Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 512.664.4

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Гомології моноїдів

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Полякова Людмила Юріївна

Київ--2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій та функціонального аналізу Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор Новіков Борис Володимирович, Харківський національний університет імені В.Н.Каразіна, механіко-математичний факультет, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент Овсієнко Сергій Адамович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри та математичної логіки.

кандидат фізико-математичних наук, доцент, Гутік Олег Володимирович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри геометрії і топології.

Захист відбудеться 14 грудня 2009 року на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 10 листопада 2009 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В. Плахотник.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Гомології напівгруп і моноїдів було визначено ще в роботах С. Ейленберга та С. Маклейна у середині XX століття Eilenberg S. MacLane S. Homology theories for multiplicative systems // Trans. AMS, 71. - 1951. - P. 294-330.^, Картан А., Эйленберг C. Гомологическая алгебра - М.: Изд-во иностранной литературы, 1960 - 510 с.^, Маклейн С. Гомология. - М.: Мир, 1966. - 543 c., однак, надалі вони не зазнали широкого вжитку й виявилися менш вивченими, ніж когомології напівгруп. Проте в останні два десятиліття спостерігається зацікавленість вивченням гомологій напівгруп, вони знаходять своє застосування при розв'язанні низки задач.

Наприклад, добре відомо, що у випадку, коли група є групою дробів свого підмоноїда , кожен -модуль є також і -модулем і . У цій ситуації П. Дегорно й І. Лафон будують вільні резольвенти для моноїдів, які дозволяють, зокрема, обчислювати гомології деяких груп кіс.

Роботи К. Сквайра дали поштовх до застосування гомологічних мето-дів у дослідженні козображень і систем переписування моноїдів. З іншого боку, підхід Сквайра одержав подальший розвиток, наприклад, у роботах Ю. Кобаясі, в яких було описано спосіб побудови вільної резольвенти для моноїдів, які мають повну систему переписування, що, у свою чергу, дозволяє знаходити їхні гомології.

Н. Рушкук, К. Кемпбел й інші автори вивчають ефективні й неефективні напівгрупи, означення яких безпосередньо пов'язане з їхньою другою групою гомологій.

Гомології вільних частково комутативних моноїдів з'явилися в роботах А. А. Хусаїнова у зв'язку з побудовою груп гомологій асинхронних систем переходів. Хусаїнов сформулював наступну гіпотезу: Husainov A. A. On the homology of monoids and distributed systems // 5th International Algebraic Conference in Ukraine: abstracts. - Odessa, 2005. - P. 88.

Гіпотеза. Нехай вільний частково комутативний моноїд, множиною твірних якого є скінченна множина . Гомологічна розмірність не перевищує натурального , якщо не існує попарно різних твірних , для яких для всіх .

Її доведення дозволить сказати більше про властивості вільних частково комутативних моноїдів й асинхронних систем переходів.

Появі нових задач у цій області сприяє також дуальність понять когомологій і гомологій. Якщо напівгрупа містить нуль, то її гомології й когомології тривіальні. Б. В. Новіков побудував так звані 0-когомології напівгруп, які, взагалі кажучи, виявляються нетривіальними для напівгруп з нулем. Більше того, якщо містить 0, то можна побудувати напівгрупу , що називається 0-рефлектором напівгрупи , звичайні групи когомологій якої тісно пов'язані з 0-когомологіями . Наприклад, для категорійних у нулі напівгруп ці групи ізоморфні в кожній розмірності. Зокрема, 0-когомології дозволяють у деяких випадках обчислювати звичайні групи когомологій напівгруп. Ці результати спонукають до розгляду питань про існування, властивості та зв'язок зі звичайними гомологіями 0-гомологій напівгруп за аналогією з 0-когомологіями.

Важливим аспектом алгебраїчної теорії кодування є «вивчення скінченних абелевих груп на рівні підмножин» Берлекэмп Э. Р. Алгебраическая теория кодирования М.: Мир, 1971 . 477 с., Предисловие редактора перевода С. Бермана с. 6..

Б. В. Новіков визначив дефект двійкового коду як міру відхилення цього коду від лінійного й розглянув коди дефектів 1 і 2. Основну роль в описі цих кодів зіграли так звані стандартні коди. Природним чином виникає задача про опис кодів дефектів більших 2 у припущенні, що стандартні коди мають вирішальне значення й у цьому випадку. Один з можливих шляхів розв'язання цієї проблеми може бути пов'язаним зі застосуванням гомологічних методів. гомологічний моноїд резольвента

Таким чином, виникнення останнім часом гомологій моноїдів у різних задачах свідчить про необхідність їхнього подальшого вивчення й розробки методів обчислення та обумовлює актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано на кафедрі теорії функцій та функціонального аналізу Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Дослідження проводилися в рамках теми "Алгебраїчні й аналітичні методи дослідження груп, класів функцій, операторів і пов'язаних з ними об'єктів" (номер державної реєстрації 0106U003141).

