Розриви і коливання нарізно диференційовних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

УДК 517.51; 517.98

АВТОРЕФЕРАТ

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Розриви і коливання нарізно диференційовних функцій

01.01.01 - математичний аналіз

Герасимчук Василь Григорович

Львів - 2 0 0 8

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти та науки України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор Маслюченко Володимир Кирилович, завідувач кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор Банах Тарас Онуфрійович, професор кафедри алгебри і топології Львівського національного університету імені Івана Франка

доктор фізико-математичних наук, професор Загороднюк Андрій Васильович, завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника

Захист відбудеться лютого 2009 р. о год. на засіданні вченої ради Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університецька, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано грудня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.

диференційований ліпшицевість локальний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача про опис множин точок розриву нарізно неперервних функцій вивчена досить добре в працях Р. Бера, В. Осґуда, Р. Кешнера, Дж. Бреккенріджа і Т. Нішіури, З. Гранде, В. Маслюченка, В. Михайлюка. Зокрема, В. Маслюченко і В. Михайлюк охарактеризували множини точок розриву нарізно неперервних функцій багатьох змінних, заданих на добутках метризовних просторів.

У зв'язку з цим природним чином постало питання про опис множин точок розриву нарізно диференційовних і подібних до них функцій. Множини точок розриву нарізно диференційовних функцій мають свою специфіку. Ще К. Беґель з'ясував, що у функції , яка неперервна відносно першої змінної і диференційовна відносно другої (надалі такі функції називатимемо -функціями), множина її точок розриву ніде не щільна на площині. Далі в дисертації В. Маслюченка було показано, що для -функцій для кожного множина ніде не щільна на числовій прямій. Ще раніше Р. Кешнер частково розв'язав обернену задачу, побудувавши для кожної проективно ніде не щільної -множини нарізно нескінченно диференційовну функцію з . Крім того, в праці С. Колесникова описано множини точок розриву функцій з нарізно неперервними частинними похідними. А саме, множини точок розриву таких функцій - це в точності локально проективно ніде не щільні -множини, тобто такі -множини , що для кожної точки існує такий її окіл , що проекції множини паралельно до кожної із координатних осей є ніде не щільними. Зауважимо, що метод С. Колесникова не застосовний до нарізно диференційовних функцій. Тому актуальним стало подальше вивчення множини точок розриву нарізно диференційовних функцій, адже задача про опис множин точок розриву таких функцій не була розв'язана навіть у випадку функцій .

Функції з нарізно неперервними частинними похідними очевидним чином є нарізно неперервно диференційовними (тобто неперервно диференційовними відносно кожної змінної зокрема). Тому виникає запитання: чи буде локальна проективна ніде не щільність -множин характеризацією множин точок розриву нарізно неперервно диференційовних функцій? При дослідженні множин точок розриву нарізно диференційовних і подібних до них функцій важливими виявилися метричні аналоги диференційовності - точкова ліпшицевість і неперервної диференційовності - локальна ліпшицевість. Таким чином, стало актуальним дослідження множин точок розриву нарізно точково ліпшицевих і нарізно локально ліпшицевих функцій та їх аналогів.

Задача про опис коливань функцій тих чи інших класів почалась досліджуватись порівняно недавно в роботах П. Костирка, З. Дужинського, З. Ґранде, С.Пономарьова і Я. Еверт. Найповніші результати на цю тему отримав у своїй дисертації О. Маслюченко. Зокрема він дав повний опис коливань квазінеперервних функцій і функцій першого та другого класів Бера на метризовних просторах і нарізно неперервних функцій багатьох змінних на добутках скінченного числа метризовних просторів. Природно чекати, що коливання нарізно неперервно диференційовних функцій має свою специфіку порівняно з коливаннями нарізно неперервних функцій. Щоб її виявити актуально дослідити задачу про побудову нарізно диференційовних і подібних до них функцій з даним коливанням.

