп умовної еквівалентності і максимальних нормалізованих підкласів. Як ілюстрацію введених понять вивчено властивості нормалізованості (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь та систем таких рівнянь. Зокрема доведено, що для квазілінійних еволюційних рівнянь будь-яке контактне допустиме перетворення індуковано точковим.

Розроблені методи застосовано до класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера. Клас складається з нелінійних рівнянь Шрьодінгера загального вигляду де -- комплекснозначна невідома функція дійсних незалежних змінних і , -- довільна гладка комплекснозначна функція своїх аргументів, , , . Побудовано ієрархію вкладених нормалізованих класів таких рівнянь для довільної кількості просторових змінних. Нехай -- підклас класу , у якому довільний елемент залежить лише від , , і , а підкласи і виокремлено з відповідно через зображення і , де , , .

Теорема 17. Класи , , сильно нормалізовані. Група еквівалентності класу складається з перетворень:

(1)

де і -- довільні гладкі дійснозначні функції від , , -- довільна гладка комплекснозначна функція змінних , і , , -- довільна -вимірна ортогональна матриця-функція, гладко залежна від , і при та при для кожного . Група еквівалентності класу є підгрупою групи і складається з перетворень (1), де додатково:

, -- довільні гладкі дійснозначні функції від , -- довільна гладка комплекснозначна функція змінних і , -- довільна стала -вимірна ортогональна матриця. Група еквівалентності класу є підгрупою групи , виокремленою умовою .

Клас містить клас нелінійних рівнянь Шрьодінгера з потенціалами та модульними нелінійністями і є зручним для виконання його попередньої групової класифікації. Для повної групової класифікації класу з огляду на його структуру природно використати метод з розбиттям на нормалізовані підкласи.

Теорема 18. Група еквівалентності класу складається з перетворень з , де і . Клас не є нормалізованим. Підклас класу , виокремлений умовою, що значення не є дійсною сталою, є нормалізованим, причому . Існують такі випадки умовних перетворень еквівалентності у класі :

1) , тобто ;

2) і , тобто ;

тут . Для будь-якої дійсної сталої підклас , утворений рівняннями з класу , у яких , нормалізований. Між рівняннями з різних підкласів, взятих з множини , точкових перетворень немає.

У (1+1)-вимірному випадку в кожному з підкласів , , , , утворених відповідно рівняннями з загальною, логарифмічною та степеневою нелінійностями, виконано класифікацію відносно його групи еквівалентності за допомогою алгебраїчного методу, що ґрунтується на дослідженні структури алгебри еквівалентності. Аналогічно прокласифіковано ліївські симетрії найбільш цікавого у розмірності 1+2 випадку кубічної нелінійності з потенціалом. Відповідний клас також є нормалізованим.

Задачу групової класифікації у ненормалізованому класі рівнянь Шрьодінгера з довільною нелінійністю розв'язано за допомогою методу розгалуженого розщеплення у випадку довільної кількості просторових змінних. Комбінований метод, що включає і дослідження різних випадків інтегрування системи визначальних рівнянь, і вивчення можливої структури алгебри інваріантності, застосовано для групової класифікації класу систем двох нелінійних рівнянь Лапласа на дві невідомі функції від двох незалежних змінних. Такі системи можна розглядати зокрема як зображення стаціонарних двовимірних рівнянь Шрьодінгера з .

2. Дослідження локальних і потенціальних законів збереження

Вивчено перетворення законів збереження і потенціальних систем при локальних перетвореннях між відповідними вихідними системами. Сформульовано проблеми щодо класифікації законів збереження і потенціальних симетрій у класах диференціальних рівнянь. Прокласифіковано закони збереження (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь другого порядку відносно контактної еквівалентності. Властивість контактної нормалізованості класу таких рівнянь виявилась принципово важливою для повного розв'язання цієї проблеми і лаконічного формулювання кінцевого результату.

Теорема 19. Для кожного -вимірного еволюційного рівняння другого порядку : розмірність простору його законів збереження належить множині . Рівняння (локально) зводиться контактним перетворенням до вигляду з ( з , лінійного рівняння) тоді і тільки тоді, коли (, ). Якщо , контактне перетворення є продовженням точкового.

