Наближення класів диференційованих функцій лінійними методами

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.01 -- математичний аналіз

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

НАБЛИЖЕННЯ КЛАСІВ-ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ ЛІНІЙНИМИ МЕТОДАМИ

Овсій Євген

Юрійович

Київ -- 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Наукові керівники:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Інститут математики НАН України; доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Сердюк Анатолій Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Тіман Майор Пилипович, Дніпропетровський державний аграрний університет, завідувач кафедри вищої математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Чайченко Станіслав Олегович, Слов'янський державний педагогічний університет, проректор з науково-педагогічної роботи.

Захист відбудеться 6 жовтня 2009 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 2 вересня 2009 р. Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена дослідженню питань наближення лінійними методами підсумовування рядів Фур'є класів -періодичних функцій, що задаються мультиплікаторами і зсувами по аргументу.

Актуальність теми. Природним апаратом наближення періодичних функційє частинні суми Фур'є . Але, як добре відомо, суми Фур'є не є рівномірно збіжними на всьому просторі неперервних функцій. Цей факт спонукав розробці різноманітних тригонометричних сум, породжених лінійними методами підсумовування рядів Фур'є і позбавлених вказаного недоліку (суми Рогозинського, Стєклова, Фавара, Зигмунда, Фейєра, Рісса, Чезаро, Бернштейна-Рогозинського тощо).

До однієї з основних задач в теорії наближення функцій і підсумовування рядів Фур'є відносять задачу про відшукання асимптотичних при рівностей для величин

де-- деякий фіксований клас -періодичних функцій, -- лінійний нормований простір, а-- тригонометричний поліном, породжений певним лінійним методомпідсумовування рядів Фур'є. Ця задача має багату історію, яка пов'язана з іменами таких відомих математиків, як А.Н. Колмогоров, С.М. Нікольський, Б. Надь, В.К. Дзядик, М.П. Корнєйчук, С.Б. Стєчкін, О.П. Тіман, М.П. Тіман, О.І. Степанець, В.П. Моторний, О.В. Єфімов, С.О. Теляковський, П.В. Задерей, Р.М. Тригуб, В.Ф. Бабенко та інші.

Якщо в явному вигляді знайдено функцію таку, що

то, наслідуючи О.І. Степанця будемо казати, що розв'язана задача Колмогорова-Нікольського для методу на класі в метриці простору

У 80-90-х роках минулого сторіччя О.І. Степанець запропонував новий підхід до класифікації періодичних функцій, що базувався на поняттях -похідної та інтеграла, в результаті чого було введено класи таТака класифікація дала змогу не тільки охоплювати весь спектр сумовних функцій, а й враховувати більш тонкі властивості конкретних функцій. За відносно невеликий проміжок часу на нових класах функцій було одержано розв'язки задачі

Колмогорова-Нікольського, які до цього були відомі на класах і, що визначаються похідними в сенсі Вейля-Надя. При цьому в якості агрегату наближення переважно виступали такі класичні тригонометричні суми, як суми Фур'є, Валле Пуссена, Зигмунда, Рогозинського, Стєклова, Фавара тощо.

В 1986 році в роботі В.Т. Гаврилюк було вперше розглянуто так звані узагальнені суми Зигмундачастинним випадком яких є відомі суми Зигмунда. Дослідження апроксимативних властивостей сум на класах та проводилося в працях О.В. Островської, І.Б. Ковальської, О.О. Новікова, В.І. Рукасова. Інтерес, який виник з боку математиків до поліномів , пояснюється можливістю підбирати параметри узагальнених сум в залежності від параметрі класів, що наближаються. Результати, які було отримано для вказаних сум , на запроваджених О.І. Степанцем класах періодичних функцій, з одного боку, мають загальний характер, а з другого -- виявляють цілу низку нових ефектів, які для класичних сум Зигмунда навіть поміченими бути не можуть.