Дослідження нарізно неперервних функцій ідейно пов'язані з тематикою, яка розвивалася в працях Ю. Трохимчука та його учнів. Зокрема, Ю. Трохимчук подав умову сталості функції в термінах похідних вздовж напрямків змінного репера з лінійно незалежних векторів .

У зв'язку з цим виникає природне бажання розглянути функції , які нарізно неперервні відносно змінного репера , і з'ясувати, які у них можуть бути множини точок розриву. На важливість таких досліджень звернув нашу увагу і Ю. Зелінський.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науково-дослідними програмами “Нарізні і сукупні властивості функцій багатьох змінних та геометрія функціональних просторі” (номер держ. реєстрації - 0106U001455) і “Властивості абстрактних просторів та їх відображень” (номер держ. реєстрації - 0105U002888).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження множини точок розриву і коливання нарізно диференційовних функцій та їх аналогів.

Основними задачами дослідження є:

· характеризація множин точок розриву і коливань нарізно неперервно диференційовних функцій та їх аналогів;

· характеризація множин точок розриву нарізно диференційовних функцій та їх аналогів;

· дослідження зв'язків між різними типами ліпшицевості та множин точок розриву і локальної ліпшицевості нарізно диференційовних функцій багатьох змінних.

Об'єктом дослiджень є нарiзно диференційовні функції, нарізно ліпшицеві функції, нарізно неперервно диференційовні функцій, нарізно локально ліпшицеві функції, -функції, -функції, -функції і -функції, предметом досліджень є коливання i множини точок розриву таких функцiй.

В дослiдженнi застосовуються методи, що використовують топологiчні iгри, локально скiнченні покриття, функцiональну апроксимацiю, трансфінітне розшарування множин, а також категорнi мiркування.

Наукова новизна одержаних результатiв. В дисертацiйнiй роботi вперше отримано такi результати:

· Для того щоб множина була множиною точок розриву деякої нарізно неперервно диференційовна функції двох змінних, необхідно і досить, щоб вона була локально проективно ніде не щільною -множиною.

· Для того щоб функція, що визначена на добутку двох скінченновимірних /метричних/ просторів, була би коливанням деякої нарізно нескінченно диференційовної /нарізно локально ліпшицевої/ функції, необхідно і досить, щоб вона була невід'ємною напівнеперервною зверху функцією з локально проективно ніде не щільним носієм.

· Підмножина добутку метризовного берівського і повного метричного /скінченновимірного евклідового/ просторів буде множиною точок розриву деякої функції, яка неперервна відносно першої змінної і точково ліпшицева /диференційовна/ відносно другої, тоді і тільки тоді, коли вона є навхрест ніде не щільною спадково десь вертикально лакунарною -множиною.

· Підмножина добутку двох повних метричних /скінченновимірних евклідових/ просторів буде множиною точок розриву деякої нарізно точково ліпшицевої /нарізно диференційовної/ функції тоді і тільки тоді, коли вона є навхрест ніде не щільною спадково десь лакунарною -множиною.

· Множина точок розриву довільної функції, яка неперервна вздовж одного з напрямків змінного репера і диференційовна відносно другого, є ніде не щільною.

· Нарізно точково ліпшицева функція багатьох змінних, що визначена на добутку сепарабельних берівських метричних просторів, має всюди щільну множину точок локальної ліпшицевості.

Що стосується новизни цих результатів, то слід сказати що раніше були охарактеризовані лише множини точок розриву і коливання нарізно неперервних функцій, квазінеперервних функцій і функцій першого та другого класу Бера, а функції, які неперервні вздовж одного з напрямків змінного репера і диференційовні відносно другого, як і множини точок локальної ліпшицевості нарізно точково ліпшицевих функцій, раніше взагалі не вивчалися.

Наукове та практичне значення одержаних результатiв. Дисертація носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в загальній теорії функцiй, топології та функціональному аналізі. Всі наукові положення i висновки дисертації є цілком обгрунтованими i достовірними.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержані здобувачем особисто.

