Траєкторний підхід і (C, F)-конструкція в ергодичній теорії

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ІМ. Б.І. ВЄРКІНА

01.01.01. математичний аналіз

УДК 517.987.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ТРАЄКТОРНИЙ ПІДХІД І (C, F)-КОНСТРУКЦІЯ В ЕРГОДИЧНІЙ ТЕОРІЇ

Даниленко Олександр

Іванович

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України (м. Харків).

Офіційні опоненти доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Коляда Сергій Федорович, Інститут математики НАН України (м. Київ) провідний науковий співробітник;

доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Нессонов Микола Іванович, Фізико-технічний інституті низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України (м. Харків) старший науковий співробітник;

доктор фіз.-мат. наук, старший науковий співробітник Рижиков Валерій Валентинович, Московський державний університет (м. Москва), професор кафедри теорії функцій і функціонального аналізу

Захист відбудеться « 24 » грудня 2008 р. о 14.30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 за адресою: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України, пр. Леніна, 47, Харків, 61103.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України за адресою: пр. Леніна, 47, Харків, 61103.

Автореферат розісланий "____" листопада 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Горькавий В. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ. Ергодична теорія вивчає вимірні динамічні системи, що складаються з "фазового" простору, "часу" (тобто групової дії на фазовому просторі) і "фазового об`єму" (тобто міри на фазовому просторі, яка є або інваріантною, або квазі-інваріантною відносно обраної групової дії). Такі системи або природно з`являються в різних галузях математики: класичній механіці, диференціальній геометрії, теорії випадкових процесів, операторних алгебрах, теорії зображень, або конструюються штучно для вирішення нетривіальних проблем з теорії лічб, комбінаторики, та ін., як, наприклад, «динамічне» доведення теореми Шемереді Фюрстенбергом. Становлення ергодичної теорії як окремої дисципліни пов`язують з іменами фон Ноймана, Какутані, Халмоша, Хопфа. Сучасний підхід до вивчення вимірних систем сформувався в роботах Колмогорова, Рохліна, Сіная, Фюрстенберга, Орнстейна, Вайса, Рудольфа, Вершика, Катка, Стьопіна та ін. Серед основних напрямків ергодичної теорії відзначимо дослідження динамічних властивостей групових дій як асимптотичного характеру (ергодичність, перемішування, бернулієвість, тощо) так і неасимтотичного (опис централізатора, факторів, джойнінгів, тощо); класифікація систем та пошук зручних класифікаційних інваріантів; опис типових за Бером властивостей для тих чи інших класів динамічних систем. Бурхливо розвивається ергодична теорія і нині. Відзначимо нещодавні видатні результати щодо слабкого перемішування перекладувань відрізків (Авіла, Форні), істотний прогрес у вивчені дій неаменабельних груп (Фурман, Попа, Хйорс), побудову загальної «орбітальної теорії з обмеженнями» (Рудольф, Камейер), тощо.

Якщо в класичній ергодичній теорії динамічні системи вивчаються з точністю до спряження, то в траєкторній теорії - з точністю до більш слабкої орбітальної еквівалентності. Тобто замість систем розглядаються відповідні траєкторні відношення еквівалентності. (Для «відновлення» динамічної системи з такого відношення еквівалентності треба ще «упорядкувати» кожну орбіту.) Фундаментальні теореми Дая, Кригера та їх узагальнення, що належать Конну, Фельдману, Вайсу, Голодцю, Синельщикову, Безуглому, Рубштейну, Федорову, Зіммеру дають повну траєкторну класифікацію ергодичних аменабельних систем і їх коциклів зі значеннями в локально компактних групах. Побудована також і змістовна структурна теорія для коциклів. Однак цей прогрес тривалий час не знаходив застосувань в класичній ергодичній теорії. Яскравим винятком є робота Рудольфа і Вайса (2000 р.) про рівномірне перемішування аменабельних дій з цілком позивною ентропією, де було встановлено, що умовна ентропія є інваріантом фактор-орбітальної еквівалентності. Ця робота стала відправною точкою для «перенесення» змістовних теорем ентропійної теорії з дій на дії довільних аменабельних груп.

