Матричнi зображення напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

УДК 512.53+512.64

МАТРИЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ НАПІВГРУП, ПОРОДЖЕНИХ ІДЕМПОТЕНТАМИ З ЧАСТКОВИМ НУЛЬОВИМ МНОЖЕННЯМ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Тертична Олена Миколаївна

Київ - 2009



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, БОНДАРЕНКО Віталій Михайлович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету, м. Київ.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор КИРИЧЕНКО Володимир Васильович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, в. о. завідувача кафедри геометрії механіко-математичного факультету, м. Київ;

доктор фізико-математичних наук, доцент, СЕРГЕЙЧУК Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу топології, м. Київ.

Захист відбудеться « 19 » жовтня 2009 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий « 15 » вересня 2009 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник



АНОТАЦIЇ

Тертична О. М. Матричнi зображення напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням. -- Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.06 -- алгебра i теорiя чисел. -- Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, 2009.

Дисертацiйна робота присвячена вивченню матричних зображень напiвгруп, породжених iдемпотентами.

Основними результатами дисертацiї є повний опис напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням (скорочено: IPN-напiвгруп), якi мають скiнченний зображувальний тип (над довiльним фiксованим полем) та повний опис скiнченних IPN-напiвгруп ручного зображувального типу; при цьому доведено, що нескiнченна IPN-напiвгрупа завжди має нескiнченний зображувальний тип.

Кожнiй IPN-напiвгрупi зiставлено деякий сагайдак, в термiнах якого зручно формулювати всi отриманi критерiї. Для довiльної скiнченної IPN-напiвгрупи установлено зв'язок мiж її зображеннями та зображеннями вiдповiдного сагайдака. iдемпотент зображувальний напiвгрупа

Описано матричнi зображення (нескiнченної) напiвгрупи, породженої трьома iдемпотентами з циклiчним нульовим множенням.

Ключовi слова: напiвгрупа, сагайдак, матричне зображення, зображувальний тип.



Тертичная Е. Н. Матричные представления полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 -- алгебра и теория чисел. -- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, 2009.

Диссертационная работа посвящена изучению матричных представлений полугрупп, порожденных идемпотентами.

Основными результатами диссертации является полное описание полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением (сокращенно: IPN-полугрупп), которые имеют конечный представленческий тип (над произвольным фиксированным полем) и полное описание конечных IPN-полугрупп ручного представленческого типа. При этом доказано, что бесконечная IPN-полугруппа всегда имеет бесконечный представленческий тип.

Каждой IPN-полугруппе S сопоставлен колчан, вершинами которого являются образующие (идемпотенты), который является дополнением “колчана соотношений” до полного колчана без петель; то есть стрелками колчана являются пары образующих (x,y) такие, что x?y и xy?0. Для произвольной конечной IPN-полугруппы установлена связь между ее представлениями и представлениями соответствующего колчана. Это дает возможность сформулировать указанные два критерия в терминах представлений колчанов. А именно, IPN-полугруппа имеет конечный представленческий тип тогда и только тогда, когда конечный тип имеет соответствующий ей колчан, а значит тогда и только тогда, когда диаграмма этого колчана является непересекающимся объединением диаграмм Дынкина. Аналогичную ситуацию имеем для конечных IPN-полугрупп ручного типа: конечная IPN-полугруппа имеет ручной представленческий тип тогда и только тогда, когда ручной тип имеет соответствующий ей колчан, а значит тогда и только тогда, когда диаграмма этого колчана является непересекающимся объединением обычных и расширенных диаграмм Дынкина.

В случае, когда IPN-полугруппа является бесконечной, показано, что она имеет дикий представленческий тип, если дикий тип имеет соответствующий ей колчан. Наиболее простой бесконечной IPN-полугруппой, которая имеет ручной тип, является полугруппа, порожденная двумя идемпотентами (без дополнительных соотношений), представления которой хорошо известны. В диссертации приводится полное решение задачи об описании представлений полугруппы, порожденной тремя идемпотентами с циклическим нулевым умножением.

Ключевые слова: полугруппа, колчан, матричное представление, представленческий тип.