В статті [1] В. Маслюченку належить постановка питання та ідея використання одного результату Р. Кешнера при побудові нарізно нескінченно диференційовної функції з даною множиною точок розриву. В. Михайлюку належить ідея використання теореми Стоуна в даній побудові. В роботі [3] В. Маслюченку належить постановка питання та ідея використання одного свого результату при встановленні квазінеперервності функцій в теоремі 2. В праці [4], В. Маслюченку належить постановка питання, а О. Маслюченку належить ідея використання лакунарного рангу в теоремі 7.2 і застосування ігрової характеризації беровості при доведенні теореми 2.1. В [5] співавторам належить постановка питання. В статті [6] В. Маслюченку належить постановка питання та ідея використання одного спеціального критерію беровості при доведенні теореми 1, О. Маслюченку належить ідея використання канторових сходів при доведенні теореми 3. В замітці [7] співавтору належить ідея використання гри Шоке.

Таким чином, iз спiльних статей [1, 3-7] в дисертацію включені тільки ті результати, які належать автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації апробовувались на міжнародних конференціях “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” в Києві [8], “Комплексний аналіз і його застосування” y Львові [9, 10], “Шостi Боголюбовськi читання” в Києві [11], “Математичний аналіз і суміжні питання” у Львові [15], а також, на міжнародних конференціях присвячених 110-ій річниці від дня народження С. Банаха у Львові [12], 125-ій річниці від дня народження Г. Гана в Чернівцях [13] і пам'яті В. Я. Буняковського у Києві [14].

Крім того, вони доповідалися на науковому семінарі кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету (керівник В.К.Маслюченко), на науковому семінарі математичного факультету Чернівецького національного університету (керівник І.М.Черевко) та науковому семінарi кафедри теорії функцій і теорії ймовірностій та кафедри математичного і функціонального аналізу Львiвського нацiонального унiверситету (керiвники О.Б.Скасків та А.А.Кондратюк).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 15 наукових працях, з них 7 - у наукових фахових виданнях з переліку ВАК України, 8 - у тезах та матеріалах міжнародних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, списку умовних позначень i термінів, чотирьох розділів, висновків i списку використаних джерел, який містить 74 найменування i займає 9 сторінок. Повний обсяг роботи - 122 сторінка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В даній дисертаційній роботі одержано наступні результати.

· Доведено, кожна -функція на добутку топологічного і метричного просторів має ніде не щільну множину точок розриву, якщо тільки цей добуток є берівським.

· Для довільної -функції визначенної на добутку берівського і метричного просторів множина її точок розриву ніде не щільна на довільній неперервній кривій

· Проекція паралельно до компакту множини точок розриву функції, яка неперервна відносно першої змінної і локально ліпшицева відносно другої є ніде не щільною

· Для того, щоб множина була множиною точок розриву деякої нарізно неперервно диференційовна функції необхідно і досить, щоб вона була локально проективно ніде не щільною -множиною.

· Для довільної напівнеперервної зверху невід'ємної функції, з локально проективно ніде не щільним носієм існує нарізно нескінченно диференційовна /нарізно локально ліпшицева/ -первісна.

· Множина точок розриву довільної -функції є ніде не щільною.

· Підмножина добутку метризовного берівського і повного метричного /скінченновимірного евклідового/ просторів буде множиною точок розриву деякої -функції /-функції/ тоді і тільки тоді, коли - навхрест ніде не щільна спадково десь вертикально лакунарна -множина.

· Підмножина добутку двох повних метричних /скінченновимірних евклідових/ просторів буде множиною точок розриву деякої -функції /-функції/ тоді і тільки тоді, коли - навхрест ніде не щільна спадково десь лакунарна -множина.

· Встановлено явище розмивання розривів по вертикалі у функцій, які квазінеперервні відносно першої змінної і ліпшицеві відносно другої

· Нарізно точково ліпшицева функція багатьох змінних, що визначена на добутку сепарабельних берівських метричних просторів, має всюди щільну множину точок локальної ліпшицевості.

