Нетерові крайові задачі для імпульсних диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. У дисертаційній роботі розглядається задача про знаходження конструктивних умов існування та побудову розв'язків крайових задач для лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом. Дослідження імпульсно-збурених систем звичайних диференціальних рівнянь є традиційним для київської школи нелінійних коливань; започаткували його в 30-ті роки М.М. Крилов та М.М. Боголюбов вивченням механізму годинника, у якому згасання коливань, викликане тертям, компенсувалося періодичними поштовхами анкера. Окремо слід відзначити дослідження А.Д. Мишкіса систем із поштовхами та рівнянь із перемиканнями, які являли собою узагальнення бурхливих систем Т. Вожеля. Дослідження М.М. Крилова та М.М. Боголюбова було продовжено в роботі А.Д. Мишкіса і А.М. Самойленка.

Конструктивна теорія систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом набуває інтенсивного розвитку після виходу у світ монографії А.М. Самойленка та М.О. Перестюка. У роботах А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, С. Швабіка та О.А. Бойчука було знайдено необхідні й достатні умови існування розв'язків імпульсно-збурених крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь у критичному і некритичному випадках, а також конструкції оператора Гріна задачі Коші і оператор Гріна періодичної крайової задачі з імпульсним впливом. Характерною рисою всіх зазначених публікацій є використання або невиродженого, або двоточкового імпульсного збурення в фіксовані моменти часу.

Розглянута в дисертації проблема знаходження конструктивних умов існування та побудови розв'язків нетерових крайових задач для лінійних і нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом є узагальненням задач із невиродженим імпульсним впливом, імпульсно-збурених двоточкових задач із прямокутними матрицями; останні задачі вивчали Р. Конті та С. Швабік.

Задачі про побудову розв'язків нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом також являють собою узагальнення задач з виродженим імпульсним впливом і задач із імпульсним впливом типу "interface conditions".

Актуальність вивчення імпульсно-збурених звичайних диференціальних рівнянь обумовлена їх численними застосуваннями, зокрема в теорії нелінійних коливань, теорії керування, у механіці, біології та радіотехніці, теорії стійкості руху, ядерній фізиці, фінансовій математиці, логістиці, в яких часом швидкоплинних змін можна нехтувати в порівнянні з часом повільних змін, які визначаються системою звичайних диференціальних рівнянь. З іншого боку, питання існування та побудови розв`язків крайових задач з імпульсним впливом посідають почесне місце в якісній теорії звичайних диференціальних рівнянь, зокрема -- в задачах оптимального керування, теорії стохастичних диференціальних рівнянь, теорії диференціальних рівнянь з багатозначною та розривною правою частиною, а також диференціальних рівнянь із включеннями.

Мета i завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є визначення конструктивних умов існування та побудова алгоритмів знаходження розв'язків нетерових крайових задач для лінійних і слабконелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну i виносяться на захист, такі:

1. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків та побудовано узагальнений оператор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь із імпульсним впливом.

2. Одержано конструктивні умови біфуркації розв'язків та побудовано оригінальну ітераційну процедуру для знаходження розв'язків лінійної нетерової крайової задачі з імпульсним впливом. За умови нерозв'язності лінійної крайової задачі з імпульсним впливом за аналогією з методом найменших квадратів запропоновано формулу для наближеного знаходження псевдорозв'язку, яка мінімізує нев'язку як у диференціальній системі, так і в крайовій умові.

3. Для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь за схемою Ньютона - Канторовича та з використанням методу найменших квадратів побудовано ітераційні роцедури, а також отримано умови збіжності до шуканого розв'язку.

4. Для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь в особливому критичному випадку визначено конструктивні необхідні й достатні умови існування розв'язків і побудовано оригінальні ітераційні процедури.

5. Для автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь встановлено необхідні та достатні умови існування шуканих розв'язків та побудовано ітераційні процедури з лінійною збіжністю. Визначено оцінки довжини відрізку значень малого параметру, на якому зберігається збіжність цих процедур до розв'язку автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі.

6. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь із імпульсним впливом. Запропоновано збiжнi iтерацiйнi алгоритми побудови розв'язкiв нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь із імпульсним впливом. Визначено оцінки довжини відрізку значень малого параметру, на якому зберігається збіжність цих процедур до розв'язку нетерової слабконелінійної крайової задачі з імпульсним впливом.