Мета й задачі дослідження. Метою роботи є розробка методів обчислення гомологій моноїдів, опис гомологічних властивостей вільних частково комутативних моноїдів і гомологічних властивостей кодів, близьких до лінійних. Для досягнення поставленої мети розв'язуються наступні задачі:

побудова теорії 0-гомологій напівгруп, з'ясування їхнього зв'язку з гомологіями напівгруп;

обчислення класичних гомологій напівгруп за допомогою 0-гомологій ;

побудова вільної резольвенти для вільних частково комутативних моноїдів, обчислення гомологій таких моноїдів за допомогою резольвенти;

доведення гіпотези Хусаїнова про гомологічну розмірність скінченного породженого вільного частково комутативного моноїда;

опис кодів, близьких до лінійних;

з'ясування властивостей гомологічної складності коду.

Об'єктом дослідження є гомології напівгруп і моноїдів. Предметом дослідження є 0-гомології напівгруп, гомології вільних частково комутативних моноїдів, коди, близькі до лінійних.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи гомологічної алгебри й теорії напівгруп. У розділі 2 для доведення ізоморфізмів груп гомологій застосовуються ланцюгові комплекси та використовується метод «часткової» гомотопічної еквівалентності.

У розділі 3 для побудови резольвенти використовується розкладання моноїда у вільний або вільний амальгамований добуток підмоноїдів, а також методи комбінаторики та специфічні інструменти теорії вільних частково комутативних моноїдів: проектування на вільні моноїди, нормальні форми. При вивченні кодів, близьких до лінійних, використовуються також методи теорії графів.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі вперше отримано такі результати:

встановлено, що нульові й перші групи 0-гомологій напівгрупи ізоморфні відповідним групам гомологій Ейленберга-Маклейна її 0-рефлектора, встановлено епіморфізм других груп гомологій;

встановлено ізоморфізм груп 0-гомологій категорійної в нулі напівгрупи й груп гомологій її 0-рефлектора в усіх розмірностях;

отримано опис груп гомологій вільного добутку напівгруп;

побудовано вільну резольвенту для вільного частково комутативного моноїда;

доведено гіпотезу Хусаїнова про гомологічну розмірність скінченно породженого вільного частково комутативного моноїда;

доведено ізоморфізм груп гомологій вільного частково комутативного моноїда й груп 0-гомологій напівгрупи повних підграфів цього моноїда в деяких розмірностях;

описано коди дефекту 3;

знайдено необхідні й достатні умови рівності дефекту коду і його гомологічної складності, обчислено гомологічну складність кодів дефектів 1, 2, 3.

Практичне значення отриманих результатів. Результати мають теоретичний характер і можуть використовуватися в гомологічній алгебрі й теорії напівгруп для подальшого вивчення гомологій моноїдів, у теоретичній інформатиці для подальшого дослідження вільних частково комутативних моноїдів й асинхронних систем переходів, у кодуванні для подальшого виявлення властивостей кодів, близьких до лінійних.

Особистий внесок здобувача. Усі результати роботи отримано автором особисто. Постановки задач і загальне керівництво роботою належать науковому керівникові Б. В. Новікову.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на засіданнях Харківського міського алгебраїчного семінару, на алгебраїчному семінарі в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, на семінарі факультету математики й інформатики Вільного Університету Берліна, на ІV літній школі «Algebra, Topology, Functіonal and Stochastіc Analysіs» (Львів - Козьова, 2006 р.), на V Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Одеса, 2005 р.), на VІ Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (Кам'янець-Подільський, 2007 р.), на конференції «Сучасні проблеми механіки та математики» (Львів, 2008 р.)

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 4 наукових статтях [1] - [4], у тому числі двох без співавторів, і в 4 збірниках тез доповідей наукових конференцій [5] - [8].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Повний обсяг роботи - 121 сторінка, основний зміст роботи викладено на 113 сторінках, список використаних джерел містить 66 найменувань.

Автор щиро вдячна своєму науковому керівникові доктору фізико-математичних наук професору Б. В. Новікову за постійну увагу до роботи й підтримку.

Основний зміст роботи

Усі означення й теореми наводяться в авторефераті під тими номерами, які вони мають у дисертації.

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету й задачі дослідження, вказано об'єкт, предмет і методи дослідження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значення, особистий внесок здобувача. Також наведено короткий зміст, основні результати дисертації, інформацію про апробацію результатів роботи й публікації.

Розділ 1 містить огляд літератури за темою дисертації і відображення сучасного стану проблеми.

У роботах С. Ейленберга та С. Маклейна було вперше визначено гомології напівгруп та моноїдів і наведено стандартні резольвенти для їх обчислення.