Відмітимо, що траєкторний підхід є одним з головних методів, що використовується в дисертації при вирішення різноманітних проблем ергодичної теорії. Саме він і поєднує окремі частини дисертації в єдину роботу. Інший метод, який широко використовується в дисертації, є пов`язаним з так званою (C,F)-конструкцією динамічних систем. Ця алгебраїчна конструкція вперше з`явилася (в дещо іншому, ніж в дисертації, вигляді) в роботі дель Хунко (1998 р.) як абстрактний аналог широко відомої геометричного метода розрізання-та-стиковки, започаткованого ще в класичних роботах Орнстейна та Чакона для побудови перетворень інтервалу. (C,F)-конструкція дозволяє будувати дії довільних локально компактних груп (як такі, що зберігають міру, так і чисто несингулярні). Більш того, (C,F)-дії за будовою є топологічними на локально компактному просторі з цікавими топологічними властивостями і можуть в подальшому вивчатися в топологічній динаміці. Відмітимо, що конструкція дозволяє моделювати дії з нетривіальними властивостями, як наприклад, перемішувальні дії рангу один, для «складних» (тобто відмінних від класичних або ) груп, що є відкритою проблемою в сучасній ергодичній теорії. З іншого боку, навіть для отримання -дій з заданими властивостями (тобто в класичному випадку) в дисертації інколи використовується метод допоміжних групових дій, суть якого полягає в тому, щоб спочатку побувати допоміжну (C,F)-дію деякої більшої групи, а далі звузити отриману дію на . Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тему дисертаційної роботи затверджено на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ ім. Б. І. Веркіна НАН України (протокол № 5 від 26 листопада 2004 року). Дослідження, що складають основу роботи, проводились у відділі теорії функцій ФТІНТ у рамках тем ''Методи комплексного аналізу та їх застосування в спектральній теорії, математичній статистиці, теорії диференціальних рівнянь і проблемі моментів'' (номер державної реєстрації 0102U000321), ''Теорія функцій та її застосування в спектральній теорії, аналітичних проблемах математичної статистики, теорії диференціальних рівнянь, ергодичної теорії'' (номер державної реєстрації 0105U001053) та ''Теорія функцій та її застосування в теорії операторів, аналітичних проблемах теорії ймовірностей, теорії диференціальних і функціональних рівнянь, ергодичній теорії'' (номер державної реєстрації. ентропійний аменабельний інваріантний рекурентність

(0108U000053). Крім того в дисертацію включені результати, отримані в межах проектів міжнародного співробітництва: грант ISF No U2B000, грант INTAS 97-1843, грант CRDF UM1-2092, грант COBASE INT-0002341, грант CDRF UM1-2546. Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є вирішення низки проблем ергодичної теорії за допомогою систематичного використання траєкторних методів, а також побудова низки змістовних прикладів динамічних систем в рамках (C,F)-конструкції.

Об'єктом дослідження є динамічні системи.

Предметом дослідження є ергодичні дії дискретних злічених, а також локально компактних польських груп на стандартних борелівських просторах, споряджених інваріантною або квазі-інваріантною мірою.

Серед методів дослідження виділимо методи траєкторної теорії, загальної топології, функціонального аналізу, спектральної теорії, теорії міри.