Більш загальним агрегатом наближення, у порівнянні з поліномами , є запроваджені у 1991 році О.О. Новіковим суми , частинним випадком яких є узагальнені суми Зигмунда, класичні суми Зигмунда, суми Фавара, Рогозинського, Стєклова, Рісса та ін.

Незважаючи на активне вивчення апроксимативних властивостей сум та на класах , деякі питання наближення узагальненими тригонометричними поліномами цих класів у випадку залишалися відкритими. Питання ж про дослідження апроксимативних властивостей цих сум на класах до теперішнього часу в переважній більшості залишалося не вивченим.

Отже, дослідження апроксимативних властивостей узагальнених сум та на класах тає важливим і актуальним.

Апроксимаційні властивості методу Валле Пуссена на різноманітних класах досліджувались у роботах С.М. Нікольського, С.Б. Стєчкіна, О.В. Єфімова, С.О. Теляковського, О.П. Тімана, О.Д. Габісонії, В.І. Рукасова, А.С. Сердюка та ін. В той же час питання про наближення класів сумами Валле Пуссена, неперервні елементи яких є регулярними в усій комплексній площині, тобто є цілими функціями, з тих чи інших причин до теперішнього часу ще не були дослідженні. Тому тематика, пов'язана з вивченням цих питань, також представляє науковий інтерес.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою: «Теорія наближень в лінійних просторах», номер державної реєстрації 0106 U 000406.

Мета і завдання дослідження.

Метою роботи є знаходження асимптотичних рівностей для точних верхніх меж відхилень узагальнених тригонометричних поліномів та на класах і в метриці простору С, а також отримання асимптотичних рівностей для величин рівномірних наближень та наближень в інтегральних метриках сумами Валле Пуссена на класах

і та і відповідно.

Об'єктом дослідження є класи та

Предметом дослідження є швидкість наближення в рівномірній метриці функцій з класів і узагальненими тригонометричними поліномами та , а також швидкість наближення сумами Валле Пуссена на класах і та і , в рівномірній та інтегральних метриках відповідно.

Задачі дослідження:

1. Дослідити поведінку верхніх меж наближень функцій з класів за допомогою узагальнених тригонометричних поліномів та в метриці просторуу випадку, коли тобто у випадку, коли ці класи охоплюють функції скінченної гладкості.

2. Встановити асимптотичні рівності для точних верхніх меж відхилень в рівномірній метриці узагальнених тригонометричних поліномів та на класахпри умові, що

3. Одержати асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в рівномірній метриці на класах у випадку, коли функції із зазначених класів допускають регулярне продовження на всю комплексну площину. Встановити аналогічні результати в метриках просторів для класів , та в метриці для класів

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи математичного аналізу, елементи теорії функцій дійсної змінної, а також методи теорії наближення періодичних функцій, які запропоновані в роботах В.К. ДзядикаО.І. Степанця, О.В. Єфімова, С.О. Теляковського та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають в наступному:

1. Одержано розв'язки задачі Колмогорова-Нікольського для узагальнених лінійних методів підсумовування рядів Фур'є та на класах в метриці простору у недосліджених раніше ситуаціях.

2. Знайдено асимптотичні оцінки для точних верхніх меж відхилень узагальнених тригонометричних поліномів та на класах, , в рівномірній метриці, які в багатьох важливих випадках забезпечують розв'язки задачі Колмогорова-Нікольського. Отримані результати в деяких випадках є новими на класах для класичних методів наближення: Рогозинського, Стєклова, Фавара, Рісса, Бернштейна-Рогозинського, Зигмунда, Фейєра, Чезаро та ін.

3. Встановлено асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в рівномірній метриці на класах і у випадку, коли . Аналогічні результати одержано в метриках просторів для класів та в метриці для класів .

