Дослідження структури множини розв’язків систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

01.01.02 - диференціальні рівняння

УДК 517.9

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Сивак Олена

Андріївна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України "Київський політехнічний інститут" МОН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор Пелюх Григорій Петрович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, ст. науковий співробітник, Романенко Олена Юріївна, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії динамічних систем;

доктор фізико-математичних наук, професор Черевко Ігор Михайлович, Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича, декан факультету прикладної математики.

Захист відбудеться "_26_" __січня__ 2010 р. о _15_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "_18_" __грудня_2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Г.П. Пелюх

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. З появи перших робіт, що присвячені вивченню різницевих і функціонально-ріїницевих рівнянь, пройшло більше двох століть. За цей час опубліковано велику кількість робіт, присвячених дослідженню цілого ряду проблем, які мають важливе значення для всебічного розвитку теорії таких рівнянь та їх застосувань в різноманітних областях природознавства. Інтерес до різницевих рівнянь різко зріс у 60-ті роки XX сторіччя. Саме в ці роки, у зв'язку з розвитком теорії імпульсних систем та широким застосуванням ЕОМ, почався активний розвиток теорії дискретних різницевих рівнянь. Ці рівняння знаходять також широке застосування у теорії автоматичного регулювання, автоматиці і телемеханіці, при вивченні біофізичних проблем тощо. Різницеві рівняння з неперервним аргументом також досліджувалися багатьма математиками, і особливо активно після появи робіт Біркгофа, в яких було розроблено основи теорії лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом. Це, а також широкі застосування різницевих рівнянь, стимулювало всебічне вивчення важливих питань їх теорії. В результаті цього в даний час існує велика кількість робіт, в яких розроблено основи теорії різницевих рівнянь. Серед них відмітимо монографії Я.В. Бикова, В.Г. Ліненко; І.В. Гайшуна; О.О Гельфонда; Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, Д.І. Мартинюка; О.М. Шарковського, Ю.Л. Майстренка, О.Ю. Романенко; А.А. Самарського, Ю.Н. Карамзіна; М.А. Солдатова, О.О. Миролюбова; В.Ю. Слюсарчука та інших відомих математиків. Теорія різницевих рівнянь знаходить широкі застосування майже в усіх галузях природознавства. Все частіше такі рівняння використовуються при моделюванні нелінійних явищ і процесів, що відбуваються в системах різноманітної природи.

Разом із сказаним вище слід відмітити, що в сучасній теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом є ряд питань, які вивчені дуже мало. Перш за все, сюди відносяться питання існування неперервних при , неперервних періодичних розв'язків систем різницевих рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу та вивчення структури їх множин. Ці питання мають особливо важливе значення для розвитку теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом, а тому природно, що саме вони є основною метою дослідження даної дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дослідження проводились на кафедрі диференціальних рівнянь фізико-математичного факультету Національного технічного університету України “КПІ” згідно з держбюджетною темою “Асимптотичні та якісні методи дослідження еволюційних систем” (номер державної реєстрації 0107U010797), а також згідно з проектом Державного фонду фундаментальних досліджень України, проект Ф 25.1/021 та у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України у відповідності до плану науково-дослідних робіт за темами “Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь” (номер державної реєстрації 0198U001998) та “Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань” (номер державної реєстрації 0101U000526).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є дослідження властивостей неперервних розв'язків різницевих і функціонально-різницевих рівнянь з неперервним аргументом.

Об'єктом дослідження є різницеві та функціонально-різницеві рівняння з неперервним аргументом.

Предметом дослідження є вивчення структури множини неперервних розв'язків різницевих і функціонально-різницевих рівнянь.

Завдання дослідження:

- встановити умови існування неперервних, неперервних періодичних розв'язків систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом;

- дослідити структуру множини неперервних розв'язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу;

- встановити нові умови існування неперервних розв'язків систем функціонально-різницевих рівнянь і дослідити структуру їх множини;

- дослідити асимптотичні властивості неперервних розв'язків систем нелінійних функціонально-різницевих рівнянь.