1. Основні відомості з теорії псевдообернених матриць та деякі основні факти щодо конструктивних умов існування та побудови розв'язків лінійних нетерових крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь

З метою знаходження лінійних збурень, які б забезпечували існування розв'язків нетерової критичної крайової задачі для довільних неоднорідностей, встановлено необхідну і достатню умову існування принаймні одного розв'язку, побудовано оригінальну ітераційну процедуру та знайдено оцінку довжини проміжку значень малого параметру, на якому зберігається збіжність цієї процедури до шуканого розв'язку. Задля наближеного знаходження псевдорозв'язку нетерової критичної некоректно поставленої крайової задачі за аналогією з методом найменших квадратів запропоновано формулу, яка мінімізує нев'язку як у диференціальній системі, так і в крайовій умові.

2. Задача про знаходження розв'язку імпульсної задачі з перемиканнями

(1)

Задача (1) є нетеровою і узагальнює постановки задач із крайовими умовами типу "interface conditions", розглянутих в роботах Р. Конті, С. Швабіка, а також задач із невиродженим та виродженим імпульсним впливом, докладно вивчених в роботах А.Д. Мишкіса, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та О.А. Бойчука.

Лема 2.1.1. Загальний розв'язок системи:

(2)

зображуваний у вигляді.

Лема 2.1.3. За умови задача:

(3)

має розв'язкок вигляду зображуваний нормованою фундаментальною матрицею.

Ранг нормованої фундаментальної матриці задачі (2) може довільним чином змінюватись вздовж відрізку тому конструкція матриці узагальнює нормальні фундаментальні матриці, побудовані в роботах А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та О.А. Бойчука для задач із крайовими умовами типу "interface conditions", а також - для задач із невиродженим та виродженим імпульсним впливом.

Теорема 2.2.1. У критичному випадку задача (1) розв'язна тоді і тільки тоді, коли виконується умова:

(4)

за цієї умови задача (1) має розв'язок:

(5)

Теорема 2.2.1 узагальнює аналогічні твердження, доведені в роботах А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та О.А. Бойчука для задач із невиродженим та виродженим імпульсним впливом, а також для задач із крайовими умовами типу "interface conditions".

Припустимо, що умова (4) не виконується для довільних неоднорідностей задачі (1). Поставимо задачу про знаходження лінійних збурень, які б забезпечували існування розв'язків крайової задачі:

(7)

для довільних неоднорідностей.

Поставлена задача являє собою узагальнення задачі про біфуркацію розв'язків лінійної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь із невиродженим імпульсним впливом, а також задачі про біфуркацію неперервно-диференційовних розв'язків лінійної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь, досліджених у роботах М.І. Вішика, Л.А. Люстерніка, А.М. Самойленка та О.А. Бойчука.

Уперше імпульсне збурення для регуляризації періодичної крайової задачі застосували М.М. Крилов і М.М. Боголюбов. Традиційно для розв'язання таких задач використовувався метод Вішика - Люстерніка. В дисертації побудовано схему розв'язання нетерової імпульсної крайової задачі (7) методом простих ітерацій, а також отримано конструктивні умови збіжності та оцінки областей зміни малого параметру, для яких зберігається збіжність цих ітераційних процедур до шуканого розв'язку.

Теорема 2.3.1. Припустимо, що для незбуреної крайової задачі (1) має місце критичний випадок; при цьому умова (4) розв'язності задачі (1) не виконується при довільних неоднорідностях. У такому випадку слабкозбурена задача (7) за умови має принаймні один розв'язок.

Припустимо, що умову (4) не виконано. Позначимо через систему лінійно-незалежних вектор-функцій. Поставимо за мету побудову наближених псевдорозв'язків крайової задачі (1), які б мінімізували нев'язку як диференціальної системи, так і крайової умови (1), у вигляді часткових сум узагальненого ряду Фур'є.

Лема 2.4.1. Якщо умову (4) не виконано, у випадку задача (1) нерозв'язна. За умови формула:

(8)

визначає найкращий псевдорозв'язок задачі (1).

3. Задача про знаходження умов існування та побудову розв'язку нетерової крайової задачі

(9)

Розв'язок задачі (9) шукаємо в малому опуклому околі зку породжуючої задачі.

Теорема 3.2.1. Якщо критична крайова задача (9) має розв'язок то вектор задовольняє рівняння...

