Коефіцієнтні обернені задачі для лінійних та квазілінійних параболічних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

УДК 517.95

КОЕФІЦІЄНТНІ ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ ТА КВАЗІЛІНІЙНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ФЕДУСЬ Уляна Михайлівна

Львів 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Іванчов Микола Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Городецький Василь Васильович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри алгебри та інформатики;

доктор фізико-математичних наук, професор Копитко Богдан Іванович, Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри вищої математики.

Захист відбудеться “17” грудня 2009 р. о 15⁰⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному унiверситетi імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “ 12 ” листопада 2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б. А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія обернених задач почала інтенсивно розвиватись у другій половині минулого століття у зв'язку з потребами різних галузей науки і техніки. У широкому сенсі обернені задачі - це задачі, в яких за заданими наслідками шукаються причини, що їх породили. Оберненими задачами є математичні моделі, які містять невідомі параметри. Розв'язування таких задач зводиться до відновлення цих параметрів за наявності певної додаткової інформації про даний процес. Цю додаткову інформацію прийнято називати умовою перевизначення. Обернені задачі мають широке застосування в економіці, металургії, медицині, біології, космічних дослідженнях, екології та ін., оскільки дають змогу визначити фізичні властивості та параметри матеріалів різних за своїм походженням та природою без проведення фізичних експериментів, а лише шляхом математичних обчислень. Їх використання є особливо важливим у випадках, коли безпосереднє вимірювання відповідних фізичних параметрів є неможливе, наприклад, через недоступність матеріалу, середовища чи швидкоплинність процесу.

Обернені задачі для параболічних рівнянь з невідомими коефіцієнтами зазвичай зводять до інтегральних рівнянь, які й досліджують для встановлення існування та єдиності розв'язку. Варто зазначити, що випадки розміщення невідомого коефіцієнта, залежного від часу, при похідній за часом ускладнюють дослідження задачі. При зображенні розв'язку таких задач потрібно використовувати функцію Гріна повного параболічного рівняння, яка будується методом параметрикса і не має явного вигляду. Методика дослідження таких задач вимагає майже завжди звуження часового проміжку при встановленні апріорних оцінок розв'язку.

Задачі з невідомим коефіцієнтом при старшій похідній у параболічному рівнянні більш широко представлені в науковій літературі. Такого типу задачі досліджували Ю. Є. Аніконов, І. Є. Баранська, М. Я. Безнощенко, І. Б. Березницька, Ю. Я. Бєлов, О. Я. Гуль, М. І. Іванчов, В. М. Ісаков, А. Б. Костін, М. М. Лаврентьєв, М. В. Музильов, О. І. Прилєпко, В. Г. Романов, В. В. Соловйов, Н. В. Пабирівська, D. D. Ang, J. R. Cannon, S. Gatti, C. W. Groetsch, B. F. Jones, A. Lorenzi, R. A. Murayama, P. Du Chateau, S. Perez-Esteva, M. Choulli, W. Rundell, Y. Lin, T. Suzuki, D. D. Trong, H. M. Yin та ін.

Обернені задачі для параболічних рівнянь з невідомим залежним від часу коефіцієнтом при похідній за часом ще не достатньо вивчені. Так, О. І. Прилєпко та А. Б. Костін розв'язали n- вимірну задачу з невідомим коефіцієнтом при похідній за часом, який залежить лише від просторової змінної. М. І. Іванчов дослідив обернену задачу визначенням невідомих коефіцієнтів теплоємності та теплопровідності в однорідному рівнянні теплопровідності. Він також вивчав задачі з нелокальними умовами перевизначення для випадку неоднорідного рівняння теплопровідності. Пізніше І. Б. Березницька узагальнила ці результати на випадок повного параболічного рівняння.

Обернені задачі визначення невідомого залежного від часу коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному параболічному рівнянні загального вигляду фактично не розглядалися. Відомі результати лише для випадку параболічного рівняння зі сталим старшим коефіцієнтом. Випадок нелокальних крайових умов досліджувався лише для випадку задачі з невідомим старшим коефіцієнтом. Отож, дослідження обернених задач із невідомим коефіцієнтом при похідній за часом у параболічному рівнянні разом із локальними чи нелокальними додатковими умовами є актуальним.

