Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання та псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання та псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. При математичному моделюванні різних реальних процесів використовуються рівняння з частинними похідними як скінченного, так і нескінченного порядків, рівняння із зростаючими при коефіцієнтами, еволюційні рівняння з операторами узагальненого диференціювання, операторами, які вироджуються за певними просторовими змінними (наприклад, з оператором Бесселя) і т. п. Задача Коші для таких рівнянь часто ставиться у випадку, коли початкові умови - початкові функції - мають особливості в одній або декількох точках. Такі функції допускають регуляризацію у просторах узагальнених функцій скінченного порядку типу розподілів Соболєва-Шварца, або ж є узагальненими функціями нескінченного порядку (наприклад, ультрарозподілами, гіперфункціями). Отже, задача Коші для таких рівнянь має природну постановку і в класах початкових умов, які є узагальненими функціями скінченного або нескінченного порядку.

У теорії аналітичних у крузі функцій вивчається питання про зображення лінійних неперервних відображень у вигляді диференціальних або інтегральних операторів скінченного або нескінченного порядків, операторів узагальненого диференціювання та інтегрування. Різні аспекти цієї проблеми досліджували Ж. Дельсарт, Ж.-Л. Ліонс, Ю.Ф. Коробейник, М.І. Нагнибіда, В.В. Напалков, В.А. Ткаченко, І.І. Райчинов, М.Ю. Царьков, В.П. Подпорін, С.С. Лінчук та інші математики. Важливий клас операторів узагальненого диференціювання та інтегрування утворюють оператори Гельфонда-Леонтьєва, введені в середині 20 сторіччя при вивченні розкладів цілих функцій в узагальнені ряди Фур'є, які позначаються символами . Властивості таких операторів досліджували і продовжують досліджувати математики в просторі однозначних і цілих в функцій з топологією компактної збіжності. Прикладами інших просторів, елементами яких є цілі функції і які широко використовуються при дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для рівнянь з частинними похідними є простори типу , введені Б.Л. Гуревичем. Функції з таких просторів на дійсній осі разом з усіма своїми похідними при спадають швидше, ніж . Топологія просторів типу відмінна від топології простору . Якщо , то збігається із звичайним оператором диференціювання. В.В. Городецьким, О.В. Мартинюк, О.М. Ленюком, В.А. Літовченком та ін. встановлено, що простори типу - простори, топологічно спряжені до просторів типу - є природними множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними скінченного та нескінченного порядків, при яких розв'язки є цілими функціями за просторовими змінними. У зв'язку з цим актуальним є питання про дослідження задачі Коші у просторах типу та просторах аналітичних функціоналів типу для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва як скінченного, так і нескінченного порядків у випадку, коли .

У розвитку багатьох важливих напрямів математики і фізики значну роль відіграли поняття та методи, які виникли при вивченні рівняння Штурма-Ліувілля та пов'язаного з цим рівнянням оператора Штурма-Ліувілля A = - d²/dx² + q(x). Функція називається потенціалом; якщо , то оператор називається гармонійним осцилятором. Еволюційне рівняння з таким оператором вигляду

, (1)

відноситься до рівнянь параболічного типу, коефіцієнти яких необмежено зростають при . М.Л. Горбачуком, В.І. Горбачук, О. І. Кашпіровським доведено, що розв'язок рівняння (1) завжди має граничне значення у просторах узагальнених функцій нескінченного порядку типу ультрарозподілів (типу ) і за ним завжди однозначно відновлюється. У працях М.Л. Горбачука, П.І. Дудникова, С.Д.Івасишена, Л.М. Андросової, О.Г. Возняк, В.В. Городецького, І.І. Дрінь, В.А.Літовченка та ін. доведено, що простори типу є множинами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними параболічного типу (до яких відноситься і рівняння (1)), при яких розв'язки є нескінченно диференційовними за просторовими змінними функціями. Отже, природним є питання про одержання аналогічних результатів для рівнянь вигляду (1), які містять функції від оператора , тобто оператори вигляду , де - функція, що задовольняє певні умови.

