Поточково-проективні зображення маркованих сагайдаків

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ПОТОЧКОВО-ПРОЕКТИВНІ ЗОБРАЖЕННЯ МАРКОВАНИХ САГАЙДАКІВ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дяченко Сергій Миколайович

Київ - 2008

Анотація

Дяченко С.М. Поточково-проективні зображення маркованих сагайдаків. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню задачі про односторонню еквівалентність матриць над скінченновимірною базовою алгеброю та задачі про поточково-проективні зображення Alg-маркованих сагайдаків.

Основними результатами дисертації є опис всіх Alg-маркованих сагайдаків скінченного та ручного типів відносно поточково-проективних зображень, опис всіх базових алгебр, над якими задача про односторонню еквівалентність матриць є задачею скінченного та ручного типів та опис базових нерозкладних алгебр над якими задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць є задачею скінченного типу. До того ж доведено, що у цих випадках всі алгебри, якими марковані вершини сагайдака мають мультиплікативний базис.

Ключові слова: маркований сагайдак, одностороння еквівалентність, матрична задача, поточково-проективне зображення, базова алгебра, схема Динкіна.

Аннотация

Дяченко С.Н. Поточечно-проективые представления маркированных колчанов. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008 г.

В диссертационной работе изучается задача об односторонней эквивалентности матриц над конечномерной базисной алгеброй и задача об описании поточечно-проективных представлений Alg-маркированных колчанов.

Основными результатами диссертации есть исследование двух классификационных задач линейной алгебры. Алгебры, над которыми рассматриваются матричные задачи, являются базисными конечномерными алгебрами над алгебраически замкнутым полем. Как известно, такие алгебры представляются как алгебры путей ориентированного графа с соотношениями (мы обозначаем Alg класс таких алгебр).

Первая из них - задача про одностороннюю эквивалентность матриц над алгеброй и над радикалом алгебры. Две матрицы над алгеброй (или над ее радикалом) называются односторонне эквивалентными, если , где - обратимая матрица над полем, а - обратимая матрица над алгеброй. Для задачи над алгеброй описаны алгебры, для которых эта задача конечного и ручного типа, а для задачи над радикалом описаны алгебры, неразложимые в прямое произведение алгебр, для которых эта задача конечного типа.

Вторая - задача про описание поточечно-проективных представлений Alg-маркированного колчана. Эта задача - обобщение классической задачи про представления колчана, введенной П. Габриэлем в 1972 г. Рассматривается колчан каждая вершина которого маркирована алгеброй из класса Alg, а представление такого колчана - это набор, проиндексированный вершинами колчана, проективных модулей (над соответствующими алгебрами) и набор линейных отображений, проиндексированный стрелками колчана. Понятие эквивалентности поточечно-проективных представлений аналогично понятию эквивалентности в классическом случае, только вместо изоморфизмов векторных пространств берутся изоморфизмы проективных модулей над соответствующими алгебрами.

В работе дано описание всех Alg-маркированных колчанов, для которых эта задача конечного и ручного типа. Дано описание более узкого класса базисных алгебр . К этому классу принадлежат алгебры, которыми маркированы колчаны поточечно-проективного ручного типа. Доказано, что алгебры из класса A могут быть заданы графом с соотношениями, которые имеют вид равенства нулю некоторых путей в графе, а также, в таких алгебрах можно выбрать мультипликативный базис, который будет состоять из некоторых путей в графе.

Задача про описание поточечно-проективных представлений колчанов сведена к случаю, когда колчан связный и маркирован алгебрами не разложимыми в прямое произведение. Указана процедура расщепления графа в вершине. Эта процедура позволяет по заданному колчану построить колчан, вершины которого маркированы неразложимыми алгебрами. Доказано, что если задача про поточечно-проективные представления связного колчана конечного типа, то соответствующий неориентированный граф есть диаграммой Дынкина. В случае ручного типа соответствующий граф есть обычная или расширенная диаграмма Дынкина.

Найдена формулировка задачи про описание поточечно-проективных представлений A-маркированного колчана и задачи про одностороннюю эквивалентность матриц над алгеброй (и ее радикалом) в терминах матриц и элементарных преобразований.