Обернені задачі для квазілінійних рівнянь залишають широке поле для дослідження. У більшості робіт, присвячених таким задачам, встановлена лише єдиність розв'язку, зокрема у працях М. В. Музильова, A. Lorenzi та ін. Існування розв'язку оберненої задачі визначення невідомого коефіцієнта теплопровідності у нелінійному одновимірному рівнянні теплопровідності встановлено в роботі A. Lorenzi, A. Lunardi. Випадок півлінійного рівняння з невідомим старшим коефіцієнтом розглянутий М. І. Іванчовим. Квазілінійними задачами займалися також Л. О. Губаль, В. М. Волков, В. К. Калантаров, J. R. Cannon, M. Choulli, A. Eden, S. Gatti, Yanping Lin. Проте дослідження обернених задач визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом у квазілінійному параболічному рівнянні залишається відкритою проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Дисертація виконана в рамках науково-дослідних державних тем “Розробка методів дослідження якісних характеристик математичних моделей, які описуються рівняннями у частинних похідних” (номер держреєстрації 0106U001284), “Розробка теорії класичних та некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей” (номер держреєстрації 0103U001908).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення умов коректної розв'язності обернених задач для параболічних рівнянь з невідомим коефіцієнтом при похідній за часом.

Безпосередніми задачами дослідження є:

1) встановлення існування та єдиності розв'язку оберненої задачі визначення залежного від часу коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному параболічному рівнянні загального вигляду у випадку локальних умов перевизначення;

2) знаходження умов існування та єдиності розв'язку задачі визначення невідомого коефіцієнта, коли умови перевизначення є нелокальними;

3) встановлення умов існування та єдиності розв'язку оберненої задачі для квазілінійного параболічного рівняння з невідомим залежним від часу коефіцієнтом при похідній за часом.

Об'єкт дослідження: обернені задачі для лінійних та квазілінійних параболічних рівнянь з невідомим коефіцієнтом при похідній за часом.

Предмет дослідження: умови існування та єдиності розв'язків обернених задач визначення коефіцієнта при похідній за часом у лінійному та квазілінійному параболічних рівняннях.

Методи дослідження: метод функцій Ґріна (при зведенні оберненої задачі до еквівалентної системи рівнянь); метод нерухомої точки (при знаходженні розв'язків операторних рівнянь); метод інтегральних рівнянь (при знаходженні розв'язків інтегральних рівнянь, еквівалентних оберненим задачам, та при доведенні єдиності розв'язків обернених задач); метод інтегральних нерівностей (при встановленні апріорних оцінок розв'язків систем рівнянь, що еквівалентні оберненим задачам); метод параметрикса (при побудові функції Ґріна повного параболічного рівняння).

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше отримані такі результати:

1) встановлено умови однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта при похідній за часом у параболічному рівнянні загального вигляду у випадку локальної умови перевизначення;

2) встановлено умови однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта при похідній за часом у параболічному рівнянні загального вигляду у випадку нелокальної умови перевизначення;

3) встановлено умови однозначного визначення залежного від часу коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному квазілінійному параболічному рівнянні у випадку різних наборів крайових умов.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційні дослідження мають теоретичний характер та значення, результати роботи є внеском в теорію рівнянь у частинних похідних, зокрема, в теорію коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь. Вони можуть бути використані при подальших дослідженнях коефіцієнтних обернених задач та при практичному їх розв'язанні.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на засіданнях Львівського міського семінару з диференціальних рівнянь (керівники: член-кор. НАН України, професор Б. Й. Пташник, професор М. І. Іванчов, професор П. І. Каленюк, Львів, 2004-2008 рр.), засіданнях наукового семінару з обернених задач у Львівському національному університеті імені Івана Франка (керівник професор М. І. Іванчов, Львів, 2005-2008 рр.), Міжнародній конференції, присвяченій 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (6-9 червня 2005 р., Київ, Україна), Міжнародній конференції "Nonlinear Partial Differential Equations" (17-23 вересня 2005 р., Алушта, Україна), International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya. B. Lopatynsky (September 12-17, 2006, Lviv, Ukraine), Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (11-14 жовтня 2006 р., Чернівці, Україна), Дванадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (15-17 травня 2008 р., Київ, Україна), щорічній міжвузівській науково-практичній конференції "Сучасні інформаційні технології в економіці, менеджменті та освіті" (7 листопада 2008 р., Львів, Україна). задача коефіцієнт параболічний рівняння