Гомології моноїда є частковим випадком гомологій Гохшильда його моноїдного кільця, а А. Картаном та С. Ейленбергом встановлено, що гомології моноїда та його групи часток збігаються. Ці зауваження роблять гомології моноїдів корисними для з'ясування властивостей гомологій груп та алгебр.

У роботах К. Сквайра, Ю. Кобаясі, І. Лафона, С. Прайда, В. Губи, Ф. Отто та ін. гомології напівгруп і моноїдів виникають при розв'язанні алгоритмічних проблем теорії напівгруп, деяких задач теоретичної інформатики. У свою чергу в роботах Ю. Кобаясі, Д. Аніка інструменти теоретичної інформатики (такі, наприклад, як системи переписування моноїдів) використовуються для побудови резольвент моноїдів.

Також в цьому розділі дано короткий огляд робіт, присвячених вільним частково комутативним моноїдам і застосуванню їхніх гомологій. А. Хусаїновим встановлено, що групи гомологій асинхронної системи переходів дорівнюють групам гомологій деякого вільного частково комутативного моноїда.

Основний об'єкт дослідження - гомології напівгрупи (моноїда) визначається наступним чином:

Означення 1.1.1. Картан А. Гомологическая алгебра / А. Картан, С. Эйленберг; пер. с англ. Е. Г. Шульгейфер - М.: Изд-во иностранной литературы, 1960 - 510 с. Групи гомологій (Ейленберга-Маклейна) з коефіцієнтами у деякому -модулі задаються рівністю

,

де Tor - похідний функтор функтора тензорного добутку , а розглядається як тривіальний -модуль.

Визначені в такий спосіб групи гомологій правильніше називати лівими, оскільки функтор має своїм аргументом ліві модулі. Праві групи гомологій визначаються аналогічно. Слід зазначити, що для груп поняття лівих і правих груп гомологій збігаються, оскільки кожен лівий модуль над групою можна перетворити в правий модуль над цією групою. Для напівгруп (моноїдів) ці поняття збігаються, якщо напівгрупа має антиізоморфізм на себе. У загальному випадку, однак, праві й ліві групи гомологій різні. У даній роботі ми розглядаємо ліві групи гомологій, не вказуючи на це щораз окремо. Загальна домовленість про модулі така: модулі, що входять у резольвенти, завжди ліві, модулі, з яких беруться коефіцієнти гомологій, завжди праві. Для запобігання плутанині, у деяких випадках ми вказуємо спеціально, який з цих типів модулів розглядається.

Розділ 2 присвячено визначенню та побудові 0-гомологій напівгруп, з'ясуванню їхніх властивостей, зв'язку з класичними гомологіями й обчисленню гомологій напівгруп за допомогою 0-гомологій.

Наведемо необхідні означення й позначення. Через позначатимемо категорію напівгруп. Розглянемо - категорію, об'єктами якої є напівгрупи з нулем, а морфізмами - такі відображення , що , і , якщо (0-гомоморфізми). Підкатегорія категорії , об'єктами якої є напівгрупи із зовнішньо приєднаним нулем, ізоморфна категорії . Тому будемо розглядати як підкатегорію в .

Означення 2.1.1. Підкатегорія категорії називається рефлективною, якщо кожному об'єкту можна поставити у відповідність об'єкт (який називається - рефлектором об'єкта ) і морфізм , такі, що для кожного діаграма

однозначно доповнюється до комутативної морфізмом із .

Категорія рефлективна в , -рефлектор напівгрупи позначають через и називають 0-рефлектором. Явну конструкцію 0-рефлектора можна отримати також наступним чином. Нехай - напівгрупа з . Тоді вона може бути заданою деякими відмінними від 0 твірними й визначальними співвідношеннями:

(1)

Назвемо співвідношення нульовим, якщо значення слова у напівгрупі дорівнює 0.

Твердження 2.1.2. Якщо в (1) відкинути всі нульові визначальні співвідношення, то отримана напівгрупа буде 0-рефлектором напівгрупи .

Наступні поняття задають абелеву категорію, необхідну для побудови 0-гомологій.

Означення 2.1.4. 0-модулем над напівгрупою (з нулем 0) називається абелева група (в адитивному запису) така, що для , визначено добуток , який задовольняє при будь-яких , умови

;

якщо , то .

Гомоморфізмом 0-модуля в 0-модуль (над напівгрупою ) називається такий гомоморфізм абелевих груп , що для всіх , .

0-модулі над напівгрупою утворюють категорію , яка ізоморфна категорії звичайних модулів над напівгрупою .

Побудова 0-гомологій для напівгрупи з нулем 0 здійснюється у такий спосіб. Нехай - 0-модуль над . Через позначимо множину усіх таких наборів елементів , що . Через () позначимо множину (скінченних) лінійних комбінацій наборів із з коефіцієнтами в 0-модулі . Кожну таку лінійну комбінацію будемо записувати як і називати -вимірним 0-ланцюгом. Множиною 0-вимірних 0-ланцюгів вважатимемо .