Методи дослідження. У роботі використовуються основні методи теорії звичайних диференціальних і різницевих рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи, що виносяться на захист, полягають у наступному:

- встановлено умови існування неперервних, неперервних періодичних розв'язків систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом;

- досліджено структуру множини неперервних розв'язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу;

- побудовано представлення загального неперервного розв'язку функціонально-різницевих рівнянь із лінійно перетвореним аргументом;

- отримано нові умови існування неперервних розв'язків систем функціонально-різницевих рівнянь з неперервним аргументом і досліджено їх асимптотичні властивості.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Отримані в ній результати доповнюють результати робіт багатьох математиків, які є близькими до теми дисертаційної роботи, і сприятимуть подальшому розвитку теорії різницевих рівнянь. Вони також можуть використовуватись при дослідженні задач теорії керування, біології та в інших галузях науки і техніки.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації, що виносяться на захист, одержані автором самостійно. Визначення загального плану досліджень і постановка задач належать науковому керівникові Г.П. Пелюху.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на таких конференціях та семінарах:

- ХІІ Міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука (м. Київ, 2008);

- IV Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (м. Івано-Франківськ, 2008);

- Міжуніверситетській науковій конференції з математики та фізики для студентів та молодих вчених (м. Київ, 2009);

- Міжнародній конференції до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди (м. Чернівці, 2009);

- Українському математичному конгресі - 2009 (до 100- річчя від дня народження М.М. Боголюбова) (м. Київ, 2009);

- Науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України;

- Наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь Національного технічного університету України “КПІ”.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 9 роботах, з яких - у спеціалізованих фахових журналах, - в збірниках тез наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 72 найменування. Повний обсяг роботи складає 133 сторінки.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, дається короткий огляд робіт, що є близькими до теми дисертації і формулюються її основні результати.

В першому розділі дисертації дається огляд публікацій, тематика яких є близькою до тематики дисертаційної роботи.

В другому розділі дисертації розглядаються системи різницевих рівнянь із сталими і змінними відхиленнями аргументу. При цьому основною метою є встановлення умов існування неперервних, неперервних періодичних розв'язків таких систем. Перший підрозділ цього розділу присвячено дослідженню неперервних розв'язків системи лінійних різницевих рівнянь вигляду

де , - неперервні -матриці, - неперервна вектор-функція розмірності n, - цілі додатні числа, що задовольняють умову

Основними результатом підрозділу є теорема 2.1, яка дає можливість побудувати загальний неперервний розв'язок системи (1). Аналогічні результати отримані в другому підрозділі цього розділу (теорема 2.2) для системи нелінійних різницевих рівнянь вигляду

де , неперервна вектор-функція, .

В третьому підрозділі другого розділу досліджується питання існування неперервних -періодичних розв'язків системи лінійних функціонально-різницевих рівнянь вигляду

де , - деякі дійсні -матриці, - дійсний вектор розмірності , - цілі додатні числа, . При цьому доведено таку теорему.

Теорема 2.3. Нехай виконуються умови:

1) всі елементи матриць і вектора є неперервними -періодичними функціями;

2) функції , є неперервними -періодичними, - деякі цілі додатні числа;

3) , , , , ;

4) .

Тоді система рівнянь (3) має єдиний неперервний T-періодичний розв'язок у вигляді ряду

де , - деякі неперервні -періодичні вектор-функції, які є розв'язками послідовності систем рівнянь

і визначаються за допомогою співвідношень



,

Крім цього, в підрозділі 2.3 вивчається структура множини неперервних розв'язків системи рівнянь

для якої, зокрема, доведено теорему 2.4 про існування сім'ї неперервних при розв'язків, що залежить від довільної неперервної 1-періодичної вектор-функції .

Третій розділ дисертації присвячено дослідженню функціонально-різницевих рівнянь вигляду

де , - деякі дійсні функції і - дійсна стала. Тут вивчаються питання існування неперервних розв'язків і досліджується структура їх множини. Зокрема, в підрозділах 3.1, 3.2 розглядається рівняння

де , - дійсні сталі. В залежності від припущень відносно і розглянуто такі випадки:

1)

2)

3)

4) .

Випадки 1, 2 досліджено в підрозділі 3.1. Основними його результатами є такі теореми.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови:

1)

2)

Тоді довільний неперервний обмежений при розв'язок рівняння (9) можна представити у вигляді ряду

в якому функції , визначаються співввідношеннями

,

(- деяка неперервна 1-періодична функція), які є розв'язками послідовності систем рівнянь

.