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 працях, серед яких 5 - у наукових журналах та збірниках наукових праць, 5 - у матеріалах конференцій. Серед публікацій 5 праць опубліковано у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел і викладена на 119 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 77 найменувань і займає 7 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику М. І. Іванчову за наукове керівництво та постійну увагу при виконанні даної дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність теми, висвітлено сучасний стан наукової проблеми, показано зв'язок з науковими темами, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну, практичне значення, апробацію одержаних результатів та структуру роботи.

У першому розділі дисертації подано огляд праць, які стосуються теорії коефіцієнтних обернених задач для лінійних та квазілінійних параболічних рівнянь.

У другому розділі дисертації встановлено оцінки функції Ґріна та її похідних, потрібні для подальших досліджень, а також встановлено компактність певних інтегральних операторів з ядром типу функції Ґріна та її похідних до другого порядку.

У третьому розділі дисертації розглянуто дві задачі для лінійного параболічного рівняння з умовами Діріхле і Неймана та локальними умовами перевизначення. Знайдено умови існування та єдиності розв'язку цих задач.

У підрозділі 3.1 в області розглядається рівняння

(1)

з невідомим коефіцієнтом початковою умовою

(2)

крайовими умовами та умовою перевизначення вигляду

(3)

(4)

Задача зводиться до задачі з однорідними крайовими умовами і для зображення розв'язку утвореної прямої задачі використовуємо функцію Ґріна першої крайової задачі для рівняння

Звідси, повертаючись до вихідної задачі та підставивши вираз для зображення розв'язку в умову (4) задачі, отримуємо інтегральне рівняння стосовно невідомого коефіцієнта c(t). Для доведення існування розв'язку цього рівняння застосовуємо теорему Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Встановлюємо апріорні оцінки розв'язку інтегрального рівняння і будуємо множину, що фігурує у теоремі Шаудера. Після встановлення компактності оператора, що визначає праву частину рівняння стосовно невідомої c(t), застосовуємо теорему Шаудера і отримуємо існування розв'язку такого операторного рівняння в класі неперервно-диференційовних функцій, а отже, і розв'язку вихідної задачі. Приходимо до такої теореми існування локального за часом розв'язку.

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови:

Тоді можна вказати таке число яке визначається вихідними даними, що розв'язок задачі (1)-(4) існує.

Для задачі (1)-(4) можемо отримати умови глобального існування розв'язку.

Теорема 3.2. Якщо виконуються умови 1)-3) і то існує розв'язок задачі (1)-(4).

Доведення єдиності проводиться від супротивного. Припускаємо існування двох розв'язків задачі (1)-(4). Вводимо позначення Записавши нову задачу стосовно (c,u), зводимо її до однорідного інтегрального рівняння Вольтерра другого роду стосовно невідомого коефіцієнта аналогічно до того, як це було зроблено у доведенні існування розв'язку задачі. Враховуючи властивість однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду з інтегровним ядром, отримуємо єдиний тривіальний розв'язок даного інтегрального рівняння, а отже, й єдиність розв'язку задачі (1) - (4).

Теорема 3.3. Нехай існує розв'язок задачі (1)-(4). Якщо то цей розв'язок єдиний.

У підрозділі 3.2 досліджується задача для рівняння (1) з умовами Неймана

(6)

та умовою перевизначення

(7)

Використана інша методика зведення цієї задачі до системи рівнянь. При довільному фіксованому рівняння (1) подаємо у вигляді що дає можливість використати функцію Ґріна для рівняння теплопровідності. Досліджуючи задачу (8), (2), (6), (7) за такою ж схемою, що й у підрозділі 3.1, встановлюємо умови існування та єдиності розв'язку.