Множини () є абелевими групами за додаванням. Визначимо граничні гомоморфізми на твірних груп 0-ланцюгів звичайним чином:

Означення 2.2.1. Групи , , назвемо групами -вимірних 0-гомологій напівгрупи з коефіцієнтами в 0-модулі .

На відміну від гомологій Ейленберга-Маклейна 0-гомології напівгруп, взагалі кажучи, нетривіальні для напівгруп з нулем. Причому класичні гомології є частковим випадком 0-гомологій, а саме група , де напівгрупа без нуля, збігається із групою , де це напівгрупа із зовнішньо приєднаним нулем.

Існує гомоморфізм з групи -вимірних 0-ланцюгів напівгрупи з нулем в групу -вимірних ланцюгів 0-рефлектора , який індукує гомоморфізм відповідних груп гомологій. Основні результати пов'язують 0-гомології напівгрупи з групами гомологій .

Теорема 2.3.1. ізоморфізм груп.

Твердження 2.3.6. епіморфізм груп.

Слід зазначити, що відображення , взагалі кажучи, не є ізоморфізмом, таким чином, 0-гомології не утворюють похідний функтор.

Означення 2.4.1. Напівгрупа називається категорійною в нулі, якщо з того, що , випливає, що або .

Теорема 2.4.2. Якщо напівгрупа категорійна в нулі, то відображення є ізоморфізмом для всіх і для будь-якого 0-модуля .

У пункті 2.5 показано, що 0-гомології напівгрупи із зовнішньо приєднаною одиницею збігаються з гомологіями напівгрупи , як і у випадку гомологій Ейленберга-Маклейна. При цьому для обчислення гомологій моноїда можна користуватися нормалізованим комплексом.

У заключному пункті другого розділу отримано деякі результати про категорійні в нулі напівгрупи та їхні 0-рефлектори. Кожна категорійна в нулі напівгрупа може бути задана у вигляді

, (2)

де , для всіх , а є таке відношення на множині , що .

Покладемо , . Нехай позначає довжину слова . Ми вважатимемо, що твірні напівгрупи ненульові і . Тоді виконується наступний критерій категорійної у нулі напівгрупи в термінах твірних і визначальних співвідношень:

Твердження 2.6.1. Нехай напівгрупа є вигляду (2). Нехай і , причому слова та можуть бути порожніми, і, якщо , то вважаємо (тут ). Напівгрупа категорійна в нулі тоді й лише тоді, коли та для всіх .

У твердженні 2.6.2 наведено необхідні та достатні умови 0-рефлектора категорійної в нулі напівгрупи , яку подано у вигляді (2). А саме, за твердженням 2.1.2 козображення для можна отримати з (2) відкиданням усіх співвідношень вигляду . При цьому виконується також обернене твердження: додавання деяких співвідношень вигляду (де твірні ) до визначальних співвідношень дозволяє одержати козображення напівгрупи .

У пункті 2.6 також наведено метод обчислення гомологій напівгруп за допомогою 0-гомологій. Основна ідея цього методу полягає в тому, що напівгрупа з нулем, як правило, влаштована простіше, ніж її 0-рефлектор, тому при обчисленні гомологій даної напівгрупи можна скористатися наступним прийомом: знайти напівгрупу , 0-рефлектор якої ізоморфний , і звести обчислення гомологій до обчислення 0-гомологій . Метод проілюстрований декількома прикладами. При цьому для знаходження 0-рефлекторів корисним виявляється твердження 2.6.4.

Нехай напівгрупу задано у вигляді

. (3)

Нехай . Через позначимо множину елементів , таких, що для всіх . Ця множина є ідеалом в , якщо вона не є порожньою.

Твердження 2.6.4. Нехай напівгрупу подано у вигляді (3) і . Якщо для всіх , то є 0-рефлектором факторнапівгрупи .

Зазначеним вище методом отримано, зокрема, опис груп гомологій вільного добутку напівгруп.

Твердження 2.6.13. є розширенням за допомогою.

Тут , де підгрупа в модулі , породжена елементами вигляду (), і визначається аналогічно.

У частковому випадку перша група гомологій є прямою сумою перших груп гомологій співмножників:

Наслідок 2.6.14. Якщо - тривіальний -модуль, то

.

Твердження 2.6.16. Нехай вільний добуток довільних напівгруп . Тоді для будь-якого -модуля (а отже, й -модуля) і .

Зазначимо, що результати для 0-гомологій напівгруп виявилися схожими з результатами для 0-когомологий напівгруп, однак, у доведеннях використовується інша техніка, при цьому для теореми про 0-гомології категорійної у нулі вдалося знайти коротше доведення, ніж для аналогічної теореми про 0-когомології. Новиков Б. В. О 0-когомологиях полугрупп / Б. В. Новиков // Теоретические и прикладные вопросы

дифференциальных уравнений и алгебра. - К.: Наукова думка, 1978. - С . 185-188.

