Інтегральні зображення в крайових задачах для узагальненого осесиметричного потенціалу

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Рівняння теорії узагальненого осесиметричного потенціалу:

має фундаментальне значення в ряді розділів математичної фізики, гідродинаміки, аеродинаміки, теорії пружності. Воно природньо з'являється при вивченні рівняння з певними видами симетрії області визначення або розв'язків. Зокрема, якщо m є натуральним числом, то рівняння (1) задовольняють гармонічні функції , визначені в (m+2)- вимірному дійсному просторі , за умови, що вони, так би мовити, "володіють симетрією" відносно осі і розглядаються в меридіанній площині .

Важливими з точки зору застосувань є крайові задачі для розв'язків рівняння (1) в областях, що лежать у напівплощині {(x,y): y > 0} і прилягають до відрізків осі Ox. М.В. Келдиш встановив, що коректні постановки крайових задач для рівнянь еліптичного типу з виродженням можуть суттєво відрізнятися від коректних постановок для невироджених рівнянь. Так, для рівняння (1) коректні постановки крайових задач у ряді випадків потребують, щоб відрізки лінії виродження y = 0 були вільними від крайових умов.

Дослідження з теорії диференціальних рівнянь еліптичного типу з виродженням та теорії крайових задач для розв'язків цих рівнянь відображені в роботах і монографіях багатьох авторів, зокрема, Е.Т. Уіттекера і Д.Н. Ватсона, М.В. Келдиша, М.О. Лаврентьєва і Б.В. Шабата,

Л.Г. Лойцянського, А. Вейнштейна, Р.П. Гілберта, А. Маккі, П. Хенрічі, Ю.П. Кривенкова, Л.Г. Михайлова, Н. Раджабова, І.І. Данилюка, С.А. Терсеновa, Г.М. Положого, М.Б. Капілевича, І.О. Кіпріянова та інших. Проте, не зважаючи на значну кількість досліджень з теорії крайових задач для вказаних рівнянь, актуальною залишається розробка методів їх розв'язання, які базуються на інтегральних зображеннях розв'язків. При цьому досить ефективними є зображення розв'язків через аналітичні функції, що дає можливість застосовувати до крайових задач для рівнянь еліптичного типу з виродженням методи теорії крайових задач аналітичних функцій комплексної змінної і сингулярних інтегральних рівнянь.

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є рівняння (1) і його розв'язки.

Предметом дослідження є вивчення граничних властивостей узагальненого осесиметричного потенціалу та характеризація розв'язків рівняння (1) за допомогою моногенних функцій, які приймають значення в деякій комутативній банаховій алгебрі.

Метою дослідження є встановлення інтегральних зображень розв'язків рівняння (1) через аналітичні функції комплексної змінної і розробка на їх основі функціонально-аналітичного методу розв'язання крайових задач для узагальнених осесиметричних потенціалів.

Для досягнення мети в роботі:

- встановлюються достатні умови неперервного продовження узагальнених осесиметричних потенціалів на границю області і вивчаються їх граничні властивості;

- розробляється схема редукції деяких крайових задач для розв'язків рівняння (1) до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду на дійсній осі;

- знаходиться комутативна банахова алгебра така, що моногенні функції зі значеннями в ній, які будуються як продовження аналітичних функцій комплексної змінної, дають ефективний спосіб побудови розв'язків рівняння (1).

1. Інтегральні зображення узагальненого осесиметричного потенціалу у довільній обмеженій однозв'язній і симетричній відносно осі Ох області D декартової площини xOy

Позначимо через область комплексної площини C, конгруентну області D, а через і - точки перетину її границі з дійсною віссю R, при цьому умовимося, що . Для кожної точки , для якої , зафіксуємо довільну гладку жорданову криву , що лежить в області і з'єднує точки , . У випадку, коли і , через позначимо ту дугу границі , яка з'єднує точки , і містить . Умовимося вважати початком кожної кривої точку з від'ємною уявною частиною.

Якщо , і , то розуміємо як неперервну вітку аналітичної функції з розрізом вздовж жорданової кривої, що послідовно з'єднує точки і має з множиною спільними лише точки , , і таку, що L(t) > 0 при всіх .

Доведено пряму теорему стосовно зображень узагальненого осесиметричного потенціалу, де встановлено інтегральний вираз, який кожній голоморфній в функції ставить у відповідність розв'язок рівняння (1) на множині {(x,y) D: y 0} при m > 0.