Теорема 3.4. При виконанні умов можна вказати таке число яке визначається вихідними даними, що розв'язок задачі (1), (2), (6), (7) існує.

Якщо у рівнянні (1) покласти і накласти додаткові умови то отримуємо існування глобального розв'язку.

При підвищенні гладкості вихідних даних отримуємо існування розв'язку задачі (1), (2), (6), (7) в класах Гельдера.

Теорема 3.5. Припустимо, що виконуються умови 2), 3) теореми 3.4 i

Тоді можна вказати таке число яке визначається вихідними даними, що розв'язок задачі (1), (2), (6), (7) існує.

Теорема 3.6. Нехай існує розв'язок задачі (1), (2), (6), (7). Якщо то цей розв'язок єдиний.

У четвертому розділі дисертаційної роботи в області Q_Т розглядаємо дві задачі з крайовими умовами Діріхле та Неймана у випадку нелокальних умов пе-ревизначення.

Теорема 4.1. Нехай виконуються умови:

Тоді можна вказати таке число що розв'язок задачі (1)-(3), (9) існує.

Теорема 4.2. Нехай, крім умов 1), 2) теореми 4.1, виконуються умови:

Тоді розв'язок задачі (1)-(3), (9) належить до класу Гельдера.

Теорема 4.3. Нехай існує розв'язок задачі (1)-(3), (9). Якщо i то цей розв'язок єдиний.

У підрозділі 4.2 розглядаємо задачу (1), (2), (6) з умовою перевизначення

Теорема 4.4. Нехай виконуються умови:

Тоді можна вказати таке число що розв'язок задачі (1), (2), (6), (10) існує.

Теорема 4.5. Якщо то розв'язок задачі (1), (2), (6), (10) єдиний.

У п'ятому розділі дисертації розглянуто дві обернені задачі для квазілінійного рівняння з невідомим коефіцієнтом при похідній за часом у випадку різних наборів крайових умов.

У підрозділі 5.1 досліджується задача для квазілійного рівняння

c(t)u_t =a(x,t,u)u_xx +b(x,t,u,u_x) (11)

з відомим коефіцієнтом при старшій похідній, що не залежить від похідної розв'язку, з початковою та крайовими умовами Діріхле (2), (3) та заданим тепловим потоком на кінці проміжку

(12)

Теорема 5.1. При виконанні умов

1)

2)

л(s) - неспадна неперервна функція на

3) ц(0)=м₁ (0)

можна вказати таке число що розв'язок задачi (11), (2), (3), (12) iснує.

Єдиність розв'язку встановлюємо для повного рівняння

(13)

з умовами (2), (3) та

(14)

Теорема 5.2. Нехай виконуються умови:

1) і задовольняють умову Гельдера з деяким показником за змінними x, u та v;

2)

Тоді розв'язок задачі (13), (2), (3), (14) єдиний.

У підрозділі 5.2 розглянуто задачу для повного квазілінійного рівняння (13)

з початковою та крайовими умовами (2), (6) та умовою перевизначення (7). Умови існування розв'язку сформульовані у теоремі 5.3, умови єдиності розв'язку містить теорема 5.4.

Теорема 5.3. При виконанні умов

1)

2) - додатні сталі,

3)

можна вказати таке число що розв'язок задачі (13), (2), (6), (7) існує.

Теорема 5.4. Нехай виконуються умови:

1) задовольняють умову Гельдера з деяким показником г, за змінними x, u та v;

2)

Тоді розв'язок задачі (13), (2), (6), (7) єдиний.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню обернених задач визначення залежного від часу коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному лінійному та квазілінійному параболічних рівняннях у випадках локальних чи нелокальних умов перевизначення. Встановлено умови існування та єдиності розв'язку таких обернених задач:

1) визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному лінійному параболічному рівнянні у випадку локальних умов перевизначення;

2) визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному лінійному параболічному рівнянні у випадку нелокальних умов перевизначення;

3) визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом в одновимірному квазілінійному параболічному рівнянні у випадку локальних умов перевизначення.