Іншим важливим результатом цього ж розділу є теорема, формулювання якої об'єднує у собі дослідження законів збереження різних типів розширених систем, що включають вихідну систему як підсистему. Дано означення загальних розшарованих систем, що узагальнює властивості потенціальних чи псевдопотенціальних конструкцій над диференціальними рівняннями.

Теорема 20. Наступні твердження про закон збереження двовимірної потенціальної системи (або системи, що визначає абелеве накриття, або багатовимірної стандартної потенціальної системи без калібрувань) еквівалентні:

1) цей закон збереження індуковано законом збереження відповідної вихідної система;

2) він містить вектор густини, незалежний від потенціалів;

3) деякі з його розширених характеристик індуковано характеристиками вихідної системи;

4) він має характеристику, незалежну від потенціалів.

Еквівалентність трьох перших властивостей також має місце для законів збереження загальних розшарованих систем, включаючи багатовимірні калібровані потенціальні системи та накриваючі системи.

Доведення вимагало розробки версії леми Адамара для розшарованих просторів, введення навантажених просторів струменів і модифікації поняття цілковитої невиродженості систем диференціальних рівнянь. Все це дозволило обґрунтувати коректність (модифікованого) поняття характеристики для законів збереження потенціальних систем, і тим самим -- коректність методів обчислення потенціальних законів збереження, що базуються на цьому понятті.

Як наслідок теореми 20 отримано критерій для визначення того, коли локальний закон збереження абелевого накриття є чисто потенціальним законом збереження вихідної системи. Знайдено цікавий зв'язок між невизначеністю потенціалів з абелевих накриттів та їх законами збереження.

Твердження 21. Нехай система цілком невироджена по деякій вазі, -- система, що визначає абелеве накриття системи , а характеристика системи повністю зведена, тобто похідні потенціалів виключено з завдяки диференціальним наслідкам потенціальної частини системи , а потім зв'язані похідні функцій виключено з завдяки диференціальним наслідкам системи . Тоді характеристика асоційована з законом збереження системи , не індукованим законом збереження системи , тоді і тільки тоді, коли вона залежить від потенціалів.

Оператори редукції диференціальних рівнянь (які в літературі ще називають некласичними або умовними симетріями) розглянуто у п'ятому розділі. Для них також сформульовано задачі класифікації відносно різних типів точкової еквівалентності у класах диференціальних рівнянь. Прокласифіковано оператори редукції нелінійних рівнянь фільтрації, всі з яких можна вважати потенціальними операторами редукції для нелінійних рівнянь дифузії.

Теорема 22. Нелінійне рівняння фільтрації , де , допускає неліївські оператори редукції з ненульовими коефіцієнтами при тоді і тільки тоді, коли .

Встановлено зв'язок між звичайними і потенціальними операторами редукції загальних (1+1)-вимірних рівнянь конвекції-дифузії. Вичерпно описано оператори редукції лінійного рівняння теплопровідності з довільною кількістю просторових змінних.

Усі інші результати у цьому розділі пов'язані з сингулярними операторами редукції ДРЧП з двома незалежними змінними. Введено низку понять, необхідних для розбиття множини операторів редукції на сингулярні і регулярні та подальшого дослідження сингулярних операторів (сингулярне векторне поле і сингулярний модуль векторних полів, слабкий і сильний копорядок сингулярності та ін.). Так, векторне поле названо сингулярним для деякої диференціальної функції, якщо на інваріантному многовиді цього поля вона співпадає з диференціальною функцією меншого порядку. Описано вигляд диференціальних функцій і диференціальних рівнянь, що допускають сингулярні модулі векторних полів. Також показано, що особливі випадки операторів редукції спричинені пониженням порядку розглядуваного рівняння на многовидах, заданих відповідними умовами інваріантної поверхні в підхожому просторі струменів. Досліджено сингулярні оператори редукції (1+1)-вимірних еволюційних і хвильових рівнянь. Показано, що традиційне розбиття множини операторів редукції для факторизації є природним для еволюційних рівнянь і не є таким для хвильових.