· Встановлено ніде не щільність множини точок розриву і її розрізів гіперплощинами для функції багатьох змінних, що визначена на добутку берівського і скінченновимірного евклідового просторів, яка неперервна відносно першої змінної і диференційовна відносно кожної з решти змінних.

· Отримано результат про ніде не щільність множини точок розриву на неперервній кривій для -функції.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Герасимчук В. Г. Різновиди ліпшицевості і множини точок розриву нарізно диференційовних функцій / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко , В. В. Михайлюк // Наук. вісн. Черн. ун-ту. Вип. 134. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С.22-29.

2. Герасимчук В. Г. Розриви -функцій на квазінеперервних кривих / В. Г. Герасимчук // Наук. вісн. Черн. ун-ту. Вип. 191-192. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С.36-40.

3. Герасимчук В. Г. До питання про розриви нарізно диференційовних функцій багатьох змінних / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С.23-29.

4. Герасимчук В. Г. Характеризація множин точок розриву -функцій / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко , О. В. Маслюченко // Математичний вісник НТШ. - 2005. - 2. - С. 57-71.

5. Герасимчук В. Г. Про нарізно точково ліпшицеві функції / В. Г. Герасимчук , В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Математичні студії. - 2006. - 26, N1. - C.65-70.

6. Герасимчук В. Г. Нарізно неперервні функції відносно змінного репера / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Укр. мат. журн. - 2004. - 56, №9. - С.1281-1286.

7. Герасимчук В. Г. Неперервність -функцій на неперервних кривих / В. Г. Герасимчук, О. В. Маслюченко // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С.38-40.

8. Герасимчук В. Г. Розриви нарізно диференційовних функцій / В. Г. Герасимчук, Маслюченко В.К. // Диф. рівняння і нелінійні коливання. Тези доповідей Міжнародної конференції. -К.: 2001. - С.35-36.

9. Герасимчук В. Г. Нарізно неперервні і диференційовні функції відносно змінного репера / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Міжнар. конф. "Комплексний аналіз і його застосування". Львів, 26-29 травня, 2003. Тези доповідей. - Львів, 2003. - С.23-24.

10. Герасимчук В. Г. Розриви -функцiй на квазiнеперервних кривих / В. Г. Герасимчук // Мiжнар. конф. ”Комплексний аналiз та його застосування”.- Львiв, 2003.- С.22 - 23.

11. Герасимчук В. Г. Побудова нарiзно диференцiйовних функцiй з дискретною множиною точок розриву / В. Г. Герасимчук // Мiжнар. конф. “Шостi Боголюбовськi читання”. - К.: Iн-т математики НАН України, 2003.- С.46

12. Herasymchuk V. Sets of discontinuity of separately differentiable functions of n variables / V. Herasymchuk, V. Maslyuchenko // Intern. Conf. on Functional Analysis and its Appl. Dedicated to the 110-th anniversarty of S.Banach. May 28-31, 2002, Lviv. - P.83-84

13. Герасимчук В. Г. Про характеризацію множин точок розриву -функцій / В. Г. Герасимчук, В. К. Маслюченко, О. В. Маслюченко // Міжнар. конф. присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Тези доповідей. 27 червня - 3 липня, 2004,Чернівці, Україна. - С.23-25.

14. Герасимчук В. Сукупна неперервність і ліпшицевість нарізно ліпшицевих функцій / В. Герасимчук , В. Маслюченко , О. Маслюченко // Міжнар. конф. пам'яті В.Я. Буняковського. (16 - 21 серпня, 2004 р.).Тези доповідей. - Київ: Ін-т математики НАН України, 2004. - С. 44-45.

15. Герасимчук В. Г. Сукупна неперервність -функцій на графіках неперервних функцій / В. Г. Герасимчук, О. В. Маслюченко // Міжнародна конференція “Математичний аналіз і суміжні питання”. Тези доповідей. - Львів,17-20 листопада, 2005. - С. 37-38.

АНОТАЦІЯ

Герасимчук В.Г. Розриви і коривання нарізно диференційовних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. - Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2009.