Ключевые слова: маркированный колчан, одностороння эквивалентность, матричная задача, поточечно-проективные представления, базисная алгебра, схема Дынкина.

Abstrakt

Dyachenko S. M. Pointwise projective representations of marked quivers. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, 2008.

The dissertation is devoted to the study of the one-sided equivalence matrices problem and to the study of the pointwise projective representations of Alg-marked quivers.

The main results of the dissertation is the description of all Alg-marked quivers of pointwise projective tame and finite type and the description of all one sided tame and finite basis algebras.

It is proved that the underline graph of the Alg-marked quiver of finite type is a Dynkin diagram, and that the underline graph of the Alg-marked quiver of tame type is Dynkin diagram or extended Dynkin diagram. The problem of pointwise projective representations of Alg-marked quiver is reduced to the case of connected quiver marked by indecomposable algebras. It is proved that there exists a multiplicative basis for algebras corresponding to tame marked quivers.

Keywords: marked quiver, one sided equivalence, matrix problem, pointwise projective representations, basis algebra, Dynkin diagram.

сагайдак алгебра матриця еквівалентність

1. Загальна характеристика роботи

Дисертаційна робота присвячена вивченню зображень спеціального вигляду скінченних маркованих сагайдаків.

Зображення сагайдаків над довільним полем ввів у 1972 році П. Габріель Gabriel P. Unzerlegbure Darstellungen, I / Pier Gabriel// Manus. Math. - 1972. - Vol. 6, № 1. - P. 71-103. в зв'язку з вивченням зображень скінченно-вимірних алгебр, радикал в квадраті яких дорівнює нулю. У цій же роботі він показав, що сагайдак має скінчений зображувальний тип тоді і лише тоді, коли він є неперетинним об'єднанням сагайдаків, відповідний неорієнтовний граф кожного з яких є схемою Динкіна. Сагайдаки ручного зображувального типу описані в 1973 році незалежно в роботах Назарової Назарова Л.А. Представления колчанов бесконечного типа / Л.А. Назарова // Изв. АН СССР. - 1973. - Т.37, № 4. - С. 752-791. і Донована Donovan P. The representations theory of finite graphs and associated algebras / P. Danovan, M.R Freislich // Carleton Lecture Notes. - 1973. - № 5. - P. 3-86.. У цих роботах доведено, що зв'язний сагайдак нескінченного зображувального типу має ручний тип тоді і лише тоді, коли відповідний йому неорієнтовний граф є розширеною схемою Динкіна.

Зображення сагайдаків виникають при розгляді багатьох задач і особливо класифікаційних задач теорії зображень. Це викликано, зокрема, тим, що будь-яка базова алгебра ізоморфна алгебрі шляхів деякого сагайдака із співвідношеннями.

У свою чергу, задачі, пов'язані з зображеннями сагайдаків, часто можна звести до інших класифікаційних задач лінійної алгебри (зображень частково впорядкованих множин, пар частково впорядкованих множин, тощо). Зокрема, критерій ручності для сагайдаків легко отримати із аналогічного критерія для частково впорядкованих множин, отриманого пізніше Л. О. Назаровою Назарова Л.А. Частично упорядоченные множества бесконечного типа / / Л.А. Назарова // Изв. АН СССР. - 1975. - Т. 39, № 5. - С. 963-991. (зображення частково впорядкованих множин введені в 1972 році Л.О.Назаровою і А.В. Ройтером Назарова Л.А. Представления частично упорядоченных множеств / Л.А. Назарова, А.В. Ройтер // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1972. - Т. 28. - С. 5-31.; частково впорядковані множини скінченного зображувального типу описано М.М. Клейнером Клейнер М.М. Частично упорядоченные множества конечного типа / М.М. Клейнер // Зап. науч. сем. ЛОМИ.- 1972. - Т. 28. - С. 32-41.). І отже, вивчення зображень сагайдаків та інших об'єктів тісно пов'язані між собою. Цей зв'язок особливо глибокий, якщо говорити про зображення сагайдаків із співвідношеннями.