Tertychna O. M. Matrix representations of semigroups generated by idempotents with partial null multiplication. -- Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.06 -- algebra and number theory. -- Kyiv National Taras Shevchenko University, 2009.

The dissertation is devoted to the study of matrix representations of semigroups generated by idempotents.

The main results of the dissertation are full classi?cations of semigroups generated by idempotents with partial null multiplication (abbreviated: IPN-semigroups) that have ?nite representation type (over any ?xed ?eld) and full classi?cations of ?nite IPN-semigroups of tame type; here one proves that any in?nite IPN-semigroup has in?nite representation type.

With each IPN-semigroup one associates a quiver, in term of which one formulates all criterions of the dissertation. For any IPN-semigroup one indicates a connection between its representations and representations of the corresponding quiver.

The matrix representations of the semigroup generated by three idempotents with cyclic null multiplication are classi?ed.

Keywords: semigroup, quiver, matrix representation, representation type.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню матричних зображень напівгруп, породжених iдемпотентами.

Матричні зображення напiвгруп над полями (навіть у випадку скiнченних напiвгруп) вивченi не в такiй мiрi, як зображення груп, хоча для деяких класiв напiвгруп можна суттєво використати тi чи iншi результати про зображення груп (як правило, скiнченних). Зображення скiнченних груп над полями вивченi достатньо добре; зокрема, повнiстю визначено зображувальний тип таких груп. У випадку, коли характеристика поля не дiлить порядку скiнченної групи (такий випадок називають класичним), група завжди має скiнченний зображувальний тип, тобто має (з точнiстю до еквiвалентностi) скiнченне число нерозкладних зображень; до того ж у цьому випадку кожне нерозкладне зображення є незвiдним прямим доданком регулярного зображення. У випадку, коли характеристика p дiлить порядок групи (такий випадок називають модулярним), група має скiнченний тип лише тодi, коли її силiвська p-пiдгрупа є циклiчною. У модулярному випадку для бiльшостi скiнченних груп задача про опис їх зображень включає в себе задачу про класифiкацiю пар матриць з точнiстю до подiбностi. Такi групи називаються дикими, а групи, що допускають явний опис зображень, - ручними (загальнi формальнi означеня ручних та диких задач належать Ю. А. Дрозду¹). Ручнi групи для цього випадку повнiстю описали В. М. Бондаренко i Ю. А. Дрозд².

Методи вивченння матричних зображень скiнченних груп залежать вiд того, який iз вказаних вище випадкiв розглядається. У класичному випадку основним є твердження про напiвпростоту групової алгебри. У модулярному випадку основним методом вивчення зображень p-груп є метод матричних задач. Зокрема, класифiкацiя модулярних зображень четверної групи Клейна зводиться до вiдомої задачi про жмуток матриць³, класифiкацiя модулярних зображень дiедральних груп зводиться до задачi про приведення самоанульовної блокової матрицi за допомогою перетворень подiбностi спецiльного вигляду⁴, класифiкацiя модулярних зображень квазiдiедральних груп та узагальнених груп кватернiонiв зводиться до зображень в'язки напiвланцюгiв^{5, 6}. Якщо ж група не є p-групою, основними методами дослiджень є метод iндукованих зображень та метод блокiв⁷. Зауважимо, що на вiдмiну вiд першого випадку, коли всi нерозкладнi зображення незвiднi, i третього випадку, де задача про опис незвiдних зображень є також досить глибокою, у другому випадку група має лише одне (одновимiрне) незвiдне зображення; саме тому, мабуть, в цьому випадку матричнi задачi виникають в “чистому” виглядi.