Теорема 3.4. Нехай виконуються умови:

1)

2)

Тоді довільний неперервний обмежений при всіх розв'язок рівняння (9) можна представити у вигляді ряду (10), в якому функції , , визначаються співвідношеннями

,

де - деяка неперервна 1-періодична функція.

В цьому підрозділі вивчається також неоднорідне рівняння

де сталі і функція задовольняють умови:

1) ;

2) ;

3) функція є неперервною обмеженою при всіх і такою, що .

При цьому доведено таку теорему.

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови 1-3. Тоді рівняння (14) має неперервний обмежений при розв'язок у вигляді ряду

де , - деякі неперервні обмежені при функції, які є розв'язками послідовності систем рівнянь



Для неоднорідного рівняння (14) у випадку 2 () також доведено існування і єдиність неперервного обмеженого при розв'язку (теорема 3.5).

У зв'язку із доведеними теоремами 3.2, 3.5 природно виникло питання про існування неперервного розв'язку рівняння (14) у випадку, коли , тобто коли рівняння (14) має вигляд

де - деякі сталі, , . Відповідь на нього дають доведені тут теореми 3.3, 3.6 про існування неперервного обмеженого при розв'язку.

В підрозділі 3.2 третього розділу досліджується питання про існування неперервних розв'язків рівняння (9) у випадках 3, 4. При цьому, зокрема, доведено такі теореми.

Теорема 3.8. Нехай виконуються умови:

1)

2)

Тоді рівняння (9) має сім'ю неперервних при розв'язків , яка залежить від довільної неперервної 1-періодичної функції .

Теорема 3.9. Нехай виконуються умови:

1)

2)

Тоді рівняння (9) має сім'ю неперервних при розв'язків , яка залежить від довільної неперервної 1-періодичної функції .

Четвертий розділ дисертації присвячено дослідженню системи лінійних рівнянь вигляду

де , - дійсні -матриці, - дійсний вектор розмірності , - деяка дійсна стала. При цьому основною метою є встановлення умов існування неперервних розв'язків та дослідження їх властивостей.

В підрозділі 4.1 розглядається система рівнянь вигляду

де - дійсні сталі -матриці, - дійсна стала. При цьому досліджується структура множини неперервних при розв'язків системи (19) і пропонується певний підхід до побудови загального розв'язку. Відносно матриці припускається, що її власні значення , задовольняють умови

Тоді, як відомо, існує заміна змінних

де - деяка стала неособлива -матриця, яка приводить систему рівнянь (19) до вигляду



де , .

Для системи рівнянь (20) доведено такі теореми.

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови:

1)

2) ,

де , , . Тоді довільний неперервний обмежений при розв'язок системи рівнянь (20) можна представити у вигляді ряду

в якому вектор-функції , визначаються співвідношеннями

,

(- деяка неперервна 1-періодична вектор-функція), які є розв'язками послідовності систем рівнянь

.

В цьому підрозділі розглядається також неоднорідна система рівнянь



де матриці , , стала і вектор-функція задовольняють умови: множина різницевий рівняння асимптотичний

1) , ;

2) ;

3) всі елементи вектор-функції є неперервними обмеженими при всіх функціями і .

При цьому доведено теорему.

Теорема 4.2. Нехай виконуються умови 1 - 3. Тоді система рівнянь (24) має неперервний обмежений при розв'язок у вигляді ряду

де , - деякі неперервні обмежені при вектор-функції, які є розв'язками послідовності систем рівнянь

.

Система рівнянь (24) досліджується також у випадку, коли , тобто коли вона має вигляд

де , - деяка стала, , . Доведено, що в цьому випадку має місце така теорема.

Теорема 4.3. Нехай виконуються умови:

1) , ;

2) всі елементи матриці і вектор-функції є неперервними обмеженими при всіх функціями і , ;

3)

Тоді система рівнянь (27) має неперервний обмежений при розв'язок у вигляді ряду

де , - деякі неперервні обмежені при вектор-функції.

Крім цього, в підрозділі 4.1 досліджуються питання існування неперервних розв'язків системи різницевих рівнянь (20) у випадку, коли , , . Зокрема, доведено таку теорему.