Основними задачами дослідження є:

· вирішення низки проблем ``ліфтінгу'' для локально компактних расширень динамічних систем за допомогою траєкторної теорії коціклів,

· побудова ентропійної теорії аменабельних дій на основі траєкторної теорії та класичної ентропійної теорії -дій,

· побудова низки прикладів динамічних систем з квазі-інваріантною (або нескінченною) мірою з ``некласичними'' властивостями слабкого перемішування і кратної рекурентності,

· побудова динамічних систем зі скінченною інваріантною мірою: перемішувальних дій рангу один, приблизно простих дій, а також явне вирішення проблеми Рохліна про однорідний спектр.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі результати дисертації є новими. Розроблено новий, побудований на траєкторній теорії, підхід до вивчення централізатора ергодичних локально компактних розширень динамічних систем. Вирішено наступні задачі:

· побудована ентропійна теорія коциклів ергодичних відношень еквівалентності, яка дозволила отримати низку нових результатів з ентропійної теорії аменабельних дій;

· побудовано явні приклади слабко перемішувальних перетворень з однорідним спектром довільної кратності (проблема Рохліна про спектральні кратності);

· побудована теорія приблизно простих дій, наведено приклад квазіпростого перетворення, що є диз`юнктним з усіма простими;

· запропонована (стохастична) конструкція перемішувальних дій рангу один для злічених прямих сум скінчених груп; доведено, що ці дії мають властивість приблизно MSJ;

· побудовані перемішувальні дії рангу один для ко-компактних підгруп в (явні конструкції з поліноміальними вставками);

· доведено, що несингулярні перетворення Чакона з роботи Хамачі-Сільви є степенево слабко перемішувальними;

· запропонована конструкція перетворень рангу один з нескінченою інваріантною мірою, які є кратно рекурентними, але не поліноміально рекурентними;

· побудовано абелеві дії дивного рангу один типу і (за Крігером) з довільним асоційованим АТ-потоком, які мають різні «некласичні» властивості слабкого перемішування;

· одержано опис гомотопічної структури повних ергодичних груп перетворень та їх нормалізаторів;

· обчислено інваріант Даджані для типових (за Бером) Н-коциклів;

· вирішена проблема класифікації локально компактних мінімальних канторовських систем відносно сильної топологічної орбітальної еквівалентності.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Результати та розвинені методи можуть бути використані в ентропійній теорії аменабельних дій, спектральній теорії, при побудові дій дивного рангу один з різними динамічними властивостями, вивченні коциклів ергодичних відношень еквівалентності, для класифікації немінімальних канторовських систем в топологічній динаміці.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно. З робіт, виконаних у співавторстві, на захист виносяться лише положення, в доведеннях яких внесок здобувача був вирішальним.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на наступних міжнародних наукових конференціях, присвячених ергодичній теорії та динамічним системам: Conference on Ergodic Theory and Symbolic Dynamics, Хуранев, Чехія, 1996; Conference on Ergodic Theory and Dynamical Systems, Шклярська Поренба,

Результати розділу 4 опубліковані в роботах [19]--[23].