Теорема 23. Кожне -вимірне еволюційне рівняння порядку вище першого допускає один сингулярний модуль векторних полів, утворений усіма векторними полями з нульовими коефіцієнтами при . З точністю до еквівалентностей на множинах операторів і сімей розв'язків існує бієкція між однопараметричними сім'ями розв'язків рівняння і його сингулярними операторами редукції. А саме, кожному оператору такого типу відповідає сім'я розв'язків, інваріантних відносно нього. Проблеми побудови всіх однопараметричних сімей розв'язків рівняння і вичерпного опису його сингулярних операторів редукції повністю еквівалентні.

Кожне хвильове рівняння має точно дві множини сингулярних векторних полів у зведеній формі: і . Зв'язок між сингулярними операторами редукції таких рівнянь і множинами їх розв'язків подібний до описаного у теоремі 23, але значно складніший за нього. Якщо диференціальне рівняння з двома незалежними змінними допускає модуль векторних полів копорядку сингулярності 1, то це рівняння обов'язково має сингулярні оператори редукції копорядку 1, що належать цьому модулю. Система визначальних рівнянь для таких операторів складається з одного диференціального рівняння з трьома незалежними змінними такого ж порядку, як і вихідне рівняння. Визначальне рівняння зводиться до вихідного нелокальною заміною.

3. Розширений симетрійний аналіз (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь другого порядку вигляду де , , , -- гладкі функції змінних ,

Проаналізовано структуру нормалізаних підкласів таких рівнянь, знайдено локальні і потенціальні закони збереження, описано потенціальні симетрії, узагальнені потенціальні симетрії і оператори редукції. Зокрема доведено, що всі потенціальні закони збереження таких рівнянь індуковано локальними. Це дало змогу побудувати повну ієрархію потенціальних систем. Потенціальний фрейм розширено через уведення модифікованих потенціалів і визначення різних типів зображень для потенціальних систем та асоційованих з ними окремих потенціальних рівнянь. Основним інструментом дослідження (модифікованих) потенціальних структур є багатократне двоїсте перетворення Дарбу, тому значну увагу приділено його властивостям. Перетворення еквівалентності вихідних рівнянь продовжено на весь потенціальний фрейм. Запропоновано критерії існування нетривіальних потенціальних симетрій. Для деяких рівнянь знайдено алгебри потенціальних симетрій довільного порядку. Вивчено і регулярні, і сингулярні оператори редукції. Доведено, що проблеми побудови всіх однопараметричних (двопараметричних лінійних за параметрами) сімей розв'язків кожного такого рівняння і опису його операторів редукції з (не)нульовими коефіцієнтами при повністю еквівалентні. Визначальні рівняння на коефіцієнти операторів редукції обох типів зведено за допомогою нелокальних замін до вихідних рівнянь. Досліджено ліївські симетрії та ліївські редукції визначальних рівнянь і допустимі перетворення між ними. Доведено, що алгебри ліївської інваріантності і групи точкових симетрій визначальних рівнянь, а також групи еквівалентності і множини допустимих перетворень їх класів індуковано відповідними об'єктами для вихідних рівнянь, а ліївська редукція визначальних рівнянь дає такі оператори редукції, що кожна з асоційованих сімей розв'язків вихідних рівнянь або складається з ліївських розв'язків, або породжена з фіксованого розв'язку дією групи ліївських симетрій. У результаті отримано вичерпну відповідь на питання про межі застосовності операторів редукції для побудови точних розв'язків вихідних рівнянь.

4. Суміжні проблеми теорії алгебр Лі

Використовуючи алгоритм на основі методу рухомих реперів Картана, знайдено узагальнені оператори Казіміра (тобто інваріанти коприєднаного зображення) серій розв'язних алгебр Лі, нільрадикали яких ізоморфні алгебрі строго верхньотрикутних матриць.

Теорема 24. Базис множини інваріантів алгебри спеціальних верхньотрикутних матриць складається з раціональних виразів:

де , , , , . Ненульові комутаційні співвідношення алгебри у вибраному базисі вичерпуються такими: , , ; , , .