Останні десятиліття інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО), які формально можна подати у вигляді , де - функція (символ), що задовольняє певні умови, - пряме та обернене перетворення Фур'є. Імпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тісно пов'язані з важливими задачами аналізу і сучасної математичної фізики. Серед нових розділів цієї теорії особливої уваги заслуговує теорія рівнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорідними символами, які використовуються в теорії випадкових процесів, теорії фракталів, квантовій теорії поля. Дослідженням ПДО та задачі Коші для еволюційних рівнянь з ПДО займалось багато математиків, застосовуючи різні методи і підходи (M. Naqase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубін, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубінський, С.Д. Ейдельман, М.В. Федорюк, А.Н. Кочубей, Я.М. Дрінь, Б.Й. Пташник, В.В. Городецький, В.А.Літовченко та ін.); при цьому одержані значні й важливі результати про розв'язність задачі Коші у різних функціональних просторах. До псевдодиференціальних рівнянь формально можна віднести і сингулярні еволюційні рівняння з оператором Бесселя (B-параболічні рівняння), який вироджується по певній просторовій змінній, а саме рівняння при цьому вироджується на межі області, оскільки оператор Бесселя , можна визначити за допомогою співвідношення , де - перетворення Бесселя, - елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорія задачі Коші для сингулярних параболічних рівнянь побудована в працях М.І. Матійчука, В.В. Крехівського, С.Д.Івасишена, В.П. Лавренчука, І.І. Веренич та ін. Задача Коші для -параболічних рівнянь у класах розподілів та у класах узагальнених функцій типу та типу вивчалась Я.І. Житомирським, В.В. Городецьким, І.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В. Мартинюк, В.А.Літовченком та ін. До класу псевдодиференціальних рівнянь природно віднести еволюційні рівняння з оператором , де - однорідний негладкий у фіксованій точці символ. Оператор надалі називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. В.В. Городецьким та О.М. Ленюком встановлено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційного рівняння (1) з псевдо-Бесселевим оператором у певному просторі узагальнених функцій типу розподілів. Важливим для подальшого дослідження є питання про розширення класу псевдодиференціальних рівнянь (ПДР) з ПДО, побудованими за негладкими символами, зокрема, дослідження ПДР, які містять функції від псевдо-Бесселевих операторів (псевдо-Бесселеві оператори нескінченного порядку); одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для сингулярних параболічних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу та .

Дисертаційна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюційних рівнянь вигляду

, (2)

де - деяка ціла функція (A - оператор узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва, гармонійний осцилятор або псевдо-Бесселевий оператор).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в рамках науково-дослідної роботи «Дослідження коректності сингулярних параболічних крайових задач, задач для псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку та їх застосування» (номер держреєстрації 0105U002886) кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розвиток теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь вигляду (2) у класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів; одержання для таких рівнянь результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для параболічних та -параболічних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу та . Безпосередніми задачами дослідження є:

- вивчення властивостей операторів узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва (а також операторів Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку) в просторах типу ;

- встановлення розв'язності задачі Коші для еволюційних рівнянь з такими операторами в просторах типу та в просторах узагальнених функцій (аналітичних функціоналів) типу ;

- відшукання: а) умов, за яких у просторах типу визначений і є неперервним оператор , де - гармонійний осцилятор; б) зображення гладких розв'язків еволюційних рівнянь вигляду (2) з оператором ; дослідження граничних властивостей розв'язків таких рівнянь при наближенні до межі шару , тобто, встановлення існування у них, взагалі кажучи, узагальнених границь при і знаходження множин початкових значень; доведення коректної розв'язності задачі Коші для таких рівнянь у просторах ультрарозподілів типу ;

- встановлення коректної розв'язності задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку та початковими умовами, які є узагальненими функціями типу розподілів.

Об'єкт дослідження: еволюційні рівняння з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва скінченного та нескінченного порядків, псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку та гармонійним осцилятором нескінченного порядку.

Предмет дослідження: задача Коші для еволюційних рівнянь з вказаними операторами в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів.

Методи дослідження: метод інтегрального перетворення Бесселя, методи теорії формальних рядів Фур'є-Ерміта, теорії задачі Коші для рівномірно параболічних рівнянь та теорії узагальнених функцій.