Основні результати дисертації сформульовані у вигляді теорем. Вони можуть

бути використані при подальших дослідженнях коефіцієнтних обернених задач з невідомим коефіцієнтом при похідній за часом та при практичному розв'язанні таких задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Федусь У. М. Обернена задача для параболічного рівняння загального вигляду з невідомим коефіцієнтом теплоємності / У. М. Федусь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2006. Т. 49, № 4. С. 40-48.

2. Федусь У. М. Про обернену задачу для параболічного рівняння з невідо-мим коефіцієнтом при похідній за часом / У. М. Федусь // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. 2007. № 67. С. 268-280.

3. Федусь У. М. Ідентифікація коефіцієнта при похідній по часу в квазілі-нійному рівнянні / У. М. Федусь // Математичний Вісник НТШ. 2008. № 68. С.284-295.

4. Федусь У. М. Про визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом у параболічному рівнянні / У. М. Федусь // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. пр. Вип. 374. Математика. Чернівці: Рута, 2008. С. 122-131.

5. Федусь У. М. Ідентифікація коефіцієнта при похідній за часом у квазі-лінійному параболічному рівнянні / У. М. Федусь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2009. Т. 52, № 1. С. 20-33.

6. Федусь У. М. Обернена задача визначення залежного від часу коефіцієнта теплоємності // Міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Тези доповідей, (Київ, 6-9 червня 2005 р.) / КНУ ім. Т. Шевченка. Київ: Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2005. С. 110.

7. Федусь У. М. Визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом у параболічному рівнянні з нелокальною умовою перевизначення // Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". Тези доповідей, (Чернівці, 11-14 жовтня 2006 р.) / Ін-т матем. НАНУ, ЧНУ ім. Ю. Федьковича. Чернівці: Рута, 2006. С. 173.

8. Федусь У. М. Про визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом у параболічному рівнянні // Дванадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. Матеріали конференції, (Київ, 15-17 травня 2008 р.) / Ін-т матем. НАНУ, КНУ ім. Т. Шевченка, НПУ ім. Драгоманова, НТУ “КПІ”. К.: НТУ “КПІ”, 2008. С. 406.

9. Fedus Ulyana. Inverse problem for determining a time-dependent coefficient of the thermal capacity for parabolic equation // Nonlinear Partial Differential Equations. Book of Abstracts, (Alushta, September 17-23, 2005) / Ministry of Education and Science of Ukraine, Donetsk Nat. Univ., IAMM of NASU. Donetsk: Видавництво “Норд Комп'ютер”, 2005. P. 31.

10. Fedus Ulyana. Identification of unknown coefficient in parabolic equation with nonlocal overdetermination condition// International Conference on Differential Equations Dedicated to the 100th Anniversary of Ya. B. Lopatynsky. Book of Abstracts, (Lviv, September 12-17, 2006) / Lviv Ivan Franko Nat. Univ., IAMM of NASU, Nat. Univ. “Lvivska Politechnika”. Lviv: Видавничий центр Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка, 2006. P. 92-93.

АНОТАЦІЯ

Федусь У. М. Коефіцієнтні обернені задачі для лінійних та квазілінійних параболічних рівнянь. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2009.

Досліджено обернені задачі визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом у параболічному рівнянні у випадку локальних та нелокальних додаткових умов. Розглянуто питання існування як розв'язків з класу неперервно-диференційовних функцій, так і розв'язків з класу Гельдера для таких обернених задач. Отримано умови існування локальних за часом розв'язків задач та умови єдиності розв'язків. Зокрема, для випадку задач з локальними умовами перевизначення знайдено умови існування глобального розв'язку задачі.

Розв'язано дві обернені задачі визначення невідомого коефіцієнта при похідній за часом у квазілінійному параболічному рівнянні. Шляхом зведення цих задач до еквівалентних систем рівнянь та застосуванням до них теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора встановлено умови існування розв'язків вказаних задач. При доведенні єдиності розв'язку використані властивості розв'язків однорідних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду з інтегровним ядром.

Ключові слова: коефіцієнтні обернені задачі, параболічні лінійні рівняння, параболічні квазілінійні рівняння, нелокальна умова перевизначення, інтегральні нерівності, теорема Шаудера про нерухому точку, інтегральні рівняння Вольтерра другого роду.