У 2000 р. А.В. Ройтер Назарова Л.А. Конечнопредставимые диадические множества / Л.А. Назарова, А.В. Ройтер // Укр. матем. Журнал. - 2000. - Т. 52, № 10. - С. 1363-1396. ввів поняття маркованого сагайдака та його зображень, а В.М.Бондаренко Bondarenko V.M. On dispersing representations of quivers and their connection with representations of bundles of semichains / V.M. Bondarenko // Algebra Diskrete Math. - 2002. - Vol. 1, № 1. - P. 19-31. ввів (більш загальне) поняття дисперсійного зображення сагайдака. Такі зображення включають у себе як звичайні зображення сагайдаків, так і зображення поповнених частково впорядкованих множин (зокрема, з інволюцією чи відношенням еквівалентності), зображення в'язок напівланцюгів, тощо. Ці поняття дають можливість по-новому подивитися на зв'язки між різними класами матричних задач, а також розглянути низку нових природних класифікаційних задач лінійної алгебри.

Актуальність теми. Зображення сагайдаків та матричні задачі, які виникають при їх вивченні, відіграють суттєву роль в сучасній теорії зображень. Головним результатом дисертаційної роботи є повний опис ручних маркованих сагайдаків відносно поточково-проективних зображень. Як видно із викладеного вище, цей напрямок є актуальним; багато важливих результатів у цьому напрямку отримано саме українськими математиками.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов'язана з науковими дослідженнями кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка - тема 06БФ038-02 "Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів", термін 01.01.2006 - 31.12.2010, (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є повний опис маркованих сагайдаків скінченного і ручного зображувального типу відносно поточково-проективних зображень, а також вивчення матриць над скінченновимірними алгебрами з точністю до односторонньої еквівалентності.

Об'єктом дослідження є зображення сагайдаків та матриці над скінченновимірними алгебрами.

Предмет дослідження - зображувальний тип маркованого сагайдака та канонічна форма матриць над скінченновимірними алгебрами.

Методи дослідження. Основними методами, що використовуються у дослідженні, є метод матричних задач та комбінаторний аналіз.

Наукова новизна одержаних результатів.

У дисертації автором отримано нові теоретичні результати, основними із яких є наступні.

· Знайдено зображувальний тип будь-якої базової алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць.

· Описано базові алгебри, для яких задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць має скінченний тип.

· Показано, що Alg-маркований сагайдак є диким відносно поточково-проективних зображень, якщо хоча б одна алгебра (що відповідає його вершині) не має мультиплікативного базису.

· Задача про поточково-проективні зображення Alg-маркованого сагайдака зведена до випадку, коли всі алгебри нерозкладні, а сагайдак зв'язний; показано, що якщо при виконанні цих умов початкова задача має ручний тип, то відповідний неорієнтовний граф є звичайною або розширеною схемою Динкіна.

· Вказано (в загальному вигляді) матричну задачу, до якої зводиться опис поточково-проективних зображень Alg-маркованого сагайдака.

· Описані Alg-марковані сагайдаки скінченного та ручного типів відносно поточково-проективних зображень.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Її результати та методи можуть бути використані в теорії зображень та теорії матричних задач (особливо при подальшому вивченні зображень маркованих сагайдаків).

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи належать особисто автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи оприлюднено:

на міжнародній науково-практичній конференції, присвяченій 15-й річниці незалежності України "Шевченківська весна" (Київ, березень 2006 р.),

на міжнародній конференції з радикалів - ICOR-2006 (Київ, серпень 2006 р.),

на V науковій конференції "Ломоносовские чтения" (Севастополь, травень 2006 р.),

на Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, травень 2006 р.),

на VI міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам'янець-Подільський, липень 2007 р.).

2. Основний зміст роботи

У вступі наведено загальну характеристику та мету роботи, обґрунтовано її актуальність і наукову новизну.

Розділ 1 присвячено формулюванню відомих результатів, які використовуються в дисертаційній роботі.

У підрозділі 1.1 наведено основні поняття теорії k-категорій, а в підрозділі 1.2 - основні поняття теорії матричних задач.

У підрозділах 1.3 - 1.6 розглянуті задачі про зображення сагайдаків і частково впорядкованих множин (в тому числі з інволюцією) та зображення в'язок напівланцюгів. Сформульовано відомі теореми про матричні задачі скінченного, ручного та дикого типів.

У підрозділах 1.7, 1.8 розглянуті основні факти про базові алгебри та проективні модулі.