Наукова новизна одержаних результатів. Для еволюційних рівнянь вигляду (2) вперше одержано такі результати:

- знайдено: а) підпростори просторів типу , в яких визначені, є лінійними і неперервними оператори узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва; б) умови, за яких у відповідних підпросторах коректно визначені і є неперервними оператори Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку;

- встановлена розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва у відповідних підпросторах типу та у просторах аналітичних функціоналів типу ;

- знайдено: а) умови на функцію , за яких у просторах типу визначений оператор , де - гармонійний осцилятор; б) зображення гладких розв'язків еволюційного рівняння (2) з оператором ; встановлено існування граничних значень гладких розв'язків таких рівнянь при у просторах узагальнених функцій типу ультрарозподілів;

- доведена коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь (2) з гармонійним осцилятором нескінченного порядку з початковими умовами з просторів узагальнених функцій типу ; знайдено наближені розв'язки задачі Коші для еволюційного рівняння гіперболічного типу з виродженням з оператором та оцінку похибки наближення в залежності від гладкості початкових функцій;

- знайдено умови, за яких у просторі основних функцій визначений, є лінійним і неперервним оператор , де - псевдо-Бесселевий оператор;

- досліджені властивості фундаментального розв'язку задачі Коші (ФРЗК) для еволюційного рівняння (2) з таким оператором як абстрактної функції часового параметра із значеннями у відповідному просторі основних функцій (який позначається символом ); доведена диференційовність (по ) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцію з простору - простору, топологічно спряженого до простору основних функцій ; вивчена поведінка вказаних згорток при у просторі узагальнених функцій ;

- встановлено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з оператором у класі згортувачів - підпросторі простору ; при цьому розв'язок має вигляд (- ФРЗК), при кожному належить до простору основних функцій , граничне значення при існує в просторі узагальнених функцій (елементами простору є узагальнені функції типу розподілів).

Практичне значення одержаних результатів. Дослідження мають теоретичний характер. Їх результати можуть знайти застосування у теорії параболічних псевдодиференціальних рівнянь, сингулярних параболічних рівнянь, теорії узагальнених функцій.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях [1-3, 6, 8, 11] В.В. Городецькому належить постановка задач та аналіз отриманих здобувачем результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, доповідались на: IV Міжнародній науково-практичній конференції «Динаміка наукових досліджень-2005» (2005 р., м. Дніпропетровськ); XI Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (2006 р., м. Київ); Міжнародній конференції «Диференціальні рівняння та їх застосування» (2006 р., м. Чернівці); ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Стратегические вопросы мировой науки-2007» (2007 р., м. Дніпропетровськ); ІІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Эффективные инструменты современных наук-2007» (2007 р., м. Дніпропетровськ); XII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (2008 р., м. Київ); наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь та факультету прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (вересень - листопад 2008 р., м. Чернівці).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 11 працях, з них 2 - у наукових журналах, 3 - у збірниках наукових праць і 6 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць у наукових фахових виданнях з переліку №1, затвердженого ВАК України від 9.06.1999.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 122 найменування. Повний обсяг роботи становить 152 сторінки.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Городецькому В.В. за постановку задач, конструктивні поради і цікаві ідеї.

Зміст роботи

бесселевий коші оператор рівняння

У вступі обґрунтовується актуальність теми дослідження, ставляться мета і завдання дослідження, вказується на зв'язок дисертації з науковою темою кафедри, де вона виконувалася, наводяться основні результати, відзначається їх новизна, практичне значення і апробація.

У першому розділі подано огляд наукових праць, що стосуються задачі Коші для еволюційних рівнянь нескінченного порядку та сингулярних параболічних рівнянь, а також праць, безпосередньо пов'язаних з дисертацією і з яких запозичуються методи досліджень та результати яких поширюються на більш загальні об'єкти.

У розділі 2 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологіч-

ної структури просторів типу та основних операцій у цих просторах. Знайдено умови коректної визначеності та неперервності операторів узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва (операторів Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку) у просторах типу , а також операторів узагальненого інтегрування у цих просторах. Встановлено розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з такими операторами в просторах типу та в просторах узагальнених функцій (аналітичних функціоналів) типу .

Перейдемо до викладу матеріалу другого розділу. У підрозділі 2.1 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів типу .

Нехай , - диференційовні, парні на функції, невід'ємні, зростаючі та опуклі на , причому . За допомогою функцій та Б.Л. Гуревич увів простори , названі ним просторами типу . Зокрема, символом позначається сукупність цілих функцій , для яких

(сталі залежать лише від функції ).

У вводиться топологія індуктивної границі просторів , які складаються з тих функцій , для яких правильні нерівності , де - довільна додатна стала, менша за - довільна стала, більша за . Якщо для покласти , , то з цими нормами перетворюється в досконалий зліченно-нормований простір. Простори є нетривіальними тоді і лише тоді, коли виконується умова: . Припустимо, що функції та задовольняють умову нетривіальності вигляду з деяким . Символом позначимо сукупність тих функцій з простору , для яких

,

і покладемо, за означенням, . Простори є нетривіальними.