Теорема. Якщо m > 0 і функція F голоморфна в області , то функція:

задовольняє рівняння (1) на множині {(x,y) D: y 0}. При цьому:

 ,

де B( p,q) - бета-функція Ейлера.

Формула (2) узагальнює інтегральні зображення розв'язків рівняння (1), одержані А.Маккі,

П. Хенрічі, Ю.П. Кривенковим, Н. Раджабовим. Схожі за виглядом з виразом (2) інтегральні зображення -аналітичних функцій одержано Г.М. Положим.

Встановлено умови, що є достатніми для неперервного продовження інтегрального зображення (2) на границю області , і одержано оцінку локального модуля неперевності його граничних значень.

Нехай n - невід'ємне ціле число, яке задовольняє нерівність . Ввівши в розгляд функцію u(z):=u(x,y) комплексної змінної z:=x+iy, після інтегрування частинами n разів в рівності (2) одержуємо:

де - дробова частина числа 1 - m / 2,

 і інтегрування ведеться вздовж гладких дуг, що належать та з'єднують кінці інтегрування), - конктретний многочлен степеня від та , записаний у роботі в явному вигляді.

Нехай тепер є замкненою жордановою спрямлюваною кривою. Позначимо через банахів простір сумовних у степені p функцій з нормою , а через - банахів простір істотно обмежених функцій з нормою . Позначимо також через клас Смирнова функцій, заданих в , а через - клас голоморфних і обмежених в функцій.

Позначимо через діаметр тієї дуги кривої , яка з'єднує точки , і має щонайменшу довжину. Будемо говорити, що є k-кривою типу “діаметр-хорда”, якщо відношення обмежене числом k при довільному виборі точок . Область назвемо -областю, якщо дві довільні точки множини можна з'єднати k -кривою типу “діаметр-хорда” з фіксованим значенням k, і при цьому всі точки зазначеної кривої, за винятком, можливо, кінців, належать області .

Нехай - метрична характеристика кривої , введена В.В. Салаєвим (тут - лінійна міра Лебега на ).

У наступній теоремі наведено достатні умови неперервного продовження функції (3) на границю області .

Теорема. Нехай - замкнена жорданова спрямлювана крива, симетрична відносно дійсн ї осі і така, що , . Якщо m > 0 і належить класу , де при і при , то функція (3) неперервно продовжується з області у точки множини . При цьому для кожного такого, що , та довільних точок таких, що і , виконується нерівність:

де:

при і при , а стала не залежить від , .

Якщо, крім того, для точки , де або , існує окіл, перетин якого з k-областю, і при цьому існує границя:

то існує також границя:

.

Очевидним наслідком оцінки (4) є відповідна оцінка для локального модуля непервності .

Для функції u(x, y) з деяких відомих класів розв'язків рівняння (1) при m сформульовано теореми про існування голоморфної функції такої, що виконується рівність (2).

Позначимо :={(x,y)D: y>0}. З теореми 2.1.1 випливає, що розв'язок (2) рівняння (1) належить класу функцій, кожна з яких двічі неперервно диференційовна в і неперервно продовжується в точки інтервалу . Крім того, функція (2) належить підкласу класу , що складається з функцій, які задовольняють додаткову умову на осі Ох, а саме : добуток на похідну функції u за змінною y прямує до нуля, коли y прямує до нуля, a x співпадає з будь-якою точкою інтервалу .

Теорема. Для кожної функції u(x, y) класу , яка при задовольняє рівняння (1) в області , існує єдина голоморфна функція , яка задовольняє умову:

(5)

і така, що рівність (2) виконується при всіх

Теорема. Для кожної функції u(x, y) класу , яка при задовольняє рівняння (1) в області , існує єдина голоморфна функція , яка задовольняє умову (3) і така, що рівність (2) виконується при всіх

Теореми при m(0,2) узагальнюють аналогічні результати Ю.П. Кривенкова на області більш загального вигляду.