У теорiї напiвгруп найбiльша кiлькiсть робiт присвячена темi, пов'язанiй iз вивченням незвiдних зображень i, зокрема, з видiленням класiв напiвгруп, всi нерозкладнi зображення яких є незвiдними, зi знаходженням зв'язкiв мiж незвiдними зображеннями напiвгрупи та її пiднапiвгруп тощо. Що стосується iнших випадкiв i особливо тих, коли число нерозкладних зображень нескiнченне, то по сутi регулярних дослiджень ще не розпочато, якщо не рахувати деякi добре вiдомi результати iз сучасної лiнiйної алгебри, якi можна переформулювати в термiнах зображень напiвгруп (до таких результатiв належить, зокрема, класифiкацiя, з точнiстю до подiбностi, пар взаємно анульовних та самоанульовних матриць), а також деяких окремих результатiв про напiвгрупи скiнченного зображувального типу (в першу чергу слiд згадати результати I. С. Понiзовського про скiнченнi цiлком простi напiвгрупи та напiвгрупи всiх перетворень скiнченної множини).

У дисертацiї вивчаються матричнi зображення для одного природного класу напiвгруп, серед яких зустрiчаються напiвгрупи всiх зображувальних типiв (скiнченного, ручного та дикого).

Актуальнiсть теми. Зображення напiвгруп вiдiграють важливу роль у сучаснiй алгебрi. У дисертацiйнiй роботi вивчаються матричнi зображення для природного класу напiвгруп, породжених iдемпотентами. Основна увага придiляється напiвгрупам, якi породжененi скiнченним числом iдемпотентiв з частковим нульовим множенням.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiйної роботи пов'язана з науковими дослiдженнями кафедри алгебри та математичної логiки Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка - тема 06БФ038-02 “Розробка алгебраїчних та геометричних методiв дослiдження алгебраїчних структур з використанням комбiнаторних та категорних пiдходiв”, термiн 01.01.2006 - 31.12.2010 (номер державної реєстрацiї 0106U005862).

Мета i задачi дослiдження. Метою дослiдження є опис напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням, що мають скiнченний (нескiнченний) зображувальний тип, а також (при деяких обмеженнях на напiвгрупи) - ручний (дикий) зображувальний тип.

Об'єктом дослiдження є матричнi зображення напiвгруп. Усi зображення розглядаються над довiльним полем.

Предмет дослiдження - зображувальний тип напiвгруп та явний вигляд нерозкладних зображень.

Методи дослiдження. Основними методами, що використовуються при дослiдженнях, є методи теорiї зображень та метод матричних задач, а також стандартнi методи лiнiйної алгебри.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiї автором отримано новi теоретичнi результати, основними з яких є наступнi:

· отримано критерiй скiнченностi для напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням (скорочено: IPN-напiвгрупа);

· доведено, що нескiнченна IPN-напiвгрупа має нескiнченний зображувальний тип (над довiльним полем);

· повнiстю описанi IPN-напiвгрупи скiнченного зображувального типу;

· описано IPN-напiвгрупи ручного та дикого зображувальних типiв у випадку скiнченних напiвгруп;

· описано матричнi зображення (нескiнченної) напiвгрупи, породженої трьома iдемпотентами з циклiчним нульовим множенням;

· установлено зв'язок мiж зображеннями IPN-напiвгруп та зображеннями сагайдакiв.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертацiйної роботи мають теоретичний характер. Отриманi в нiй результати, а також методи, за допомогою яких вони отриманi, можуть бути використанi в теорiї зображень та теорiї матричних задач.

Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiйної роботи отримано здобувачем самостiйно. У спiльних з науковим керiвником роботах останньому належать, як правило, постановки задач та загальнi iдеї щодо методiв їх розв'язання, а практична реалiзацiя та ряд конкретних iдей належать здобувачевi. Зокрема, у статтi [1] йому належать результати §2, у статтi [2] -- доведення теореми 3 (§2) та результати §3 - §4, у статтi [4] -- твердження 2 i наслiдок 1 (§2) та результати §3. Зi спiльних робiт на захист виносяться лише результати, отриманi здобувачем особисто.

Апробацiя результатiв дисертацiї.

Результати дисертацiйної роботи оприлюднено:

на Шостiй мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї в Українi (Кам'янець-Подiльський, липень 2007 р.),

на мiжнароднiй конференцiї “Алгебра i її застосування” (Красноярськ, серпень 2007 р.),

на мiжнароднiй конференцiї “Алгебраїчнi системи i їх застосування в диференцiальних рiвняннях та iнших областях математики” (Кишинiв, серпень 2007 р.)