ВИСНОВКИ

В дисертації запропоновано систематичне впровадження траєкторних методів для вирішення актуальних проблем ергодичної теорії, які, на перший погляд, не мають прямого відношення до траєкторної теорії. Побудована ентропійна теорія для коциклів Рохліна гіперфінітних відношень еквівалентності. Вона використана для доведення наступних тверджень: умовної версії теореми Крігера про існування скінченних генераторів, узагальнення теореми Смородинського-Тувено про існування 3 бернулівських факторів, що вичерпують всю -алгебру, на дії аменабельних груп та ін. Встановлено існування некоалесцентних та стисканих локально компактних ергодичних розширень динамічних систем. Доведена стягуваність ергодичних повних груп різних типів Крігера, а у випадку, коли ці групи є гіперфінітними, описана гомотопічна структура їх нормалізаторів в звичайних польських топологіях. Обчислено інваріант Даджані для типових (за Бером) коциклів зі значеннями в локально компактних групових розширеннях з фіксованою рекурентною проекцією. В дисертації також розроблена абстрактна (алгебраїчна) конструкція дій дивного рангу один для довільних локально компактних польських груп, так звана (С,F)-конструкція. Вона (вперше з'явилася в роботі дель Хунко в 1998) є узагальненням добре відомої в ергодичній теорії геометричної процедури розрізання-та-стиковки. (С,F)-конструкція використана для побудови низки прикладів перетворень, а також групових дій з нескінченною інваріантною мірою (а також типу ІІІ), що мають незвичайні (тобто неможливі у класичному випадку скінченної інваріантної міри) властивості слабкого перемішування і кратної, а також поліноміальної рекурентності. Одержано відповідь на запитання Хамачі-Сільви: несингулярні перетворення Чакона з їх роботи є степенево слабко перемішуючими. Знайдено необхідні і достатні умови для строгої орбітальної еквівалентності локально компактних некомпактних мінімальних систем Кантора та побудовано приклади таких систем. Одержано конструктивну відповідь на питання Рохліна: чи існують ергодичні перетворення з однорідним спектром довільної кратності? Введено концепцію приблизно простих дій. Розроблена відповідна теорія, що узагальнює теорію простих дій. Вона застосовується для побудови квазіпростого перетворення, яке є диз'юнктним з усіма простими. Це відповідає на запитання Тувено, дель Хунко і Леманьчика. Для зліченних груп, які є прямими сумами скінчених груп, побудовано (стохастичними методами) незліченні родини попарно диз'юнктних перемішувальних дій рангу один. Доведено, що ці дії мають властивість приблизно MSJ. Запропоновано явні (не стохастичні) конструкції перемішу вальних дій рангу один для ко-компактних підгруп в .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

[1] A. I. Danilenko. On cocycles compatible with normalizers of full groups of measure space transformations // Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr. 1994. No 7. P. 14-17 .

[2] A. I. Danilenko. The topological structure of Polish groups and groupoids of measure space transformations // Publ. RIMS Kyoto Univ. 1995. V. 31. P. 913-940.

[3] A. I. Danilenko and V. Ya. Golodets. On extension of cocycles to normalizer elements, outer conjugacy and related problems // Trans. Amer. Math. Soc. 1996. V. 348. P. 4857-4882.

[4] A. I. Danilenko. Comparison of cocycles of measured equivalence relations and lifting problems // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 1998. V. 18. P. 125-151.

[5] A. I. Danilenko. On non-coalescent ergodic skew products and semigroups of their commutors // Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr. 1998. No 9. P. 17-21.

[6] A. I. Danilenko. Quasinormal subrelations of ergodic equivalrence relations // Proc. Amer. Math. Soc. 1998 V. 126. P. 3361-3370.

[7] A. I. Danilenko. Endomorphisms of measured equivalence relations, cocycles with values in non locally compact groups and applications // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 1999. V.19. P. 571--590.

[8] A. I. Danilenko and M. Lemanczyk. Isometric extensions, 2-cocycles and ergodicity of skew products // Studia Math. 1999. V. 137. P. 123-142.

[9] A. I. Danilenko. On subrelations of ergodic measured type III equivalence relations // Colloq. Math. 2000. V. 84/85. P. 13-22.

[10] A. I. Danilenko and T. Hamachi. On measure theoretical analogues of the Takesaki structure theorem for type III factors // Colloq. Math. 2000. V.84/85. P. 485-493.

[11] A. I. Danilenko. On cocycles with values in group extensions. Generic results // Matemat. Fizika, Analiz, Geometriya. 2000. V. 7. P. 153-171.

[12] A. I. Danilenko. Strong orbit equivalence of locally compact Cantor minimal systems // Internat. J. Math. 2001. V. 12. P. 113-123.

[13] A. I. Danilenko. Funny rank-one weak mixing for nonsingular Abelian actions // Isr. J. Math. 2001. V. 121. P. 29-54.

[14] A. I. Danilenko. Entropy theory from orbital point of view // Monatsh. Math. 2001. V.134. P. 121-141.

[15] A. I. Danilenko and K. K. Park. Generators and Bernoullian factors for amenable actions and cocycles on their orbits // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 2002. V. 22. P. 1715-1745.