За умови задача про побудову розв'язку системи (9) еквівалентна задачі про знаходження розв'язку операторної системи

Для знаходження цього розв'язку побудовано двохкрокову ітераційну процедуру, яка подібна схемі, наведеній в теоремі 5.3.2. Крім того, по аналогії з класичним методом найменших квадратів для знаходження розв'язку крайової задачі (9) побудовано послідовність наближень у вигляді часткових сум узагальненого ряду Фур'є, які мінімізують послідовність нев'язок до розв'язку крайової задачі (9).

Теорема 3.2.3. Для кожного простого кореня рівняння (10) за умови критична крайова задача (9) має принаймні один розв'язок Цей розв'язок можна визначити за допомогою ітераційного процесу із лінійною збіжністю.

Введемо до розгляду оператор

Теорема 3.2.4. Для кожного кореня рівняння (10) за умови критична крайова задача (9) має принаймні один розв'язок. Цей розв'язок можна визначити за допомогою збіжного ітераційного процесу.

Аналогічні проблеми знаходження умов існування і побудови розв'язків досліджено для маловивчених нетерових крайових задач. Результати досліджень А.М. Самойленка та О.А. Бойчука поширено на більш загальний випадок.

Побудовані ітераційні процедури з лінійною збіжністю; У критичному випадку за умови згідно з класифікацією І.Г. Малкіна має місце особливий критичний випадок, оскільки традиційна схема аналізу, побудована в роботах Ю.О. Рябова, А.М. Самойленка та О.А. Бойчука для нетерових крайових задач, не може бути застосована внаслідок неможливості знаходження параметру, який визначає породжуючий розв'язок, у малому околі якого має сенс шукати розв'язки задачі (9). На відміну від раніше вивчених І.Г.Малкіним періодичних крайових задач в дисертації досліджено нетерову крайову задачу в особливому критичному випадку.

Теорема 3.5.1. Якщо крайова задача (9) в особливому критичному випадку має розв'язок, який за перетворюється на породжуючий то вектор задовольняє рівняння

Теорема 3.5.2. В особливому критичному випадку для кожного простого кореня рівняння за умови задача (9) має принаймні один розв'язок, який перетворюється на породжуючий.

Для знаходження цього розв'язку побудовано трьохкрокову ітераційну процедуру. Крім того, для частинного випадку двовимірної задачі (9) з періодичною крайовою умовою в особливому критичному випадку по аналогії з класичним методом найменших квадратів побудовано послідовність найкращих наближень у вигляді часткових сум узагальненого ряду Фур'є, які мінімізують послідовність нев'язок у наближеннях до розв'язку цієї задачі. Як приклад аналізу крайової задачі (9) в особливому критичному випадку досліджено періодичну задачу для рівняння, що описує рух маятника в околі верхнього положення рівноваги, точка підвіски якого здійснює вертикальні гармонійні коливання великої частоти.

4. Проблеми знаходження умов існування і побудови розв'язків для автономних нетерових крайових задач

(11)

Для некритичного випадку встановлені необхідні ті достатні умови існування розв'язків і побудовано ітераційну процедуру з лінійною збіжністю. Знайдено оцінки довжини відрізку, на якому зберігається збіжність цієї процедури до шуканого розв'язку автономної нетерової слабко нелінійної крайової задачі.

В критичному випадку задача (11) істотно відрізняється від неавтономних крайових задач; зокрема, правий кінець відрізку невідомий. На відміну від попередніх досліджень розглянуто більш загальний випадок.

Теорема 4.2.1. Якщо в критичному випадку задача (1) має розв'язок, який при перетворюється на породжуючий то вектор задовольняє рівняння

Теорема 4.2.1. Для кожного простого кореня рівняння задача (11) має принаймні один розв'язок, який при перетворюється на породжуючий. Останній розв'язок можна обчислити за допомогою збіжного ітераційного процесу.

Наприкінці четвертого розділу побудовано ітераційні процедури з лінійною збіжністю. Знайдено оцінки довжини відрізку, на якому зберігається збіжність цих процедур до шуканого розв'язку автономної критичної слабконелінійної крайової задачі. Як приклад реалізації ітераційної процедури знайдено перші наближення до періодичного розв'язку рівняння Ван-дер-Поля, а також знайдено оцінку довжини відрізку на якому зберігається збіжність цієї процедури до шуканого розв'язку.

