Неперервність за параметром розв’язків лінійних крайових задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Неперервність за параметром розв'язків лінійних крайових задач

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Робота присвячена дослідженню умов неперервності за параметром розв'язків найбільш загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь у нормах просторів та на відрізку та відповідних їм матриць Гріна по нормі на квадраті .

Питання граничного переходу в системах диференціальних рівнянь виникають в багатьох задачах аналізу і досліджувалися різними математиками. Так, Й. І. Гіхман (1952), а пізніше М.О. Красносельский та С.Г. Крейн (1955), Я. Курцвейль і З. Ворель (1957) та інші довели низку глибоких теорем про характер залежності розв'язків диференціальних рівнянь від параметра. Частина їх пов'язана з обгрунтуванням відомого принципу усереднення М.М. Боголюбова і М.М. Крилова в нелінійній механіці і характеризується спільною точкою зору на лінійний та нелінійний випадки. Для лінійних задач Коші ці результати посилювалися та уточнювалися в роботах W.T. Reid, Z. Opial, А.Ю. Лєвіна, Н.Т. Хоана та інших.

В даний час ряд питань теорії лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь першого порядку та скалярних рівнянь порядку достатньо добре вивчені. Такі задачі знаходять широкі застосування в різних областях і активно досліджуються математиками багатьох країн світу. Цього, проте, не можна сказати про загальні лінійні крайові задачі та їх матриці Гріна. Ці задачі мають ряд специфічних особливостей, які відсутні у задач Коші чи двоточкових крайових задач. Тому систематичне вивчення їх властивостей представляє науковий інтерес.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в Інституті математики НАН України у відділі нелінійного аналізу згідно із загальним планом досліджень в рамках науково-дослідної теми «Методи нелінійного аналізу та їх застосування до теорії диференціальних рівнянь і задач математичної фізики». Номер державної реєстрації 0106U000513.

Мета і завдання дослідження.

Метою дослідження дисертаційної роботи є знаходження достатніх умов неперевної залежності від параметра розв'язків найбільш загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь та відповідних їм матриць Гріна у нормах просторів та на відрізку чи на квадраті відповідно.

Об'єктом дослідження є загальні та тотальні лінійні крайові задачі для систем диференціальних рівнянь першого порядку та скалярних рівнянь порядку .

Предметом дослідження є залежність розв'язків лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь та відповідних їм матриць Гріна від коефіцієнтів та крайових умов задачі.

Завдання дослідження:

1. Дослідити умови збіжності матриць Гріна лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь першого порядку по нормі простору Лебега істотно обмежених функцій на квадраті

2. Дослідити умови неперервності за параметром розв'язків лінійних крайових задач для систем диференціальних рівнянь першого порядку у нормах просторів та С.Л. Соболєва .

3. Знайти умови на дані загальних крайових задач для скалярних диференціальних рівнянь довільного порядку , що забезпечують збіжність розв'язків цих задач за нормою простору

4. Встановити умови збіжності функцій Гріна загальних крайових задач для скалярних диференціальних рівнянь довільного порядку по нормі простору на квадраті

Методи дослідження. У роботі використовуються методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, функціонального аналізу та теорії матриць.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи, що виносяться на захист, є новими і полягають у наступному:

1. Знайдено нові, більш загальні, ніж в теоремі І. Кігурадзе, умови на коефіцієнти та праві частини систем лінійних диференціальних рівнянь загальних крайових задач, що забезпечують рівномірну на збіжність розв'язків цих задач.

2. Отримано достатні умови збіжності матриць Гріна загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь по нормі простору на квадраті Побудовано приклад, який показує, що ці умови є оптимальними.

3. Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра розв'язків та матриць Гріна багатоточкових крайових задач для систем диференціальних рівнянь у нормах просторів на відрізку та на квадраті відповідно.