[16] A. I. Danilenko and C. E. Silva. Multiple and polynomial recurrence for abelian actions in infinite measure // J. London Math. Soc. 2004. V. 69. P. 183-200.

[17] A. I. Danilenko. Infinite rank one actions and nonsingular Chacon transformations // Illinois J. Math. 2004. V. 48. P. 769-786.

[18] A. I. Danilenko and M. Lemanczyk. A class of multipliers for // Isr. J. Math. 2005. V. 148. P. 137-168.

[19] A. I. Danilenko. Explicit solution of Rokhlin's problem on homogeneous spectrum and applications // Ergod. Th. & Dyn. Syst. 2006. V. 26. P. 1467-1490.

[20] A. I. Danilenko. Mixing rank-one actions for infinite sums of finite groups // Isr. J. Math. 2006. V. 156. P. 341-358.

[21] A. I. Danilenko and C. E. Silva. Mixing rank-one actions of locally compact Abelian groups // Ann. Inst. H. Poincare, Probab. Statist. 2007. V. 43. P. 375-398.

[22] A. I. Danilenko. On simplicity concepts for ergodic actions // J. d'Anal. Math. 2007. V. 102. P. 77-118.

[23] A. I. Danilenko. (C,F)-actions in ergodic theory // Progr. in Math. 2007. V. 265. P. 325-351.

АНОТАЦІЯ

Даниленко О.І. Траєкторний підхід і (C, F)-конструкція в ергодичній теорії. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 - математичний аналіз. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

Отримано опис гомотопічної структури повних груп ергодичних перетворень та їх нормалізаторів, знаряджених природними польськими топологіями. Обчислено інваріант Даджані для залишкової множини Н-коциклів. Доведено, що несингулярні перетворення Чакона з роботи Хамачі-Сільви є слабко перемішувальними. Побудовано низку прикладів абелевих дій типу і з «некласичними» властивостями слабкого перемішування і кратної рекурентності. Теорема Смородинського-Тувено про три бернулівських фактора узагальнена на дії зліченних аменабельних груп. Побудовані явні приклади ергодичних перетворень з однорідним спектром довільної кратності. Розвинута теорія приблизно простих дій. Наведено приклад квазіпростого перетворення, який є диз'юнктним з усіма простими. Для зліченних прямих сум скінченних груп побудовано незліченну родину попарно диз'юнктних перемішувальних дій рангу один зі властивістю приблизно MSJ. Для ко-компактних підгруп в побудовано конкретні (нестохастичні) перемішувальні дій рангу один.

Ключові слова: ергодичні динамічні системи, коцикли, асоційована дія, ентропія, дії рангу один, джойнінги, перемішування, спектральна кратність.

Даниленко А. І. Траекторный подход и (C, F)-конструкция в эргодической теории. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2008.

В диссертации решаются разнообразные проблемы эргодической теории применением траекторных методов и обобщенной конструкции «разрезания-и-стыковки». В первом разделе описано современное состояние измеримой траекторной теории и ее приложений в эргодической теории, приведены мотивировки задач, которые в дальнейшем решаются в диссертации.

Во втором разделе доказана стягиваемость эргодических полных групп всех типов Кригера в равномерной топологии, а в гиперфинитном случае также охарактеризована гомотопическая структура нормализаторов этих полных групп (за исключением типа типа ), снабженных естественной польской топологией. Траекторная теория для коциклов со значениями в аменабельных группах применяется для изучения проблем лифтинга автоморфизмов динамических систем в централизатор локально компактных расширений этих систем. Доказано существование «сжимаемых», а также некоалесцентных эргодических локально компактных расширений динамических систем. Вычислен инвариант Даджани для остаточного множества коциклов со значениями в групповом расширении и фиксированной рекуррентной проекцией, что позволило ответить на вопрос Даджани о типичности H-коциклов. Построена энтропийная теория для коциклов Рохлина эргодических отношений эквивалентности. На ее основе получено новое, чисто траекторное доказательство теоремы Рудольфа-Вайса о равномерном перемешивании аменабельных действий с вполне положительной энтропией. Доказан условный аналог теоремы Кригера об образующих разбиениях. Теорема Смородинского-Тувено об исчерпывающих трех бернуллиевских факторах обобщена на действия дискретных счетных аменабельных групп.