Доведення теорем здійснюється методом, розробленим С.А. Плаксою для рівняння (1) при m = 1. Схема доведення включає, зокрема, редукцію інтегрального рівняння (2) з невідомою функцією F до інтегрального рівняння Фредгольма другого роду на дійсній осі і дає можливість одержати (при деяких природніх припущеннях про границю області і задану функцію) формули розв'язків наступних крайових задач для рівняння (1):

задача E: при знайти розв'язок рівняння (1) класу , який приймає на кривій , що є перетином границі області D з півплощиною {(x,y):y0}, значення заданої неперервної функції ;

задача : при m(0;1) знайти розв'язок рівняння (1) класу , який приймає на Г значення заданої неперервної функції .

Засобом розв'язання задач E і є допоміжна задача про відшукання голоморфної в і неперервної в функції , яка задовольняє додаткову умову симетрії (3), а її граничні значення задовольняють інтегральне рівняння:

де , z=x+iy,

При розв'язанні допоміжної задачі використовується конформне відображення одиничного круга {ZC: |Z|<1} на область таке, що , i образом півкруга {ZC: |Z|<1, Im Z > 0} при відображенні є область {z: Im z > 0}.

Ввівши в розгляд функцію:

яка при кожному фіксованому розуміється як неперервна вітка функції, аналітичної по змінній в одиничному крузі, така, що , розглянемо також функцію:

де голоморфна вітка функції визначена поза розрізом і приймає значення при .

Нехай - монотонно неспадна неперервна функція, для якої виконується рівність , а також існують сталі і такі, що при всіх і всіх справедлива нерівність . Тоді при введемо в розгляд клас функцій , для кожної з яких виконується умова:

де і стала не залежить від .

Позначимо через клас функцій , для кожної з яких функція , яка визначається рівністю при , належить классу .

В теоремі наведені достатні умови редукції допоміжної задачі при m(0,2) і до сингулярного інтегрального рівняння:

Через позначимо бананів простір функцій , неперервних на розширеній дійсній прямій , з нормою , а через - клас функцій , модулі неперервності яких задовольняють умовам Діні:

при всіх a > 0, де:

.

Позначимо через підпростір банахового простору C(R), що складається з парних функцій, а через - множину парних функцій класу .

Введемо в розгляд функції:

та інтегральні оператори:

де , а при визначенні функції голоморфні вітки аналітичних функцій нормуються так, щоб P(0)=0.

В теоремі встановлено достатні умови того, що кожний розв'язок сингулярного інтегрального рівняння (6) вигляду

де , одержується в результаті розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма:

в якому оператор є компактним у просторі , який належить класу .

В результаті редукції допоміжної задачі до рівняння (8) доведене наступне твердження.

Теорема. Нехай і функція належить класу , , при цьому конформне відображення має на колі {ZC: |Z| = 1} неперервну контурну похідну, яка не перетворюється в нуль в жодній точці цього кола і модуль неперервності якої задовольняє умову:

Тоді розв'язок задачі E при або розв'язок задачі при m(0;1) задається формулою (2), в якій F є єдиним розв'язком допоміжної задачі і має вигляд:

де голоморфна функція виражається рівністю:

при цьому функція має вигляд (7), де є розв'язком рівняння Фредгольма (8) у просторі .

2. Зв'язок між розв'язками рівняння (1) при m > 1 в областях спеціального вигляду і моногенними функціями, які приймають значення в деякій комутативній банаховій алгебрі

Розглянемо комплексифікацію нескінченновимірної банахової алгебри , таблицю множення для елементів базиса якої запропонував І.П. Мельниченко:

при цьому норма в задається співвідношенням , де , .

Нехай тепер D - область декартової площини xOy , опукла в напрямку осі Oy. Це означає, що область D разом з кожною своєю точкою (x, y) містить також відрізок, що з'єднує точки (x, y) та (x, -y). Тоді конгруентна області D область комплексної площини є опуклою в напрямку уявної осі. Області D поставимо також у відповідність конгруентну їй область:

Встановлено характеризацію розв'язків рівняння (1) при m > 1 в опуклій в напрямку осі Oy області D за допомогою компонент головних продовжень в область функцій, голоморфних в області . При m = 1 така характеризація встановлена в роботах І.П. Мельниченка і С.А. Плакси, де для кожної функції , голоморфної в опуклій у напрямку уявної осі області , побудовано в явному вигляді її головне продовження в область:

:

де z = x + iy : y0, - довільна замкнена спрямлювана жорданова крива в , що охоплює відрізок, який з'єднує точки z і та є спектром елемента , а також лінією розгалуження функції (вважаємо також, що в точках осі Ox функції (10), (11) доозначено за неперевністю).