на Дванадцятiй мiжнароднiй науковiй конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, травень 2008 р.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в 9 наукових роботах. Iз них 4 статтi - у фахових виданнях ([1] - [4]), один препринт ([5]) та 4 - у матерiалах та тезах конференцiй ([6] - [9]).

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiйна робота складається зi вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи -- 167 сторiнок, iз них список використаних джерел займає 7 сторiнок (59 найменувань).

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керiвнику доктору фiзико-математичних наук В. М. Бондаренку за постiйну увагу, цiкавi iдеї та кориснi поради.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ РОБОТИ

У вступi наведено загальну характеристику та мету роботи, обґрунтовано її актуальнiсть i наукову новизну.

Перший роздiл присвячено формулюванню вiдомих результатiв, якi використовуються в дисертацiйнiй роботi.

У пiдроздiлi 1.1 наведено означення, що стосуються зображень сагайдакiв (на мовi векторних просторiв та на матричнiй мовi), i сформульовано основнi теореми про сагайдаки скiнченного, ручного та дикого типiв.

У пiдроздiлi 1.2 розглянуто матричнi зображення частково впорядкованих множин та сформульовано вiдому теорему М. М. Клейнера про частково впорядкованi множини скiнченного зображувального типу. Приведено опис зображень частково впорядкованих множин ширини ? 2.

Пiдроздiл 1.3 мiстить основнi результати про зображення в'язок ланцюгiв. Головним iз них є теорема, яка дає повну класифiкацiю нерозкладних зображень довiльної в'язки ланцюгiв.

У другому роздiлi дисертацiйної роботи розглядається один клас напiвгруп, який є досить природним, якщо виходити iз твiрних i визначальних спiввiдношень. Цей клас складається зi всiх напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням.

У пiдроздiлi 2.1 наведено основнi означення. Нехай I -- скiнченна множина, яка не мiстить елемента 0, i J -- пiдмножина в I Ч I без дiагональних елементiв (тобто без елементiв вигляду (i,i)). Позначимо через S(I,J) напiвгрупу з твiрними елементами e_i, де , i наступними визначальними спiввiдношеннями:

1) e₀=0 (e₀e_i=e_ie₀ для );

2) e_i²=e_i для довiльного ;

3) e_ie_j=0 для довiльної пари .

Означена таким чином напiвгрупа називається напiвгрупою, породженою iдемпотентами з частковим нульовим множенням. Множину всiх таких напiвгруп позначимо через.

Кожнiй напiвгрупi S=S(I,J)є поставимо у вiдповiднiсть такий орiєнтований граф Л=Л(S)=(Л₀,Л₁) з множиною вершин Л₀ i множиною стрiлок Л₁:

,

а Л₁ складається зi стрiлок e_i>e_j, де (i,j) пробiгає множину J. Проте далі важливішу роль буде грати орiєнтований граф , який визначається в такий спосіб: ,а e_i>e_j належить тодi i лише тодi, коли e_i>e_j не належить Л₁ i при цьому . Iншими словами, орiєнтований граф є доповненням графа Л до повного орiєнтованого графа без петель (тобто такого орiєнтованого графа, який не має стрiлок вигляду a>a i має в точностi одну стрiлку a>b для довiльних вершин a i ).

Очевидно, що напiвгрупа S(I,J) однозначно вiдтворюється по кожному iз введених орiєнтованих графiв.

У дисертацiйнiй роботi розглядаються (скiнченновимiрнi) матричнi зображення напiвгруп над полем k (яке на протязi всiєї дисертацiї вважається довiльним).

Матричне зображення розмiрностi n напiвгрупи S=S(I,J)є над полем k -- це (згiдно загального означення матричного зображення напiвгрупи з нулем) набiр матриць розмiру nЧn

з елементами із k такий, що виконуються наступнi умови:

1) M(e₀)=0;

2) [M(e_i)]²=M(e_i) для довільного ;

3) M(e_i)M(e_j)=0 для довільної пари .

Говорячи про матричне зображення M напiвгрупи S(I,J), ми будемо вказувати лише матрицi M(e_i) для .

