Індекси матриць показників

Твердження 1.2.11. Нехай Q -- сагайдак з матрицею суміжності [Q]. Тоді існує перестановочна матриця Р, така що:

Означення 1.2.28. Невід'ємна матриця PM_s() називається стохастичною матрицею, якщо для всіх i=1, …, s.

Означення 1.2.29. Невід'ємна матриця називається двічі стохастичною матрицею, якщо для всіх i=1, …, s і для всіх j=1 …, s.

У РОЗДІЛІ 2 "МАТРИЦІ ПОКАЗНИКІВ І САГАЙДАКИ" встановлено, що множина зведених матриць показників утворює відносно додавання напівгрупу, яка не є моноїдом. Встановлено властивості допустимих сагайдаків:

- якщо - зведена матриця показників, Q=Q()-сагайдак матриці показників, то матриця [є (0, 1)- матрицею суміжності сильно зв'язного сагайдака;

- повний сагайдак, який має більше ніж дві вершини, є допустимим тоді і тільки тоді, коли він має петлі у всіх вершинах;

- якщо Q - допустимий сагайдак з n вершинами, то для довільного m>n існує допустимий сагайдак Q^*з m вершинами такий, що сагайдак Q є підсагайдаком сагайдака Q^*;

- якщо Q_1, Q₂ - допустимі сагайдаки, то існує допустимий сагайдак Q, який має підсагайдаки Q_1, Q₂.

У підрозділі 2.1 " Загальні властивості матриць показників і їх сагайдаків" формулюються означення та встановлюються властивості матриць показників.

Означення 2.1.1. Матриця =(_ij)M_n() (M_n() - це кільце матриць порядку n з цілими елементами), для якої виконуються наступні умови:

1) _ij + _{jk iк} для всіх i, j, k =1, …, n,

2) _ii =0 для всіх i=1, …, n,

називається матрицею показників. Матриця показників, для якої виконується умова

3) _{ij + ji} ?1 для всіх i, j {1,…, n} (ij)

називається зведеною матрицею показників.

Нехай =(_ij) - зведена матриця показників. Введемо матрицю

Означення 2.1.2. Сагайдаком зведеної матриці показників Означення 2.1.3. Зведені матриці показників ₁ і ₂ називаються еквівалентними, якщо одну можна отримати з іншої за допомогою елементарних перетворень двох типів:

1) Відняти ціле число t від елементів і^го рядка та додати це число до елементів і^го стовпчика,

2) Поміняти місцями два рядки і поміняти місцями два стовпчика з такими ж номерами.

Твердження 2.1.6. Множина зведених матриць показників утворює відносно додавання напівгрупу, яка не є моноїдом.

Теорема 2.1.8. Якщо - зведена матриця показників, Q=Q() - сагайдак матриці показників, то матриця [Q] є (0, 1)- матрицею суміжності сильно зв'язного сагайдака.

У підрозділі 2.2 "Допустимі сагайдаки" встановлено властивості допустимих сагайдаків.

Означення 2.2.1. Сагайдак Q називається допустимим, якщо icнує зведена

Теорема 2.3.5. Допустимий сагайдак Q, який має хоча б одну петлю, не є жорстким.

У РОЗДІЛІ 3 "ГОРЕНШТЕЙНОВІ МАТРИЦІ" досліджуються будова горенштейнових матриць та їх зв'язок з латинськими квадратами.

У підрозділі 3.1 "Загальні властивості горенштейнових матриць " встановлено існування горенштейнової матриці для довільної підстановки без фіксованих елементів.

Означення 3.1.1. Зведена матриця показників називається горенштейновою, якщо існує підстановка для множини {1, 2, 3, …, n} така, що _ik+_k(i)=_i(i) для i, k=1, …, n.

Означення 3.1.2. Підстановка горенштейнової матриці називається підстановкою Кириченка.

Теорема 3.1.12. Для довільної підстановки без фіксованих елементів існує горенштейнова (0, 1, 2) - матриця Г з підстановкою (Г)=.

Теорема 3.1.22. Нехай горенштейнові матриці, підстановки яких співпадають. Тоді горенштейнова матриця.