4. Встановлено умови неперервності за параметром розв'язків двоточкових крайових задач для скалярних квазідиференціальних рівнянь високого порядку по нормі простору на відрізку та відповідних їм функцій Гріна по нормі простору на квадраті

5. Введено новий клас двочленних диференціальних рівнянь порядку з коефіцієнтом, що є узагальненою функцією першого порядку. Доведено, що цим рівнянням можна надати сенс як квазідиференціальним. Для них отримано умови неперервної залежності від параметра розв'язків двоточкових крайових задач по нормі простору на відрізку та відповідних їм функцій Гріна по нормі простору на квадраті

6. Введено новий клас крайових задач - тотальні крайові задачі, які містять в собі як складову загальні крайові задачі. Вони мають ряд особливостей і не досліджувались раніше. Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра розв'язків тотальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь по нормі простору на відрізку .

7. Встановлено достатні умови збіжності матриць Гріна тотальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь по нормі простору на квадраті

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи, а також методика їх отримання можуть бути використані при подальшому розвитку теорії лінійних крайових задач, зокрема, при апроксимації розв'язків та матриць Гріна цих задач.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності і постановка задач належать науковому керівнику та співавтору праць - доктору фізико-математичних наук, професору В.А. Михайлецю. Результати розділів 2 - 3 отримано спільно з науковим керівником. Результати розділу 4 роботи отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на:

- семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (керівник семінару - академік НАН України А.М. Самойленко);

- семінарі відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України (керівник семінару - доктор фізико-математичних наук А.Н. Кочубей);

- Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька, Україна, Дрогобич, 24-28 вересня 2007 року;

- Bogolyubov readings 2007 dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90-th birtday, Ukraine, Zhitomir - Kiev, 19 August - 2 September 2007;

- Дванадцятій міжнародній конференції імені академіка М. Кравчука, Україна, Київ, 15-17 травня 2008 року.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в трьох роботах [26, 26, 26] та тезах доповідей трьох міжнародних наукових конференцій [26, 26, 26].

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що налічує 45 найменувань. Повний обсяг роботи складає 148 сторінок друкованого тексту.

Основний зміст дисертації

матриця грін диференціальний лебег

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та завдання дослідження, коротко викладено зміст основної частини роботи та наукову новизну одержаних результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою.

Другий розділ дисертації присвячено дослідженню неперервної залежності від параметра розв'язків загальних лінійних крайових задач.

Підрозділ 2.1 містить твердження допоміжного характеру, що використовуються для доведення основних теорем.

У другому й третьому підрозділах другого розділу роботи досліджується неперервність за параметром розв'язків загальних крайових задач для системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку вигляду:

(1)

(2)

Тут комплексні квадратні матриці-функції , вектор-функції , вектори , а лінійні неперервні оператори

Під розв'язком крайової задачі (1), (2) розуміється абсолютно неперервна вектор-функція , що майже скрізь на скінченному відрізку має похідну по , для якої рівність (1) виконується на підмножині повної міри Лебега, та виконується крайова умова (2).

Далі будемо вважати, що завжди виконується таке припущення.

Припущення . Однорідна гранична крайова задача з має лише тривіальний розв'язок.

Для задачі (1), (2) дана умова рівносильна тому, що гранична неоднорідна крайова задача

(3)

має розв'язок при довільному виборі вектор-функції ? ?та вектора ?, і цей розв'язок є єдиним.

Для задач Коші різні умови рівномірної збіжності розв'язків були отримані в роботах Я.Д. Тамаркіна, W.T. Reid'а , Z. Opial'а , А.Ю. Лєвіна , Н.Т. Хоана та інших.

Для загальних крайових задач, у випадку дійснозначних функцій, в роботі І.Т. Кігурадзе було встановлено таку теорему.

Теорема (І.Т. Кігурадзе ). Нехай виконано припущення і такі умови: 1)

2)

3)

Тоді для достатньо малих задачі (1), (2) мають єдиний роз'язок , що задовольняє граничне співвідношення

(4)

Для формулювання основних результатів роботи введемо таке означення.