У підрозділі 2.2 у просторах типу вивчаються властивості оператора узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва , , який будується за цілою функцією у припущенні, що коефіцієнти Тейлора , функції задовольняють умову: . При цьому, для довільної основної функції з простору покладемо, за означенням, . Відзначимо деякі властивості оператора Dⁿ(F,):

1) Dⁿ(F,₁+₂)=Dⁿ(F,₁)+Dⁿ(F,₂);

2)3)= 4) якщо, то .

Ці властивості показують, що справді можна розуміти як узагальнену похідну порядку від функції , яка породжена функцією (замість функції ). Оператор звичайного диференціювання збігається з оператором за умови, що послідовність , за якою будується оператор має вигляд: .

У просторі , топологія якого відрізняється від топології простору , правильним є наступне твердження.

Теорема 2.1. Оператор узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва визначений коректно на для довільного фіксованого і неперервно відображає цей простір у .

У підрозділі 2.3 знайдено умови, за яких у просторі визначений і є неперервним оператор узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку

g (D(F, )),

, , побудований за цілою функцією .

Теорема 2.2. Якщо ціла функція задовольняє умову

,

то в просторі визначений оператор ; при цьому відображає неперервно в .

Як наслідок, з теореми 2.2 випливає, що в просторі коректно визначений і є неперервним оператор

.

Дослідженню властивостей оператора узагальненого інтегрування , у просторах типу присвячений підрозділ 2.4. Оператор , який будується за фіксованою послідовністю і визначається формулою =, був введений К.М.Фішманом та М.І. Нагнибідою у 1965 р.

Теорема 2.3. Оператор узагальненого інтегрування визначений коректно на для довільного фіксованого і неперервно відображає цей простір у .

У просторі визначений також оператор узагальненого інтегрування нескінченного порядку за тих же обмежень на твірну функцію, що й у випадку оператора узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку.

У підрозділі 2.5 знайдено оператор, спряжений до оператора узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва.

Кожна функція єдиним способом розкладається в степеневий ряд: , при цьому , якщо , тобто послідовність є елементом простору збіжних до нуля послідовностей. Відображення є ін'єктивним. Введемо позначення і розглянемо оператор , який кожній послідовності , зіставляє у відповідність послідовність , тобто , . Спряжений оператор до деякого оператора позначатимемо сим-

волом . Із останнього співвідношення випливає, що спряжений до оператора оператор має вигляд , при цьому (символом позначається топологічно спряжений до простір, де або ). Якщо g = , , то , де , , - коефіцієнти Тейлора функції , за якою будується оператор .

У підрозділі 2.6 наведено основні означення та твердження, що стосуються відображень вигляду де - лінійний топологічний простір або об'єднання таких просторів. Такі відображення називають ще абстрактними функціями параметра у просторі .

Підрозділ 2.7 присвячений встановленню розв'язності задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва у просторах типу та в просторах аналітичних функціоналів типу .

Розглянемо у просторі задачу Коші

, (3)

. (4)

Під розв'язком задачі (3), (4) розумітимемо функцію , диференційовну по , яка при кожному є елементом простору , задовольняє рівняння (3) і початкову умову (4) в тому розумінні, що при у просторі ; при цьому неперервно залежить від . Правильним є наступне твердження.

Теорема 2.4. Задача Коші (3), (4) розв'язна у просторі ; розв'язок цієї задачі зображається формулою .

У просторі розглянемо рівняння

, (5)

де - оператор, спряжений до оператора узагальненого диференціювання ( - фіксоване). Під розв'язком рівняння (5) розумітимемо абстрактну функцію параметра із значеннями в просторі (тобто узагальнену функцію ), сильно диференційовну по , яка задовольняє рівняння (5) у просторі ).

Якщо для (5) задано початкову умову

(6)

то під розв'язком задачі Коші (5), (6) розумітимемо розв'язок рівняння (5), який задовольняє початкову умову (6) в тому сенсі, що при у просторі .

У підрозділі 2.7 встановлено, що задача Коші (5), (6) коректно розв'язна в просторі , тобто для довільного розв'язок існує, єдиний у просторі , неперервно залежить від початкової умови; при цьому , де виписуються в явному вигляді, при кожному .