5. Задача про знаходження умов існування та побудову розв'язків імпульсної нетерової крайової задачі

(12)

Теорема 5.3.1. Припустимо, що для крайової задачі (12) має місце критичний випадок і виконується умова (4) розв'язності породжуючої задачі. Припустимо також, що задача (12) має розв'язок, який при перетворюється на породжуючий За цих умов вектор задовольняє рівняння

Теорема 5.3.2. Припустимо, що для крайової задачі (12) має місце критичний випадок і виконується умова (4) розв'язності породжуючої задачі. За цих умов для кожного простого кореня рівняння якщо задача (12) має принаймні один розв'язок, який при перетворюється на нульовий. Цей розв'язок можна визначити за допомогою збіжного ітераційного процесу.

Теореми 5.2.1, 5.3.1 та 5.3.2 узагальнюють результати для крайових задач із невиродженим імпульсним впливом, імпульсно-збурених двоточкових задач із прямокутними матрицями, задач із імпульсним впливом типу "interface conditions", а також відповідні результати для неавтономних крайових задач без імпульсного впливу. Зокрема, теорема 5.3.2 узагальнює теорему 3.2.3, а також і відповідну ітераційну процедуру. Наприкінці п'ятого розділу знайдено оцінки довжини відрізку, на якому зберігається збіжність процедур, визначених у теоремах 5.2.1 та 5.3.2, до шуканого розв'язку нетерової імпульсної крайової задачі (12) з перемиканнями.

Висновки

імпульсний слабконелінійний нетеровий диференціальний

У дисертаційній роботі отримано такі нові результати:

1. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків та побудовано узагальнений оператор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом.

2. Одержано конструктивні умови біфуркації розв'язків та побудовано оригінальну ітераційну процедуру для знаходження розв'язків лінійної нетерової крайової задачі з імпульсним впливом. За умови нерозв'язності лінійної крайової задачі з імпульсним впливом за аналогією з методом найменших квадратів запропоновано формулу для наближеного знаходження псевдорозв'язку, яка мінімізує нев'язку як у диференціальній системі, так і в крайовій умові.

3. Для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь за схемою Ньютона - Канторовича та з використанням методу найменших квадратів побудовано ітераційні процедури з квадратичною збіжністю, а також отримано конструктивні умови збіжності та оцінки областей зміни малого параметру, для яких зберігається збіжність цих ітераційних процедур до шуканого розв'язку.

4. Для знаходження розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь в особливому критичному випадку встановлено конструктивні необхідна й достатня умови існування шуканих розв'язків і побудовано оригінальні ітераційні процедури.

5. Для автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь визначено необхідні та достатні умови існування шуканих розв'язків і побудовано ітераційні процедури з лінійною збіжністю. Знайдено оцінки довжини відрізку, на якому зберігається збіжність цих процедур до шуканого розв'язку автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі.

6. Знайдено конструктивні умови існування розв'язків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь з імпульсним впливом. Запропоновано збiжнi iтерацiйнi алгоритми побудови розв'язкiв нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи диференціальних рівнянь з імпульсним впливом.

Література

1. Бойчук Оператор Грина критической квазипериодической краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Доклады АН Украины. - 1993.- № 5. - С.9 - 12.

2. Бойчук Периодические решения автономной системы с импульсным воздействием в критических случаях / А.А. Бойчук, Е.В. Чуйко, С.М. Чуйко // Укр. мат. журнал. - 1995. - Т. 47, № 11. - С. 1478 - 1483.

3. Бойчук А.А. Обобщенный оператор Грина линейной квазипериодической задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 4. - С. 450 - 457.

4. Бойчук А.А. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным импульсным воздействием / А.А. Бойчук, Е.В. Чуйко, С.М. Чуйко // Укр. мат. журнал. - 1996. - Т. 48, № 5. - С. 588 - 594.

5. Чуйко С.М. Почти-периодические решения слабонелинейных систем в критических случаях / С.М. Чуйко // Докл. Рос. академии наук. - 1998. - Т. 359, № 3. - С. 316 - 318.

6. Чуйко С.М. Линейные системы с вырожденным импульсным воздействием и сопряженные к ним / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Нелинейные колебания. - 1999. - Т. 2, № 2. - С. 285 - 289.

7. Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием / СМ. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповіді HAH України. - 1999. - № 6. - С. 43 - 47.

8. Бойчук А.А. Слаболинейные краевые задачи с импульсным воздействием типа "interface conditions"/ А.А. Бойчук, Е.В. Чуйко, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. - 2000. - Т. 3, № 3. С. 291 - 296.

9. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием / С.М. Чуйко // Доклады Академии Наук. - 2001.- Т. 379, - № 2. - С. 170 - 172.

Размещено на Allbest.ru