У розділах 2 - 5 викладені основні результати дисертації. При формулюванні всіх класифікаційних результатів графи та алгебри розглядаються з точністю до ізоморфізму.

У розділі 2 розглядається задача про односторонню еквівалентність матриць над скінченновимірною k-алгеброю. Ми називаємо дві (не обов'язково квадратні) матриці A i A₁ над L односторонньо еквівалентними тоді і лише тоді, коли існують оборотна матриця S над k та оборотна матриця T над такі, що SA₁ = AT. На мові модулів це означає, що ми розглядаємо лінійні відображення k^{m n} (для довільних m, n - 0), вважаючи, що два такі відображення f, f₁ еквівалентні, тоді і лише тоді, коли f₁=f для деяких ізоморфізмів між відповідними просторами та модулями. Якщо за брати довільні гомоморфізми, то всі відображення вигляду k^{m n} утворюють категорію, яку будемо позначати C; задача про опис її об'єктів (з точністю до ізоморфізму) рівносильна задачі про односторонню еквівалентність матриць. Оскільки в загальному випадку категорія C не є категорією Крулля-Шмідта (як, наприклад, для локальних алгебр), то замість C будемо розглядати категорію D, яка відрізняється від категорії C лише тим, що замість вільних -модулів розглядаються проективні (такий перехід є загально прийнятим в сучасній алгебрі).

Ми розглядаємо задачу про опис об'єктів категорії D у випадку, коли - базова алгебра над алгебраїчно замкненим полем; кожна така алгебра є алгеброю шляхів деякого скінченого орієнтованого графа Г із співвідношеннями. Ми будемо користуватися загальноприйнятою термінологією теорії графів. Зокрема, запис Г = (Г₀, Г₁) означає, що Г₀ є множиною вершин графа Г, а Г₁ - множиною його стрілок. Початок і кінець шляху w в графі Г будемо позначати відповідно (w) .

У підрозділі 2.2 доведено, що наша задача буде дикою, якщо граф Г містить дві стрілки з однаковою кінцевою вершиною. Ця умова дозволяє довести існування мультиплікативного базису, тобто доведено наступне твердження.

Твердження 2.3 Нехай - алгебра шляхів графа Г із співвідношеннями і до того ж граф Г або не містить двох стрілок з однаковим початком, або не містить двох стрілок з однаковим кінцем. Тоді алгебра має мультиплікативний базис (тобто, добуток двох елементів цього базису є іншим елементом базису або рівний нулю).

Ми позначили символом A множину базових алгебр для яких існує мультиплікативний базис.

У підрозділі 2.3 ми формулюємо задачу про опис об'єктів категорії D на матричній мові; відповідна матрична задача розглядається на мові елементарних перетворень. Нехай A і B - деякий її мультиплікативний базис. Маємо набір матриць {A_v | v B} над k. У всіх матриць однакова кількість рядків і якщо (v) = (w), то кількість стовпців в матрицях A_v, A_w однакова. Два набори називаються еквівалентними, якщо від одного до іншого можна перейти за допомогою наступних елементарних перетворень:

1) одночасні елементарні перетворення з рядками усіх матриць;

2) елементарні перетворення зі стовпцями кожної із матриць A_v, але у випадку (v) = (w) ці перетворення в A_v та A_w треба робити одночасно;

3) якщо vu = w в B, то стовпці матриці A_u (помножені на довільні елементи поля) можна додавати до стовпців матриці A_w, але якщо при цьому vu' = w' в B, то такі ж самі додавання потрібно зробити між стовпцями матриць A_u' та A_w' .

Сформулюємо тепер теореми, які дають опис алгебр, для яких задача опису об'єктів категорії D є скінченного та ручного типів (скорочено OSE-скінченного та OSE-ручного типу відповідно).

Теорема 2.10 Алгебра шляхів графа із співвідношеннями має OSE-скінченний тип в таких і лише таких випадках:

1) ,

2) ,

3) ,

4) , ,

5) , ,

6) , .

Теорема 2.11 Алгебра шляхів графа із співвідношеннями має OSE-ручний нескінченний тип в таких і лише таких випадках:

1) ,

2) , ,

3) ,

4) ,

5) ,

Ці теореми доведено в розділах 4 та 5.