Теорема 4.4. Нехай виконуються умови:

1)

2) ,

де , , . Тоді система рівнянь (20) має сім'ю неперервних при розв'язків, яка залежить від довільної неперервної 1-періодичної вектор-функції .

В підрозділі 4.2 четвертого розділу досліджено структуру множини неперервних при розв'язків системи (20) при умові , . Серед отриманих тут результатів відмітимо такі теореми.

Теорема 4.5. Нехай виконуються умови:

1) ,

2)

де , , . Тоді довільний неперервний обмежений при розв'язок системи рівнянь (20) можна представити у вигляді ряду (21), в якому вектор-функції , , визначаються співвідношеннями

,

( - деяка неперервна 1-періодична вектор-функція), які є розв'язками послідовності систем рівнянь

.

В цьому підрозділі розглядаються також неоднорідна система рівнянь

і система рівнянь (27), яка є природним узагальненням системи рівнянь (31) на випадок, коли , для яких доведено такі теореми.

Теорема 4.6. Нехай виконуються умови:

1) ,

2) ;

3) всі елементи вектор-функції є неперервними обмеженими при всіх функціями і .

Тоді система рівнянь (31) має неперервний обмежений при всіх розв'язок

де , - деякі неперервні обмежені при всіх вектор-функції.

Теорема 4.7. Нехай виконуються умови:

1) ,

2) всі елементи матриці і вектор-функції є неперервними обмеженими при функціями і , ;

3)

Тоді система рівнянь (27) має неперервний обмежений при розв'язок у вигляді ряду

де , - деякі неперервні обмежені при вектор-функції.

В цьому підрозділі також досліджується питання про існування неперервних розв'зків системи різницевих рівнянь (20) для випадку, коли , , . При цьому доведено таку теорему.

Теорема 4.8. Нехай виконуються умови:

1)

2) ,

де , , . Тоді система рівнянь (20) має сім'ю неперервних при розв'язків , яка залежить від довільної неперервної 1-періодичної вектор-функції .

В підрозділі 4.3 вивчаються питання про існування неперервних розв'язків системи різницевих рівнянь (20) у випадку, коли , , . Серед отриманих тут результатів відмітимо такі леми.

Лема 4.7. Нехай виконуються умови:

1)

2)

де , , . Тоді система рівнянь (20) має сім'ю неперервних обмежених при розв'язків, яка залежить від m довільних неперервних 1-періодичних функцій , .

Лема 4.8. Нехай виконуються умови:

1)

2)

де , , . Тоді система рівнянь (20) має сім'ю неперервних обмежених при розв'язків, яка залежить від n-m довільних неперервних 1-періодичних функцій , .

В підрозділі 4.3 також розглядається система неоднорідних рівнянь

де , - деяка стала, , . В доведених тут теоремах 4.9, 4.10 встановлено умови існування неперервного обмеженого при розв'язку.

В підрозділі 4.4 четвертого розділу встановлюються умови існування неперервних розв'язків системи (4.3) у випадку, коли , , -матриці вигляду

достатньо мала додатна стала.

Доведено таку теорему.

Теорема 4.11. Нехай виконуються умови:

1) ;

2) , ,

де , , , . Тоді система рівнянь (20) має сім'ю неперервних обмежених при розв'язків, що залежить від довільної неперервної 1-періодичної вектор-функції .

Для системи неоднорідних рівнянь вигляду

яка також розглядається в цьому підрозділі, отримано умови (теореми 4.12, 4.13) існування неперервного обмеженого при розвязку.

В п'ятому розділі дисертації розглядаються системи нелінійних рівнянь вигляду



де , - деяка дійсна - матриця, - деяка дійсна стала, . При цьому вивчаються питання існування неперервних при розв'язків таких систем і досліджуються їх властивості.

В підрозділі 5.1 досліджується структура множини неперервних розв'язків системи рівнянь (37). При цьому доведено теорему.

Теорема 5.1. Нехай виконуються умови:

1) , , ;

2) вектор-функція є неперервною і обмеженою при всіх , і задовольняє умову

де - деяка додатна стала така, що ;

3) .

Тоді при достатньо малому l система рівнянь (37) має єдиний неперервний обмежений при розв'язок .