В дисертаційній роботі вивчається множини точок розриву і коливання нарізно диференційовних і подібних до них функцій. В ній за допомогою понять локальної ліпшицевості і точкової ліпшицевості, які охоплюють неперервну диференційовність і дииференційовність відповідно, з'ясовується малість множини точок розриву нарізно диференційовних і подібних до них функцій. А також охарактеризовано множини точок розривів і коливання нарізно неперервно диференційовних і нарізно локально ліпшицевих функцій двох змінних. В дисертаційній роботі вводиться нове поняття лакунарності множини, з допомогою якого охарактеризовано множини точок розриву нарізно диференційовних і нарізно точково ліпшицевих функцій. Крім того, вивчається множина точок розриву нарізно диференційовних функцій багатьох змінних і функцій, які неперервні чи диференційовні вздовж змінного репера.

Ключові слова: множина точок розриву, коливання, нарізно диференційовна функція, нарізно неперервно диференційовна функція, -функція, -функція, -функція, ліпшицева функція, локально ліпшицева функція, точково ліпшицева функція, лакунарна множина, спадково десь лакунарна множина, змінний репер.

АННОТАЦИЯ

Герасимчук В.Г. Разрывы и колебания раздельно дифференцируемых функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2009.

В диссертационной работе изучаются множества точек разрыва и колебания раздельно дифференцируемых и подобных к ним функций. В ней при помощи понятий локальной липшицевости і точечной липшицевости, котрые охватывают непрерывную дифференцируемость и дифференцируемость соответственно, устанавливается малость множества ножества точек разрыва и колебания раздельно дифференцируемых и подобных к ним функций. А также охарактерезировано множества точек разрывов і колебания раздельно непрерывно дифференцируемых і раздельно локально липшицевых функций двух переменных. В диссертационной работе вводится новое понятие лакунарности множества, с помощью которого охарактерезировано множества точек разрыва раздельно дифференцируемых і раздельно точечно липшицевых функций. Кроме того, изучаются множества точек разрыва раздельно дифференцируемых функций многих переменных и функций, которые непрерывны или дифференцируемы вдоль переменного репера.

Ключевые слова: множество точек разрыва, колебание, раздельно дифференцируемая функция, раздельно непрерывно дифференцируемая функция, -функция, -функция, -функция, липшицевая функция, локально липшицевая функция, точечно липшицевая функция, лакунарное множество, наследственно где-то лакунарное множество, переменный репер.

ABSTRACT

Herasymchuk V.H. Breaks and oscillations of separately differentiable functions. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Ivan Franko's L'viv National University, L'viv, 2009.

The discontinuity point sets and the oscillations of separately differentiable functions and their analogous are investigated in the thesis. Using the notions of local Lipschitz functions and the pointwise Lipschitz function which are wider than notions of the continuously differentiability and differentiability resp., it is obtained results on a smallness of discontinuity point sets of separately differentiable functions and its analogous. In particular, it is proved that the discontinuity point set of separately pointwise Lipschitz functions of two real variables and its intersection with any continuous curve is nowhere dense. Besides, the discontinuity point sets and the oscillations of separately continuously differentiable and separately locally Lipschitz functions of two variable is characterized. It is proved that an -subset of is the discontinuity point set of some separately continuously differentiable function if and only if it is projectively nowhere dense.

Using a new notion of a lacunarity of sets the discontinuity point sets of separately differentiable and separately pointwise Lipschitz functions is characterized. In particular, it is obtained the following results: -subset of is the discontinuity point set of some separately differentiable function if and only if it is projectively meager and hereditarily somewhere lacunary.

It is also investigated the discontinuity point set of separately differentiable functions of many variables and functions, which are continuous or differentiable with respect to a variable frame.

Keywords: discontinuity point set, oscillation, separately differentiable function, separately continuously differentiable function, -function, -function, -function, Lipschitz function, locally Lipschitz function, pointwise Lipschitz function, lacunary set, hereditarily somewhere lacunary set, variable frame.

Размещено на Allbest.ru