У підрозділі 2.4 розглядається задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць. Вона відрізняється від попередньої задачі тим, що матриці розглядаються не над алгеброю, а над її радикалом. Для алгебр із A отримана теорема, що описує всі нерозкладні алгебри, для яких вказана задача має скінченний тип (у цьому випадку ми говоримо, що алгебра має OSE(R)-скінченний тип).

Теорема 2.14 Алгебри OSE(R)-скінченного типу, кожну з яких можна задати як алгебру шляхів деякого зв'язного графа Г із співвідношеннями, з точністю до ізоморфізму вичерпуються наступними алгебрами:

1a) Г₀ = {1}, Г₁: одна петля a така, що a² = 0;

1б) Г₀ = {1}, Г₁: одна петля a така, що a³ = 0;

1в) Г₀ = {1}, Г₁: одна петля a така, що a⁴ = 0;

2) Г₀ = {1, 2}, Г₁: стрілка між вершинами;

3а) Г₀ = {1, 2}, Г₁: петля a у вершині 1, стрілка b із 1 в 2 такі, що a³ = 0, ab = 0;

3б) Г₀ = {1, 2}, Г₁: петля a у вершині 1, стрілка b із 1 в 2 такі, що a² = 0, ab = 0;

4) Г₀ = {1, 2}, Г₁: стрілка b із 1 в 2, стрілка a із 2 в 1 такі, що ab = 0, ba = 0;

5) Г₀ = {1, 2, 3}, Г₁: стрілка a із 1 в 2, стрілка b із 2 в 3 такі, що ab = 0;

6) Г₀ = {1, 2, 3}, Г₁: стрілка a із 2 в 1, стрілка b із 2 в 3;

7) Г₀ = {1, 2, 3}, Г₁: стрілка a із 1 в 2, стрілка b із 2 в 3, петля c у вершині 1 такі, що ab=0, ca = 0, c² = 0;

8) Г₀ = {1, 2, 3}, Г₁: стрілка a із 2 в 1, стрілка b із 2 в 3, петля c у вершині 2 такі, що c² = 0, ca = 0, cb = 0;

9) Г₀ = {1, 2, 3}, Г₁: стрілка a із 2 в 1, стрілка b із 2 в 3, стрілка c із 3 в 2 такі, що ca = 0, bc = 0, cb = 0;

10) Г₀ = {1, 2, 3, 4}, Г₁: стрілка a із 1 в 2, стрілка b із 2 в 3, стрілка c із 3 в 4 такі, що ab=0, bc = 0;

11) Г₀ = {1, 2, 3, 4}, Г₁: стрілка a із 2 в 1, стрілка b із 2 в 3, стрілка c із 3 в 4 такі, що bc=0;

12) Г₀ = {1, 2, 3, 4}, Г₁: стрілка a із 2 в 1, стрілка b із 2 в 3, стрілка c із 2 в 4;

13) Г₀ = {1, 2, 3, 4}, Г₁: стрілка a із 2 в 1, стрілка b із 2 в 3, стрілка c із 4 в 2 такі, що ca=0, cb = 0;

У розділі 3 вводяться два центральні поняття дослідження: поняття Alg-маркованого сагайдака та його поточково-проективного зображення.

У теорії зображень сагайдаком називають довільний орієнтований граф Q = (Q₀, Q₁); ми вважаємо множини Q₀ i Q₁ скінченними. Alg-маркованим сагайдаком Q називається сагайдак Q = (Q₀, Q₁) разом із відображенням Q₀ Alg, де Alg - множина базових скінченновимірних алгебр.

Поточково-проективним зображенням Alg-маркованого сагайдака Q називається пара U = P, що складається з набору проективних модулів P = {P_i | I Q₀} (P_i - проективний (i)-модуль), та набору лінійних відображень: P_(e) P_(e). Два зображення називаються еквівалентними, якщо існує набір ізоморфізмів, таких, що для довільної стрілки e із i в j.