Означення 2.1. Позначимо через клас всіх квадратних комплекснозначних сумовних на відрізку матриць-функцій , для яких нормований роз'язок системи

задовольняє граничне співвідношення

В роботах W.T. Reid'а , Z. Opial'а , А.Ю. Лєвіна, Н.Т. Хоана при наявності різного сорту додаткових припущень отримано необхідні та достатні умови того, що матриця-функція .

Теорема 2.1 (Перше узагальнення теореми Кігурадзе). В формулюванні теореми Кігурадзе можна замінити умови 1), 4) на коефіцієнти системи (1) більш загальною умовою

(5)

Зауважимо, що умову (5) в теоремі 2.1 не можна послабити. Вона є необхідною, якщо

Наслідуючи А.Ю. Лєвіна , будемо позначати

Тоді умови інтегральної неперервності 4) і 5) теореми І. Кігурадзе можна записати відповідно у вигляді:

4')

5')

Із результатів роботи А.Ю. Лєвіна випливає, що коли при виконана одна із чотирьох (нееквівалентних між собою) умов:

то умова (5) рівносильна умові .

В загальному випадку умова інтегральної неперервності не є ні необхідною, ні достатньою для виконання умови (5).

В роботі побудовано приклад, в якому виконується співвідношення (5), проте не виконується жодна з умов , , , . Він показує, що теорема 2.1 сильніша ніж теорема І. Кігурадзе та її можливі узагальнення, в яких замість умови використано більш загальні умови , , .

Визначимо по заданим матриці-функції та вектор-функції матрицю - функцію

(6)

де вектор-функція записана у вигляді стовпчика висоти .

Теорема 2.2 (Друге узагальнення теореми Кігурадзе). В формулюванні теореми 2.1 можна замінити умови 2), 5) на праві частини системи (1) однією більш загальною умовою:

(7)

Теорема 2.2 дозволяє істотно послабити умови теореми Кігурадзе не лише на ростки відображень , а й на в точці .

Для сім'ї загальних крайових задач (1), (2) матриці Гріна залежать від параметра . Тому змістовним та цікавим є не досліджуване раніше питання про неперервність за параметром матричної функції . Відповідь на нього дає така теорема.

Теорема 2.3 (Уточнення теореми Кігурадзе). Нехай виконано припущення та умови:

оператори рівномірно збігаються до оператора , тобто

Тоді для достатньо малих існують матриці Гріна

розглянутих задач, і на квадраті

(8)

В роботі побудовано приклад, який показує, що умову 2) в теоремі 2.3 не можна замінити більш слабкою умовою сильної збіжності операторів до .

Як застосування теорем 2.1 - 2.3 в підрозділі 2.5 досліджено неперервну залежність від параметра розв'язків та матриць Гріна багатоточкових крайових задач для системи диференціальних рівнянь першого порядку

(9)

(10)

де матриці-функції , вектор-функції , матриці ,?? ?

Доведено, що для таких задач умова сильної збіжності граничних операторів до оператора еквівалентна рівномірній збіжності цих операторів. Тому, за умов теореми 2.1 на кофіцієнти та крайові оператори, ми отримуємо не лише збіжність розв'язків багатоточкових крайових задач по нормі простору на відрізку , а й збіжність відповідних їм матриць Гріна по нормі простору на квадраті .

Третій розділ дисертаційної роботи присвячено застосуванню попередніх результатів до крайових задач для скалярних рівнянь.

В підрозділах 3.1 - 3.3 розглянуто загальні крайові задачі для скалярних лінійних диференціальних рівнянянь порядку :

(11)

(12)

де коефіцієнти та праві частини рівнянь належать банаховому простору числа а лінійні неперервні функціонали

Під розв'язком крайової задачі (11), (12) розуміємо функцію яка задовольняє диференціальне рівняння (11) майже скрізь на відрізку та крайові умови (12).

Теорема 3.1. Нехай виконуються припущення і при - такі умови:

лінійні функціонали сильно збігаються до .

Тоді для достатньо малих , розв'язки задач (11), (12) однозначно визначені і задовольняють граничне співвідношення

У випадку, коли коефіціент при -й похідній в рівнянні (11) не залежить від параметра , результати теореми 3.1 можна істотно посилити.