У розділі 3 знайдено умови, за яких у просторах типу визначений і є неперервним гармонійний осцилятор нескінченного порядку, а також зображення гладких розв'язків еволюційних рівнянь з таким оператором, описано множини початкових значень розв'язків, на підставі чого встановлено коректну розв'язність задачі Коші у просторах ультрарозподілів типу . Побудовано наближені розв'язки задачі Коші для рівняння гіперболічного типу з виродженням, яке містить гармонійний осцилятор нескінченного порядку, дається оцінка швидкості збіжності в залежності від гладкості початкових функцій.

У підрозділі 3.1 даються основні означення, що стосуються класів Жевре, породжених невід'ємним самоспряженим оператором з дискретним спектром у сепарабельному гільбертовому просторі , власні вектори якого утворюють ортонормований базис в .

У підрозділі 3.2 наведено основні відомості про функції Ерміта, а також спеціальні оцінки функцій Ерміта комплексного аргументу.

У підрозділі 3.3 розглядаються формальні ряди Фур'є-Ерміта та простори типу , введені І.М. Гельфандом та Г.Є. Шиловим.

Наведемо означення одного з просторів типу . Для довільних покладемо

Простори нетривіальні при і утворюють щільні в множини. Якщо і , то складається з тих і лише тих функцій , які допус-

кають аналітичне продовження у всю комплексну площину і для яких .

Топологічна структура в визначається так. Символом позначимо сукупність функцій , які задовольняють умову: . Ця множина перетворюється в повний зліченно-нормований простір, якщо норми в ній ввести за допомогою співвідношень:Якщо, то неперервно вкладається в і . Отже, в вводиться топологія індуктивної границі просторів .

Символом надалі позначатимемо сукупність усіх аналітичних продовжень у всю комплексну площину функцій з простору , .

У підрозділі 3.4 знайдено умову, за якої у просторі коректно визначений і є неперервним гармонійний осцилятор нескінченного порядку, тобто оператор, де , , - деяка ціла функція.

Теорема 3.1. Якщо ціла функція f задовольняє умову

,

то оператор визначений на просторі і відображає неперервно цей простір в себе.

Звуження оператора на простір позначимо символом .

Підрозділ 3.5 присвячений встановленню коректної розв'язності задачі Коші для еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором нескінченного порядку.

Розглянемо еволюційне рівняння вигляду

. (7)

Під розв'язком рівняння (7) розумітимемо функцію , яка задовольняє умови: 1) при кожному ; 2) диференційовна по при кожному ; 3) u задовольняє рівняння (7).

Теорема 3.2. Кожна функція вигляду

,

є розв'язком рівняння (7) у вказаному розумінні (тут - функції Ерміта, які утворюють ортонормований базис в ).

Теорема 3.3. Нехай , - розв'язок рівняння (7). Граничне значення при існує в просторі , тобто при в .

Теорема 3.3. дозволяє ставити задачу Коші для рівняння (7) так. Для (7) задамо початкову умову

, . (8)

Під розв'язком задачі Коші (7), (8) розумітимемо розв'язок рівняння (7), який задовольняє початкову умову (8) у тому сенсі, що при у просторі .

Теорема 3.4. Задача Коші (7), (8) коректно розв'язна у просторі початкових даних . Її розв'язок зображається формулою

.

У підрозділі 3.6 побудовано рівномірні наближення розв'язку задачі Коші для еволюційного рівняння гіперболічного типу

, (8₁)

, з гармонійним осцилятором нескінченного порядку. Розв'язком задачі (8₁) є функція , , h_k, , - функції Ерміта, ; де , - гама-функція, - функція Бесселя першого роду порядку . Зазначимо, що якщо то . Функції мають складну структуру, в той же час кожна з цих функцій допускає розклад в ряд Фур'є за узагальненими многочленами Чебишова-Лагерра , які утворюють ортонормований базис у просторі (тут - фіксовані параметри, ). Ці розклади є такими:

Ч,

,,

.

Позначимо через - n-і частинні суми рядів Фур'є функцій за многочленами відповідно; при цьому , при у кожній точці . Використовуючи цей факт, у підрозділі 3.6 побудовано наближені розв'язки задачі (8₁), при цьому дається оцінка швидкості збіжності в залежності від гладкості початкових функцій . Зокрема, правильним є наступне твердження.