Позначимо:

де - біноміальні коефіцієнти. Тепер при лінією розгалуження функції будемо вважати множину

В наступній теоремі побудовано розв'язок рівняння (1) при m 1 за допомогою компонент гіперкомплексної аналітичної функції (9) (при твердження теореми доведено І.П. Мельниченком і С.А. Плаксою).

Теорема. Якщо m1 і є голоморфною функцією в опуклій в напрямку уявної осі області , то функція:

задовольняє рівняння (1) на множині {(x,y) D: y 0}. Крім того, функція (12) при (x,y)D: y 0 подається у вигляді:

де z = x+iy , а - довільна замкнена жорданова крива в, що охоплює множину {x+i}, перетинаючи пряму Re t=x лише в точках z і . При цьому існує границя:

.

Теорема. Нехай область D є опуклою в напрямку осі Oy i u(x, y) - неперервна в D та парна за змінною y функція, яка при m1 є розв'язком рівняння (1) на множині {(x,y) D: y 0}.

Тоді існує єдина голоморфна в функція така, що справедлива рівність (12), де - компоненти головного продовження (9) функції F в область .

Спираючись на теореми і аналог теореми Рунге для головних продовжень (9) аналітичних функцій комплексної змінної в область , в теоремі 3.1.3 побудовано у явному вигляді поліноми, які дають рівномірне наближення узагальнених осесиметричних потенціалів на довільних компактних підмножинах області D.

Висновки

інтегральний осесиметричний крайовий фредгольм

У дисертаційній роботі розглядається рівняння узагальненого осесиметричного потенціалу, яке має фундаментальнее значення в ряді розділів математичного аналізу та математичної фізики.

Основні результати дисертації такі:

1. Встановлено інтегральні зображення узагальненого осесиметричного потенціалу через аналітичні функції комплексної змінної, задані в довільній симетричній відносно дійсної осі однозв'язній області. Для певних класів узагальнених осесиметричних потенціалів встановлено взаємно однозначну відповідність між ними та аналітичними функціями комплексної змінної, яка задається вказаними інтегральними зображеннями.

2. Встановлено достатні умови неперервного продовження інтегральних зображень узагальненого осесиметричного потенціалу на границю області та одержано оцінку локального модуля неперервності їх граничних значень.

3. Здійснено редукцію деяких крайових задач для узагальнених осесиметричних потенціалів до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду на дійсній осі за розширених умов на границю області.

4. Знайдено алгоритм побудови узагальнених осесиметричних потенціалів за компонентами моногенних функцій гіперкомплексної змінної, які будуються в явному вигляді як головні продовження аналітичних функцій комплексної змінної.

Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії узагальнених аналітичних функцій, в теорії крайових задач для розв'язків диференціальних рівнянь еліптичного типу з виродженням та їх застосуваннях у математичній фізиці, гідродинаміці, газодинаміці, теплофізиці, механіці та інших прикладних дисциплінах.

Література

1. Grishchuk S.V., Plaksa S.A. On constructions of generalized axial-symmetric potentials by means componens of hypercomplex analytic functions // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -2005.- Т. 2, №.3. - P. 67 - 83.

2. Грищук С.В. О непрерывной продолжимости обобщенных осесимметричных потенциалов на границу области // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, №.4. - C. 347 - 357.

3. Грищук С.В., Плакса С.А. Вирази розв'язків рівняння Ейлера-Пуассона-Дарбу через компоненти гіперкомплексних аналітичних функцій // Доп. НАН України. - 2006. - № 8. - С. 18 - 24.

4. Грищук С.В., Плакса С.А. Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов // Краевые задачи для потенциальных полей / Киев, 2007. - 60 с. - (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 2007.2). - С. 32 - 59.

5. Grishchuk S.V. Expressions of solutions of the Euler-Poisson-Darboux equation via components of hypercomplex analytic functions // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis (Kiev, September 25-30, 2005): Abstr.- Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005.- P. 18 - 20.

6. Grishchuk S.V. Integral expressions of generalized axially-symmetric potentials // Bogolubov Readings 2007 Dedicated to Yu.A. Mitropolskii on the Occasion of His 90-th Birthday (Zhitomir - Kiev, 19 August - 2 September 2007): Abstr.- Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007.- P. 28 - 30.

Размещено на Allbest.ru