Розділ 3 присвячений вільним частково комутативним моноїдам та їхнім гомологіям. У пункті 3.1 наводяться необхідні відомості про ці моноїди і про вільні амальгамовані добутки напівгруп. Кожен такий моноїд задається деякою непорожньою скінченною множиною твірних і відношенням комутативності :

Означення 3.1.1. Моноїд , що визначається козображенням

,

називається вільним частково комутативним моноїдом.

Оскільки множина твірних непорожня, то ми виключаємо з розгляду моноїди, що складаються лише з одиниці. Зокрема, всі вільні частково комутативні моноїди є нескінченними.

Зручно поставити у відповідність моноїду неорієнтований граф без петель, множиною вершин якого є , а ребра поєднують ті вершини, що комутують.

У пункті 3.1 також доводиться, що вільний частково комутативний моноїд допускає антиізоморфізм на себе, внаслідок чого його праві й ліві групи гомологій збігаються.

У пункті 3.2 отримано резольвенту для вільного комутативного моноїда за аналогією з резольвентою для вільної абелевой групи. У двох наступних пунктах побудовано резольвенту для вільного частково комутативного моноїда. Будуючи її, ми додержуємося ідей Д. Коена, який побудував резольвенту граф-добутку груп, виходячи з резольвент для груп-співмножників. Головну роль при цьому зіграло подання граф-добутку груп у вигляді прямих і вільних амальгамованих добутків груп-співмножників. Для моноїдів за реалізації такого підходу виникають додаткові труднощі. Допоміжні леми пункту 3.3 покликані їх перебороти. Самостійний інтерес становить наступна лема:

Лема 3.3.1. Нехай вільний частково комутативний моноїд, , и . Тоді моноїдне кільце є вільним (правим) -модулем.

Аналогічне твердження завжди є істинним для груп, а саме, якщо довільна група, а її підгрупа, то групове кільце є вільним -модулем. У той же час, якщо ми виберемо як підмоноїд моноїда не вільний частково комутативний моноїд, то твердження леми, взагалі кажучи, порушується.

Основним результатом третього розділу є теорема 3.4.1, в якій наведено явну конструкцію резольвенти.

Нехай вільний частково комутативний моноїд, у якого множина впорядкована. Нехай його граф і число повних підграфів з вершинами у графі . Нехай вільний -модуль з твірними. Визначимо -модульні гомоморфізми , поклавши на твірних

Крім того покладемо та для всіх , і тим самим визначимо модульні гомоморфізми та .

Теорема 3.4.1. Послідовність -модулів та їхніх гомоморфізмів

є вільною резольвентою модуля над кільцем .

Пункт 3.5 містить безпосередні наслідки з цієї теореми, у тому числі обчислення груп гомологій і когомологій розглянутих моноїдів з коефіцієнтами у тривіальному модулі:

Твердження 3.5.3. Якщо вільний частково комутативний моноїд, тривіальний (правий) -модуль, тривіальний (лівий) -модуль і , то і , де число повних підграфів з вершинами у графі .

У частковому випадку ми одержуємо цілочисельні групи гомологій і когомологій:

Наслідок 3.5.4. Якщо вільний частково комутативний моноїд, то групи гомологій і когомологій при це вільні абелеві групи рангу , де дорівнює числу повних підграфів з вершинами у графі .

Наслідок 3.5.5 з теореми 3.4.1 і твердження 3.5.3 про гомологічну розмірність вільного частково комутативного моноїда доводить гіпотезу Хусаїнова:

Наслідок 3.5.5. Гомологічна (когомологічна) розмірність вільного частково комутативного моноїда дорівнює тоді й тільки тоді, коли максимальний повний підграф графа містить вершин.

Цей наслідок має ряд цікавих ілюстрацій. Зазначимо деякі з них. Якщо моноїд є прямим добутком декількох вільних частково комутативних моноїдів, то його (ко)гомологічна розмірність дорівнює сумі (ко)гомологічних розмірностей прямих співмножників.

Відомо, що когомологічна розмірність вільної групи й вільного моноїда дорівнює 1. При цьому для груп є істинним обернене твердження - теорема Столінґса-Суона про те, що кожна група когомологічної розмірності 1 є вільною. Для моноїдів аналогічне твердження не виконується. Але якщо обмежитися розглядом не всіх моноїдів, а лише вільних частково комутативних, то ми одержуємо наступне твердження.

Твердження 3.5.9. Нехай - вільний частково комутативний моноїд. Когомологічна розмірність дорівнює одиниці тоді й лише тоді, коли є вільним моноїдом.