Теорема 3.2. Якщо коефіцієнт в рівнянні (11) не залежить від параметра , то в формулюванні теореми 3.1 умову 1) можна усунути.

Умови теореми 3.2 можна ще більш послабити, якщо застосувати до задач (11), (12) теорему 2.2.

Теорема 3.3. Якщо коефіцієнт в рівнянні (11) не залежить від параметра , то в формулюванні теореми 3.1 умови 1) та 3) можна усунути.

Стосовно граничного переходу функцій Гріна задач (11), (12) в роботі доведена така теорема.

Теорема 3.4 (про граничний перехід для функцій Гріна). Нехай виконуються припущення та умови 1), 2) базової теореми 3.1 або умови на коефіцієнти рівняння (11) теореми 3.2. Відносно крайових функціоналів припускаємо, що рівномірно збігаються до , тобто

Тоді для достатньо малих існують функції Гріна

розглянутих задач і на квадраті

(13)

В підрозділі 3.5 дисертаційної роботи розглянуто квазідиференціальні рівняння високого порядку.

На відрізку розглянемо параметризовану числом сім'ю квазідиференціальних виразів

де квазіпохідні функції визначаються рекурентним чином за формулами:

(14)

а коефіцієнти

Покладемо

(15)

(16)

та розглянемо сім'ю двоточкових крайових задач

(17)

(18)

де функція а матриці

Введемо комплексні нормовані простори

з нормою

та

з нормою

Під розв'язком крайової задачі (17), (18) розуміємо функцію яка задовольняє квазідиференціальне рівняння (17) майже скрізь на відрізку та крайову умову (18).

Визначимо по заданих функціях матрицю-функцію



Теорема 3.4. Нехай виконуються припущення і при - такі умови:

Тоді для достатньо малих , однозначно визначені розв'язки задач (17), (18) задовольняють граничне співвідношення

Щодо функцій Гріна двоточкових крайових задач для квазідиференціальних рівнянь високого порядку в підрозділі 3.4 встановлена така теорема.

Теорема 3.5. Нехай виконуються припущення і умови 1), 4) теореми 3.4. Тоді для достатньо малих існують функції Гріна задач (17), (18) і на квадраті

Аналогічні результати отримано в підрозділі 3.5 для узагальнених двочленних диференціальних рівнянь.

Розглянемо на відрізку параметризовану числом сім'ю двочленних формальних диференціальних виразів порядку

(19)

де функція

Вираз (19) можна трактувати як квазідиференціальний, ввівши квазіпохідні функції , що визначаються в такий спосіб:

Тоді з урахуванням формул (20), формальний диференціальний вираз (19) можна переписати у вигляді квазідиференціального виразу:

(21)

Розглянемо сім'ю двоточкових крайових задач для неоднорідних квазідиференціальних рівнянь вигляду:

(22)

(23)

де а визначаються формулами (15), (16).

По заданій функції визначимо матрицю-функцію



Теорема 3.6. Якщо виконуються припущення і при - такі умови:

то для достатньо малих , розв'язки задач (22), (23) однозначно визначені і задовольняють граничне співвідношення

В підрозділі 3.5 також встановлено теорему про збіжність при функцій Гріна розглянутих задач до функції Гріна відповідної граничної крайової задачі.

Теорема 3.7. Нехай виконуються припущення і умови 1), 4) теореми 3.6. Тоді для достатньо малих існують функції Гріна задач (22), (23) і на квадраті

(24)

У четвертому розділі дисертаційної роботи введено новий клас крайових задач - тотальні крайові задачі, що містять в собі як складову загальні крайові задачі, та досліджено неперервність за параметром розв'язків тотальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку по нормі простору на відрізку та відповідних їм матриць Гріна по нормі простору на квадраті

Розглянемо параметризовану числом сім'ю неоднорідних тотальних крайових задач для системи диференціальних рівнянь першого порядку

(25)

(26)

де матриці-функції , вектор-функції , матриці а вектори . У випадку, коли матриці-функції мають обмежену по варіацію на відрізку , умова (26) еквівалентна загальній крайовій.