Еквiвалентнiсть матричних зображень i напiвгрупи означає iснування оборотної матрицi C такої, що M(e_i)=CN(e_i)C^-1 для всiх . Зауважимо, що часто бiльш зручно користуватися еквiвалентними (лiнiйними вiдносно C) рiвностями M(e_i)C=CN(e_i).

Пряма сума матричних зображень i напiвгрупи S(I,J) -- це зображення . Зображення M називається розкладним, якщо воно еквiвалентне прямiй сумi двох ненульових зображень, i нерозкладним в iншому разi (нульове зображення -- це зображення розмiрностi 0).

У пiдроздiлi 2.2 доведено (методом побудови матричних зображень), що напiвгрупа S=S(I,J)є скiнченною тодi i лише тодi, коли граф -- ациклiчний (тобто не мiстить орiєнтованих циклiв).

Третiй роздiл присвячено напiвгрупам S(I,J) скiнченного зображувального типу.

Кажуть, що напiвгрупа S має скiнченний зображувальний тип над полем k, якщо кiлькiсть її нерозкладних зображень над k (з точнiстю до еквiвалентностi) скiнченна; в iншому випадку кажуть, що S має нескiнченний (зображувальний) тип над k.

У пiдроздiлi 3.1 доведена наступна теорема.

Теорема 3.1. Будь-яка нескiнченна напiвгрупа S(I,J) має нескiнченний зображу-вальний тип над довiльним полем k.

У пiдроздiлi 3.2 сформульовано основний результат, що стосується скiнченного типу для напiвгруп S(I,J).

Теорема 3.3. Напiвгрупа S(I,J) має скiнченний зображувальний тип над полем k тодi i лише тодi, коли вiдповiдний їй сагайдак має скiнченний зображувальний тип.

Iз теореми 3.3 та вiдомої теореми П. Габрiеля про сагайдаки скiнченного типу випливає наступне твердження.

Теорема 3.4. Напiвгрупа S(I,J) має скiнченний тип над полем k тодi i лише тодi, коли неорiєнтований граф, що вiдповiдає сагайдаку , є незв'язним об'єднанням дiаграм Динкiна (малюнок).

Пiдроздiли 3.3 i 3.4 присвяченi доведенню основної теореми 3.3. Iз результатiв, отриманих у пiдроздiлах 2.2 та 3.1 випливає, що доведення теореми 3.3 досить проводити для ациклiчного випадку (тобто для скiнченних напiвгруп).

У пiдроздiлi 3.3 встановлено зв'язок мiж зображеннями скiнченних напiвгруп S(I,J) та зображеннями сагайдакiв. Зауважимо, що при цьому достатньо вважати, що орiєнтований граф не має iзольованих вершин.

Введемо спочатку наступнi позначення. Через R(S) будемо позначати множину всiх матричних зображень напiвгрупи S=S(I,J)є над полем k. Через ₀ позначимо матричне зображення напiвгрупи S(I,J) над полем k, у якого всi матрицi ₀(e_i), є нульовими розмiру 1Ч1. Позначимо через R₀(S) множину всiх матричних зображень напiвгрупи S(I,J) над полем k, якi мiстять як прямий доданок зображення ₀, тобто ₀, де -- деяке зображення. Через позначимо множину всiх матричних зображень напiвгрупи S(I,J) над полем k, якi не мiстять зображення ₀ у якостi прямого доданку, тобто

.

Твердження 3.10. Для довiльного зображення скiнченної напiвгрупи S(I,J) над полем k iснує зображення (над k), еквiвалентне зображенню M, матрицi K(e_i) якого задовольняють наступнi умови:

1) усi матрицi K(e_i) роздiленi на n горизонтальних та n вертикальних смуг (однаковим чином), якi занумерованi елементами множини I в порядку зростання номерiв (зверху вниз i злiва направо вiдповiдно); при цьому всi дiагональнi блоки є квадратними;

2) в матрицi K(e_i), i=1,…,n, блок, що стоїть на мiсцi (i,i), є одиничною матрицею; решта її дiагональних блокiв -- нульовi;

3) недiагональний блок матрицi K(e_i), , що стоїть на мiсцi , , є нульовим, якщо в графi не iснує стрiлки e_i > e_j.