Виконуючи в (37) взаємно однозначну заміну змінних

де - неперервний обмежений при розв'язок системи (37), отримаємо систему рівнянь для вектор-функції

де , і вектор-функція задовольняє умову 2. Для системи рівнянь (39) доведено таку теорему.

Теорема 5.2. Нехай виконуються умови 1,2 теореми 5.1 і умови:

4) ,

де ;

5) .

Тоді система рівнянь (39) має сім'ю неперервних обмежених при розв'язків у вигляді ряду

де , - деякі неперервні обмежені при вектор-функції, які задовольняють умову

В підрозділі 5.2 досліджуються питання про існування неперервних обмежених при () розв'язків системи рівнянь (37) для випадку, коли умови 2, 3 теореми 5.1 зберігаються, а замість умови 1 має місце умова:

) , , де - деякі дійсні - і -матриці , для яких виконуються співвідношення: , .

Зокрема тут доведено теорему 5.4 про існування і єдиність неперервного обмеженого при розв'язку та побудовано:

1) сім'ю неперервних обмежених при розв'язків , що залежить від p довільних неперервних 1-періодичних функцій і задовольняє умову

;

2) сім'ю неперервних обмежених при розв'язків , що залежить від n-p довільних неперервних 1-періодичних функцій і задовольняє умову

.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена вивченню питань існування неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу і дослідженню їх властивостей. При цьому одержано такі нові результати:

- встановлено умови існування неперервних, неперервних періодичних розв'язків систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом;

- досліджено структуру множини неперервних розв'язків функціонально-різницевих рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу;

- побудовано представлення загального неперервного розв'язку функціонально-різницевих рівнянь із лінійно перетвореним аргументом;

- отримано нові умови існування неперервних розв'язків систем функціонально-різницевих рівнянь з неперервним аргументом і досліджено їх асимптотичні властивості.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Сівак О.А. Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь із раціональними відхиленнями неперервного аргументу / О.А. Сівак // Наукові вісті НТУ України "КПІ". - 2007. - №4. - С. 152-157.

2. Пелюх Г.П. Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сівак // Нелінійні коливання. - 2009. - Т.12, № 3. - С. 307-335.

3. Пелюх Г.П. Про періодичні розв'язки систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь / Г.П. Пелюх, О.А. Сівак // Доповіді НАН України. - 2009. - №8. - С. 24-28.

4. Пелюх Г.П. Неперервні розв'язки нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / Г.П. Пелюх, О.А. Сівак // Нелінійні коливання. - 2009. - Т.12, №4. - С. 515-529.

5. Сівак О.А. Про існування неперервних при розв'язків систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / О.А. Сівак // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2009. - Т.6, №2. - С. 450-459.

6. Сівак О.А. Про структуру множини неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь із багатьма відхиленнями неперервного аргументу / О.А. Сівак // ХІІ Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука, 15-17 травня 2008р.: матеріали конференції. - Київ, 2008. - С. 353.

7. Сівак О.А. Неперервні розв'язки систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / О.А. Сівак // IV Всеукраїнська наукова конференція: нелінійні проблеми аналізу, 10-12 вересня 2008р.: тези доповідей. - Івано-Франківськ, 2008. - С. 87.

8. Сівак О.А. Періодичні розв'язки систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь і їх властивості / О.А. Сівак // Міжуніверситетська наукова конференція з математики та фізики для студентів та молодих вчених, 21-22 травня 2009р.: тези доповідей. - Київ, 2009. - С. 50.

9. Сівак О.А. Про існування неперервних обмежених розв'язків нелінійних функціонально-різницевих рівнянь / О.А. Сівак // Міжнародна конференція до 100-річчя М.М. Боголюбова та 70-річчя М.І. Нагнибіди, 8-13 червня 2009р.: тези доповідей. - Чернівці, 2009. - С. 162.

АНОТАЦІЇ

Сивак О. А. Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь з неперервним аргументом. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Національний технічний університет України “КПІ”, Київ, 2009.