Під розв'язком тотальної крайової задачі розуміємо вектор-функцію яка задовольняє диференціальне рівняння (25) майже скрізь на відрізку та крайову умову (26).

Теорема 4.3. Нехай виконується припущення і при - такі умови:

Тоді для достатньо малих задачі (25), (26) мають єдиний роз'язок і

Зауваження 4.1. У випадку задач Коші умови 1), 2) теореми 4.3 є не лише достатніми, а й необхідними.

Припустимо, що однорідна крайова задача, яка відповідає неоднорідній тотальній крайовій задачі (25), (26) має лише тривіальний розв'язок і введемо таке означення.

Означення 4.1. Матрицею Гріна задачі (25), (26) будемо називати матричну функцію , за допомогою якої розв'язок напіводнорідної тотальної крайової задачі можна представити у вигляді

З відомих результатів випливає, що матриця Гріна визначається однозначно з точністю до значень на підмножині міри нуль.

Теорема 4.5. Нехай виконуються припущення і при - такі умови:

Тоді для достатньо малих існують матриці Гріна розглянутих задач і на квадраті



В якості застосування теорем 4.3 та 4.5, в підрозділах 4.6 і 4.7 досліджено неперервність за параметром розв'язків та функцій Гріна тотальних крайових задач для скалярних лінійних диференціальних рівнянь довільного порядку.

Висновки

У дисертаційній роботі одержано такі основні результати:

1. Знайдено нові, більш слабкі, ніж в теоремі І. Кігурадзе, умови на коефіцієнти та праві частини систем лінійних диференціальних рівнянь загальних крайових задач, що забезпечують рівномірну на збіжність розв'язків цих задач.

2. Вперше отримано достатні умови збіжності матриць Гріна загальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь по нормі простору на квадраті Побудовано приклад, який показує, що ці умови є оптимальними.

3. Вперше знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра розв'язків та матриць Гріна багатоточкових крайових задач для систем диференціальних рівнянь у нормах просторів на відрізку та на квадраті відповідно.

4. Введено новий клас крайових задач - тотальні крайові задачі, які містять в собі як складову загальні крайові задачі. Ці нові задачі мають ряд особливостей і не досліджувались раніше. Знайдено достатні умови неперервної залежності від параметра розв'язків тотальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь по нормі простору на відрізку .

5. Встановлено достатні умови збіжності матриць Гріна тотальних крайових задач для систем лінійних диференціальних рівнянь по нормі простору на квадраті

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Михайлец В.А. Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений / Михайлец В.А., Рева Н.В. // Доповіді НАН України. - 2008. - №8. - С. 28 - 30.

2. Михайлец В.А. Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых задач / Михайлец В.А., Рева Н.В. // Доповіді НАН України. - 2008. - №9. - С. 23 - 27.

3. Михайлец В.А. Непрерывность по параметру решений общих краевых задач / Михайлец В.А., Рева Н.В. // Теорія наближення функцій та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2008. - Т.5, №1. - С. 227 - 239.

4. Михайлець В.А. Про граничний перехід в лінійних системах диференціальних рівнянь / Михайлець В.А., Рева Н.В. // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька: Тези доповідей. - Дрогобич, 2007 р. - С. 193.

5. Михайлець В.А. Про граничний перехід в лінійних крайових задачах / Михайлець В.А., Рева Н.В. // Bogolyubov readings 2007 dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday, Ukraine, Zhitomir - Kiev, 19 August - 2 September 2007: Program and Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007. - P. 85-86.

6. Рева Н.В. Узагальнення теореми І. Кігурадзе про лінійні крайові задачі // Дванадцята міжнародна конференція імені академіка ?М. Кравчука, 15-17 травня, 2008 р., Київ: Матеріали конф. - К.: Національний технічний університет України «КПІ», 2008. - С. 330.

Размещено на Allbest.ru

...