АННОТАЦИЯ

Федусь У. М. Коэффициентные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2009.

Исследованы обратные задачи определения неизвестного коэффициента при производной по времени в параболическом уравнении в случае локальных и нелокальных условий переопределения. Рассмотрен вопрос существования как решений из класса непрерывно-дифференцируемых функций, так и решений из класса Гельдера для таких обратных задач. Получены условия существования локальных по времени решений задач и условия единственности решений. В частности, для случая задач с локальными условиями переопределения найдены условия существования глобального решения задач.

Решены две обратные задачи определения неизвестного коэффициента при производной по времени в квазилинейном параболическом уравнении. Путем сведения этих задач к эквивалентным системам уравнений и применения к ним теоремы Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного оператора установлены условия существования решений. При исследовании единственности решения используются свойства решений однородных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Ключевые слова: коэффициентные обратные задачи, параболические линейные уравнения, нелокальное условие переопределения, параболические квазилинейные уравнения, интегральные неравенства, теорема Шаудера о неподвижной точке, интегральные уравнения Вольтерра второго рода.

ABSTRACT

Fedus U. M. Coefficient inverse problems for linear and quasilinear parabolic equations. - Manuscript.

The thesis for the Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) degree (Ph. D), specialization 01.01.02 - Differential Equations. Ivan Franko National University of Lviv. Lviv, 2009.

In this work we investigated inverse problems consisting in identifying an unknown coefficient in front of the time derivative in linear and quasilinear one-dimensional parabolic equations in the case of local or nonlocal overdetermination conditions. We considered the question of the existence of solutions from the class of continuously differentiable functions as well as the solutions from Hцlder classes for such inverse problems.

In the first part we give a brief survey concerning the identification of unknown coefficients in linear and quasilinear parabolic equations.

The second part consists of two results needed for the investigation of the inverse problems of the next parts. It is concerned with the estimation of Green functions built by using the parametrix method and with the proof of the compactness of some integral operators including Green functions and their derivatives up to the second order.

The third part is devoted to identifying an unknown coefficient of the time derivative in a general parabolic equation in the case of local overdetermination conditions. Firstly we consider the first boundary value problem where the overdetermination condition gives the value of the heat flux in the boundary point. To prove the existence of the solution we use the Schauder fixed-point theorem for compact operators. Therefore the original problem is reduced to a homogeneous one by an appropriate change of variables. Then, assuming that the unknown coefficient is known, we use the representation of the solution to the direct problem via the Green function built by parametrix method. Using an additional condition, we obtain an integral equation for the unknown coefficient. After establishing a priori estimates from above and below for the solution to the problem, we found an admissible set for solutions to be used in the Schauder fixed-point theorem. We applied the theorem and obtained the existence of the local solution. So, we established the local in time existence of the solution in the class of continuously differentiable functions. The proof of the uniqueness of the solution was based mainly on using the properties of homogeneous Volterra integral equations of the second kind with an integrable kernel. Secondly we investigated the second boundary value problem with local additional condition such as the temperature on a side of the boundary. Here we applied the method of freezing the space variable in the major coefficient in order to use the Green function for the heat equation giving the representation of the solution to the direct problem.

Nonlocal overdetermination conditions were used in the fourth part. There we considered also two different cases of boundary conditions. Local existence and global in time uniqueness were proved.

Two quasilinear inverse problems for identifying an unknown time-dependent coefficient of the time derivative were solved in the fifth part. We used again the method of freezing the variable in the major coefficient. We reduced the original problem to a system of equivalent equations. Then, applying the Schauder fixed-point theorem for compact operators, we found suitable conditions for the existence of the solution to the previous problems. Using the properties of homogeneous Volterra integral equations of the second kind with an integrable kernel we established uniqueness of the solution.

Key words: coefficient inverse problems, linear parabolic equations, quasilinear parabolic equations, nonlocal overdetermination condition, integral inequalities, the Schauder fixed-point theorem, Volterra integral equations of the second kind.

Размещено на Allbest.ru

...