У підрозділі 3.1 вивчаються загальні властивості поточково-проективних зображень Alg-маркованих сагайдаків. Зокрема, доведено:

1) ізольовані вершини не впливають на зображувальний тип задачі (Твердження 3.3);

2) якщо Alg-маркований сагайдак є незв'язним об'єднанням n сагайдаків, то задача про опис поточково-проективних зображень розпадається на n незалежних задач (Твердження 3.4);

3) зображення Alg-маркованих сагайдаків зводиться до випадку, коли сагайдак маркований нерозкладними алгебрами (Твердження 3.5);

4) якщо в Alg-маркованому сагайдаку Q замінити алгебру (i) полем k, то зображувальний тип "не погіршиться" (Твердження 3.7);

5) задача буде скінченного типу лише у випадку, коли ми маємо маркований сагайдак, який є схемою Динкіна; задача буде ручного нескінченного типу лише у випадку, коли ми маємо маркований сагайдак, який є схемою Динкіна або розширеною схемою Динкіна (Наслідок 3.8).

В підрозділі 3.2 ми розглядаємо задачу про опис поточково-проективних зображень A-маркованого сагайдака на мові матриць; A позначає підмножину в Alg, що складається з алгебр, які мають мультиплікативний базис.

Одночасними елементарними перетвореннями називатимемо одинакові перетворення з рядками двох матриць A і B (розміру m?n i m?s), одинакові перетворення зі стовпцями двох матриць A і B (розміру n?m i s?m) та взаємно обернені перетворення з рядками матриці A і стовпцями матриці B (розміру m-n i s-m).

Нехай Q - A -маркований сагайдак. Зафіксуємо мультиплікативний базис B_i алгебри , який складається із шляхів. Сформулюємо поняття зображенням Q на матричній мові.

Для кожної стрілки e із i в j сагайдака Q задана блочна матриця, горизонтальні смуги якої занумеровані елементами v B_i, а вертикальні - елементами w B_j. При цьому

a) кількість рядків в горизонтальних смугах рівна, якщо і - шляхи з однаковим початком;

a') кількість стовпців в вертикальних смугах рівна, якщо і - шляхи з однаковим початком;

b) горизонтальні смуги мають однакову кількість рядків, якщо (f) = (e);

c) вертикальні смуги мають однакову кількість стовпців, якщо (f) = (e);

d) кількість рядків горизонтальної смуги рівна кількості стовпців вертикальної смуги, якщо (f) = (e);

Два матричних зображення є еквівалентними тоді і лише тоді, коли від одного із них до іншого можна перейти за допомогою наступних елементарних перетворень:

1) можна робити будь-яке елементарне перетворення із стовпцями смуги, а якщо (w) = (v), то таке ж саме елементарне перетворення треба зробити зі стовпцями смуги;

2) якщо в B_j, то стовпці смуги [_e]^u (помножені на довільні елементи поля) можна додавати до стовпців смуги [_e]^w, але якщо при цьому vu' = w' в B_j , то такі ж самі додавання потрібно зробити між стовпцями смуг [_e]^u' та [_e]^w';

3) можна робити будь-яке елементарне перетворення з рядками смуги [_e]_v , а якщо (w) = (v), то таке ж саме елементарне перетворення треба зробити з рядками смуги [_e]_w;

4) якщо в B_i , то рядки смуги [_e]_w (помножені на довільні елементи поля) можна додавати до рядків смуги [_e]_u , але якщо при цьому vu' = w' в B_i , то такі ж самі додавання потрібно зробити між рядками смуг [_e]_w' та [_e]_u';

5) якщо (f) = (e), то указані вище перетворення з рядками блочних матриць [_e] і [_f] треба робити одночасно;

6) якщо (f) = (e), то указані вище перетворення зі стовпцями блочних матриць [_e] і [_f] треба робити одночасно;

7) якщо (f) = (e), то указані вище перетворення з рядками матриці [_e] і зі стовпцями матриці [_f] треба робити одночасно.

У розділі 4 розв'язана задача про опис A-маркованих сагайдаків скінченного типу.

У підрозділі 4.1 описані сагайдаки поточково-проективного скінченного типу, марковані нерозкладними алгебрами. Спочатку дається опис нерозкладних алгебр, для яких сагайдак k буде поточково-проективного скінченного типу. Позначимо множину таких алгебр A₀^fin

Твердження 4.1 Множина A₀^fin складається з наступних алгебр шляхів графа із співвідношеннями:

₁: ,

₂: , a² = 0,

₃: , a³ = 0.