У підрозділі 3.2 "Критерій еквівалентності для циклічних горенштейнових матриць" знайдено критерій еквівалентності для горенштейнових матриць з однаковою циклічною підстановкою.

Нехай- горенштейнова матриця із циклічною підстановкою Кириченка, горенштейнова матриця з підстановкою Кириченка , n2. Тоді підстановка виняткова тоді і тільки тоді, коли n=5 та спряжена з підстановкою (1 2)(3 4 5).

У підрозділі 3.4 " Горенштейнові матриці з нециклічною підстановкою Кириченка" встановлено, що для довільного натурального k>1 існують горенштейнові матриці показників з підстановкою у, яка є добутком k циклів, сагайдаки яких мають петлі не у всіх вершинах. Наведено приклад нециклічної горенштейнової матриці показників з цілим індексом, матриця суміжності сагайдака якої має вигляд [Q]=P, де P --стохастична, але не двічі стохастична. Встановлена умова, за якої для двох горенштейнових матриць показників порядків m та n існує горенштейнова матриця показників порядку m+n, діагональними блоками якої є задані матриці.

Теорема 3.4.3. Для кожного натурального k>1 існує горенштейнова матриця _k із сагайдаком Q(_k), у якого кількість петель більше 0, але менше n.

Теорема 3.4.4.- горенштейнова матриця із циклічною підстановкою Кириченка, для якої виконується умова: для довільного i _i(i)=с, де с- константа. Тоді

Лема 3.4.5. Нехай- горенштейнова матриця із циклічною підстановкою Кириченка та. Тоді _ij>0 для ij.

Лема 3.4.7. Нехай горенштейнова матриця Г має блочний вигляд де горенштейнові матриці порядків m, n з циклічними підстановками та відповідно. Тоді

Лема 3.4.8. Нехай- горенштейнова матриця з циклічною підстановкою . Якщо, де p, то існує матриця вигляду , яка еквівалентна матриці Г^[1].

Теорема 3.4.10. Нехай горенштейнова матриця Г має блочний вигляд горенштейнові матриці порядків m, n з циклічними підстановками та відповідно і НСД(n, m)=1, то існує така що Г^/ Г, та - матриці вигляду

Теорема 3.4.11. Нехай горенштейнова матриця Г має блочний вигляд горенштейнові матриці порядків m, n з циклічними підстановками та відповідно і НСД(n, m)=1. Тоді має петлю в кожній вершині.

У підрозділі 3.4 "Зв'язок латинських квадратів з горенштейновими матрицями" доведено, що для довільного n існує горенштейновий латинський квадрат порядку n, який симетричний відносно побічної діагоналі. Також встановлено, що для довільного парного k існує латинський квадрат порядку k, симетричний відносно головної діагоналі та для n, яке ділиться на 4, існує горенштейновий латинський квадрат порядку n, який симетричний відносно діагоналей.

Означення 3.5.1. Матриця L M_n() називається латинським квадратом, якщо кожен рядок і кожен стовпчик матриці L є перестановкою елементів множини {0, 1, …, n-1}.

Означення 3.5.2. Латинський квадрат L=(_ij) називається горенштейновим, якщо існує підстановка така, що _ij +_j(i)= _i(i), для всіх i, j=1, …, n.

Твердження 3.5.4. Для довільного n>1 існує горенштейновий латинський квадрат L=(_ij)  M_n() з наступними властивостями:

Теорема 3.5.5. Горенштейновий латинський квадрат LM_n() з наступними властивостями:

симетричною відносно обох діагоналей) існує тоді і тільки тоді, коли n ділиться на 4.

Лема 3.5.6. Для довільного парного k завжди існує латинський квадрат

Твердження 3.5.7. Для довільного натурального n>2 такого, що n не кратне чотирьом, не існує латинського горенштейнового квадрату LM_n(), симетричного відносно основної діагоналі.

У РОЗДІЛІ 4 "ІНДЕКСИ ГОРЕНШТЕЙНОВИХ МАТРИЦЬ" розглядаються індекси зведених матриць показників та індекси горенштейнових матриць. У підрозділі 4.1 "Основна теорема" формулюється основна теорема розділу.