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи і методика їх отримання можуть бути використані при дослідженні різноманітних питань математичного аналізу, теорії наближення, теорії підсумовування рядів Фур'є тощо.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковим керівникам та А.С. Сердюку. Теореми 3.1, 3.3 і 3.4 у випадку, коли і та результати підрозділів 4.2 і 4.3 отримано спільно з А.С. Сердюком. Внесок співавторів є рівноцінним. Всі інші результати отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

-- семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України; керівники семінарів: доктор фіз.-мат. наук, член кореспондент НАН України О.І. Степанець, доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник А.С. Романюк);

-- семінарі «теорія функцій» (механіко-математичний факультет Київського національного університету імені Тараса Шевченка; керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, професор І.О. Шевчук);

-- семінарі з теорії функцій (механіко-математичний факультет Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара; керівники семінару: доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України В.П. Моторний, доктор фіз.-мат. наук, професор В.Ф. Бабенко);

-- міжнародній науковій конференції «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування», Ужгород, 18--23 вересня 2006 року;

-- «Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука», Київ, 15--17 травня 2008 року;

-- міжнародній науковій конференції «Сучасні проблеми механіки та математики», Львів, 25--29 травня 2008 року;

-- міжнародній науковій конференції «Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування», Мелітополь, 16--21 червня 2008 року;

-- міжнародній науковій конференції «Современные проблеми математики, механики, информатики», Тула, 17--21 листопада 2008 року (Росія);

-- міжнародній науковій конференції «Современные проблемы математики, механики и их приложений», Москва, 30 березня--2 квітня 2009 року (Росія).

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1--10].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що налічує 141 найменування. Повний обсяг роботи складає 155 сторінок машинописного тексту.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі дисертаційної роботи проводиться огляд літератури за її темою та висвітлюються основні аспекти розвитку наукової думки, яка стосується наближення різних функціональних класів лінійними методами підсумовування рядів Фур'є. Окреслюється коло питань, які з тих чи інших причин залишались нерозв'язаними.

Нехай -- простір сумовних на в му степені-періодичних функцій з нормою -- простір вимірних і істотно обмежених-періодичних функційз нормою а -- простір неперервних періодичних функцій , в якому норма задається формулою

В роботах О.І. Степанця введено класи періодичних функцій наступним чином. Нехай і

-- її ряд Фур'є. Якщо послідовності і дійсних чисел такі, що ряд

є рядом Фур'є деякої функції то її називають -похідною функції і позначають через, при цьому кажуть, що функціяналежить множині Якщоі то вважають, щоПокладемо далі Якщо то функцію ряд Фур'є якої має вигляд (1), називають похідною функції і позначають через. При цьому записують і

В роботі розглядаються функціональні класи:



а -- фіксований модуль неперервності.

Якщо то класи і є відомими класами Вейля-Надя, що позначаються відповідно через і . Крім того, при зазначені класи називаються класами Вейля і позначаються через і відповідно. Якщо ж, крім того,то мають місце рівності і де -- відомі класи Соболєва.

Послідовності що визначають класи і , зручно розглядати як звуження на множині натуральних чисел деяких неперервних функційнеперервного аргументущо належать до множини

З множиниприйнято виділяти підмножини і вигляду:

де , -- обернена до функція, а константи взагалі кажучи, можуть залежати від функції

Через будемо позначати підмножину функцій з що задовольняють умову . Покладемо також

Множину всіх неперервних, додатних і монотонно зростаючих до нескінченності функцій позначимо через Множину всіх двічі диференційовних на функцій , що мають обмежені похідні другого порядку і задовольняють умову, позначатимемо через . Якщо на функцію можна представити у вигляді ряду: , де і, то будемо казати, що функція належить множині.

Нехай. Розглядаємо поліноми вигляду

де -- коефіцієнти Фур'є функції і . Поліноми вперше розглядалися О.О. Новіковим. При поліноми називаються узагальненими сумами Зигмунда та позначаються через . Поліноми вперше досліджувались в роботах В.Т. Гаврилюк.

За певних параметрів і , поліноми перетворюються в деякі відомі класичні тригонометричні суми, а саме:
Рогозинського, Стєклова, Фавара, Фейєра, Зигмунда, Рісса, Чезаро,
Бернштейна-Рогозинського та ін.