Теорема 3.6. Нехай , - розв'язок задачі (8₁). Якщо

, то

де ,

Аналогічні твердження мають місце і у випадку, коли (швидкість збіжності методу: ), та у випадку (швидкість збіжності: ).

У розділі 4 досліджується коректна розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку та початковими умовами, які є узагальненими функціями типу розподілів.

У підрозділі 4.1 наведено основні означення та твердження, що стосуються топологічної структури просторів основних функцій. Нехай - фіксоване число з множини -фіксоване число з множини . Елементами простору , за означенням, є нескінченно диференційовні на функції , які задовольняють нерівності У вводиться структура зліченно-нормованого простору за допомогою норм: =. У просторі визначені і неперервні операції зсуву аргументу та операція диференціювання.

Символом позначатимемо сукупність усіх парних функцій з простору . Оскільки утворює підпростір , то в природним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором, а його елементи - основними функціями. На функціях з простору визначене перетворення Бесселя:, де - нормована функція Бесселя. При цьому, - парна, обмежена, неперервна на і нескінченно диференційовна на функція; у функції , існують скінченні односторонні границі функції з простору задовольняють умову: . Зазначимо також, що перетворення Бесселя неперервно відображає на .

У просторі визначений і неперервний оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя і має вигляд , де .

У підрозділі 4.2 розглядається простір узагальнених функцій , перетворення Бесселя узагальнених функцій цього простору, даються властивості згорток, згортувачів та мультиплікаторів.

Символом позначатимемо простір усіх лінійних неперервних функціоналів над відповідним простором основних функцій зі слабкою збіжністю, а його елементи називатимемо узагальненими функціями. Оскільки в просторі визначена операція узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функції з основною функцією задамо формулою , при цьому є нескінченно диференційовною, парною на функцією. Якщо і , то функціонал називається згортувачем у просторі . Перетворення Бесселя узагальненої функції визначається за допомогою співвідношення . Якщо узагальнена функція - згортувач у просторі , то для довільної функції правильною є формула , при цьому - мультиплікатор у просторі .

У підрозділі 4.3 знайдено умови, за яких у просторі основних функцій визначений, є лінійним і неперервним псевдо-Бесселевий оператор нескінченного порядку; досліджено властивості фундаментального розв'язку задачі Коші (ФРЗК) для еволюційного рівняння з таким оператором; встановлено коректну розв'язність задачі Коші для такого рівняння у класі згортувачів - узагальнених функцій з простору .

Нехай - псевдо-Бесселевий оператор, тобто оператор, який визначається співвідношенням , де - неперервна, парна на функція (символ), однорідна порядку недиференційовна в точці . Розглянемо, далі, оператор побудований формально за функцією , яка допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину і задовольняє умови:

А)

Б) ;

B)

(тут , - ціла частина числа , - стала з умови Б). Оператор надалі називатимемо псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку. Правильним є наступне твердження.

Теорема 4.1. Якщо функція задовольняє умови Б), В), то в просторі визначений і є неперервним псевдо-Бесселевий оператор нескінченного порядку.

Розглянемо еволюційне рівняння з оператором вигляду

. (9)

Під розв'язком рівняння (9) розумітимемо функцію , яка задовольняє рівняння (9). Символом позначимо обернене перетворення Бесселя функції exp Основні властивості функції описують наступні твердження.

Теорема 4.2. при кожному , як функція аргументу , є елементом простору . Для функції та її похідних правильними є оцінки: , де стала не залежить від , n = - 1/2, - сталі з умови Б), яку задовольняє функція f.

Теорема 4.3. Функція , як абстрактна функція параметра із значеннями в просторі , диференційовна по .

Символом позначимо сукупність усіх узагальнених функцій з простору , які є згортувачами у просторі .

Лема 4.1. Нехай . Тоді граничне співвідношення , виконується у просторі .

Функцію надалі називатимемо фундаментальним розв'язком задачі Коші (ФРЗК) для рівняння (9). Лема 4.1 дозволяє ставити задачу Коші для рівняння (9) так. Для (9) задамо початкову умову

, . (10)

Під розв'язком задачі Коші (9), (10) розумітимемо розв'язок рівняння (9), який задовольняє початкову умову (10) у тому сенсі, що при у просторі . Основний результат підрозділу складає наступне твердження.

Теорема 4.4. Задача Коші (9), (10) коректно розв'язна в класі узагальнених функцій . Розв'язок подається у вигляді згортки:

,

де - ФРЗК для рівняння (9).