В третьем разделе введена (С,F)-конструкция. Она используется для построения несингулярных действий абелевых групп странного ранга один с ``неклассическим'' слабым перемешиванием и произвольным AT-потоком в качестве ассоциированного потока. Также построены не 2-рекуррентные абелевы действия с бесконечной инвариантной мерой такие, что каждое преобразование из этого действия является жестким, а следовательно кратно рекуррентным. Изучена полиномиальная рекуррентность преобразований с бесконечной инвариантной мерой. Приведены примеры жестких преобразований, которые не являются 2-полиномиально рекуррентными. построены преобразования с произвольным индексом полиномиальной рекуррентности, доказано что полиномиально рекуррентные преобразования образуют остаточное множество в группе всех преобразований, сохраняющих бесконечную инвариантную меру. Доказано, что класс несингулярных преобразований Чакона, введенных в работе Хамачи-Сильвы, обладает свойством степенно слабого перемешивания. Рассмотрены локально компактные некомпактные минимальные системы Кантора. Для них найдены необходимые и достаточные условия строгой топологической орбитальной эквивалентности как в терминах ассоциированных диаграмм Браттели так и -функтора.

В четвертом разделе рассматриваются действия с конечной инвариантной мерой. Найдено упрощенное (категорное) доказательство теоремы Агеева о существовании эргодических автоморфизмов с однородным спектром произвольном кратности. С помощью (C,F)-конструкции построены явные примеры таких автоморфизмов. Введены понятия примерно простых действий и примерно MSJ действий, обобщающие классические понятия простоты и MSJ. Построена соответствующая теория. В частности, доказан аналог теоремы Вича об алгебраической структуре факторов для примерно простых действий. Методом вспомогательных (C,F)-действий построен почти простой автоморфизм, дизъюнктный со всеми простыми. Построено несчетное семейство попарно дизъюнктных перемешиваюших действий ранга один для счетных сумм конечных групп. Все они обладают свойством примерно MSJ и перемешивания всех порядков. С помощью явных (нестохастических) конструкций типа лестничной c полиномиальными вставками построены перемешивающие действия ранга один для групп вида .

Ключевые слова: эргодические динамические системы, коциклы, ассоциированные действия, энтропия, действие ранга один, джойнинги, перемешивание, спектральная кратность.

Danilenko A. I. Orbital approach and (C,F)-construction in ergodic theory. - Manuscript.

Thesis to acquire a scientific degree of doctor of science in physics and mathematics by speciality 01.01.01 - mathematical analysis. - B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering, NAS of Ukraine, Kharkiv, 2008.

Homotopical structure of full groups of ergodic transformations and their normalizers equipped with their natural Polish topologies is described. Dajani's invariant is calculated for a residual subset of H-cocycles. It is shown that nonsingular Chacon maps from the paper by Hamachi and Silva are power weakly mixing. A family of Abelian actions of type and with “nonclassical” properties of weak mixing and multiple recurrence is constructed. Smorodinsky-Thouvenot theorem on three Bernoullian factors is generalized to actions of countable amenable groups. Explicit examples of ergodic transformations with homogeneous spectrum of arbitrary multiplicity are constructed. A theory of near simple actions is constructed. A quasi-simple transformation disjoint with all simple maps is constructed. For countable direct sums of finite groups, it is constructed an uncountable family of pairwise disjoint mixing actions of rank one. These actions are near MSJ. For co-compact subgroups in , concrete (non-stochastic) mixing actions of rank one are constructed.

Key words: ergodic dynamical systems, cocycles, associated action, entropy, actions of rank one, joinings, mixing, spectral multiplicity.

Размещено на Allbest.ru