У пункті 3.6 вводиться до розгляду моноїд повних підграфів вільного частково комутативного моноїда , і вивчаються його 0-гомології. Елементами є в деякому сенсі повні підграфи графа та нуль, а його 0-рефлектором служить моноїд . При цьому не є категорійним у нулі, але зв'язок між його групами 0-гомологій і групами гомологій є не лише в малих розмірностях. Основним результатом є наступна теорема:

Теорема 3.6.5. Нехай граф не містить повних підграфів з більше ніж вершинами. Тоді і при для довільного 0-модуля .

Зокрема, у випадку, якщо граф моноїда не містить повних підграфів із трьома вершинами (наприклад, є деревом), маємо ізоморфізм груп 0-гомологій і гомологій в усіх розмірностях.

Розділ 4 присвячений вивченню кодів, близьких до лінійних, і їх гомологічної складності. За означенням двійковий код - це підмножина скінченновимірного лінійного простору над полем з двох елементів. При цьому лінійні підпростори вихідного простору називаються лінійними двійковими кодами. Кожен лінійний простір над є елементарною абелевою 2-групою, твірними якої служать базисні вектори простору. Отже, двійкові коди - це підмножини, а лінійні двійкові коди - підгрупи елементарних абелевих 2-груп.

Ми вважаємо, що є скінченною елементарною (абелевою) 2-групою, код містить одиницю. Для кожного введемо позначення .

Означення 4.1.1. Novikov B.V. On a characteristic of subsets of Abelian groups // Discrete Mathematics and Applications (Bulgaria). - 2002. - Vol.6. - P.97-101. Дефектом коду називається число .

Виконується наступна нерівність

, (4)

де підгрупа, породжена . Якщо в нерівності (4) досягається рівність,

то код називається стандартним. Коди вигляду , де підгрупа в , а підгрупа в , називаються строго стандартними.

Поняття дефекту зручно інтерпретувати в термінах теорії графів. Коду ставиться у відповідність граф наступним чином: вершинами служать неодиничні елементи з , а ребрами є такі пари вершин , що . Тоді степінь вершини дорівнює , а дефект коду дорівнює максимальному степеню вершини його графа. Код називається однорідним, якщо для будь-якого .

Коди дефекту 0 збігаються з підгрупами елементарної 2-групи. У пункті 4.1 сформульовано результати про коди дефектів 1 і 2: усі коди дефекту 1 стандартні, а серед кодів дефекту 2, у деякому розумінні є тільки один нестандартний⁸. Також отримано низку загальних властивостей кодів. Зокрема, такі:

Теорема 4.1.6. Нехай компоненти зв'язності графа і . Тоді

1) існує таке , що ;

2) якщо в 1) , то для кожного .

Теорема 4.1.11. Якщо однорідний код, то або є зв'язним, або є строго стандартним.

У пункті 4.2 описано неоднорідні, а в пункті 4.3 - однорідні коди дефекту 3. При цьому важливу роль відіграє теорема 4.2.9, яка істотно обмежує клас можливих графів цих кодів.

Теорема 4.2.9. Якщо не є стандартним кодом і , то діаметри зв'язних компонент графа не перевищують 2.

З використанням цієї теореми доведено, що всі неоднорідні коди дефекту 3 є стандартними, а серед однорідних у деякому розумінні є лише 3 нестандартних:

Теорема 4.2.14. Якщо і неоднорідний, то стандартний.

Теорема 4.3.2. Якщо нестандартний однорідний код дефекту 3, то є або повним графом , або графом Петерсена, або дводольним повним графом .

У пункті 4.4 вводиться поняття гомологічної складності коду. Розглянемо деякий код та його граф . Нехай вільний частково комутативний моноїд, граф якого ізоморфний графові . Гомологічною складністю кода назвемо величину на одиницю меншу, ніж гомологічна розмірність моноїда . Основні результати пов'язують цю величину з дефектом коду.

Твердження 4.4.2. Для кожного коду виконується нерівність

.

При цьому гомологічна складність коду дорівнює нулю в тому й лише тому випадку, коли код є лінійним. Як показують приклади, рівність досягається й у другій з нерівностей твердження 4.4.2.

Рівність дефекту коду і його гомологічної складності характеризує строго стандартні підмножини. А саме,

Твердження 4.4.5. Нехай код є строго стандартним. Тоді виконується рівність .

Твердження 4.4.6. Нехай код є стандартним і , тоді строго стандартний код.

Коди дефекту 1 мають гомологічну складність 1, коди дефекту 2, окрім одного виняткового, мають гомологічну складність 1. Гомологічна складність кодів дефекту 3 дорівнює 1 або 3.

Висновки

Задачі, пов'язані з гомологіями напівгруп і моноїдів, лежать на межі між гомологічною алгеброю та теорією напівгруп. Вони становлять власний інтерес, а також знаходять застосування при розв'язанні алгоритмічних задач теорії напівгруп і задач теоретичної інформатики. Однак на сьогоднішній день методи обчислення гомологій напівгруп недостатньо розвинені, а їхні властивості недостатньо вивчені.