Означення 4.1.1. Індексом зведеної матриці показників називають максимальне власне число матриці суміжності [Q()]=(q_ij) її сагайдака Q() і позначають inx.

Теорема 4.1.3. Для будь-якого цілого 1??n існує зведена матриця показників M_n() така, що inx=.

Основна теорема 4.1.5. Для кожного N і -1 існує горенштейнова матриця M_n() така, що inx=.

У підрозділі 4.2 "Випадки =1, 2, 3, n-1" розглядаються випадки, коли індекс горенштейнової матриці дорівнює 1, 2, 3 або n-1.

Розглянемо випадок =1.

Розглянемо випадок

Розглянемо випадок =n-1.

Нехай - така підстановка, що (i) i, для всіх i. Покладемо

_ij=

У підрозділі 4.3 "Горенштейнеові матриці, які є лінійною комбінацією степенів переставної матриці" встановлено умови, за яких цілочисельна матриця, яка є сумою переставних матриць, є горенштейновою матрицею показників з підстановкою у =(1 2… n);

Зафіксуємо підстановку у=(1 2 … n).

Розглянемо матриці спеціального вигляду Г підстановки у, t(i) - дискретна функція, t(i){0}. Очевидно, що матриця Г однозначно задається дискретною функцією t(i).

Лема 4.3.1. Якщо для дискретної функції t(i), i{0, 1, 2, …, n-1} виконуються наступні умови:

матриця показників з підстановкою Кириченка у=(1 2 … n).

У підрозділі 4.4 "Випадок =n-2" будуються горенштейнові матриці для індекса n-2.

Розглянемо три випадки.

a) n=3k+2.

Для кожного k матриці будуємо наступним чином:

Покладемо

Для кожного k матриці будуємо наступним чином:

Покладемо

t(i)=

Якщо n=6, то

Легко перевірити, що - горенштейнова матриця показників.

Якщо- матриця, всі елементи якої дорівнюють 1. Матриця B_k побудована в випадку a), L₄ побудована в випадку b).

У підрозділі 4.5 "Випадки n=2k, = inxГ=2p+1 та n=2k+1, = inxГ=2p" будуються горенштенові матриці парного порядку з непарним індексом та непарного порядку з парним індексом.

Зафіксуємо підстановку =(1 2 … n), t(0)=0.

Елементи матриці Г визначаються рівністю

будуються горенштенові матриці парного порядку з парним індексом.

Покладемо

У підрозділі 4.7 " Випадок n=2k+1 та =5" будуються горенштенові матриці непарного порядку з індексом 5.

У підрозділі 4.7 " Випадок n=2k+1 та =2p+1?7" будуються горенштенові матриці непарного порядку з непарним індексом більшим за 5.

Елементи матриці показників визначаються за формулою:

У всіх розглянутих випадках доводиться, що іпобудована матриця горенштейнова та індекс її дорівнює .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі доведено, що множина зведених матриць показників одного порядку утворює напівгрупу відносно додавання, яка не є мооноїдом. При цьому сагайдак суми матриць показників має петлі у всіх вершинах.

Сагайдаки матриць показників є простими та сильно зв'язними.

Встановлено властивості допустимих сагайдаків:

- повний сагайдак, який має більше ніж дві вершини, є допустимим тоді і тільки тоді, коли він має петлі у всіх вершинах;

- якщо Q - допустимий сагайдак з n вершинами, то для довільного m>n існує допустимий сагайдак Q^*з m вершинами такий, що сагайдак Q є підсагайдаком сагайдака Q^*;

- якщо Q_1, Q₂ - допустимі сагайдаки, то існує допустимий сагайдак Q який має підсагайдаки Q_1, Q₂.

Виділено один клас жорстких сагайдаків. Доведено, що жорсткий сагайдак не може мати петель.