Запропоновано низку необхідних критеріїв контракцій алгебр Лі і критерій нееквівалентності реалізацій алгебр Лі, що дозволило виконати класифікацію контракцій і реалізацій алгебр Лі до розмірності чотири включно. Нижче використано наступні позначення величин і об'єктів, пов'язаних з алгеброю : алгебра диференціювань , радикал , нільрадикал , максимальна розмірність абелевих підалгебр, максимальна розмірність абелевих ідеалів, ранг , ранги приєднаного і коприєднаного зображення і , спадаючий центральний ряд: , , ряд похідних: , , зростаючий центральний ряд: , -- центр , , модифікована форма Кілінга де -- стала. Якщо -- розв'язна (нільпотентна) алгебра Лі, то () позначає її ранг розв'язності (нільпотентності), тобто мінімальну величину таку, що (). У дійсному випадку позначимо ранг додатної (від'ємний) частини форми через ().

Теорема 25. Якщо алгебра Лі є власною контракцією алгебри Лі , то мають місце такі властивості: ; ; ; , ; ; ; ; , ; ; -унімодулярна для кожного , для якого -унімодулярна, тобто з випливає така ж умова для ; якщо розв'язна (нільпотентна), то також розв'язна (нільпотентна) і (); (над ) і .

Висновки

абелевий шрьодінгер нелінійний просторовий

У дисертації вдосконалено ряд існуючих і розроблено нові методи групового аналізу диференціальних рівнянь та суміжних галузей теорії алгебр Лі. Переваги і можливості цих методів продемонстровано через їх застосування у різних класифікаційних задачах. Основні результати, що виносяться на захист, такі:

· Введено низку нових понять, пов'язаних з класами диференціальних рівнянь: розширена (узагальнена розширена, умовна, потенціальна) група еквівалентності, нормалізований (напівнормалізований, строго нормалізований) клас, подібні класи, відображення між класами, породжене точковими перетвореннями тощо. Для дослідження задач групової класифікації розвинуто методи розбиття на нормалізовані підкласи, розгалуженого розщеплення, калібрування довільних елементів перетвореннями еквівалентності і відображеннями між класами диференціальних рівнянь. Визначено межі застосовності алгебраїчного методу. Ці поняття і методи істотно розширяють коло розв'язних класифікаційних задач. Вони дозволяють адекватно формулювати проблеми класифікації для складних класів, узагальнювати постановки задач і отримувати кінцеві результати класифікацій у замкненому і простому вигляді. Поставлено задачі про класифікацію допустимих перетворень, ліївських симетрій, законів збереження, потенціальних симетрій та операторів редукції відносно різних типів еквівалентностей. Такі задачі розв'язано для багатьох класів диференціальних рівнянь, важливих для застосувань.

· Вивчено ряд модифікованих і узагальнених задач групової класифікації. Зокрема, побудовано ієрархію вкладених нормалізованих класів нелінійних рівнянь Шрьодінгера у випадку довільної кількості просторових змінних. Виконано групову

· класифікацію у класах (1+1)-вимірних рівнянь Шрьодінгера з потенціалами та модульними нелінійностями, (1+2)-вимірних кубічних рівнянь Шрьодінгера з потенціалами, рівнянь Шрьодінгера з довільною нелінійністю, залежною лише від невідомої функції і спряженої до неї, нелінійних рівнянь реакції-дифузії та конвекції-дифузії зі змінними коефіцієнтами, узагальнених рівнянь Гамільтона-Якобі та систем двох двовимірних нелінійних рівнянь Лапласа.

· Використовуючи версію леми Адамара для розшарованих просторів та навантажені простори струменів і модифікуючи поняття цілковитої невиродженості систем диференціальних рівнянь, обґрунтовано коректність методів обчислення потенціальних законів збереження, що залучають характеристичну форму законів збереження. Доведено теорему про закони збереження двовимірних потенціальних систем, що індуковані законами збереження вихідних систем. Її узагальнено на багатовимірні абелеві накриття, (не)калібровані потенціальні, псевдопотенціальні та загальні розшаровані системи.

· Отримано критерій для визначення того, чи є закон збереження абелевого накриття чисто потенціальним законом збереження вихідної системи. Застосовуючи цей критерій, проаналізовано ієрархію потенціальних законів збереження рівнянь конвекції-дифузії.