Iз твердження 3.10 випливає наступне твердження.

Наслiдок 3.13. Якщо S=S(I,J) -- скiнченна напiвгрупа i T -- її довiльне фiксоване матричне зображення, то матриця подiбна прямiй сумi невиродженої та нульової матриць.

Введемо наступне позначення: у матричному зображеннi K iз твердження 3.10 недiагональний блок матрицi K(e_i), , що стоїть на мiсцi (i,j), , будемо позначати через K_ij, якщо в графi iснує стрiлка e_i > e_j. Очевидно, що зображення K однозначно задається набором {K_ij}, який будемо розглядати як зображення сагайдака . А саме, матрицi K_ij (в K(e_i)) вiдповiдає стрiлка e_i > e_j в графi . Зауважимо, що при цьому кожне зображення сагайдака отримується вказаним способом.

Таким чином, ми довели, що iснує природна вiдповiднiсть мiж зображеннями (скiнченної) напiвгрупи S(I,J) та зображеннями її сагайдака (у ациклiчному випадку). Далi, у пiдроздiлi 3.4, доведено, що при цьому зберiгається еквiвалентнiсть (чи нееквiвалентнiсть) вiдповiдних зображень.

Бiльш точно, має мiсце наступне твердження.

Твердження 3.14. Два зображення K i напiвгрупи S(I,J), якi мають вигляд, описаний у твердженнi 3.10, еквiвалентнi тодi i лише тодi, коли еквiвалентнi вiдповiднi зображення i сагайдака .

З доведення твердження 3.14 випливає (якщо покласти ), що алгебра ендоморфiзмiв зображення K iзоморфна алгебрi ендоморфiзмiв вiдповiдного зображення R сагайдака . Звiдси, з урахуванням того факту, що зображення (напiвгрупи, сагайдака тощо) нерозкладне тодi i лише тодi, коли алгебра його ендоморфiзмiв локальна, маємо, що зображення K напiвгрупи S(I,J) нерозкладне тодi i лише тодi, коли нерозкладним є зображення сагайдака .

Легко бачити, що iз викладеного негайно випливає теорема 3.3.

У четвертому роздiлi дисертацiйної роботи вивчаються матричнi зображення напiвгруп у ручних та диких випадках.

Кажуть, що напiвгрупа S(I,J) має ручний (вiдповiдно дикий) зображувальний тип над полем k або є ручною (вiдповiдно дикою) над полем k, якщо задача про опис її зображень є ручною (вiдповiдно дикою).

Пiдроздiл 4.1 присвячено ручним скiнченним напiвгрупам S(I,J). У загальному ациклiчному випадку (незалежно навiть чи ручний, чи дикий випадок) справедливi всi тi твердження з попереднього роздiлу, якi використовувались для доведення критерiю скiнченностi типу для скiнченних напiвгруп S(I,J) (див. пiдроздiли 3.3 та 3.4), оскiльки при їх доведеннi ми по сутi користувались лише умовою ациклiчностi (бiльш того, у твердженнi 3.14 не вимагалась навiть i ця умова, тобто воно виконується i для нескiнченних напiвгруп). Тому ми не будемо повторно все це формулювати в загальному випадку, а просто будемо посилатися на вiдповiднi тведження. Таким чином, iз тверджень 3.10 i 3.14 (iз врахуванням тiльки що сказаного) випливає наступна теорема.

Теорема 4.1. Скiнченна напiвгрупа S(I,J) є ручною над полем k тодi i лише тодi, коли вiдповiдний їй сагайдак ручний.

Використовуючи цю теорему та опис сагайдакiв ручного типу (отриманий незалежно Л. О. Назаровою та П. Донованом i М. Р. Фройслiх) можна сформулювати критерiй ручностi для напiвгруп S(I,J) в явному виглядi (аналогiчно випадку напiвгруп скiнченного типу). Ми зробимо це, виключивши iз розгляду напiвгрупи скiнченного типу. При цьому нам знадобляться додатковi поняття i твердження.