Доведено, що для довільної підстановки у без фіксованих елементів існує горенштейнова (0, 1, 2) - матриця з підстановкою у = у(). Встановлено, що для довільного k>1 існують горенштейнові матриці показників з підстановкою у, яка є добутком k циклів, сагайдаки яких мають петлі не у всіх вершинах. Наведено приклад нециклічної горенштейнової матриці показників з цілим індексом, матриця суміжності сагайдака якої має вигляд [Q]=P, де P --стохастична, але не двічі стохастична.

Встановлена умова, за якої для двох горенштейнових матриць показників порядків m та n існує горенштейнова матриця показників порядку m+n, діагональними блоками якої є задані матриці. Знайдено критерій еквівалентності для горенштейнових матриць з однаковою циклічною підстановкою. Встановлено, що для горенштейнових матриць порядку більших 1 існує єдина виняткова підстановка.

Доведено, що для довільного n існує горенштейновий латинський квадрат порядку n, який симетричний відносно побічної діагоналі. Також встановлено, що для довільного парного k існує латинський квадрат порядку k, симетричний відносно головної діагоналі та для n, яке ділиться на 4, існує горенштейновий латинський квадрат порядку n, який симетричний відносно обох діагоналей. Доведено, що для довільного натурального n та для довільного натурального k, що не перевищує n, існує зведена матриця показників порядку n, індекс якої дорівнює k. Для довільного натурального n та для довільного натурального k, яке менше ніж n, обчислена горенштейнова матриця порядку n, індекс якої дорівнює k. Встановлено умови, за яких цілочисельна матриця, яка є сумою переставних матриць, є горенштейновою матрицею показників з підстановкою у =(1 2… n);

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Журавлёв В.Н., Зеленский А.В., Об одном классе горенштейновых черепичных порядков // Изв. Гомельского гос.ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та. - 2006. - т. 3(36). - С. 147 - 154.

2. Зеленський О. В. Індекси матриць показників. // Препринт/НАН України. Інститут математики; 2009.5 -Київ 2009.-32с.

3. Зеленський О. В., Жорсткі сагайдаки зведених матриць показників // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. №3, 2007 р. с. 27-31.

4. Зеленський О. В., Про виняткову підстановку Кириченка для горенштейнових матриць // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. №3, 2005 р. с. 40-43.

5. Кириченко В. В., Зеленський О. В., Хибина М. А. Індекси горенштейнових матриць // Вісник Київського університету. Cерія: фізико-математичні науки. №4, 2006 р. с. 32-37.

6. M.A. Dokuchaev, V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev “Gorenstein matrices”, Algebra and Discrete mathematics, №1, 2005, pp. 8-29.

7. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev “Exponent matrices and their quivers”. Bul. Acad. de Stiinte a Rep. Moldova, Matematica, №1 (44), 2004, 57-66

8. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev, Exponent Matrices and Tiled Order over Discrete Valuation Rings. // International Journal of Algebra and Computation. Vol. 15, Nos. 5 & 6 (2005) 1-16

9. Зеленский. А. В. Жесткие колчаны приведенных матриц показателей. Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения Куроша А. Г. Москва 2008. с 102, 103.

10. Зеленський О.В., Журавльов В.М., Кириченко В.В., Матриці показників та їх сагайдаки // Матеpiали X-ї Мiжнаpодної наукової імені академіка М. Кравчука. - Київ: Задруга, - 2004. - C. 387.

11. A. V. Zelensky, V. N. Zhuravlev. On a class of Gorenstein tiled order. International Conference on Radicals ICOR -2006, Kyiv, July 30-August 5, 2006 p 77,78.

12. A. V. Zelensky. Exponent matrices and exceptional Kirichenko's permutation. 5^th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Odessa, July 20-27, 2005, p. 239-240.

13. M.A. Dokuchaev, V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev, Latin square and Cayley tables of elementary abelian 2-groups // 5^th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Odessa, July 20-27, 2005, p. 61-62

14. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev “Exponent matrices and admissible quivers” // Материалы Международной алгебраической конференции. - М: МГУ. - 2004. - с. 216-218.

15. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky. On Gorenstein quasigroups. 6^th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Kamenets-Podolskiy, July 1-7, 2007, p. 100-101.

Размещено на Allbest.ru