Потім доведено, що коли сагайдак має поточково-проективний скінченний тип і маркований нерозкладними алгебрами, то всі ці алгебри належать множині A₀^fin(Твердження 4.2).

Після цього дається опис всіх сагайдаків поточково-проективного скінченного типу, маркованих нерозкладними алгебрами. При цьому достатньо розглядати лише такі сагайдаки, для яких відповідний неорієнтований граф є схемою Динкіна.

Твердження 4.7 Сагайдаки поточково-проективного скінченного типу, які марковані нерозкладними алгебрами, є наступні і лише вони:

1a) (A₂), де (1) = ₁, (2) A₀^fin,

1b) (A_n), де (i) = ₁ для i = 1, . ., n-1 та (n) {₁ , ₂} (n > 2),

2) (D_n), (E₆), (E₇), (E₈), де (i) = ₁ для всіх .

(В цих умовах вказані лише відповідні схеми Динкіна; напрямок стрілок може бути довільним).

У підрозділі 4.2 за аналогічною схемою проводиться опис сагайдаків скінченного типу, маркованих довільними алгебрами із класу A. Теорема 4.9 A-маркованими сагайдаками поточково проективно скінченого типу є наступні і лише вони:

У розділі 5 розв'язується задача про опис A-маркованих сагайдаків ручного типу. Цей опис проводиться за схемою аналогічною схемі розділу 4.

У підрозділі 5.1 розглядаються сагайдаки марковані нерозкладними алгебрами. Аналогічно вводиться множина нерозкладних алгебр, для яких ручною буде задача про опис поточково-проективних зображень сагайдака k. Тут алгебри ті ж, що визначені в розділі 4, а інші дві визначені так:

₄: ,

₅: , ab = 0, ba = 0.

Доведено, що коли сагайдак має поточково-проективний ручний тип і маркований нерозкладними алгебрами, то всі ці алгебри належать множині A₀^tame (Твердження 5.2).

Згідно наслідку 3.8, для опису A-маркованих сагайдаків, достатньо розглядати лише такі сагайдаки, відповідний неорієнтований граф яких є схемою Динкіна, або розширеною схемою Динкіна. Доведено

Твердження 5.11 Сагайдаки поточково-проективного ручного нескінченного типу, марковані нерозкладними алгебрами, є сагайдаки з наступними схемами, і лише вони:

1a) , де , ,

1b) , де ,

1c) , де , ,

1d) , де ,,

1e) , , де для та ,

2) , де для та ,

3) , ,,, , де для всіх .

(В цих умовах вказані лише відповідні схеми Динкіна; напрямок стрілок може бути довільним)

У підрозділі 5.2 описані сагайдаки поточково-проективного ручного типу, марковані алгебрами із класу A. Введено наступну множину алгебр:

A^tame = A^fin .

Вона складається з усіх алгебр, якими можуть бути марковані вершини сагайдаків поточково-проективного ручного типу.

Теорема 5.14 A-маркованими сагайдаками ручними нескінченного типу (відносно поточково-проективних зображень) є сагайдаки з наступними схемами, і лише вони:

1a) , де , (2) A^tame,

1b) , де ,

1c) , де , а пара - одна з наступних:

, , , ,

1d) , де , ,

1e) , , де для та ,

2) , , де для та ,

3) , ,,, , де для всіх .

Висновки

У дисертаційній роботі описані всі Alg-марковані сагайдаки скінченного та ручного типів відносно поточково-проективних зображень; описані всі базові алгебри, над якими задача про односторонню еквівалентність матриць є задачею скінченного та ручного типів; описані базові нерозкладні алгебри, над якими задача про односторонню еквівалентність радикальних матриць є задачею скінченного типу.

Поставлені задачі розв'язуються шляхом зведення задачі над алгеброю до матричної задачі над полем, після чого можна застосувати потужний апарат дослідження, розроблений на сьогоднішній день. В дисертаційній роботі доведено, що задача про опис поточково-проективних зображень Alg-маркованого сагайдака буде дикою задачею, якщо хоча б одна алгебра, якими марковані вершини сагайдака, задана графом зі співвідношеннями, який містить дві стрілки з однаковою початковою вершиною. Для базових алгебр, які задовольняють таку властивість, доведено існування мультиплікативного базису, що складається з шляхів графа, яким задана алгебра. Також доведено, що такі алгебри можна задати співвідношеннями, що мають вигляд рівності нулю деяких шляхів в графі. Клас таких алгебр позначено A. Доведено, що для опису всіх Alg-маркованих сагайдаків скінченного або ручного поточково-проективного типу достатньо описати лише зв'язні сагайдаки.