Висновки

Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання, псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку та гармонійним осцилятором нескінченного порядку (рівняння з необмежено зростаючими при коефіцієнтами) в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів. Такі рівняння є природним узагальненням диференціально-операторних рівнянь параболічного типу і є важливими з точки зору застосувань у теорії параболічних псевдодиференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку.

У дисертаційній роботі вперше одержано такі результати:

- знайдено умови коректної визначеності та неперервності операторів узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва як скінченного, так і нескінченного порядків у просторах типу , а також операторів узагальненого інтегрування у цих просторах;

- встановлено розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання у просторах типу та просторах узагальнених функцій (аналітичних функціоналів) типу ; знайдено зображення розв'язків вказаних задач;

- у просторі побудовано гармонійний осцилятор нескінченного порядку, який є неперервним у цьому просторі; знайдено зображення гладких розв'язків еволюційних рівнянь з таким оператором; встановлено існування граничних значень гладких розв'язків вказаних рівнянь у просторах узагальнених функцій типу ультрарозподілів;

- доведено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором нескінченного порядку у певних підпросторах узагальнених функцій типу ;

- побудовано наближені розв'язки задачі Коші для рівняння гіперболічного типу з виродженням, яке містить гармонійний осцилятор нескінченного порядку, дається оцінка швидкості збіжності в залежності від гладкості початкових функцій;

- знайдено умови, за яких у просторі основних функцій визначений, є лінійним і неперервним псевдо-Бесселевий оператор нескінченного порядку;

- досліджені властивості фундаментального розв'язку задачі Коші (ФРЗК) для еволюційного рівняння з таким оператором як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторі , встановлені оцінки похідних ФРЗК, доведена диференційовність (по ) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцією з простору ; вивчена поведінка вказаних згорток при у просторі узагальнених функцій ;

- встановлено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку у певному підпросторі простору (класі згортувачів), знайдено зображення розв'язку задачі Коші у вигляді згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцією типу розподілів.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Городецкий В.В. Эволюционные уравнения с операторами обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. І / Василий Васильевич Городецкий, Наталия Михайловна Шевчук // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, №4. - С. 480 - 490.

2. Городецкий В.В. Эволюционные уравнения с операторами обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. ІІ / Василий Васильевич Городецкий, Наталия Михайловна Шевчук // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, №6. - С. 785 - 794.

3. Гома Н.М. Еволюційні рівняння з гармонійним осцилятором у просторах типу та / Наталія Михайлівна Гома, Василь Васильович Городецький // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С. 13-25.

4. Шевчук Н.М. Наближені розв'язки задачі Коші для гіперболічного рівняння з виродженням / Н.М. Шевчук // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 336-337. - Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 197-205.

5. Шевчук Н.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку / Н.М. Шевчук // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 374. - Математика. - Чернівці: Рута, 2008. - С. 145-154.

6. Городецький В.В. Оператори Гельфонда-Леонтьєва у просторах типу / Василь Васильович Городецький, Наталія Михайлівна Гома // XI Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2006. - С. 520.

7. Шевчук Н.М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку /Н.М. Шевчук // XIІ Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції. - К.: Задруга, 2008. - С. 444.

8. Городецький В.В. Множини початкових значень гладких розв'язків еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором / В.В. Городецький, Н.М. Гома // Матеріали IV міжнародної науково-практичної конференції «Динаміка наукових досліджень 2005». Том 27. Математика. - Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2005. - С. 5-8.

9. Шевчук Н.М. Про одне узагальнення операцій диференціювання у просторах типу / Н.М. Шевчук // Материалы II Международной научно-практической конференции «Стратегические вопросы мировой науки - 2007». Том 8. Математика. Физика. Современные информационные технологии. - Днепропетровск: Наука и образование, 2007. - С. 5-7.

10. Шевчук Н.М. Наближені розв'язки еволюційного рівняння гіперболічного типу / Н.М. Шевчук // Материалы III Международной научно-практической конференции «Эффективные инструменты современных наук - 2007». Том 9. Технические науки. Строительство и архитектура. Математика. Физика. Химия и химические технологии. - Днепропетровск: Наука и образование, 2007. - С. 22-26.

11. Городецький В.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва / Василь Васильович Городецький, Наталія Михайлівна Шевчук // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція, 11-14 жовтня, 2006 р., тези доповідей. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 26.

Размещено на Allbest.ru

...