Мета другого розділу дисертації полягає у знаходженні асимп-
тотичних при рівностей для величини

при деяких природних обмеженнях на функції і параметр .

В підрозділі 2.2 одержано асимптотичну формулу для величин за умови, що функція опукла донизу і спадає, тотожна константі або ж опукла догори чи донизу і зростає. Встановлений результат в багатьох випадках забезпечує розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для методу на класі в метриці простору .

Теорема 2.1. Нехай і . Тоді якщо при функція монотонна, не змінює характер опуклості і має неперервну похідну, то при має місце рівність

а -- величина, рівномірно обмежена по і

Теорема 2.1 доповнює дослідження В.І. Рукасова. Наприкінці підрозділу наводяться наслідки з теореми 2.1, а також приклади функцій і , для яких рівність (2) є асимптотичною при

В підрозділі 2.3 досліджується асимптотична поведінка при величини у випадку, коли функція належить множині .

Основним результатом даного підрозділу є така теорема. Теорема 2.2. Нехай і функція належить множині і має неперервну похідну. Тоді при

 -- неперервна періодична функція, ряд Фур'є якої має вигляд а -- величина, рівномірно обмежена по і

Зазначимо, що аналог рівності (4) при слабших умовах на функцію і більш громіздкою та гіршою за порядком оцінкою залишкового члена був встановлений О.О. Новіковим.

Зауважимо, що теорема 2.2 дозволяє уточнювати теорему 2.1 при Наприклад, якщо то, як неважко переконатися, рівність (4) є асимптотичною і, отже, в цьому випадку теорема 2.2, на відміну від теореми 2.1, забезпечує розв'язок задачі

Колмогорова-Нікольського на класі для методу в метриці простору

Третій розділ дисертації присвячено знаходженню асимптотичних при рівностей для величини

при деяких природних обмеженнях на функції і параметр

В підрозділах 3.2 і 3.3 одержано аналоги теорем 2.1 і 2.2 на класах

Теорема 3.1. Нехай і -- довільний модуль неперервності. Тоді якщо при функція монотонна, не змінює характер опуклості і має неперервну похідну, то при має місце рівність

де визначається співвідношенням (3), причому , якщо -- опуклий модуль неперервності, а -- величина, рівномірно обмежена по і .

Для класів і методу Зигмунда (при ) рівність (5) була доведена О.В. Єфімовим.

В багатьох випадках теорема 3.1 забезпечує розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського. Наприклад, нехай і

Тоді, згідно з теоремою 3.1, має місце асимптотична при рівність

де -- величина, рівномірно обмежена по і .

Теорема 3.2. Нехай -- довільний модуль неперервності і функція належить множині і має неперервну похідну. Тоді при

-- неперервна -періодична функція, ряд Фур'є якої має вигляд а -- величина, рівномірно обмежена по і .

Для класів і методу Фейєра рівність (6) було доведено

С.М. Нікольським та О.І. Степанцем, а для методів Стєклова та Рогозинського і Рісса -- Т.М. Сапіліді та О.І. Степанцем відповідно. Для класів і методу Фейєра рівність (6) доведено в роботі П.В. Задерея та О.І. Степанця.

В підрозділі 3.4 одержано асимптотичні рівності для величини за умови, що і .

Теорема 3.3. Нехайі при всіх Тоді якщо для модуля неперервності виконується умова

то справедлива асимптотична при рівність

де причому якщо -- опуклий модуль неперервності, а -- величина, рівномірно обмежена по і

Для класів і методу Фейєра рівність (7) було доведено С.М. Нікольським у випадку, коли та О.І. Степанцем, у випадку, коли-- опуклий модуль неперервності. Для класів і методу Зигмунда рівність (7) доведено Б. Надєм за умови, що

Теорема 3.4. Нехай -- довільний модуль неперервності і при всіх Тоді справедлива асимптотична при рівність