· З точністю до контактної еквівалентності описано закони збереження (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь другого порядку. Це значно узагальнює і водночас спрощує результати Р.Л. Брайанта і П.А. Гріфітса щодо класифікації законів збереження у (ненормалізованому) підкласі рівнянь, не залежних явно від часу.

· Запропоновано поняття сингулярних і регулярних операторів редукції. Показано, що особливі випадки редукції спричинено пониженням порядку розглядуваного рівняння на многовидах, заданих відповідними умовами інваріантної поверхні у просторі струменів.

· Описано сингулярні оператори редукції (1+1)-вимірних еволюційних і хвильових рівнянь, а також знайдено їх зв'язок із сім'ями розв'язків відповідних рівнянь.

· Доведено «no-go» теорему про сингулярні оператори редукції диференціальних рівнянь з двома незалежними змінними, що допускають модулі векторних полів першого копорядку сингулярності. Вона істотно узагальнює відому «no-go» теорему Р.З. Жданова і В.І. Лагна про умовні симетрії (1+1)-вимірних еволюційних рівнянь.

· Знайдено всі оператори редукції багатовимірного лінійного рівняння теплопровідності. Це єдиний у літературі приклад обрахунку некласичних симетрій, коли кількість змінних довільна. Існуючі результати стосуються випадку, як правило, двох чи зрідка трьох незалежних змінних. Також прокласифіковано оператори редукції нелінійних рівнянь фільтрації, що дає один з небагатьох відомих прикладів вичерпного опису операторів редукції для важливого класу диференціальних рівнянь.

· Проведено розширений симетрійний аналіз (1+1)-вимірних лінійних еволюційних рівнянь другого порядку, що включає вивчення структури нормалізованих підкласів, локальних і потенціальних законів збереження, звичайних та узагальнених потенціальних симетрій і операторів редукції. До цього були відомі лише часткові результати про локальні закони збереження, найпростіші потенціальні симетрії і оператори редукції деяких рівнянь з цього класу.

· Застосовуючи оригінальний підхід, побудовано інваріанти серій розв'язних алгебр Лі, нільрадикали яких ізоморфні алгебрі строго верхньотрикутних матриць. Цим підтверджено або уточнено кілька сформульованих у літературі гіпотез щодо таких інваріантів.

· Запропоновано нові необхідні критерії контракцій алгебр Лі і критерій нееквівалентності їх реалізацій, які дозволили описати контракції і реалізації алгебр Лі до розмірності чотири включно.

Література

1. Kunzinger M. Singular reduction operators in two dimensions / M. Kunzinger, R.O. Popovych // J. Phys. A: Math. Theor. -- 2008. -- Vol. 41, № 50. -- Paper 505201, 24 pp.

2. Kunzinger M. Potential conservation laws / M. Kunzinger, R.O. Popovych // J. Math. Phys. -- 2008. -- Vol. 49, № 10. -- Paper 103506, 34 pp.

3. Popovych R.O. Local conservation laws of second-order evolution equations / R.O. Popovych, A.M. Samoilenko // J. Phys. A: Math. Theor. -- 2008. -- Vol. 41, № 36. -- Paper 362002, 11 pp.

4. Popovych R.O. Reduction operators of linear second-order parabolic equations / R.O. Popovych // J. Phys. A: Math. Theor. -- 2008. -- Vol. 41, № 18. -- Paper 185202, 31 pp.

5. Boyko V. Invariants of solvable Lie algebras with triangular nilradicals and diagonal nilindependent elements / V. Boyko, J. Patera, R. Popovych // Linear Algebra Appl. -- 2008. -- Vol. 428, № 4. -- P. 834-854.

6. Rajaee L. Multi-dimensional quasi-simple waves in weakly dissipative flows / L. Rajaee, H. Eshraghi, R.O. Popovych // Phys. D. -- 2008. -- Vol. 237, № 3. -- P. 405-419.

7. Popovych R.O. Exact solutions of a remarkable fin equation / R.O. Popovych, C. Sophocleous, O.O. Vaneeva // Appl. Math. Lett. -- 2008. -- Vol. 21, № 3. -- P. 209-214.

Размещено на Allbest.ru