Напiвгрупу S=S(I,J) iз назвемо зв'язною (вiдповiдно незв'язною), якщо таким є її орiєнтований граф .

Оскiльки напiвгрупа S(I,J) однозначно вiдновлюється за своїм графом , то у випадку, коли цей граф є незв'язним об'єднанням орiєнтованих графiв i , ми можемо розглянути вiдповiднi їм напiвгрупи S₁ i S₂ iз ?; при цьому, очевидно, що якщо S₁=S₁(I₁,J₁) i S₂=S₂(I₂,J₂), то S=S(I,J), де , (всi об'єднання неперетиннi). У цьому випадку будемо писати .

Отже, якщо орiєнтований граф є незв'язним об'єднанням зв'язних графiв i S₁,…,S_m -- вiдповiднi їм (графам) напiвгрупи, то S=S(I,J)=S₁V…VS_m, причому всi цi напiвгрупи зв'язнi.

Носiєм матричного зображення M напiвгрупи S назвемо множину всiх таких, що матриця M(x) ненульова.

Твердження 4.2. Нехай S(I,J)=S₁VS₂ i при цьому напiвгрупа скiнченна. Тодi носiй будь-якого нерозкладного зображення M напiвгрупи S(I,J) або належить S₁, або належить S₂.

Наслiдок 4.3. Якщо напiвгрупа S=S(I,J) задовольняє умовам твердження 4.2, то вона ручна (вiдповiдно скiнченного типу) тодi i лише тодi, коли напiвгрупи S₁ i S₂ ручнi (вiдповiдно скiнченного типу).

Таким чином, користуючись описом ручних сагайдакiв i наслiдком 4.3, можна сформулювати критерiй ручностi 4.1 у наступнiй явнiй формi.

Теорема 4.4. Зв'язна скiнченна напiвгрупа S(I,J) нескiнченного типу є ручною над полем k тодi i лише тодi, коли неорiєнтований граф, що вiдповiдає сагайдаку , є розширеною дiаграмою Динкiна, тобто має один iз наступних виглядiв: (малюнок)

У пiдроздiлi 4.2 дослiджується зображувальний тип напiвгруп S(I,J) у загальному випадку.

У випадку, коли напiвгрупа S(I,J) нескiнченна (тобто якщо граф не є ациклiчним), теорема 4.1 виконується лише в одну сторону (оскiльки у неациклiчному випадку твердження 3.10 вже не виконується, а твердження 3.14, як було зазначено вище, виконується i для нескiнченних напiвгруп). Таким чином, iз того, що було зроблено для скiнченного типу, випливає наступна важлива необхiдна умова ручностi для нескiнченних напiвгруп: якщо сагайдак дикий над полем k, то i напiвгрупа S(I,J) дика над k.

Звiдси i наслiдку 4.3 випливає, що нам залишилося розглянути випадок, коли граф є незв'язним об'єднанням орiєнтованих циклiв. Найпростiшою (ручною) нескiнченною напiвгрупою такого типу є добре вiдома задача про зображення напiвгрупи, породженої двома iдемпотентами (без додаткових спiввiдношень), яка легко зводиться до задачi про зображення сагайдака, який є циклом довжини 4 (без шляхiв довжини ? 2).

У заключних двох пiдроздiлах 4.3 i 4.4 дисертацiйної роботи розглядається “наступний по складностi” випадок: задача про опис зображень напiвгрупи SC₃, породженої трьома iдемпотентами з циклiчним нульовим множенням. Орiєнтованим графом цiєї напiвгрупи є орiєнтований цикл довжини 3. У пiдроздiлi 4.3 доведена ручнiсть цiєї задачi (теорема 4.5), а в пiдроздiлi 4.4 повнiстю описанi нерозкладнi зображення напiвгрупи SC₃.



ВИСНОВКИ

У дисертацiйнiй роботi вводиться клас напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням (скорочено: IPN-напiвгрупа) i вивчаються матричнi зображення таких напiвгруп.