де -- величина, рівномірно обмежена по і

Для класів і методу Зигмунда(при і опуклому модулі неперервності ) рівність (8) довів О.І. Степанець. Для класів і методу Рогозинського (при) рівність (8) отримано в роботі В.Т. Гаврилюк і О.І. Степанця, а при довільному модулі неперервності -- О.І. Степанця. Для класів і методу Стєклова у випадку, коли -- опуклий модуль неперервності, рівність (8) довела Т.М. Сапіліді. Для класів і методу Фейєра рівність (8) доведено в роботі П.В. Задерея та О.І. Степанця. функція асимптотичний тригонометричний поліном

В підрозділі 3.5 розв'язується задача Колмогорова-Нікольського для методу на класі в метриці простору у випадку, коли функція яка породжує клас, і функція яка визначає лінійний метод, задовольняють умову

Основним результатом даного підрозділу є така теорема. Теорема 3.5. Нехай -- довільний модуль неперервності і при всіх Тоді якщо то при

якщо ж то при

де , причому, якщо -- опуклий модуль неперервності, а -- величина, рівномірно обмежена по і .

Для класіві методу Зигмунда (при ) рівність (9) довів О.В. Єфімов.

З теореми 3.5 випливає такий наслідок.

Наслідок 3.10. Нехай і або і . Тоді якщо -- довільний модуль неперервності і то

Відомо, що якщо -- довільний модуль неперервності і або і то існують додатні константи і такі, що для величин найкращого наближення класу тригонометричними поліномами , порядок яких не перевищує

справедлива оцінка для всіх Отже, якщо виконуються всі умови наслідку 3.10, то тригонометричні поліноми, породжені лінійним методом підсумовування рядів Фур'є, реалізовують порядок найкращого наближення на класах.

Через позначимо множину послідовностей для яких

Якщо послідовності що визначають класи задовольняють умову (10), то, як добре відомо, класи складаються з функ-
цій, регулярних в усій комплексній площині, тобто з цілих функцій.
Прикладом є, зокрема, послідовності при довільних і .

Метою четвертого розділу дисертації є знаходження при
асимптотичних рівностей для величини

у випадках:

при довільних і де -- суми Валле Пуссена, тобто поліноми вигляду -- частинні суми Фур'є порядку , а -- деякий натуральний параметр, . При суми Валле Пуссена співпадають з частинними сумами Фур'є , а при -- з сумами Фейєра порядку .

В підрозділі 4.2 одержано такі твердження.

Теорема 4.1. Нехай. Тоді при

де означається за допомогою формули

а -- величина, рівномірно обмежена по і .

При формулу (11) доведено С.О. Теляковським.

Теорема 4.2. Нехай і . Тоді при виконується рівність



в якій величинаозначається формулою (12), а -- величина, рівномірно обмежена відносно всіх розглядуваних параметрів.

При рівність (13) встановлено в роботі А.С. Сердюка.

Теорема 4.3. Нехай Тоді при

де величина означається формулою (12), причому якщо -- опуклий модуль неперервності, а -- величина, рівномірно обмежена відносно всіх розглядуваних параметрів.

При формулу (14) отримано О.І. Степанцем.

В підрозділі 4.2 одержано також аналоги теорем 4.2 і 4.3 на класах і в метриках просторів і відповідно.

У випадку, коли класи позначимо через.

Із теореми 4.1 випливає наступне твердження.

Наслідок 4.1. Нехай Тоді при

де якщо і якщо а -- величина, рівномірно обмежена відносно всіх розглядуваних параметрів.

При рівність (15) відтворює результат С.О. Теляковського, який посилив результат О.І. Степанця за рахунок кращої оцінки
залишкового члена.

Аналогічні наслідки, які випливають з теорем четвертого розділу при наведено в підрозділі 4.3.