У дисертаційній роботі запропоновано деякі підходи до обчислення класичних гомологій. Один з таких підходів передбачає розглядання поняття 0-гомологій і дослідження їхніх властивостей.

Основні результати встановлюють ізоморфізм перших груп 0-гомологій напівгрупи з нулем і гомологій її 0-рефлектора, а також ізоморфізм в усіх розмірностях для категорійних у нулі напівгруп. Це дозволяє звести обчислення груп гомологій напівгрупи до обчислення 0-гомологій напівгрупи з нулем, 0-рефлектор якої ізоморфний вихідній напівгрупі.

Варто відзначити, що дослідження 0-гомологій є перспективним і в інших напрямках. Зокрема, у дослідженні властивостей напівгруп з нулем, оскільки для них 0-гомології, на відміну від гомологій Ейленберга-Маклейна, нетривіальні.

Для вільних частково комутативних моноїдів у роботі побудовано вільну резольвенту, що дозволяє обчислювати їхні групи гомологій. При побудові резольвенти й в описі гомологічних властивостей вказаних моноїдів вирішальне значення має інформація про граф моноїда, зокрема, про його повні підграфи. Важливе застосування ця резольвента знаходить у доведенні гіпотези Хусаїнова про гомологічну розмірність вільного частково комутативного моноїда.

У дисертації також розглядається питання про опис двійкових кодів малих дефектів. При цьому дефект служить мірою відхилення коду від лінійного. Основні результати показують, що головна роль у цьому відводиться стандартним кодам.

Гомологічна складність коду є іншою його чисельною характеристикою і визначається гомологічною розмірністю вільного частково комутативного моноїда, який певним чином ставиться у відповідність коду. Рівність гомологічної складності нулю характеризує лінійні коди, а рівність гомологічної складності дефекту - строго стандартні коди.

Результати, що їх отримано в роботі, й побудовані методи можуть використовуватися при подальшому вивченні гомологій алгебраїчних систем, в алгоритмічних і комбінаторних задачах теорії напівгруп, у теоретичній інформатиці, у кодуванні.

Список опублікованих праць за темою дисертації

Novikov B. V. Subsets of defect 3 in elementary Abelian 2-groups / B. V. Novikov, L. Yu. Polyakova // Algebra and Discrete Mathematics. - 2004. - № 4. - P. 48-59.

Полякова Л. Ю. Резольвенты для свободных частично коммутативных моноидов / Л. Ю. Полякова // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 6. С.12951304.

Полякова Л. Ю. О 0-гомологиях полугрупп / Л. Ю. Полякова // Вісник Київського національного університету. Серія «Фізико-математичні науки». 2007. № 4. С.5964.

Novikov B. V. On 0-homology of categorical at zero semigroups / B. V. Novikov, L. Yu. Polyakova // Central European J. Math. - 2009. - V. 7, № 2, - P. 165-175.

Polyakova L. Resolutions for free partially commutativе monoids / L. Polyakova // 4th Summer School «Algebra, Topology, Functional and Stochastic Analysis»: abstracts. - Lviv, 2006. - P. 160.

Polyakova L. On homology of free partially commutative monoids / L. Polyakova // 5th International Algebraic Conference in Ukraine: abstracts. - Odessa, 2005. - P. 158.

Polyakova L. Resolutions for free partially commutative monoids / L. Polyakova // 6th International Algebraic Conference in Ukraine: abstracts. - Kamyanets-Podilsky, 2007. - P.155- 156.

Полякова Л. Ю. Про 0-гомології напівгруп / Л. Ю. Полякова // Сучасні проблеми механіки і математики: міжнародна наукова конференція, Львів, 2529 травня 2008р.: тези доповідей, Т. 3. Львів, 2008. С.198199.

Анотація

Полякова Л. Ю. Гомології моноїдів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009 р.

Дисертація присвячена властивостям гомологій моноїдів і побудові методів їх обчислень, вивченню гомологічних властивостей вільних частково комутативних моноїдів і гомологічних властивостей кодів, близьких до лінійних.

Будується теорія 0-гомологій напівгруп. Показано, що нульові й перші групи 0-гомологій напівгрупи з нулем ізоморфні відповідним групам гомологій Ейленберга-Маклейна її 0-рефлектора, й побудовано епіморфізм других груп. Показано, що для категорійних у нулі напівгруп ізоморфізм відповідних груп гомологій виконується в усіх розмірностях. Запропоновано метод обчислення гомологій напівгруп за допомогою 0-гомологій. Дано опис груп гомологій вільних добутків напівгруп.

Для вільних частково комутативних моноїдів побудовано вільну резольвенту і за її допомогою обчислено гомологічну розмірність таких моноїдів, зокрема, доведено гіпотезу Хусаїнова.

Розглянуто двійкові коди, близькі до лінійних. Відхилення коду від лінійного вимірюється дефектом коду. Описано коди малих дефектів. Розглянуто поняття гомологічної складності коду, встановлено її зв'язок з дефектом коду.