Доведено критерiй скiнченностi для IPN-напiвгруп. Доведено, що нескiнченна IPN-напiвгрупа завжди має (з точнiстю до еквiвалентностi) нескiнченне число нерозкладних зображень. Кожнiй IPN-напiвгрупi зiставлено деякий орiєнтований граф, в термiнах якого формулюються всi основнi критерiї. Доведено критерiй скiнченностi типу для IPN-напiвгруп; при цьому для IPN-напiвгруп скiнченного типу встановлено зв'язок мiж їх зображеннями та зображеннями сагайдакiв. Це дало змогу сформулювати вказаний критерiй в термiнах графiв.

Повнiстю описано ручнi скiнченнi IPN-напiвгрупи. Установлено зв'язок мiж зображеннями таких IPN-напiвгруп та зображеннями сагайдакiв. Доведено, що якщо вiдповiдний IPN-напiвгрупi орiєнтований граф є об'єднанням ациклiчного i неациклiчного графiв X та Y , то опис зображень цiєї напiвгрупи зводится до опису зображень IPN-напiвгруп iз графами X та Y . Для нескiнченних IPN-напiвгруп отримано необхiднi умови ручностi. Задача про опис ручних нескiнченних IPN-напiвгруп у загальному випадку зведена до напiвгруп спецiального вигляду. Застосовуючи метод матричних задач i користуючись вiдомими результатами про зображення частково впорядкованих множин та в'язок ланцюгiв, отримано повний опис зображень напiвгрупи, породженої трьома iдемпотентами з циклiчним нульовим множенням.



СПИСОК ОПУБЛIКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ

1. Тертичная Е. Н. О полугруппах, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением / В. М. Бондаренко, Е. Н. Тертичная // Комплексний аналiз i течiї з вiльними границями : Зб. праць Iн-ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 4. - С. 294-298.

2. Тертичная Е. Н. О бесконечности типа бесконечных полугрупп, порожденных идемпотентами с частичным нулевым умножением / В. М. Бондаренко, Е. Н. Тертичная // Проблеми топологiї та сумiжнi питання : Зб. праць Iн-ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, № 3. - С. 23-44.

3. Тертична О. М. Про скiнченнiсть зображувального типу напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням / О. М. Тертична // Науковий вiсник Ужгородського ун-ту. Серiя: математика i iнформатика. - 2007. - Вип. 14-15. - С. 130-136.

4. Tertychna Olena M. On tame semigroups generated by idempotents with partial null multiplication / Vitaliy M. Bondarenko, Olena M. Tertychna // Algebra Discrete Math. - 2008. - № 4. - P. 15-22.

5. Тертична О. М. Класифiкацiя матричних зображень напiвгрупи SC₃ / Бондаренко В. М., Тертична О. М. - Київ : Iн-т математики НАН України, 2009. - 61 с. - (Препринт / НАН України, Iн-т математики; 2009.3).

6. Tertychna O. M. On semigroups of ?nite representation type generated by idempotents with partial null multiplication / V. M. Bondarenko, O. M. Tertychna // 6th Int. Algebraic Conf. in Ukraine : Abstr. Kamyanets-Podilsky, July 1-7, 2007. - Kamyanets-Podilsky, 2007. - Р. 42.

7. Tertychna O. M. On ?nite-dimensional representations of semigroups generated by idempotents with partial null multiplication / O. M. Tertychna // Междунар. конф. “Алгебра и её приложения” : Тезисы докладов. Красноярск, 12-18 августа 2007 г. - Красноярск, 2007. - С. 180.

8. Tertychna O. M. On representations of semigroups generated by idempotents with simplest relations / V. M. Bondarenko, O. M. Tertychna // Int. Conf. “Algebraic Systems and their Applicatins in Di?erential Equations and other domains of mathematics”, dedicated to V. A. Andrunachievici, C. S. Sibirschi : Abstr. Chisinau, August 21-23, 2007. - Chisinau, 2007. - Р. 25.

9. Тертичная Е. Н. О ручных полугруппах специального вида, порожденных идемпотентами / Е. Н. Тертичная // XII Мiжнар. наукова конф. iм. акад. М. Кравчука : Матерiали конф. Київ, 15-17 травня 2008 р. - К., 2008. - С. 813.

Размещено на Allbest.ru

...