ВИСНОВКИ

1. Одержано асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень узагальненими тригонометричними поліномами і в метриці простору класах неперервних - періодичних функцій, -похідні яких належать одиничній кулі в просторі у випадку, коли послідовність яка породжує класи, належить множині

2. Знайдено асимптотичні формули для точних верхніх меж наближень узагальненими тригонометричними поліномами і в рівномірній метриці на класах за умови, що . В багатьох важливих випадках ці формули забезпечують розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для лінійних методів і на класах в метриці простору Отримані результати в деяких випадках є новими на класах для класичних методів наближення: Рогозинського, Стєклова, Фавара, Рісса, Бернштейна Рогозинського, Зигмунда, Фейєра, Чезаро та ін.

3. Досліджено швидкість збіжності сум Валле Пуссена в рівномірній метриці на класах і у випадку, коли Аналогічні результати одержано в метриках просторів для класів , та в метрицідля класів . Встановлені результати в багатьох важливих випадках містять розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для методу Валле Пуссена та охоплюють, як частинний випадок, відомі результати для методу Фур'є.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Овсій Є.Ю. Наближення класів неперервних періодичних функцій узагальненими сумами / Є.Ю. Овсій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання : Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2007. -- Т. 4, № 1. -- С. 212--246.

2. Сердюк А.С. Наближення на класах цілих функцій сумами Валле Пуссена / А.С. Сердюк, Є.Ю. Овсій // Теорія наближення функцій та суміжні питання : Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -- 2008. -- Т. 5, № 1. -- С. 334--351.

3. Сердюк А.С. Приближение классов обобщенньїми суммами Зигмунда / А.С. Сердюк, Е.Ю. Овсий // Укр. мат. журн. -- 2009. -- Т. 61, № 4. -- С. 524--537.

4. Овсій Є.Ю. Наближення класів узагальненими тригонометричними поліномами / Овсій Є.Ю. -- К.: Ін-т математики НАН України, 2009. -- 104 с. -- (Препринт / НАН України, Ін-т математики ; 2009.2).

5. Овсій Є.Ю. Про наближення класів неперервних періодичних функцій лінійними методами / Є.Ю. Овсій // Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування : міжнар. наук. конф., 18--23 вер. 2006 р. : тези допов. -- Ужгород, 2006. -- С. 75--76.

6. Овсій Є.Ю. Про наближення цілих функцій сумами Валле Пуссена / Є.Ю. Овсій // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука : міжнар. наук. конф., 15--17 трав. 2008 р. : тези допов. -- К., 2008. -- С. 748.

7. Овсій Є.Ю. Про наближення неперервних періодичних функцій тригонометричними поліномами / Є.Ю. Овсій // Сучасні проблеми механіки та математики : міжнар. наук. конф., 25--29 трав.2008 р. : тези допов. -- Львів, 2008. -- Т. 3. -- С. 79--81.

8. Сердюк А.С. Наближення періодичних цілих функцій сумами
Валле Пуссена / А.С. Сердюк, Є.Ю. Овсій // Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування : міжнарод. наук. конф. з нагоди 70-річчя з дня народження академіка А.М. Самойленка, 16--21 черв. 2008 р. : тези допов. -- Мелітополь, 2008. -- С. 106--107.

9. Сердюк А.С. Приближение классов непрерывных периодических функцийобобщенными суммами Зигмунда / А.С. Сердюк, Е.Ю. Овсий // Современные проблемы математики, механіки информатики : междунар. научн. конф., 17--21 ноября 2008 г. : тезисы докл. -- Тула, 2008. -- С. 89--91.

10. Ovsiy E.Y. Approximation of continuous periodic functions by trigonometric polynomials / E.Y. Ovsiy // Modern problems of mathematics, mechanics and their applications : international confer., 30 March-- April 2009 : thesises of reports. - Moscow, 2009. - P. 107.

АНОТАЦІЇ

Овсій Є.Ю. Наближення класівдиференційованих функцій лінійними методами. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізикоматематичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2009.

Робота присвячена дослідженню питань наближення лінійними методами підсумовування рядів Фур'є класів -періодичних диференційовних функцій.