Доведено, що при заміні алгебр, якими марковані вершини сагайдака, полем тип задачі "не погіршиться". Таким чином, вдалося встановити, що неорієнтований граф, відповідний зв'язному Alg-маркованому сагайдаку скінченного типу, є схемою Динкіна, а неорієнтований граф, відповідний зв'язному Alg-маркованому сагайдаку ручного типу, є схемою Динкіна або розширеною схемою Динкіна. Знайдено опис на мові матриць та елементарних перетворень задачі про опис поточково-проективних зображень A-маркованого сагайдака та задач про односторонню еквівалентність матриць над алгеброю і її радикалом. Доведено, що задача про опис поточково проективних зображень Alg-маркованого сагайдака рівносильна такій же задачі для сагайдака маркованого нерозкладними алгебрами. Вказано процедуру, за допомогою якої можна за Alg-маркованим сагайдаком побудувати сагайдак, маркований нерозкладними алгебрами, для якого задача опису зображень має той самий зображувальний тип. Таким чином, задачу зведено до випадку, коли сагайдак зв'язний і маркований нерозкладними алгебрами.

Список опублікованих праць автора за темою дисертації

1. Дяченко С.М. Алгебри скінченного типу відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М.Дяченко // Науковий вісник Ужгородського ун-ту. Серія: математика і інформатика. - 2006. - Вип. 12-13. - С. 65-70.

2. Дяченко С.М. Пари алгебр скінченного типу / С.М.Дяченко // Науковий вісник Ужгородського ун-ту. Серія: математика і інформатика. - 2007. - Вип. 14-15. - С. 41-54.

3. Дяченко С.М. Ручні алгебри відносно односторонньої еквівалентності матриць / С.М. Дяченко // Проблеми топології та суміжні питання: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - К., 2006. - Т. 3, № 3. - С. 115-131.

4. Дяченко С.М. Зв'язні алгебри скінченного типу відносно односторонньої еквівалентності радикальних матриць / С.М. Дяченко // Комплексний аналіз і течії з вільними границями: Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - К., 2006. - Т. 3, № 4. - С.170-174.

5. Дяченко С.М. Ручні та дикі орієнтовані графи відносно поточково-проективних зображень / Дяченко С.М. - К.: Ін-т математики НАН України, 2008. - 20 с. - (Препринт / НАН України, Ін-т математики; 2008.1)

6. Дяченко С.М. Задача про односторонню еквівалентність матриць / С.М. Дяченко // Шевченківська Весна: міжнародна науково-практична конференція студентів, аспірантів та молодих вчених, присвячена 15-й річниці незалежності України, 2-3 бер. 2006 р.: тези доп. - К., 2006. - Вип. IV, Ч. 1. - С.313.

7. Дяченко С.Н. О некоторых матричных задачах над конечномерными алгебрами / С.Н. Дяченко // Ломоносоские чтения: V международная научная конф., 3-5 мая 2006г.: тезисы докл. - Севастополь, 2006. - С.142-143.

8. Дяченко С.М. Про одну класифікаційну задачу над алгебрами / С.М. Дяченко // XI Мiжнар. конф. iм. акад. М. Кравчука: міжнародна конф., 18 - 20 тр. 2006р. : тези доп. - К.,2006. - С. 419.

9. Bondarenko V.M. On a matrix problem over the radical of algebras / V.M. Bondarenko, S.N. Dyachenko // Int. Conf. Radicals ICOR-2006 : міжнародна конф., 30 лип. - 5 серп. 2006р.: тези доп.- K., 2006. - С. 24.

10. Dyachenko Sergiy. Representations of marked quivers / Sergiy Dyachenko // 6th Int. Algebraic Conf. in Ukraine: міжнародна конф., 1-7 лип. 2007 р. : тези доп. - Кам'янець-Подільський, 2007. - С. 75.

Размещено на Allbest.ru

...