В дисертаційній роботі досліджено структуру множини неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь з лінійними відхиленнями аргументу. Для систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь встановлено достатні умови існування неперервних розв'язків, запропоновано певний підхід до їх побудови та досліджено поведінку цих розв'язків при (). Досліджено структуру множини неперервних розв'язків систем різницевих рівнянь із сталими і змінними відхиленнями аргументу. Для систем лінійних функціонально-різницевих рівнянь із T-періодичними коефіцієнтами доведено теорему про існування і єдиність неперервного T-періодичного розв'язку. Слід відмітити, що метод доведення цієї теореми дає можливість побудувати періодичний розв'язок і дослідити його властивості. Для нелінійних систем функціонально-різницевих рівнянь доведено існування глобального розв'язку і досліджено структуру множини неперервних при () розв'язків, що знаходяться в його околі. Запропоновано метод побудови неперервних обмежених при () розв'язків систем нелінійних функціонально-різницевих рівнянь і досліджено їх властивості.

Ключові слова: функціонально-різницеве рівняння, неперервний розв'язок, відхилення аргументу, глобальний розв'язок.

Сивак Е. А. Исследование структуры множества непрерывных решений систем разностных уравнений с непрерывным аргументом. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Национальный технический университет Украины “КПИ”, Киев, 2009.

Отдельные разностные уравнения находили ранее и находят сейчас многочисленные приложения в различных областях естествознания. Благодаря этому и обилию специфических свойств решений разностные уравнения все чаще становились объектом исследования многих математиков. Поэтому в настоящее время в математической литературе имеется большое количество работ, в которых исследованы многие проблемы их теории. Прежде всего это касается дискретных разностных уравнений, которые находят широкие приложения в автоматическом регулировании, автоматике и телемеханике, при изучении биофизических проблем и т.п. Разностные уравнения с непрерывным аргументом также активно изучались многими математиками, и особенно после опубликования работ Биркгофа и его учеников, в которых были заложены основы теории линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом. Тем не менее, в современной теории разностных уравнений с непрерывным аргументом имеются вопросы, которые ждут своего решения. К ним, в частности, относятся вопросы существования непрерывных решений широких классов таких уравнений с линейными отклонениями аргумента, исследование структуры их множества и изучение асимптотических свойств. Именно эти вопросы изучаются в настоящей работе.

В диссертационной работе исследовано структуру множества непрерывных решений систем разностных уравнений с линейными отклонениями аргумента. Для систем разностных уравнений с постоянными отклонениями аргумента установлены условия существования непрерывных, непрерывных периодических решений и предложен метод их построения. Для систем линейных функционально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами получены достаточные условия существования и единственности непрерывного периодического решения, предложен метод построения и исследованы его свойства. Разработан метод построения непрерывных ограниченных при () решений систем линейных функционально-разностных уравнений, исследовано структуру их множества и изучены свойства при (). Для нелинейных систем функционально-разностных уравнений доказано существование глобального решения и изучено его свойства. Установлены условия существования и разработан метод построения непрерывных ограниченных при () решений систем нелинейных функционально-разностных уравнений с линейными отклонениями аргумента.

Ключевые слова: функционально-разностное уравнение, непрерывное решение, отклонение аргумента, глобальное решение.

Sivak O.A. The research of the structure of the set of continuous solutions of the systems of difference equations with continuous argument. - Manuscript.

The dissertation to obtain the scientific degree of the Candidate of sciences physics and mathematics in the speciality 01.01.02 - differential equations. - The National Technical University of Ukraine “KPI”, Kyiv, 2009.

The structure of the set of continuous solutions of the systems difference equations with linear deviations argument in the dissertation has been investigated. Sufficient conditions of the existence of continuous solutions for the systems of linear functional difference equations has been established, the one method of their construction has been suggested and the behaviors these solutions at () has been investigated. The structure of the set of continuous solutions of the systems difference equations with constant and change deviations argument has been investigated. The theorem about the existence and uniqueness of continuous T-periodic solution has been investigated for the systems of linear functional difference equations with T-periodic coefficients. It is needed to mark, that the method of investigation to this theorem give possibility to construct the periodic solution and to investigated its properties. The existence of the global solution has been proved for the systems of nonlinear functional difference equations. The structure of the set of continuous at () solutions that to be in its neighborhood has been investigated. The method of construction of continuous limited at () solutions has been suggested of the systems nonlinear functional difference equations and their properties has been investigated.

Key words: functional difference equation, continuous solution, deviation argument, global solution.

Размещено на Allbest.ru

...