В ряді випадків одержано асимптотичні рівності для точних верхніх меж відхилень в рівномірній метриці узагальнених тригонометричних поліномів спеціального вигляду на класах і , що задаються мультиплікаторами і зсувами по аргументуза умови, коли послідовності які породжують зазначені класи, спадають до нуля не швидше степеневої функції. Крім того, знайдено асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень сумами Валле Пуссена в рівномірній метриці на класах -періодичних функцій і у випадку, коли послідовності спадають до нуля швидше, ніж будь-яка геометрична прогресія (в цьому випадку функції із зазначених класів допускають регулярне продовження на всю комплексну площину). Аналогічні результати одержано в метриках просторів для класів та в метриці для класів .

Ключові слова: лінійний метод наближення, модуль неперервності, задача Колмогорова-Нікольського, асимптотична рівність, -похідна, суми Рогозинського, Стєклова, Фавара, Фейєра, Зигмунда, Рісса, Бернштейна-Рогозинського, Чезаро, Валле Пуссена.

Овсий Е.Ю. Приближение классов -дифференцируемых функций линейными методами. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-
математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2009.

Работа посвящена исследованию вопросов приближения линейными методами суммирования рядов Фурье классов - периодических -дифференцируемых функций.

В ряде случаев получены асимптотические равенства для точных верхних граней отклонений в равномерной метрике обобщенных тригонометрических полиномов специального вида на классах и , которые задаются мультипликаторами и сдвигами по аргументупри условии, что последовательности , которые порождают указанные классы, убывают к нулю не быстрее степенной функции. Кроме того, найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений суммами Валле Пуссена в равномерной метрике на классах-периодических функцій и в случае, когда последовательности убывают к нулю быстрее любой геометрической прогрессии (в этом случае функции из указанных классов допускают регулярное продолжение на всю комплексную плоскость). Аналогичные результаты получены в метриках пространств для классов и в метрике для классов .

Приведем некоторые из результатов работы.

Теорема 3.3. Пусть и при всех Тогда если для модуля непрерывности выполняется условие

то справедливо асимптотическое при равенство

где причем если -- выпуклый модуль непрерывности, а -- величина, равномерно ограниченная по и

Теорема 3.4. Пусть-- произвольный модуль непрерывности и при всех Тогда справедливо асимптотическое при равенство

где -- величина, равномерно ограниченная по и .

Теорема 4.1. Пусть Тогда при

а -- величина, равномерно ограниченная по и .

Ключевые слова: линейный метод приближения, модуль непрерывности, задача Колмогорова-Никольского, асимптотическое равенство, производная, суммы Рогозинского, Стеклова, Фавара, Фейера, Зигмунда, Рисса, Бернштейна-Рогозинского, Чезаро, Валле Пуссена.

Ovsiy E.Y. Approximation of classes of -differentiable functions by linear methods. -- Manuscript.

Dissertation for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01 -- mathematical analysis. -- Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

This work is devoted to investigating the problems of approximation by linear methods of summation of Fourier series of classes of-periodic -differentiable functions. In some cases asymptotic equalities are found for least upper bounds of deviations in the uniform metric of the generalized trigonometrical polynomials of a special mode on the classes and which are generated by multiplicators and shifts on argumentprovided that sequences which generate the specified classes tend to zero not faster than the power function. In addition, asymptotic equalities for least upper bounds of approximations by the sums of de la ValleePoussin in the uniform metric on the classes of -periodic functions and are discovered, in a case when sequences tend to zero faster than any geometrical progression (in this case functions from the specified classes admit a regular extension on all complex plane). Similar results are received in metrics of spaces, for the classes and in the metric for the classes

Key words: linear method of approximation, module of continuity, Kolmogorov-Nikol'skiy problem, asymptotic equality, -derivative, sums of Rogosinski, Steklov, Favard, Fejer, Zygmund, Riesz, Bernstain- Rogosinski, Cesaro, de la Vallee Poussin.

Размещено на Allbest.ru

...