Ключові слова: гомології напівгруп і моноїдів, 0-гомології напівгруп, категорійна в нулі напівгрупа, гомологічна вимірність, вільна резольвента, вільний частково комутативний моноїд, двійковий код, дефект коду, гомологічна складність коду.

Аннотация

Полякова Л. Ю. Гомологии моноидов. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2009 г.

Диссертация посвящена свойствам гомологий моноидов и построению методов их вычислений, изучению гомологических свойств свободных частично коммутативных моноидов и гомологических свойств кодов, близких к линейным.

По аналогии с конструкцией 0-когомологий построены 0-гомологии полугрупп, которые оказываются нетривиальными для полугрупп с нулем, в отличие от классических гомологий Эйленберга-Маклейна. Показано, что нулевые и первые группы 0-гомологий полугруппы с нулем изоморфны соответствующим группам гомологий Эйленберга-Маклейна ее 0-рефлектора, и построен эпиморфизм вторых групп. Показано, что для категорийных в нуле полугрупп изоморфизм соответствующих групп гомологий имеется во всех размерностях. Предложен метод вычисления гомологий полугрупп с помощью 0-гомологий и приведены примеры подобных вычислений.

Описана первая группа гомологий свободного произведения полугрупп, показано, что, начиная со второй, такие группы гомологий равны прямым суммам групп гомологий сомножителей.

Установлена характеризация категорийной в нуле полугруппы в терминах определяющих соотношений. Описан способ нахождения определяющих соотношений 0-рефлектора полугруппы. Найдены достаточные условия для 0-рефлекторов полугрупп с нулем.

Рассматриваются свободные частично коммутативные моноиды. Показано, что при описании их гомологических свойств существенную роль играет строение графов таких моноидов. Для свободных частично коммутативных моноидов построена свободная резольвента и с ее помощью вычислена гомологическая размерность моноида, в частности, доказана гипотеза Хусаинова. Вычислена гомологическая размерность прямого произведения свободных частично коммутативных моноидов, показано, что для таких моноидов справедливо обращение аналога теоремы Столлингса-Суона. Приведены также примеры вычисления групп гомологий.

Построен моноид полных подграфов свободного частично коммутативного моноида, установлен изоморфизм групп гомологий свободного частично коммутативного моноида и 0-гомологий его моноида полных подграфов в некоторых размерностях, доказаны достаточные условия изоморфизма этих групп во всех размерностях.

Рассмотрены двоичные коды, близкие к линейным. Степень отклонения кода от линейного измеряется дефектом кода. В диссертации показано, что за исключением нескольких частных случаев, коды малых дефектов стандартны, а также описаны все нестандартные коды дефектов, не превосходящих 3.

Вводится понятие гомологической сложности кода. Показано, что гомологическая сложность не превосходит дефекта кода. В терминах гомологической сложности установлены критерий линейности кода, критерий строгой стандартности, необходимое условие стандартности кода. Вычисляется гомологическая сложность для кодов малых дефектов.

Результаты, полученные в работе, и построенные методы могут использоваться при дальнейшем изучении гомологий алгебраических систем, в алгоритмических и комбинаторных задачах теории полугрупп, в теоретической информатике, в кодировании.

Ключевые слова: гомологии полугрупп и моноидов, 0-гомологии полугрупп, категорийная в нуле полугруппа, гомологическая размерность, свободная резольвента, свободный частично коммутативный моноид, двоичный код, дефект кода, гомологическая сложность кода.

Abstract

Polyakova L. Yu. Homology of monoids. - Manuscript.

Thesis for obtaining the candidate of sciences degree in physics and mathematics in speciality 01.01.06 - Algebra and Number Theory. Taras Shevchenko Kyiv national university, Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to the properties of homology of monoids, the methods of its computation, study of homological properties of free partially commutative monoids and homological properties of the binary codes close to linear ones.

The theory of 0-homology of semigroups is constructed. It is shown that zero and first 0-homology groups of a semigroup with zero are isomorphic to corresponding Eilenberg-MacLane homology groups of its 0-reflector and an epimorphism of the second groups is built. It is proved that for categorical at zero semigroups there are isomorphisms of corresponding homology groups in all the dimensions. The method of semigroup homology computation with the help of 0-homology is proposed. The homology groups of free products of semigroups are described.

A free resolution for free partially commutative monoid is constructed and with its help the homological dimension of such monoids is computed. In particular Husainov conjecture is proved.

The binary codes close to linear ones are considered. The deviation from linear code is measured by the defect of the code. The codes of small defects are described. The notion of code homological complexity is considered and its relations with code defect are found.

Key words: homology of semigroups and monoids, 0-homology of semigroup, categorical at zero semigroup, homological dimension, free resolution, free partially commutative monoid, binary code, code defect, homological complexity of the code.

Размещено на Allbest.ru

...